Équations de Navier-Stokes
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Équations de Navier-Stokes En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non-linéaires qui décrivent le mouvement des fluides dans l'approximation des milieux continus. Elles gouvernent par exemple les mouvements de l'air de l'atmosphère, les courants océaniques, l'écoulement de l'eau dans un tuyau, et de nombreux autres phénomènes d'écoulement de fluides. Elles sont nommées d'après deux physiciens du XIX e siècle, Claude Navier et George Stokes. Pour un gaz peu dense, il est possible de démontrer ces équations à partir de l'équation de Boltzmann.
Formulation différentielle Il existe bien des formes des équations de Navier-Stokes. Nous n'en présenterons que certaines. Ces formes dépendent aussi des notations utilisées. Ainsi, il existe plusieurs façons équivalentes d'exprimer les opérateurs différentiels. La formulation différentielle de ces équations est la suivante : • Équation Équation de continuité continuité (ou équatio équationn de bilan bilan de la masse)
• Équati Équation on de bilan bilan de la la quanti quantité té de mouve mouvemen mentt
• Équati Équation on de bilan bilan de l'éner l'énergie gie
Dans ces équations : •
repr repréésent sentee le temp tempss (uni (unité té SI : ) ;
• • •
désig désigne ne la masse masse volu volumi miqu quee du fluid fluidee (uni (unité té SI : ); désigne la vitesse eulérienne d'une particule fluide (unité SI : désig ésignne la pre pressio ssionn (uni (unité té SI : );
•
est le tenseur des contraintes visqueuses (unité SI :
• • • •
désign désignee la résulta résultante nte des forces forces massiq massiques ues s'exer s'exerçan çantt dans dans le fluide fluide (unité (unité SI : est est l'én l'éner ergi giee tota totale le par par unit unitéé de masse masse (uni (unité té SI : ); est le flux flux de chaleu chaleurr perdu perdu par conduc conductio tionn thermi thermique que (unité (unité SI : ); représe représente nte la perte perte de chaleu chaleurr volumi volumique que due au rayonn rayonneme ement nt (unité (unité SI :
);
); );
).
Remarques : • L'éner L'énergie gie totale totale peut peut se se décomp décompose oserr en énergie interne
et en énergie cinétique selon
• L'op L'opér érat ateu eurr nabl nabla, a,
en coordonnées cartésiennes, est un opérateur de dérivation spatiale du 1 er ordre. Les opérateurs gradient, gradient, divergence et laplacien peuvent s'écrire à l'aide de cet opérateur : •
;
Équations de Navier-Stokes •
2 ;
•
.
Expression en coordonnées cartésiennes En coordonnées cartésiennes
, les équations de Navier-Stokes s'écrivent :
• Équat Équatio ionn de de con conti tinu nuit itéé :
• Équati Équation on de bilan bilan de la quanti quantité té de mou mouvem vement ent (
)
• Équati Équation on de bilan bilan de l'éner l'énergie gie
Fluide newtonien, hypothèse de Stokes En première approximation, pour de nombreux fluides usuels comme l'eau et l'air, le tenseur des contraintes visqueuses est proportionnel à la partie symétrique du tenseur des taux de déformation (hypothèse de Newton) et le flux de chaleur est proportionnel au gradient de la température (loi de Fourier), c'est-à-dire
où : • •
désig désigne ne la visco viscosit sitéé dyna dynami miqu quee du flui fluide de (uni (unité té SI : dési désign gnee la visc viscosi osité té de volu volume me du flui fluide de (uni (unité té SI :
• • •
désigne le tenseur unité ; désig désigne ne la cond conduc ucti tivi vité té ther thermi miqu quee du flui fluide de (uni (unité té SI : dési désiggne la temp tempér érat atur uree (uni (unité té SI : ).
(Poi (Poiseu seuill ille) e),, );
);
);
L'ensemble des fluides pour lesquels cette hypothèse est vérifiée sont appelés fluides newtoniens. newtoniens. On leur adjoint généralement l'hypothèse l'hypothèse de Stokes : . Cette hypothèse se révèle totalement fausse mais est couramment utilisée dans l'aéronautique. Remarque : De nombreux fluides, tels que les polymères, les hydrocarbures lourds, le miel, ou encore la pâte de dentifrice, ne vérifient pas ces hypothèses. La science chargée d'étudier les relations entre contrainte et déformation pour de tels fluides s'appelle la rhéologie.
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Expression pour les écoulements de fluides compressibles L'écoulement d'un fluide est dit incompressible lorsque l'on peut négliger ses variations de masse volumique au cours du temps. Cette hypothèse est vérifiée lorsque le nombre de Mach est faible. faible. En général, on considère l'écoulement incompressible lorsque . Dans le cas contraire, c'est-à-dire pour un écoulement compressible, compressible, on adjoint pour fermer le système une équation d'état du fluide, de la forme Pour un gaz parfait, cette équation d'état s'écrit
où
désigne la constante des gaz parfaits et
la masse molaire du fluide.
Expression pour les écoulements de fluides incompressibles Pour un fluide visqueux newtonien et lorsque l'écoulement est incompressible, l'équation de l'énergie est découplée des équations de continuité et de quantité de mouvement, c'est-à-dire qu'on peut déterminer la vitesse et la pression indépendamment de l'équation de l'énergie. L'expression des équations de continuité et de quantité de mouvement sont considérablement simplifiées. On obtient alors • Équation Équation de continu continuité ité appelée appelée alors équati équation on d'incompr d'incompressibi essibilité lité • Équati Équation on de bilan bilan de la la quanti quantité té de mouve mouvemen mentt
où
désigne la viscosité cinématique du fluide (unité SI :
que l'on peut décomposer en coordonnées cartesiennes :
et
) et
est le terme d'advection.
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Interprétation L'équation de quantité de mouvement est l'équivalent de la relation fondamentale de la dynamique (aussi appelée seconde loi de Newton) : . Dans cette formule, on voit apparaître trois types de forces : • Les Les fo forces de de pression, spécifique de la mécanique des fluides. • Les Les fo forces de de viscosité . Le second terme contenant la viscosité de volume disparait si le fluide est incompressible. • D'autres forces massiques , qui peuvent être des forces de gravité (
) ou électromagnétiques (
). Pour le cas de la gravité, ce terme représente le poids d'une particule fluide et représente la poussée d'Archimède. En effet, lorsque le fluide est au repos, on retrouve immédiatement l'équation de l'hydrostatique : L'expression de l'accélération l'accélération est plus délicate et s'exprime de deux manières. • La description description lagrangienn lagrangiennee consiste à suivre suivre les particules particules de fluides. fluides. L'accélérati L'accélération on est la dérivée particulaire de la vitesse : . • La description description eulérienne eulérienne consiste consiste à se placer placer en une position fixe. fixe. L'accélérati L'accélération on est alors la somme de la dérivée dérivée (accélération locale) et d'un terme advectif . partielle de la vitesse La résolution de l'équation de Navier-Stokes est extrêmement difficile. Elle reste l'une des grandes énigmes mathématiques non résolues à ce jour. Elle fait partie des Problèmes du prix du millénaire. À la complexité inhérente aux équations aux dérivées partielles s'ajoutent celle de la non-linéarité introduite par le terme d'advection de l'accélération. La plupart du temps, on essaie de résoudre une version simplifiée de l'équation en éliminant l'un de ces termes. Par exemple, à faible nombre de Reynolds, on peut négliger le terme advectif (écoulement de Stokes) et à fort nombre de Reynolds, on s'affranchit de la viscosité (équation d'Euler).
Origine du terme d'advection Le terme d'advection caractéristique des équations de Navier-Stokes ont une origine mathématique simple inhérente à la relation entre une différentielle totale exacte et les dérivées partielles. En effet, pour une particule fluide l'accélération est donnée par:
avec
la densité du fluide,
le vecteur vitesse et
les coordonnées spatiales considérées.
En coordonnées cartésiennes on obtient donc:
En coordonnées cylindriques de même on obtient:
En coordonnées sphériques:
Quelles que soient les coordonnées, on retrouve donc le terme d'advection:
Équations de Navier-Stokes Comme souvent, la formulation de l'accélération sous forme de dérivées partielles permet une recherche plus facile de solutions à des problèmes particuliers, l'intégration de dérivées partielles étant grandement facilitée comparée à des équations comportant des différentielles totales exactes. Ici cette démarche conduit à l'apparition du terme d'advection qui rend compte du transport de matière, découplé de la variation intrinsèque de la vitesse dû à des forces externes au fluide.
Bibliographie • A. Bonn Bonnet et et J. Lune Luneau au,, Aérodynamique : Théories de la Dynamique des Fluides , Éditions Cépaduès, septembre 1989, 544 p. • E. Guyo Guyon, n, J.-P J.-P.. Hulin Hulin et L. Peti Petit, t, Hydrodynamique Physique , CNRS Editions Juin 2001 673p.
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Sources et contributeurs de l'article
Sources et contributeurs de l'article http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=49986319 319 Contributeurs: Anarkman, Arnaud.Serander, Badmood, Bayo, Cdang, CyrilleDunant, David Équations de Navier-Stokes Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=49986 Berardan, Elemiah, Eusebius, Flo, Francis, Ggv31, Jerome.Abela, Jojo le demago, Lilian, Ludo29, Macassar, Mai, Makiwara, Malosse, Mamono666, Med, Mm, NicoRay, Olivier.Roussel, Orthogaffe, Padawane, Peps, Pmetier,
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