Teoría de Mecanismos y Máquinas
ACELERACIÓN TANGENCIAL Y NORMAL Los mecanismos están formados por barras, unidas mediante articulaciones que llamaremos pares cinemáticos. A las barras las vamos a denominar mediante números.
A
3
6
5
O5 1
2 C O2
B
4 1
1 En la figura tenemos un mecanismo formado por las barras 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Dejamos el número 1 para designar la barra fija. Los pares cinemáticos, son las uniones entre barras. Como ejemplo tenemos la unión de las barras 2 y 3 en el punto A, la de las barras 3 y 4 en el punto B, la de las barras b arras 5 y 6 en el e l punto C, la de la barra bar ra 2 con la 1 en el punto pu nto O 2 y la de la barra 5 con la 1 en el punto O 5. Hay otras uniones, que no tienen ninguna letra, son la unión de 3 y 6, así como entre 4 y 1. También son pares cinemáticos, aunque distinto a los anteriores.
José Cano
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Teoría de Mecanismos y Máquinas A’
El mecanismo es un sistema mecánico que puede moverse, a diferencia de una estructura que está fija.
A
A’’
O
B’’
B’
B
En la figura tenemos un mecanismo en varias posiciones: OAB, OA’B’, OA’’B’’, …….
A’ P’’
A
P’
P
A’’
O
B’’
B’
B
Cuando el mecanismo está en movimiento, las barras que lo forman están en movimiento. Cuando las barras se mueven, los puntos que pertenecen a las barras describirán trayectorias. Dependiendo del movimiento de las barras los puntos describirán un tipo determinado de trayectoria.
Trayectorias
En la figura tenemos el mismo mecanismo anterior. Ahora se han dibujado las trayectorias que describen los puntos A, B y P. La trayectoria del punto A es una circunferencia (AA’A’’), la trayectoria del punto B es una recta (BB’B’’), la trayectoria del punto P es una curva cualquiera (PP’P’’), …..
José Cano
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Un punto o partícula puede describir una trayectoria cualquiera, ya sea recta o curva. Si la trayectoria es recta estará contenida en un plano. Si la trayectoria es curva, puede tratarse de una curva plana o espacial. Consideraremos el caso de una curva plana, es decir, contenida en un plano. Por tanto, estudiaremos trayectorias planas, ya sean rectas o una curva cualquiera. Los mecanismos planos son aquellos que sus barras se mueven en planos paralelos y por tanto los puntos contenidos en ellas describen trayectorias planas. Decimos que las barras tienen un movimiento plano.
Mecanismo plano no quiere decir que el mecanismo esté contenido en un plano, aunque así se puede idealizar su movimiento para el análisis cinemático.
José Cano
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El punto describe la trayectoria con una velocidad determinada, recuerda que la velocidad es un vector. El vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria y puede variar en módulo y dirección. La aceleración, que es otro vector, nos mide la variación del vector velocidad. El vector aceleración no tiene por qué ser tangente a la trayectoria.
P’
V’
Trayectoria
V a’’
P
a’
P’’
V’’
En la figura se representa un punto P moviéndose en su trayectoria. Están representadas varias posiciones del punto, P, P’, P’’. En cada una de ellas se indica el vector velocidad y el vector aceleración que tiene el punto. Puede observarse como el vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria descrita por el punto.
José Cano
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La aceleración tiene dos componentes importantes, la aceleración tangencial y la aceleración normal. r
r
r
a = at + a n
a=
at 2 + a n2
V at
P
Trayectoria an
a
ρ
(radio de curvatura)
Po (centro de curvatura)
La aceleración tangencial lleva la dirección de la tangente (dirección de la velocidad) y la aceleración normal apunta siempre hacia el centro de curvatura. Ambas componentes son perpendiculares entre si. Si la trayectoria es una curva cualquiera, el radio de curvatura y el centro de curvatura cambian para cada posición del punto. Si la trayectoria es una circunferencia, el radio de curvatura es el radio de la circunferencia y el centro de curvatura el centro de la circunferencia.
José Cano
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La aceleración tangencial nos mide el cambio de la velocidad en módulo, es decir, si la velocidad cambia en módulo (ahora 10, luego 15, después 12, ....) existe aceleración tangencial. Si la velocidad se mantiene constante en módulo (por ejemplo, siempre 20) no existe aceleración tangencial. La aceleración tangencial se define como la derivada del módulo de la velocidad con respecto al tiempo. Si hacemos una representación de la gráfica del módulo de la velocidad en función del tiempo, lo |V| |V| que hemos comentado anteriormente de la velocidad con módulo constante correspondería a la gráfica de una recta horizontal, pero podría también darse el VP caso de ser una función o gráfica cualquiera y que en un momento determinado sea cero la derivada con respecto al tiempo (un máximo o un mínimo). Pero esto sería en un instante t1 t2 t2 t1 t3 O O t t particular, a diferencia de cuando el módulo de la velocidad es constante, que (a) (b) la aceleración tangencial sería siempre cero. En la figura se representa el módulo de la velocidad de un punto en función del tiempo. En la gráfica de la figura (a) observamos que la velocidad tiene un módulo constante de valor VP, este valor se mantiene en el intervalo desde t 1 a t2. En todo ese intervalo la aceleración tangencial del punto es cero, no hay variación del módulo de la velocidad. En la gráfica de la figura (b) observamos que el módulo de la velocidad es variable. Pero hay unas determinadas posiciones en donde la derivada de la función es cero (máximos y mínimos relativos), t1, t2 y t3. Sólo en dichos instantes la aceleración tangencial del punto es cero. Corresponde a unas posiciones puntuales en el movimiento del punto P.
José Cano
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La aceleración normal nos mide el cambio de la velocidad en dirección, es decir, si el vector velocidad cambia su dirección (por ejemplo el carrito de una montaña rusa) existe aceleración normal. Si la trayectoria es una recta, el vector velocidad no cambia su dirección, puede cambiar el sentido y módulo, pero no la dirección, por tanto no existe aceleración normal. B 2 La aceleración normal está definida mediante la fórmula V /ρ, V P siendo ρ el radio de curvatura de la trayectoria en el instante de estudio. El radio de curvatura puede ser infinito siempre, es el caso de trayectoria recta, pero también puede ocurrir que el radio de P’ A curvatura sea infinito en un instante particular, es lo que se llama punto de inflexión de una curva, pasar de cóncava a convexa o al contrario. En ambos casos la aceleración normal es cero, pero en el Trayectoria primero es cero en toda la trayectoria y en el segundo es cero en un instante particular. En la figura se representa la trayectoria del punto P. Cuando el punto P se encuentre en la posición P’ su aceleración normal será cero en dicho instante, es un punto de inflexión. Y cuando el punto P recorra el tramo AB su aceleración normal será cero en todo el tramo, por tratarse de una recta.
José Cano
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Como la velocidad es un vector, y un vector tiene módulo y dirección. Existirá aceleración siempre que cambie con el tiempo bien el módulo de la velocidad, la dirección de la velocidad o ambas cosas a la vez. - Si solamente cambia el módulo de la velocidad con el tiempo, como en un movimiento rectilíneo, tenemos únicamente aceleración tangencial. La trayectoria del punto es una recta, el radio de curvatura es infinito y no hay aceleración normal. - Si solamente cambia la dirección de la velocidad con el tiempo, pero su módulo permanece constante como en un movimiento circular uniforme, tenemos únicamente aceleración normal. La trayectoria es una circunferencia, el vector velocidad es tangente a la trayectoria, cambia la dirección del vector velocidad, por tanto existe aceleración normal. - Si cambia el módulo y la dirección de la velocidad con el tiempo, como en un tiro parabólico, tendremos aceleración tangencial y aceleración normal. La aceleración es la gravedad, por tanto varía la componente vertical de la velocidad, existe aceleración tangencial. La trayectoria es una parábola, cambia la dirección del vector velocidad, existe aceleración normal.
A
A
Trayectoria de A
Movimiento rectilíneo
José Cano
R
O
A α
O
Circular uniforme
Tiro oblicuo
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Si el vector aceleración lleva la misma dirección que el vector velocidad La aceleración coincide con la aceleración tangencial y el punto no tiene aceleración normal
V a
P
at
V Si el vector aceleración es perpendicular al vector velocidad
P
La aceleración coincide con la aceleración normal y el punto no tiene aceleración tangencial
a
José Cano
an
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Ejemplo 15º 2,5 m/s A
Un balón de baloncesto rebota en el suelo y sale con una velocidad de 2.5 m/s en la dirección indicada. En la trayectoria que se inicia tras el rebote, hallar el radio de curvatura en el punto A.
En este caso nuestro punto o partícula es el punto A del balón. En el instante de estudio conocemos la velocidad del punto A, en módulo y dirección, 2,5 m/s formando 15º con la vertical. 2 También conocemos la aceleración, es la gravedad, 9,81 m/s vertical y hacia abajo. Si hacemos un gráfico de los dos vectores: tangente 15º
2 an = 9,81· sen15 = 2,539 m / s
trayectoria V = 2,5 m/s
an =
V
2
ρ
A
normal at
2,539 = 15º
an
José Cano
2
a = 9,81 m/s
2,5 2
ρ = 2,46 m
ρ
El centro de curvatura estaría a una distancia de 2,46 m desde el punto A en la dirección y sentido de la aceleración normal.
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Teoría de Mecanismos y Máquinas
Otra forma de resolverlo es utilizando la teoría de vectores Se le recomienda al estudiante que repase la materia de centro de curvatura explicado en Cinemática de la Partícula. r
r
r
r
r
V = 2,5 sen15 i + 2,5 cos15 j = 0,647 i + 2,415 j r
a = −9.81 j r
Empezamos calculando el vector unitario en la dirección de la velocidad r
r
uv =
r
V
=
r
V
r
0,647i + 2,415 j 2,5
r
r
= 0,259i + 0,966 j
Proyectamos el vector aceleración sobre la tangente a la trayectoria, para calcular el módulo de la aceleración tangencial r
r
2
r
at = a • u v = (−9,81 j ) • (0,259 i + 0,966 j ) = 0 − 9,81· 0,966 = −9,476 m/s r
r
r
Se expresa la aceleración tangencial como vector r
r
r
r
at = at u v = −9,476 (0,259 i + 0,966 j ) = −2,454 i − 9,154 j r
r
r
La aceleración normal viene dada por r
r
r
r
r
a n = a − at = (−9,81 j ) − (−2,454 i − 9,154 j ) = 2,454 i − 0,656 j r
r
r
a n = 2,54 m/s r
2
Y por tanto r
r
an =
José Cano
V P ρ
2
2,54 =
2,5 2 ρ
ρ = 2,46
m
r
En la dirección y sentido de la a n
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