UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO FACULTA DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
LEYES DE NEWTON
Alumno: JHAMIL OSCAR BIZARRO RIVAS Docente: ATAU ENRIQUEZ EDILBERTO
CUSCO – PERÚ 2017
MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO Y FORZADO 1) MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO: Para entender mejor este movimiento es recomendable repasar primero el Movimiento Armónico Simple. EL MOVIENTO ARMONICO SIMPLE (M.A.S.) Definición: Es todo movimiento periódico oscilatorio y de trayectoria rectilínea. Tiene los siguientes elementos:
1. Amplitud (A). Es la distancia del punto de equilibrio y sus extremos. X = Acos (ωt+φ) Donde ω: frecuencia angular t: tiempo φ: ángulo de fase inicial A: amplitud
2. Elongación (X): distancia entre el punto de equilibrio y cualquier otro punto, sin considerar sus extremos. X = Acos (ωt+φ)
3. Periodo (T): Es el tiempo en que demora una partícula en dar una oscilación completa.
4. Frecuencia (f): Es el numero de oscilaciones en cada unidad de tiempo definido por:
=
La velocidad del M.A.S. V=Aωcos (ωt+φ)
La aceleración del M.A.S. a= Aω² (-sen (ωt+φ))
1 T
OSCILACIÓN: En física, química e ingeniería, movimiento repetido de un lado a otro en torno a una posición central, o posición de equilibrio. El recorrido que consiste en ir desde una posición extrema a la otra y volver a la primera, pasando dos veces por la posición central, se denomina ciclo. El número de ciclos por segundo, o hercios (Hz), se conoce como frecuencia de la oscilación. Cuando se pone en movimiento un péndulo o se puntea la cuerda de una guitarra, el péndulo y la cuerda acaban deteniéndose si no actúan sobre ellos otras fuerzas. La fuerza que hace que dejen de oscilar se denomina amortiguadora. Con frecuencia, estas fuerzas son fuerzas de rozamiento, pero en un sistema oscilante pueden existir otras fuerzas amortiguadoras, por ejemplo eléctricas o magnéticas. EL MOVIMIENTO ARMONICO AMORTIGUADO (M.A.A.) La discusión del movimiento armónico simple en las secciones previas indica que las oscilaciones tienen amplitud constante. Sin embargo, por experiencia, sabemos que la amplitud de un cuerpo vibrante tal como un resorte o un péndulo, con una amplitud que decrece gradualmente hasta que se detiene. Esto es, el movimiento oscilatorio, es amortiguado. Cuando el sistema oscilador que se considera está sometido a rozamientos, la descripción del movimiento resulta algo más complicada. Refiriéndonos en concreto al caso del péndulo simple, si se tiene en cuenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad (buena aproximación en muchos casos) la ecuación diferencial del movimiento es la siguiente.
²Ɵ dƟ + 2 + ω₀²Ɵ = 0 dt ² Donde γ es la constante de amortiguamiento y los demás símbolos tiene el significado que se señalo anteriormente. La solución de esta ecuación tiene la forma matemática de oscilaciones amortiguadas, es decir, oscilaciones en que la amplitud decrece con el tiempo.
Sin entrar en la teoría de resolución de ecuaciones diferenciales, diremos que cuando el amortiguamiento es pequeño, la variación temporal del ángulo d con el tiempo, a la que designaremos (x=
x=
Ɵ =
Ɵ ) puede escribirse como:
Aˉᵞᵗ˙cos (ωt+δ)……. (*)
Debido a la presencia del término exponencial, esta ecuación expresa que la amplitud se va reduciendo a medida que transcurre el tiempo; además, en ella aparece el termino ω como frecuencia angular. El valor de ω es:
γ √ ω₀² − ( )² 2 Esto supone que la frecuencia angular del movimiento amortiguado es MENOR que la del movimiento con amortiguamiento nulo o dicho alternativamente, que el periodo T del movimiento amortiguado crece con respecto al del movimiento no amortiguado. .
Esta ecuación se describe usualmente en la forma 2
d x 2
dt
Donde
2
m y 02
k / m
2
dx dt
2
0
x
0 ………*
es la diferencia angular sin amortiguamiento.
Esta es una ecuación diferencial que difiere de l a ec. (12.12) del movimiento armónico simple, en que contiene el término adicional
2 dx / dt .
Su solución
puede obtenerse mediante la aplicación de técnicas aprendidas en el curso de cálculo. En lugar de intentar resolverla de una manera formal , escribamos su solución para el caso de pequeño amortiguamiento, cuando La solución es entonces: Donde
A y
iníciales y
x
Ae
0 .
t
sen( t ) ………….1
son constantes arbitrarias determinadas por las condiciones
02
2
k / m
2 / 4m 2 ………..2
Se nota que la sustitución de la ec.( 1) en( *) es la solución de la ecuación. Entonces como contiene dos constantes arbitrarias es la solución general de la ecuación diferencial. La ec. (2) Indica que el efecto del amortiguamiento es disminuir la frecuencia de las oscilaciones. La amplitud es decreciente cuando el tiempo aumenta por lo que resulta un movimiento amortiguado. Se puede notar fácilmente en la ecuación debido al exponente negativo.
Ae
t
Ae
Ae
t
,
t
Ae
t
Si el amortiguamiento es muy grande, puede ser mayor que
0
y
, si se
reemplaza se volvería imaginaria, por lo tanto en este caso no hay oscilaciones y la partícula si se la desplaza y se deja libre se aproximaría gradualmente al equilibrio, o a lo más pasándola una vez. En cuanto a su energía en este tipo de oscilaciones se pierde y es absorbida por en medio APLICACIONES Los amortiguadores son una parte importante de automóviles y motocicletas suspensiones , aviones de tren de aterrizaje y los soportes para numerosos procesos industriales máquinas . Mucha gente también ha ido utilizado en ingeniería estructural para reducir la susceptibilidad de las estructuras a sismo los daños y la resonancia . Un
amortiguador transversal montado, llamado amortiguador de guiñada , ayuda a mantener a que los vagones se balanceen demasiado de lado a lado y son importantes en los ferrocarriles de pasajeros , los trenes de cercanía y de tránsito rápido de los sistemas, ya que impiden vagones de las estaciones perjudiciales.
suspensión del vehículo En un vehículo, reduce el efecto de viajar por un terreno en bruto, lo que mejora la calidad de conducción , y el aumento de confort gracias a la reducción de la amplitud de las perturbaciones sustancialmente. Sin amortiguadores, el vehículo tendrá un paseo de rebote, como la energía se almacena en la primavera y luego se libera en el vehículo, posiblemente superior del rango permitido de suspensión de movimiento. Control de movimiento de la suspensión sin excesiva absorción de los impactos requiere más rígido (tipo superior) manantiales, que a su vez dar un paseo dura. Los amortiguadores permiten el uso de suave (tipo reducido) manantiales, controlando la velocidad de movimiento de la suspensión en respuesta a los golpes. También, junto con histéresis en el propio neumático, la humedad del movimiento de la masa no suspendida arriba y hacia abajo sobre la elasticidad del neumático. Dado que el neumático no es tan suave como los muelles, ruedas efectiva amortiguación rebote puede requerir más dura crisis de lo que sería ideal para el movimiento del vehículo solo.
Estructuras Aplicado a una estructura como un edificio o puente puede ser parte de una adaptación de sísmica o como parte de la nueva, la construcción resistente a terremotos . En esta aplicación permite todavía restringir el movimiento y absorbe la energía de resonancia , que puede causar un movimiento excesivo y posible fallo estructural .
Generación Eléctrica
Los coches modernos híbrido puede llegar a ser capaces de generar energía útil a partir del desplazamiento del fluido en un amortiguador .
2) MOVIMIENTO ARMONICO FORZADO:
