MOVIMIENTO PARABOLICO
ESTHER DAYANA FUENTES MONTES KAREN JARABA MERCADO ANA MILENA MARTINEZ VARGAS CLAUDIA PATRICIA PERTUZ MARTINEZ EFRAIN JOSE PORRAS OVIEDO YERALDIN PAOLA PAOLA SOTO COAVA COAVAS
JULIO YANCES MADERA
Universidd de C!rd"# F$%&'d de Cien$is A(r)$"&s In(enieri (r"n"*i$ + Desrr"&&" R%r& M"n'er), C"rd"# -./0
INTRODUCCION El Movimiento de Proyectiles es muy conocido en la humanidad, aunque quizás no es muy estud estudiad iado o cientí científic ficame ament nte e por el común común de las las pers persona onas. s. Desd Desde e el lanzamiento de una pelota de bisbol hasta un misil de !uerra, se encuentra presente en muchos fen"menos de nuestro planeta. En el presente informe se estudia un e#perimento realizado en relaci"n a este tipo de movimiento. $sando un pndulo balístico y un !rupo de balines, lanzándolos a diferentes velocidades y án!u án!ulos los inicia iniciales les,, con con el fin de estud estudiar iar las carac caracte terís rístic ticas as del del movimi movimien ento, to, observar las trayectorias se!uidas por el proyectil lanzado y compararlas con los datos que aporta la teoría. %demás se busc" comprobar e#perimentalmente la relaci"n entre el án!ulo de lanzamiento, y la velocidad inicial con el alcance que tendrá el proyectil, y hallar el án!ulo para el que dicho alcance sea má#imo.
TEOR1A RELACIONADA M"vi*ien'" de Pr"+e$'i&es2 &uando un ob'eto es lanzado al aire, ste sufre una aceleraci"n debida al efecto del campo !ravitacional. El movimiento más sencillo de este tipo es la caída libre( pero cuando un cuerpo, además de desplazarse verticalmente, se desplaza horizontalmente, se dice que tiene un movimiento de proyectil, tambin conocido como movimiento parab"lico, que es un caso más !eneral de un cuerpo que se lanza libremente al campo !ravitacional, y se trata de un movimiento bidimensional. $n ob'eto que se lanza al espacio sin fuerza de propulsi"n propia recibe el nombre de proyectil. En este movimiento, se desprecia el efecto de la resistencia del aire( entonces, el único efecto que un proyectil sufre en su movimiento es su peso, lo que le produce una aceleraci"n constante i!ual al valor de la !ravedad.
Fi(%r /2 Movimiento de un Proyectil )as f"rmulas que se utilizan son las mismas deducidas para el M.*.$. y la caída libre.+-
&uando se lanza un ob'eto en presencia solamente de un campo !ravitatorio, como como el de la tier tierra ra,, se obse observ rva a que que dich dicho o ob'e ob'eto to se elev eleva, a, alca alcanz nza a una una determinada altura y cae. )as ecuaciones vectoriales que describen este tipo de movimientos son 1
2
r = r 0+ v 0 t + a⃗ t ⃗
⃗
⃗
2
⃗v ( t )=v 0 + ⃗a t ⃗
Este movimiento ocurre en un plano y para su estudio se puede descomponer en un movimiento en la direcci"n horizontal y otro en la direcci"n vertical. En la direcci"n horizontal, el movimiento es uniforme con velocidad constante y las ecuaciones que lo describen son x ( t )= x 0 + v 0 x t v x ( t )= v 0 x =cte
dond donde e
x 0
es la compo componen nente te horizon horizontal tal de la posici posici"n "n inici inicial al y
v 0 x
es la
componente horizontal del vector velocidad inicial. En la direcci"n vertical, el movimiento es uniformemente acelerado, donde la aceleraci"n es debida al campo !ravitatorio. )as ecuaciones que lo describen son 1
2
y (t )= y 0+ v 0 y t + g t 2
v0
2
= v 20 y −2 g ( y − y 0)
y − y 0 =
1 2
( v y + v 0 y ) t
v y (t )=v 0 y + ¿
donde
y 0
es la comp compon onen ente te vert vertic ical al de la posi posici ci"n "n inic inicia ial, l,
v 0 y
es la
compo compone nente nte verti vertica call de la veloc velocid idad ad inicia iniciall y es la compo compone nente nte verti vertica call de la aceleraci"n. +/-
E$%$i!n de & Tr+e$'"ri Tr+e$'"ri 0i usamos las ecuaciones de movimiento en cada e'e, despe'amos el tiempo y las i!ualamos, obtenemos una ecuaci"n que nos relaciona el desplazamiento en el e'e horizontal, y el desplazamiento en el e'e vertical. Esta ecuaci"n es denominada la ecuaci"n de la trayectoria, y tiene la forma 2 gx y = x tan θ− 2 2 2 v 0 cos θ
A&'%r *34i* 5%e &$n6 %n 7r"+e$'i& )a altura má#ima que alcanza un proyectil se obtiene cuando la componente v =0 vertical de la velocidad es nula 1 y 2. Por lo tanto la ecuaci"n v
2
= v 20−2 g ( y − y 0) , queda
−v 0 y 2=−2 g y max *ealizando el despe'e de
y max =
v 0 y
y max
, nos queda lo si!uiente
2
2g
Pero tenemos la si!uiente relaci"n, que se observa más claramente en la 3i!ura /
Fi(%r -2 *elaci"n de velocidades en el movimiento parab"lico Tie*7" de V%e&" de& Pr"+e$'i& El tiempo tiempo que dura dura un proyect proyectilil en el aire, aire, es el doble doble del tiempo tiempo que que dura dura subiendo el proyectil desde donde fue lanzado hasta su altura má#ima. Por ello,
utilizamos la ecuaci"n v y =0
t s=
v y =v 0 y + ¿
y despe'ando el tiempo
. &uando el proyectil alcanza su altura má#ima,
(t ) en la ecuaci"n tenemos
v 0 sin θ g
El tiempo que permanece el proyectil en el aire es dos veces el tiempo de subida t v =2 t s del proyectil a su altura má#ima, es decir( , de donde nos queda que t v =
2 v 0 sin θ
g
A&$n$e 8"ri6"n'& *34i*" de %n 7r"+e$'i& En el movimiento parab"lico se da tambin en el e'e horizontal por medio del movimiento rectilíneo uniforme y en el cual la velocidad es constante, entonces el x max= v 0 cos θ t v alcance má#imo se obtiene con la e#presi"n . 0ustituyendo el tiempo de vuelo en la e#presi"n anterior nos queda 2
x max=
2 v 0 cos θ sin θ
g
4enien niendo do en cuen cuenta ta las las func funcio ione nes s tri! tri!o onom nomtr tric icas as,, encon ncontr tram amos os que que sin2 θ =2sin θ cos θ , lo cual nos simplifica la e#presi"n anterior, en la si!uiente ecuaci"n +52
x max=
v 0 sin 2 θ g
MATERIALES M'eri& Pndulo 6alístico %ccesorio %ccesorio para la la medici"n medici"n de la velocidad Papel re!istrador ,9 m 6alín Mesa de soporte
Re9eren$i
Cn'idd
P//7.88
P//7.58
P//.8 P8/98/.8 P8/8:;.85
*e!la 888 mm 4i'eras &inta pe!ante
P8588.88 <<<<<<<<<< <<<<<<<<<<
/
MONTAJE Y PROCEDIMIENTO
Fi(%r :2 Monta'e para el lanzamiento de proyectiles. 0e realiz" el monta'e de la 3i!ura 5. )as velocidades iniciales se re!istraron en metros por se!undo con el accesorio para la medici"n de la velocidad, y fueron tomadas en cada lanzamiento. &on ayuda del papel re!istrador y de las re!las, se pudo determinar los alcances má#imos midiendo desde el punto de lanzamiento hasta donde caía el balín. En ocasiones se separaron las mesas, pues el lanzamiento se daba con un alcance mayor. 0e realizaron los si!uientes pasos . )anz )anzar ar el balín balín con un án!ulo án!ulo de =9> =9> y con la veloc velocid idad ad mayor. mayor. ?bse ?bserv rvar ar la trayectoria se!uida por el balín. /. $san $sando do las las tres tres veloc velocid idade ades s del del dispa dispara rador dor,, reali realiza zarr lanza lanzamie miento ntos s para para los los án!ulos de 58>, =8>, =9>, 98> y ;8>. &onstruir una tabla de valores para cada velocidad de lanzamiento. *e!istrar en cada caso los alcances má#imos con los án!ulos respectivos. 5. 4omar los mismos mismos dato datos s para án!u án!ulos los de 78>. 78>.
RESULTADOS 0e tomar tomaron on para para cada cada án!u án!ulo lo de lanza lanzamie miento nto,, tres tres medida medidas s de veloc velocida idad d y distancia recorrida, con respecto a cada fuerza de lanzamiento, y se muestran en las si!uientes tablas. θ=30 °
3uerza 3uerza
@ 1mAs2 :,: :,8=
# 1cm2 ;9, /;,9
/ 3uerza 5
9,B
/85,9
@elocidade dades s y distanc distancias ias T#& #& /2 @eloci reco recorr rrid idas as en un lanz lanzam amie ient nto o con con
θ=30 ° θ= 40 °
3uerza 3uerza / 3uerza 5
.
θ=50 °
@ 1mAs2 9,58 ;,85 :,;:
# 1cm2 ;7,5 5;,; //B,B
@elocidad dades es y distanci distancias as T#& #& -2 @eloci reco recorr rrid idas as en un lanz lanzam amie ient nto o con con θ= 40 ° . θ= 45 °
3uerza 3uerza / 3uerza 5
@ 1mAs2 /,=B ;,8; B,B
# 1cm2 ;7,9 =8,B /55,9
@elocidad dades es y distanci distancias as T#& #& :2 @eloci reco recorr rrid idas as en un lanz lanzam amie ient nto o con con θ= 45 ° .
3uerza 3uerza / 3uerza 5
@ 1mAs2 =,7= ;,8 7,;
# 1cm2 ;B,= 5: //=,5
@elocidade dades s y distanc distancias ias T#& #& ;2 @eloci reco recorr rrid idas as en un lanz lanzam amie ient nto o con con θ=50 ° . θ= 60 °
3uerza 3uerza / 3uerza 5
@ 1mAs2 9,: ;,99 :,9/
# 1cm2 ;8, :,7 78,:
@elocidade dades s y distanc distancias ias T#& #& 02 @eloci reco recorr rrid idas as en un lanz lanzam amie ient nto o con con θ= 60 ° .
EVALUACI
/2 Cu tipo de trayectoria si!ue el balín al ser disparado C&oncuerda este resultado con el esperado te"ricamente E#plique su respuesta. trayec ecto tori ria a es, es, efec efecti tiva vame ment nte e un movi movimi mien ento to para parab" b"li lico co o de R'2 )a tray proyectiles, concordando con la teoría, pues va subiendo hasta un momento determi determinado nado,, mientras mientras va recorrie recorriendo ndo una distanci distancia a horizon horizontal, tal, hasta hasta que comienza a ba'ar en la misma trayectoria horizontal. -2 CPara qu án!ulo se obtuvo el alcance má#imo CEsperaba este resultado CPor qu R'2 0e obtuvo el alcance má#imo para el án!ulo de =9>. 0í se esperaba, pues x max al sustituir en la ecuaci"n te"rica del alcance má#imo 1 2, el án!ulo de =9>, el seno adquiere su valor má#imo 1el cual es 2. Por lo tanto, la ecuaci"n dará como resultado el mayor valor de x .
:2 &ompare los valores de alcance má#imo re!istrados en la tabla para án!ulos comp comple leme ment ntar ario ios. s. C%qu C%qu conc conclu lusi si"n "n lle! lle!a a CEs CEs esto esto cohe cohere rent nte e con con lo esperado te"ricamente Fustifique. allemo mos s los los valor alores es de los los alca alcanc nces es má# má#imos imos para para án!u án!ulo los s R'2 Galle complementarios complementarios con los datos de las tablas respectivas. respectivas. $samos la velocidad velocidad aplicada por la primera fuerza en cada caso Para θ=30 ° . •
( 0,518 m / s )2 sin2 ( 30 ° ) x max= 2 9,81 m / s x max= 0,0473 m
•
Para
θ= 60 ° .
( 0,517 m / s )2 sin2 ( 60 ° ) x max= 2 9,81 m / s x max= 0,0273 m
%pro#imadamente %pro#imadamente i!uales para •
Para
θ= 40 ° .
( 0,530 m / s )2 sin2 ( 40 ° ) x max= 2 9,81 m / s
θ=30 ° y
θ= 60 ° .
x max= 0,037 m
•
Para
θ=50 ° .
( 0,494 m / s )2 sin 2 ( 50 ° ) x max= 2 9,81 m / s x max= 0,038 m
0on i!uales para
θ= 40 °
y
θ=50 °
.
Hote que los valores de alcance má#imo son apro#imadamente i!uales, hay varia variaci cione ones s pues puesto to que que las veloc velocida idades des inici inicial ales es no son enter enterame amente nte i!uales. &oncuerda con la teoría pues el seno de án!ulos suplementarios 1los los án!u án!ullos que se for forman man cuando mult multiipli plicamos mos dos án!ulos los complementarios Icada uno por separado< por el mismo factor, en este caso /2. &on los los datos datos tomados tomados en el labor laborato atorio rio,, real realice ice una !ráfic !ráfica a de ;2 &on funci"n de
x max
en
θ . Cu concluye
R'2 0e muestra la !ráfica en la fi!ura =, se puede observar que el alcance má#imo va aumentando hasta lle!ar al án!ulo de =9>, lue!o, con án!ulos complementarios vuelve a disminuir, tomando apro#imadamente los mismos valores de án!ulos anteriores a =9>.
Fi(%r ;2 Jráfico del inciso =. 02 &alcule te"ricamente el alcance má#imo para cada án!ulo usado y compare los resultados con los encontrados en el laboratorio. Determine los errores en cada caso. C% qu cree que se deben
R'2 0abiendo que la ecuaci"n del error es
|V T −V E|
%E =
V T
∗100
&alculamos para cada caso los errores. •
θ=30 °
Para
.
( 0,518 m / s )2 sin sin 2 ( 30 ° ) x max= 2 9,81 m / s x max= 0,0473 m
El valor e#perimental es
x max= 0,634 m
.
El error es
|0,0473 m−0,634 m| ∗100
%E =
0,0473 m
%E =12 , 40
•
θ= 40 °
Para
.
( 0,530 m / s )2 sin2 ( 40 ° ) x max= 2 9,81 m / s x max= 0,037 m
El valor e#perimental es
x max= 0,713 m
El error es
|0,037 m −0,713 m| ∗100
%E =
%E =18,24
0,037 m
.
•
θ= 45 °
Para
.
( 2,47 m / s )2 sin2 ( 45 °) x max= 2 9,81 m / s x max= 0,622 m
El valor e#perimental es
x max= 0,708 m
.
El error es
|0,622 m− 0,708 m| ∗100
%E =
0,622 m
%E =13,9
•
θ=50 °
Para
.
( 0,494 m / s )2 sin 2 ( 50 ° ) x max= 2 9,81 m / s x max= 0,038 m
El valor e#perimental es
x max= 0,677 m
El error es
|0,038 m−0,677 m| ∗100
%E =
0,038 m
%E =16 , 8
•
Para
θ= 60 ° .
( 0,517 m / s )2 sin2 ( 60 ° ) x max= 2 9,81 m / s x max= 0,0273 m
.
El valor e#perimental es
x max= 0,601 m
.
El error es
|0,0273 m− 0,601 m| ∗100
%E =
0,0273 m
%E =21 , 6
0e puede observar que el porcenta'e de error en cada caso super" el má#imo error que se puede cometer al comparar cantidades obtenidas te"ricamente y las las obten obtenida idas s de maner manera a e#per e#perime imenta ntal. l. Esto Esto quizá quizá fue debido debido a que que las medidas de distancia con la re!la no fue lo suficientemente precisa, pues en todos los casos el alcance má#imo e#perimental fue mayor que el te"rico.
=2 Para cada án!ulo de lanzamiento, usando la velocidad inicial medida en el laborat laboratorio orio,, dándole dándole valores valores a la variable variable
x
entre cero 182 y el alcance
má#imo e#perimental, ha!a una !ráfica de la trayectoria de cada lanzamiento. R'2 4enemos las si!uientes !ráficas Para θ=30 ° •
•
Para
θ= 40 °
Para
θ= 45 °
Para
θ=50 °
Para
θ= 60 °
>2 $sando el pro!rama ?ri!in, dibu'e las cinco !ráficas en un solo plano. Cu conclusiones obtiene al comparar las !ráficas C0us observaciones están de acuerdo con lo esperado te"ricamente R'2 )a !ráfica se muestra a continuaci"n
0e puede ver que a medida que el án!ulo es mayor 1hasta que lle!a a =9>2, aumenta el alcance horizontal de la partícula. %demás, cuando el án!ulo se hace mayor, el alcance vertical aumenta tambin. 0í concuerda con lo esperado te"ricamente, pues la teoría nos indica que el alcance es mayor cuando el án!ulo es de =9>, y que el alcance 1cuando las velocida velocidades des iniciale iniciales s son las mismas2 mismas2 vuelve vuelve a ser apro#im apro#imada adament mente e i!ual i!ual cuan cuando do los los án!u án!ulo los s que que inte interv rvie iene nen n en el inic inicio io del movi movimi mien ento to son complementarios.
?2 Mencione aplicaciones del movimiento de proyectiles en la vida diaria. R'2 En la vida diaria encontramos muchos movimientos que cumplen con
estas características, entre ellos encontramos la trayectoria de una pelota de voleibol o de basquetbol cuando es lanzada. %demás se aplica mucho en el enví envío o de proy proyec ecti tile les s o misi misile les s en las las bata batall llas as mili milita tare res. s. $na $na apli aplica caci ci"n "n importante se daba en la poca medieval cuando en las !uerras entre imperios se usaba la catapulta, que consistía en utilizar el Movimiento Parab"lico para lanzar piedras o cuerpos encendidos sobre las murallas de un imperio.
CONCLUSIONES 0e puede concluir que en la práctica, se pueden reproducir movimientos de tipo parab"lico, pero se debe tener en cuenta cumplir con buenas condiciones en el laboratorio para no adquirir !randes errores. %demás se pudo comprobar e#perimentalmente e#perimentalmente la ecuaci"n ecuaci"n del alcance má#imo del movimiento parab"lico de los balines, y se determin" que el án!ulo para el cual el mayor alcance má#imo que se obtiene del movimiento, es cercano 1en la parte e#perimental2 a =9>.
BIBLIOGRAF1A +- PaKl GeKi!ht, 3ísica 4e"rica. +/- Movimiento Parab"lico, Liipedia. httpAAes.Kiipedia.or!AKiiAMovimientoNparabO&5O65lico +5- 3ísica )ab. httpsAAKKK.fisicalab.comAapartadoAmovimiento< parabolicocontenidos
