MOVIMIENTO AMORTIGUADO DE LA CINEMÁTICA A LA DINÁMICA Introducción
Normalmente cuando se estudia el movimiento armónico amortiguado se parte de los modelos de fuerza del resorte y de la fuerza de amortiguamiento. A partir de los modelos de fuerzas se determ determina inan n las caract caracterí erísti sticas cas del movimi movimient ento o que resulta resulta de la ecuaci ecuación ón de movim movimien iento to o “aplicación” de la Segunda Ley de Newton. Para la fuerza del resorte usualmente se recurre a la Ley de Hooke, que representa un comportamiento directamente proporcional entre la fuerza con la deformación del resorte; mientras que para la fuerza de amortiguamiento amortiguamiento el modelo más común es el de un comportamiento directamente proporcional entre la fuerza y la velocidad. En esta ocasión tomaremos como punto de partida a la cinemática del movimiento amortiguado que resulta del la gráfica de deformación en función del tiempo para obtener los modelos de fuerza, es decir que en lugar de tomas a las causas para determinar los efectos consideraremos los efectos para definir las causas. 1.
Deformación en función del tiempo
Consideremos un sistema Masa-Resorte suspendido, como se indica en la figura 1. Al poner en movimiento a la masa, la deformación en función del tiempo que se obtiene es de la forma presentada en la figura 2, en donde resalta el hecho de que la amplitud no permanece constante, sino que va “decayendo” en el tiempo, a diferencia de lo que ocurre en un movimiento armónico simple. Además, todo parece indicar que se mantiene la “periodicidad” del movimiento, por lo que se propone como modelo de ajuste a los datos de la gráfica una función de la forma: x( t ) = Ae − γ t sen( ωt + δ ), (1) sien siendo do w la frec frecue uenc ncia ia de oscil oscilac ació ión; n; d la fase fase inic inicia iall del del movi movimi mien ento to;; y, g un facto factorr de [1] amortiguamiento. La parte parte expon exponen enci cial al de la func funció ión n corr corres espo pond nde e al “deca “decaim imie ient nto” o” en la amplitud. En la figura 2 se muestra la gráfica de esta función de ajuste y en líneas punteadas la amplitud con el “decaimiento” exponencial.
Resorte
Posición de equilibrio
X0 = 0
Masa
x
(a)
(b)
Dirección de movimiento
Figura 1. Sistema Masa-Resorte suspendido. 0.10
0.08
0.06
0.04 ) m (
0.02
x n ó i c 0.00 a m r o f e -0.02 D
-0.04
-0.06
-0.08
-0.10 0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
16.00
18.00
20.00
Tiempo t (s)
Figura 2. Gráfica de deformación en función del tiempo de un movimiento amortiguado.
2 Ecuación de Movimiento
La ecuación de movimiento del sistema está relacionada con la aceleración, así comenzamos por determinar a la velocidad a partir de la deformación en función del tiempo, obteniendo: − γ t dx ( t ) d Ae sen( ωt + δ ) ] [ = = v( t) dt
dt
− γ t
[ ω cos( ωt + δ ) − γ sen( ωt + δ ) ]. (2) Para la aceleración tenemos: dv ( t ) d{ Ae − γ t [ ω cos( ωt + δ) − γ sen( ωt + δ ) ]} = a( t ) = v ( t ) = Ae
dt
dt
a( t ) = Ae − γ t [ ( γ 2
− ω2 )sen( ωt + δ ) − 2γωcos( ωt + δ ) ].
(3) Sustituyendo la ecuación 1 en la 2 tenemos que: v ( t ) = Ae − γ t ω cos( ωt + δ ) − γ x ( t ), de donde resulta: Ae − γ t ω cos( ωt + δ ) = v ( t ) + γ x( t ). Sustituyendo esta ecuación y la 1 en la ecuación de la aceleración (ec. 3), obtenemos: a( t ) = ( γ 2 − ω2 ) x( t ) − 2γ [ v ( t ) + γ x ( t ) ] a( t )
= −( γ 2 + ω2 ) x( t ) − 2γ v ( t ).
Multiplicando por la masa a los lados de la ecuación, tenemos: ma( t ) = −m( γ 2 + ω2 ) x( t ) − 2γ mv ( t ). (4) Entonces, como el producto de la masa por la aceleración es igual a la suma de fuerzas que actúan sobre el sistema, de acuerdo con la Segunda Ley de Newton. En este caso identificamos que hay una fuerza, que la de restitución en el sistema, que es directamente proporcional a la deformación, es decir, la Ley de Hooke: Fr = −m( γ 2 + ω2 ) x( t ) = −kx ( t ), (5) en donde asociamos la relación entre constantes: γ 2 + ω2 =
k m
= ω20 ,
(6) siendo w0 la frecuencia natural de oscilación del sistema, es decir la frecuencia con que oscilaría si no hubiera amortiguamiento. Por otra parte, identificamos la fuerza de amortiguamiento, que tiene dos características: 1. Es directamente proporcional a la velocidad; y, 2. Su dirección es contraria a la del movimiento; con el modelo: Fa = −2γ mv ( t ) = −bv ( t ), (7) siendo b la constante de amortiguamiento, quedando la relación entre constantes: γ =
b . 2m
(8) En conclusión, la ecuación 4 representa la ecuación de movimiento armónico amortiguado cuando actúan las fuerzas de restitución y de amortiguamiento, indicadas por las relaciones 5 y 7, respectivamente. En cuanto a la relación 6, entre las constantes, tenemos que la frecuencia de oscilación es: 1/ 2 ω = ( ω20 − γ 2 ) , lo que indica que la frecuencia de oscilación es menor que la frecuencia natural del sistema; y sólo si el amortiguamiento es nulo o despreciable las frecuencias serán iguales.
MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO Ecuación de Movimiento. Consideremos un sistema Masa-Resorte sobre una mesa horizontal sin fricción. En el Movimiento Armónico Simple la fuerza de restitución del resorte, F r = -kx, donde k es la constante de elasticidad y x la deformación (considerando que el origen de referencia es la posición de equilibrio), es la que mantiene el movimiento oscilatorio de la masa de acuerdo a la ecuación de movimiento que se obtiene a partir de la Segunda Ley de Newton,
−kx = ma, con m la masa; y, a = d2x/dt2, la aceleración; de donde: d2 x dt
+ ω0 2 x = 0,
2
(1)
siendo ω 0 = (k/m)1/2 la frecuencia natural de oscilación. La solución general de la ecuación 1, es: x1 ( t )
= C cos( ω0 t − δ),
(2)
donde C y δ son constantes que se determinan mediante las condiciones iniciales del movimiento. El movimiento descrito a través de la ecuación 2 tiene una amplitud constante en el tiempo, lo que indica que aun cuando pase “mucho” tiempo la energía mecánica del sistema se mantiene constante. La experiencia nos muestra que en general el movimiento de los sistemas oscilatorios tienden a disminuir su amplitud si no existe “algo” que los mantenga o los fuerce para mantener o aumentar su amplitud. Así que si tratamos de aproximarnos a realizar una descripción más apegada a la realidad debemos considerar la presencia de una fuerza adicional que “poco a poco” le quitará energía mecánica al sistema. Consideremos al sistema Masa-Resorte en el que además de la fuerza de restitución del resorte se tiene la presencia de una fuerza Fa(t) que trata de amortiguar el movimiento. El modelo para la fuerza de amortiguamiento, si es debida al movimiento de la masa a través de un medio (por ejemplo el aire), tiene dos características: 1)
Siempre se opone al movimiento, lo que significa que está en dirección contraria a la velocidad; y 2)
Es directamente proporcional a la magnitud de la velocidad.
La primera característica es general para las fuerzas de amortiguamiento; mientras que la segunda es la característica propia del modelo propuesto, es decir que otros modelos pueden tener otro tipo de dependencia para la fuerza de amortiguamiento. De acuerdo al modelo propuesto, la fuerza de amortiguamiento se puede escribir en la forma: Fa ( t )
= −bv ( t ),
(3)
donde b es la constante de amortiguamiento. Entonces la ecuación de movimiento de la masa, de acuerdo con la Segunda Ley de Newton, es:
−kx − bv = ma, donde m es la masa; a es la aceleración; k es la constante de elasticidad; y, x la posición, considerando que la posición de equilibrio es el origen de referencia. Sea ω 0 la frecuencia natural, con se puede escribir como: d2 x dt
2
+ 2γ
dx dt
ω 02 = k/m, y γ = b/2m el factor de amortiguamiento, entonces la ecuación de movimiento
+ ω0 2 x = 0. (4)
La ecuación 4 es la ecuación típica del Movimiento Armónico Amortiguado. Para obtener explícitamente a la posición en función del tiempo que satisfaga a la ecuación de movimiento, vemos que la función que buscamos debe ser igual a la primera y segunda derivada de la función excepto por una constante, y eso lo satisface la función exponencial. Consideremos como solución de la ecuación de movimiento a: x( t )
= Be nt ,
(5)
con B y n constantes por determinar. Sustituyendo la solución propuesta en la ecuación 4, tenemos:
n2
+ 2γ n + ω0 2 Be nt = 0.
resolviendo la ecuación cuadrática para n se tiene dos valores, n1
= − γ + ( γ 2 − ω0 2 )
1/ 2
; y, n 2
= −γ − ( γ 2 − ω0 2 )
1/ 2
,
de tal manera que la solución antes propuesta en la ecuación 5 ahora se expresa como: 2 1/ 2 2 − γ + ( γ − ω0 ) t x( t ) = B1e
2 1/ 2 2 − γ − ( γ −ω0 ) t . + B2e
Factorizando la primera parte de la dependencia exponencial, tenemos: x( t )
2 1/ 2 2 1/ 2 2 2 = e − γ t B1e ( γ − ω0 ) t + B 2e − (γ − ω0 ) t .
(6)
Las constantes B1 y B2 se determinan mediante las condiciones iniciales. La solución expresada en la ecuación 6 es la solución general para el movimiento para cuando γ es diferente de ω 0. Las características del movimiento resultante están dadas por la relación entre el factor de amortiguamiento γ y la frecuencia natural ω 0, que determina el valor del exponente de las funciones exponenciales que aparecen dentro de los corchetes; sin embargo, cualquiera que sea esta relación, la masa va a tender a detenerse debido al decaimiento exponencial indicado por la función exponencial que multiplica a las dos funciones dentro de los corchetes. En el caso de que γ es igual a ω 0 la solución indicada en la ecuación 6 se reduce a:
= e − γ t (B1 + B 2 ) = C1e − γ t .
x1 ( t )
(7)
Una segunda solución de la ecuación de movimiento en este caso es de la forma: x2 ( t)
= C 2 te − γ t ;
(8)
por lo que la solución general cuando γ es igual a ω 0, es: x( t )
= e − γ t ( C1 + C2 t ).
2.
Movimiento Sobreamortiguado.
(9)
Si el factor de amortiguamiento γ es mayor que la frecuencia natural ω 0, el radical en el exponente de las exponenciales de la solución 6 son menores que el factor de amortiguamiento,
(γ
2
− ω0 2 )
1/ 2
< γ ,
por lo que la función exponencial que multiplica a B1 crece más lentamente de lo que la función exponencial que se encuentra fuera de los corchetes tiende a cero. La velocidad de la masa en el movimiento sobreamortiguado es: v( t)
2 1/ 2 2 1/ 2 2 2 1/ 2 1/ 2 = e −γ t − γ + ( γ 2 − ω0 2 ) B1e ( γ −ω0 ) t + − γ − ( γ 2 − ω0 2 ) B 2 e −( γ −ω0 ) t .
(10)
Si las condiciones iniciales son x(0) = x0, y v(0) = v0, entonces, aplicadas a las ecuaciones 6 y 10 resultan las relaciones:
x0
= B1 + B 2 ;
v0 (11)
= − γ + ( γ 2 − ω0 2 )
1/ 2
B + − γ − ( γ 2 − ω 2 )1/ 2 B , 0 1 2
(12)
de donde se obtiene el valor de las constantes B1 y B2, resulta:
B1
=
v0
1/ 2 + γ + (γ 2 − ω0 2 ) x 0 , 1 / 2 2 2( γ 2 − ω0 )
(13)
− γ + ( γ 2 − ω 2 )1/ 2 x − v 0 0 0 B2 = . 2 1/ 2 2( γ 2 − ω 0 )
(14)
En el caso del sobreamortiguamiento la masa no tiene oportunidad de oscilar, y cualquiera que sean las condiciones iniciales, la tendencia del movimiento es la de llevar a la masa hacia la posición de equilibrio. La figura 1 muestra las características de este movimiento para la misma posición inicial y tres diferentes valores de velocidad inicial v 0 = 0.0 m/s
(línea gruesa), v0 = 10.0 m/s (línea punteada), y v 0 = -10.0 m/s (línea delgada), con x0 = 1.0 m, rad/s.
γ = 11.0 rad/s, ω 0 = 10.0
1.2
1
0.8 m t x n 0.6 o i c i s o P
0.4
0.2
0 0
0.2
0.4
H L
0.6
0.8
Tiempot s
Figura 1. Gráfica de la posición en función del tiempo, con los valores velocidad inicial de v 0 = 0.0 m/s (línea gruesa), v 0 = 10.0 m/s (línea punteada), y v 0 = -10.0 m/s (línea delgada).
MOVIMIENTO ARMÓNICO FORZADO Ecuación de Movimiento.
Consideremos un sistema Masa-Resorte en el que además de la fuerza de restitución del resorte se tiene la presencia de una fuerza Ff (t) que trata de forzar el movimiento de la masa. Si la fuerza de forzamiento es una función armónica en el tiempo, con frecuencia angular w f , y amplitud F 0, de la forma: Ff ( t ) = F0 cos( ω f t ), (1) la ecuación de movimiento de la masa, de acuerdo con la Segunda Ley de Newton, es: − kx + F0 cos( ω f t ) = ma, donde m es la masa; a es la aceleración; k es la constante de elasticidad; y, x la posición, considerando que la posición de equilibrio es el origen de referencia. Sea w0 la frecuencia natural, con w 02 = k/m, entonces la ecuación de movimiento se puede escribir como: d2 x dt
2
+ ω0 2 x =
2.
F0 m
cos( ω f t ).
(2)
Solución de la Ecuación de Movimiento.
Sabemos que la posición en función del tiempo dada por x 1 ( t ) = C cos( ω 0 t − δ ), (3) donde C y d constantes que se determinan con las condiciones iniciales, es solución general de la ecuación del Movimiento Armónico Simple, d2 x 2
+ ω0 2 x = 0,
(4) por lo que es parte de la solución de la ecuación de movimiento con forzamiento (ec. 2). La otra parte de la solución debe ser tal que al sustituirla en los términos de la izquierda en la ecuación de movimiento (ec. 2), resulte la función armónica de la derecha de la igualdad; por lo que de manera natural podemos proponer que la segunda parte de la solución sea de la forma: x 2 ( t ) = B cos( ω f t ), (5) donde B es la constante. Para determinar a la constante B sustituimos la solución 5 en la ecuación 2, obteniendo: dt
(− ω
2 f
+ ω0 2 ) B cos( ωf t ) =
F0 m
cos( ω f t ),
de donde se tiene que el valor de la constante B, para w f ¹ w0, es: B=
(
m ω0
F0 2
− ω f 2 )
.
(6) Entonces la solución general completa de la ecuación de movimiento resulta: x( t ) = x 1 ( t ) + x 2 ( t ) x( t )
= C cos( ω0 t − δ) +
F0
(
m ω0
2
− ω f 2 )
cos( ω f t ).
(7) Por lo tanto el movimiento en general corresponde a una superposición de dos movimientos armónicos que tienen diferente amplitud y diferente frecuencia. Dependiendo de las condiciones iniciales serán los valores de las constantes C y d. La velocidad del movimiento de la masa es: v( t)
= −Cω 0 sen( ω0 t − δ ) −
F0 ω f
(
m ω0
2
− ω f 2 )
sen( ω f t );
(8)
y la aceleración es: a( t )
2
2
= −Cω 0 cos( ω 0 t − δ ) +
(
F0 ω f
m ω0
2
− ω f 2 )
cos( ω f t ).
(9) Supongamos que las condiciones iniciales son x(0) = x 0, y v(0) = v0, entonces al aplicarlas a las ecuaciones 7 y 8, obtenemos las relaciones: x0 v0
= C cos( − δ ) +
(
m ω0
= −Cω0 sen( − δ );
F0 2
− ω f 2 )
,
(10) (11)
de donde se determina el valor de las constantes C y d. Dependiendo de la frecuencia del forzamiento respecto a la frecuencia natural será la importancia del valor del segundo término en la relación 10 comparado con el valor de la posición inicial x 0 para determinar el valor de la constante C; y, de ahí su importancia al comparar los dos términos de la solución 7. Las figuras 1 a 4 muestran las gráficas de la posición (ec. 7) en función del tiempo para distintos valoras de la frecuencia de forzamiento. Los parámetros que son iguales en todas las gráficas son: w0 = 10.0 rad/s; F 0 = 10.0 N; m = 1.0 kg; x 0 = 1.0 m; y, v0 = 0.0 m/s. Dependiendo de la frecuencia de forzamiento es la forma en que se “modula” la amplitud. Si la frecuencia de forzamiento es cercana a la frecuencia natural (figuras 2 y 3), es decir que w 02 - wf 2 es grande, la amplitud del movimiento resultante de lugar a “pulsos” o “paquetes” de oscilaciones, es decir que la amplitud al inicio de estos paquetes comienza en su valor menor (prácticamente nula en la figura 2), para luego alcanzar su máximo, y de nuevo volver a su valor menor. Si la frecuencia de forzamiento no es cercana a la frecuencia natural, es decir que w 02 - wf 2 es pequeña, entonces la variación en la amplitud se manifiesta en una forma diferente, como se ilustra en las figuras 1 y 4. 1 2
0.5
m t x n o i c i s o P -
1 m t x n 0 o i c i s o P
0
-
1
-
2
0.5
H L
-1
0
2
4
6
8
10
12
0
Tiempot s
5
10
15
H L 20
25
30
Tiempo t s
Figura 1. Grafica de la posición en función del tiempo, con w f = 1.0 rad/s. Figura 2. Grafica de la posición en función del tiempo, con w f = 9.7 rad/s. 2 1
1 0.5 m t x n o i c i s o P
m t x n 0 o i c i s o P
-
0
0.5
1
-1
-
2 0
2
4
6
H L
8
Tiempo t s
10
12
14
0
2
4
6
H L 8
10
Tiempot s
Figura 3. Grafica de la posición en función del tiempo, con w f = 11.0 rad/s. Figura 4. Grafica de la posición en función del tiempo, con w f = 14.1 rad/s. 3. Resonancia.
Para fijar algunas ideas respecto a la amplitud y la importancia relativa de los dos términos de la solución general (ec. 7), consideremos que la velocidad inicial es nula, por lo que la fase inicial resulta nula (ec. 11), obteniéndose a la posición en función del tiempo, ecuación 7 con el valor de la constante C dada por la ecuación 10, como: F0 F0 cos( ω0 t ) + x( t ) = x 0 − cos( ω f t ). 2 2 2 2 ( ) ( ) ω − ω ω − ω m m 0 f 0 f (12) 2 2 Si la diferencia w 0 - w f es grande, la amplitud del primer término de la ecuación 12 tiende a ser igual a x0, y el segundo término tenderá a ser solo una pequeña perturbación. Por otra parte, si la diferencia w02 - wf 2 es pequeña, entonces x0 es despreciable en el primer término de tal forma que la ecuación 12 se puede escribir de la siguiente manera: [1] F0 − ( ω ) + ( ω ) x( t ) = m(ω0 2 − ω f 2 ) [ cos 0 t cos f t ]. Utilizando la identidad trigonométrica de la diferencia del coseno de dos ángulos diferentes, se puede transformar la ecuación para que quede de la forma: 2F0 ( ω0 − ω f ) sen ( ω0 + ωf ) t . x( t ) = sen t m(ω0 2 − ωf 2 ) 2 2 (13) En la ecuación 13, la constante por la primera de las funciones armónicas tiene una frecuencia angular muy pequeña, por lo que constituye la “envolvente” o amplitud de la segunda función armónica que tiene una frecuencia aproximadamente igual a w 0. La figura 5 muestra la gráfica de la función de la posición en el tiempo (ec. 13), en las regiones oscuras en realidad se tiene una gran cantidad de oscilaciones (ver las escalas de tiempo y de posición).
10000 m 5000 t x n 0 o i c i s o - 5000 P -
10000 0
2000
4000
6000
H L 8000
10000
12000
Tiempo t s
Figura 5. Grafica de la posición en función del tiempo, con w f = 10.01 rad/s.
La figura 6 muestra la amplitud de las oscilaciones, F 0/m(w0 2-wf 2), en función de la frecuencia angular wf considerando que x0 = 0.0 m, y v0 = 0.0 m/s. 2
1.75
Figura 6. Grafica de la
1.5 amplitud en función de la frecuencia angular wf . 1.25 Para la frecuencia angular w f = 1 w0 se tiene una discontinuidad en la solución general 0.75 presentada, por lo que la 0.5 solución indicada en la ecuación 7 no es aplicable en 0.25 este caso. Si la frecuencia de forzamiento 0 5 10 15 20 Frecuenciawf rad s es igual a la frecuencia natural, la segunda parte de la solución propuesta (ec. 5) ya no es aplicable; sin embargo, se debe proponer una solución que involucre funciones armónicas con la frecuencia angular de forzamiento; en este caso se propone como segunda parte de la solución a: x 2M ( t ) = t[B1 cos( ω f t ) + B 2 sen( ω f t ) ]. (14) Sustituyendo la solución propuesta en la ecuación de movimiento (ec. 2), tenemos: 2 2ωf [ − B1 sen( ω f t ) + B 2 cos( ωf t ) ] + ωf t[ − B1 cos( ωf t ) − B 2 sen( ω f t ) ] m m B d d u t u t i i l l p p m m A A
HL
+ ω0 2 t[B1 cos( ωf t ) + B 2 sen( ωf t ) ] =
Considerando wf = w0, queda la relación: 2ω f [ − B1 sen( ω f t ) + B 2 cos( ω f t ) ] =
F0 m
F0 m
cos( ωf t ).
cos( ω f t ),
de donde se obtiene a las constantes: B1 = 0, B2
=
F0 2m ω 0
;
de tal manera que la solución general completa queda en la forma: x( t )
= C cos( ω0 t − δ) +
F0 2mω0
t sen( ω0 t ).
A partir de esta expresión obtenemos a la velocidad: v( t)
= −Cω0 sen( ω0 t − δ ) +
F0 2mω0
[ sen( ω0 t ) + tω0 cos( ω0 t ) ];
(16)
y la aceleración resulta: a( t )
= −Cω0 2 cos( ω0 t − δ ) +
F0 2m ω 0
[2ω
2
0
(15)
]
cos( ω 0 t ) + tω 0 sen( ω 0 t ) .
(17) Si las condiciones iniciales son x(0) = x 0, y v(0) = v0, entonces al aplicarlas a las ecuaciones 15 y 16 se obtienen las relaciones para determinar a las constantes C y d: x 0 = C cos( − δ ), (18) v 0 = −Cω0 sen( − δ). (19) La figura 7 muestra la gráfica de la posición en función del tiempo con los valores w 0 = 10.0 rad/s; F0 = 10.0 N; m = 1.0 kg; x 0 = 1.0 m; y, v0 = 0.0 m/s. En la gráfica se observa la forma de crecimiento lineal en la amplitud del movimiento; esto es de esperarse al considerar que la frecuencia de forzamiento tiende a la frecuencia natural el período de la envolvente tiende a infinito (ver figura 5). Entonces, podemos concluir que cuando la frecuencia de forzamiento es igual a la frecuencia natural tenemos resonancia en la amplitud, y además esta es la forma más eficiente de proporcionarle energía al sistema, es decir que el sistema tiene también resonancia en la energía.
7.5
5
2.5 m t x n o i c i s o P
-
0
2.5
-5
-
7.5 0
2.5
5
7.5
H L 10
12.5
15
Tiempot s
Figura 7. Grafica de la posición en función del tiempo, con w f = w0.
Esto se cumple en general para las condiciones de v 0 = 0, y x0 = 0, aun cuando la diferencia w 02 - wf 2 no sea pequeña. [1]
ANÁLISIS DE ENERGÍAS DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO Energía Mecánica.
La energía mecánica del sistema Masa-Resorte, con amortiguamiento es: E m = E k + E pr , (1) con Ek la energía cinética de la masa: Ek
=
1 mv 2 , 2
(2) siendo m la masa, y v la rapidez; y, E pr la energía potencial asociada a la fuerza de restitución del resorte: E pr =
1 2 kx , 2
Em ( t)
=
(3) siendo k la constante de elasticidad del resorte, y x el desplazamiento de la masa respecto a la posición de equilibrio. Consideremos que la posición de la masa en función del tiempo está dada por la relación: x( t ) = Ce − γ t cos( ωt − δ ), (4) en donde C es una constante, g es el factor de amortiguamiento que es igual a b/2m, con b la constante de amortiguamiento; w la frecuencia angular; t el tiempo; y, d la fase inicial. La velocidad de la masa es: dx( t ) = −Ce −γ t [ γ cos( ωt − δ ) + ωsen( ωt − δ) ]. v( t) = dt (5) Sustituyendo las expresiones de la posición y la velocidad en las de las energías cinética (ec. 2) y la energía potencial del resorte (ec. 3), se tiene la energía mecánica (ec. 1) en función del tiempo; 1 2 mC 2 e −2 γ t [ γ cos( ωt − δ) + ωsen( ωt − δ) ] 2
+
1 kC 2 e −2 γ t cos 2 ( ωt − δ ). 2
desarrollando el binomio al cuadrado, y considerando la relación de la frecuencia natural w 0: 1/ 2 k ω0 = , m y la relación de la frecuencia angular w: ω2 = ω0 2 − γ 2 , la energía mecánica se escribe como: γ 2 γω 1 ( ) ( ) ω − δ + ω − δ E m ( t ) = kC 2 e −2 γ t 1 + cos [ 2 t ] sen [ 2 t ] 2 ω0 2 ω0 2 Em ( t )
1
= kC 2 e −2 γ t f ( t ),
(6) siendo f(t) la función: γ 2 γω f ( t ) = 1 + cos[ 2( ωt − δ) ] + sen[ 2( ωt − δ) ]. 2 ω0 ω0 2 (7) Si T es el período de oscilación con T = 2p/w, la función f(t) es una función periódica con período T/2. En la figura 1 se muestra a la función f(t) para los valores particulares de masa m = 1.0 kg, constante de elasticidad k = 1.0 N/m, fase inicial d = 0, constante C = 1.0 m y constante de amortiguamiento b = 0.2 kg/s. 2
1 0.8 t 0.6 f
0.4 0.2 5
H L
10
15
20
25
Tiempot s
Figura 1. Gráfica de la función f(t) dada en la ecuación 7.
En la figura 2 se presenta la gráfica de la función que multiplica a la f(t) en la ecuación 6, correspondiente al decaimiento exponencial. 0.5 m0.4 o t n0.3 e i m0.2 i a c e D0.1
5
H L
10
15
20
25
Tiempot s
Figura 2. Gráfica de la función del tiempo que multiplica a f(t) en la ecuación 6.
En la figura 3 se muestra las gráficas de la energía cinética, energía potencial del resorte y la energía mecánica en función del tiempo de un movimiento amortiguado, también se incluye la línea de la energía total que es igual a la energía mecánica inicial, γ 2 γω 1 E m0 = kC 2 1 + cos [ 2 ] sen [ 2 ] − δ + − δ . 2 ω0 2 ω0 2 (8) La diferencia entre la energía mecánica y la energía mecánica inicial es el trabajo realizado por la fuerza de amortiguamiento. 0.5
0.4 J E a 0.3 i g r e n E0.2
0.1
5
10
H L 15
20
25
Tiempot s
Figura 3. Gráfica de las energías en función del tiempo. La línea gruesa descendente es la
energía mecánica, y la ascendente es la energía que se pierde por el amortiguamiento. Las líneas a trazos son las energías potencial (comenzando aproximadamente en 0.5 J) y cinética (comenzando aproximadamente en cero). 2.
Factor de Calidad Q.
El cambio en la energía mecánica se debe a que la fuerza de amortiguamiento siempre es contraria a la dirección del movimiento, por lo que su trabajo en el tiempo es negativo, es decir, igual al cambio en la energía mecánica. En particular, la fracción de energía mecánica perdida en cada oscilación permite definir al factor de calidad o simplemente factor Q, de manera que: ∆ E m ( t ) 2π = . Em ( t ) Q (9) De la ecuación 6, el cambio en la energía mecánica en un período de oscilación es: ∆E m = E m ( t + T ) − E m ( t ) =
1 1 kC 2 e −2 γ ( t + T ) f ( t + T ) − kC 2 e −2 γ t f ( t ) 2 2
1
∆E m = kC 2 e −2 γ t f ( t ) [e −2 γ T − 1] 2
∆Em = E m ( t ) e −2γ T − 1;
de tal manera que la energía perdida en cada oscilación depende del tiempo, por lo que se pierde más energía en las primeras oscilaciones que en las finales. Por otra parte, la fracción de energía mecánica pérdida en cada oscilación es independiente del tiempo, ∆E m ( t ) = e −T / τ − 1, Em ( t ) (10) siendo t una constante de tiempo dada por: τ=
1 m = . 2γ b
(11) Combinando las ecuaciones 9 y 10, tenemos en general que el factor de calidad Q toma la forma: 2π Q= . −T / τ −1 e (12) -T/t Como e es menor que 1, tenemos que: e −T / τ
− 1 = 1 − e − T / τ < 1;
por lo que en general, el factor de calidad Q es mayor a 2p. De hecho si el amortiguamiento es "grande" (pero el movimiento aun es subamortiguado), la cantidad e -T/t puede ser cercana a cero, por lo que el factor de calidad es aproximadamente igual a 2p. Por otra parte, si el amortiguamiento es “pequeño”, es decir que el valor de b es pequeño, la constante de tiempo es grande, por lo que el cociente T/t es una cantidad pequeña, de tal forma que la función exponencial en la ecuación 8 se puede aproximar mediante los primeros términos del desarrollo en serie de Taylor como T
e −T / τ
≈ 1−
E0 ( t)
=
E 0 ( τ)
= kC 2 e −1
;
τ quedando la fracción de energía perdida por cada oscilación (ec. 10), como: ∆E m ( t ) T Tb = = . τ m Em ( t) (14) De acuerdo a la ecuación 9, el factor Q, resulta 2π m m =ω . Q= T b b (15) Una constante de amortiguamiento “pequeña” dará un factor Q “alto”, indicando que la pérdida de energía mecánica por cada oscilación es reducida. Para tratar de dar un sentido a la constante de tiempo t, consideremos a E 0(t) igual al producto de los términos que están multiplicando a la función f(t) en la ecuación 6, 1 kC 2 e −t / τ . 2
(16) Esta función evaluada en t = 0, toma el valor E 0(0) = kC2/2; mientras que evaluada en el tiempo t = t, es: E 0 ( τ)
1
2
= (0.37) E 0 ( 0), es decir que en el tiempo t = t la función tiene un 37% del valor inicial. Entonces, el sentido de la constante de tiempo t es que después de un tiempo t = t, la energía mecánica prácticamente decae o se pierde en un 63%. Si consideramos el tiempo t = 5t (la energía mecánica es prácticamente el 0.67% de la energía inicial), se podría considerar, para propósitos prácticos, que la energía mecánica se ha perdido en su totalidad; sin embargo, se debe tener cuidado pues en este tiempo la amplitud de la oscilación (ver ec. 4), aun es el 8.2% de la amplitud “inicial”, aproximadamente. En todo caso, para el tiempo t = 10t, la amplitud cae hasta el 0.67% de la inicial, mientras que la energía mecánica es el 0.004% de la inicial, y se puede considerar que el sistema se ha detenido.
