UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE INGENIERIA ING. CIVIL
ECUACION DE NAVIER STOKE
CURSO: MECANICA DE FLUIDOS I
DOCENTE: ING. EDGAR GUSTAVO SPARROW ALAMO 24/06/2011
INTEGRANTES: PUMAYALLA
BRICEÑO H UGO CHAVES ARMAS JHON AVILA MORALES JOSE
NUEVO CHIMBOTE
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
MECANICA DE FLUIDOS
I 1° UNIDAD
FACULTAD DE INGENIERIA E.A.P ING. CIVIL
INTRODUCCIÓN
Uno de los campos de la física más complicados de estudiar son los fluidos, el comportamiento de gases y líquidos en movimiento. La mecánica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la aeronáutica, la ingeniería química, civil e industrial, la meteorología, las construcciones navales y la oceanografía. Comprender, por ejemplo, los flujos de aire turbulento o los remolinos que se forman cuando el agua discurre por una tubería o la sangre por una arteria son de suma importancia, tanto para la ingeniería como para la medicina. Las ecuaciones fundamentales de la dinámica de fluidos, conocidas como ecuaciones de NavierStokes, surgieron producto del francés constructor de puentes Claude-Louis Navier y del matemático irlandés George Stokes. El primero en obtener estas ecuaciones fue el francés en una época (1822) en que no se comprendía muy bien cuál era la física de la situación que estaba matematizando. De hecho, lo único que hizo fue modificar unas ecuaciones ya existentes y obtenidas por el famoso matemático Euler, de modo que incluyesen las fuerzas existentes entre las moléculas del fluido. Aproximadamente 20 años después, Stokes justificó las ecuaciones del ingeniero francés deduciéndolas adecuadamente. A pesar de que las ecuaciones de Navier-Stokes son sólo una aproximación del comportamiento real de los fluidos, se utilizan para estudiar cualquier aspecto que tenga que ver con éstos; el problema es que si uno estudia el movimiento de un fluido con estas ecuaciones, es incapaz de prever si ese movimiento se va a mantener siempre o se va a complicar. Los modelos basados en la teoría de dinámica de fluidos han sido desarrollados desde los 1950's y se han utilizado en la ciencia de tránsito con un éxito considerable. Cuando es visto desde una gran distancia, por ejemplo, desde un avión, el tránsito pesado aparece como el torrente de un fluido. Por lo tanto, un estudio con enfoque macroscópico sobre el flujo de tránsito de autos se puede desarrollar en analogía con la teoría hidrodinámica de fluidos tratando al tránsito como un fluido uni-dimensional de izquierda a derecha.
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FACULTAD DE INGENIERIA E.A.P ING. CIVIL LA ECUACION DE NAVIER STOKE
Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos. Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada f ormulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando ciertas consideraciones, principalmente aquella en la que los esfuerzos tangenciales guardan una relación lineal con el gradiente de velocidad (ley de viscosidad de Newton), obteniendo de esta manera la formulación diferencial que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos. Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica; por lo que en muchas ocasiones hemos de recurrir al análisis numérico para determinar una solución aproximada. A la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de la obtención de estas soluciones mediante el ordenador se la denomina dinámica de fluidos computacional (CFD, de su acrónimo anglosajón Computational Fluid Dynamics). El movimiento de los fluidos incompresibles y Newtonianos está descrito por las ecuaciones de Navier Stokes. Un análisis detallado del movimiento de un fluido con dichas características se logra a partir de la solución de este sistema de ecuaciones, constituido por expresiones que describen la conservación de la masa y del momentum lineal. Masa y momentum se expresan en su forma intensiva, es decir, unidad y velocidad, respectivamente, para formar ecuaciones que establecen relaciones entre los mecanismos de transporte, la acumulación y las fuentes. Considerando un análisis de flujo bidimensional en estado estacionario, en ausencia de fuerzas de cuerpo, y de acuerdo a las características planteadas para el fluido de trabajo, se simplifican las ecuaciones de conservación para llegar a su forma reducida tanto para la conservación de la masa (1) como para la ecuación del momentum (2), donde ~u, p, y corresponden al vector velocidad (u, v), presión, viscosidad dinámica y densidad, respectivamente.
Por lo tanto la ecuación de conservación del momentum (2) balancea flujos convectivos (término no lineal), flujos difusivos (laplaciano de la velocidad) y término fuente (gradiente de presión). Este conjunto de ecuaciones corresponde al modelo que describe la dinámica del fluido incompresible y Newtoniano, y cuya solución se obtiene a partir del Método de Volúmenes Finitos para régimen laminar.
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El equilibrio de fuerzas que actúan sobre un elemento de volumen de líquido puede ser descrito con teorema de impulso. La tasa de variación de la dinámica de un volumen cerrado es igual a la suma de las fuerzas externas que actúan sobre el volumen.
Ellado izquierdode esta ecuación, que es la derivada del tiempototal dela integral de volumense
extendía sobre elvimpulso,se pueden reorganizarde manera similar ala derivación dela ecuación de continuidad. Que resulta:
El término (vv) es el producto diádica del vector velocidad v. Las fuerzas externas son el volumen la fuerza, como, por ejemplo, la fuerza de gravedad
Ylas
fuerzas de superficie, que se derivan delas tensiones de tensor
El término (n · ¯ ) es el producto vectorial de la normal n y el tensor de estrés · . La superficie integral puede volver a ser reemplazada por una integral de volumen.
El teorema del impulso de un volumen cerrado de manera arbitraria lee
Silas tresintegralesse agrupanen unúnicointegrante, una vez más, quesólopuede desaparecer, si elintegrandose anula idénticamente:
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Los componentes de estaecuación vectorialse pueden escribirenlos sistemas de coordenadasarbitrarias, adecuadamenteelegido para elproblema considerado. Encoordenadas cartesianasel resultado delas siguientes ecuacionescon:
«««««.()
Estas ecuaciones describenlas relaciones entre loscomponentes de la velocidady las tensioneslocalesdel fluidoconsiderado.Las tensionesinstantáneaspueden estar relacionados conel campo de velocidadesconla ayudade la hipótesis deStokes, heredadas dela mecánica teórica. Enlaley de Hookelas tensiones sesupone que es proporcionala la tensión, yen mecánica de fluidosson las tensionessupone que es proporcionala lavelocidad de variaciónde la cepa. Antes de que estasrelacionesse establecen, se observa quelas ecuaciones anterioresdeestadode movimientoque un elementopequeño volumense mueve con elfluido esacelerado o desaceleradopor elexteriorfuerzas que actúan sobreél.Se ve queel balance demomentoes totalmente equivalente alde Newtonsegunda ley del movimiento. También se observaque() es válida para cualquierlíquidoseanewtonianaono-newtonianos.en ordenutilizar() para determinar lavelocidad y la presión, las tensionestienen que serexpresadosen términos delas derivadas de lascomponentes de la velocidady la viscosidaddel fluido.estohacer a continuaciónparaun fluido newtoniano.
Relacionestensión-deformación Para la derivación delas relacionesque describela dependencia delas tensionesen latasa de tiempo decambiode la cepa, se supone. Hace hincapié enque lanormal xx, yy,zzcausa elongaciones ycontracciones x, y, z, yhace hincapié en el corte " "causadesplazamientos angulares Como se indica enel diagrama delos componentes de lavelocidad de variaciónde la cepase danporlas derivadas parciales delos componentes de velocidaden la dirección delos ejes de coordenadas.
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La suma delos componentes de latasa de tiempo decambiode la cepaproduce elcambio relativo envolumen,porintervalo de tiempo dt(dilataciónde volumen)
Losdesplazamientos angularesporintervalo de tiempo dtson:
Las tensiones normalesy tangencialesse relacionan con lavelocidad de variaciónde los componentes dela tensión ylos desplazamientosangularesde forma linealansatz. Enel estado de reposo, en la que eltasade variación delas tensiones ylos desplazamientosangularesse desvanecen, las tensiones normales xx, yy, zzson independientes dela dirección, yel únicodado porla presión hidrostática. Estecomportamiento del flujose puede expresar porla siguiente hipótesis, presentada por Stokes
,
,
Ya
que por razonesde simetría xy=yx, yz=zyyxz=xz, sólo tres normalesy tres componentes tangencialtensióndel tensor de tensionesStokesson desconocidos.Por lo tanto,se puede escribircomo.
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El coeficiente~generalse divide endos partes~=-23. Lala viscosidadde volumenseen cuenta los gradosmolecularde la libertad, sino que se desvaneceparamonatomiggases.Las tensiones normalesson:
Su valor medioes:
Paraincompresible fluyeel valor medioes simplemente¯=p.Si las relacionesde tensióndeformaciónse sustituyen enlas ecuaciones de momento, las ecuaciones de NavierStokesecuacionesse obtienen(1823, 1845).
Paraflujo incompresiblecon una constanteviscosidad dinámicade cortede las ecuaciones anterioresse reducen a:
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