SISTEMAS DE RESORTE Y MASA: “MOVIMIENTO FORZADO”
LAURA DANIELA BARRIGA GÓMEZ - 1097399798 ANDRÉS FELIPE BUITRAGO FERIA -1097400317 KARLA DÍAZ SALAZAR - 1094927448
UNIVERSIDAD DEL QUINDIO FACULTAD DE INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA CIVIL ARMENIA-QUINDIO 2013
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CONTENIDO
Pág. 1. Introducción ……………………………………………………………………...3 2. Justificación ……………………………………………………………………...3 3. Objetivos…………………………………………………………………………..4 4. Marco teórico………………………………………………………………… .....4 5. Conclusiones…………………………………………………………………....17 6. Referencias bibliográficas……………………………………………………..18
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INTRODUCCIÓN
Los sistemas de resorte y masa están descritos por una ecuación diferencial de segundo orden y se puede utilizar por varios tipos de este sistema, entre los cuales se encuentran: -
Movimiento no amortiguado.
-
Movimiento amortiguado.
-
Movimiento Forzado con amortiguamiento.
Las formas de esta ecuación de segundo orden se presentan y aplican en el análisis de problemas en diversas áreas de la ciencia e ingeniería, enfocados en la elongación, amortiguamiento y resistencia entre otras características de un movimiento forzado en un resorte.
JUSTIFICACIÓN
Los sistemas de movimiento masa/resorte están establecidos en una ecuación diferencial de segundo orden, que a medida que se incrementa en el tema se pueden agregar nuevas variables tales como la elasticidad, amortiguamiento y fuerza externa. Pero siempre manteniendo la misma proporción con la misma ecuación Diferencial principal.
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OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL: Conocer los diferentes tipos de Movimientos del sistema resorte- masa aplicando los métodos vistos en clase para resolver estas ecuaciones diferenciales de orden superior.
OBJETIVOS ESPECIFICOS:
Conocer la forma de la ecuación diferencial de segundo orden para poder darle solución y hallar una solución generalizada para cualquier problema dado.
Diferenciar cuales son las características que tiene un movimiento forzado, las cuales los movimientos libre amortiguado y no amortiguado no tienen.
Entender cuál es la aplicación del tema: sistemas resorte/masa “movimiento forzado” y como se utiliza.
MARCO TEÓRICO
Los primeros conceptos para comprender esta ecuación nos los dan las siguientes dos leyes:
LEY DE HOOKE: Suponga que un resorte se suspende verticalmente de un soporte rígido y luego se le fija una masa
a su extremo libre. Por
supuesto, la cantidad de alargamiento o elongación del resorte depende de la masa; masas con pesos diferentes alargan el resorte en cantidades diferentes. Por la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza restauradora
opuesta a la dirección de elongación y proporcional a la
cantidad de elongación donde
y es expresada en forma simple como
,
es una constante de proporcionalidad llamada constante de ~4~
resorte. El resorte se caracteriza en esencia por el número. Por ejemplo, si una masa que pesa 10 Kilogramos hace que un resorte se alargue metro, entonces
implica que k = 20 kg/m.
SEGUNDA LEY DE NEWTON Después de que se une una masa m a un resorte, ésta alarga el resorte una cantidad equilibrio en la cual su peso
restauradora
y logra una posición de
se equilibra mediante la fuerza
. Recordemos que el peso se define mediante
,
donde la masa se mide en kilogramos o gramos y g = 9.8 m/s2, o bien 980 cm/s2, respectivamente.
La condición de equilibrio es por una cantidad
ó
—
. Si la masa se desplaza
de su posición de equilibrio, la fuerza restauradora del resorte
es entonces
Suponiendo que no hay fuerzas restauradoras que actúan
sobre el sistema y suponiendo que la masa vibra libre de otras fuerzas externas.
Iniciando con las ecuaciones diferenciales de resorte-masa se tiene primero la Ecuación diferencial de un movimiento libre no amortiguado, la cual está dada por la siguiente expresión:
Donde ~5~
Ahora La segunda forma de la ecuación general del sistema resorte-masa representaría un movimiento libre amortiguado la cual está dada por:
Donde:
Ahora La Tercera forma de la ecuación general del sistema resorte-masa representaría un movimiento forzado con amortiguamiento la cual está dada por:
Donde
Suponga que ahora se toma en consideración una fuerza externa sobre una masa vibrante en un resorte. Por ejemplo
que actúa
podría representar una
fuerza motriz que causa un movimiento vertical oscilatorio del soporte del resorte. La inclusión de f (t) en la formulación de la segunda ley de Newton da la ecuación diferencial de movimiento forzado o dirigido. EJEMPLOS: 1) Se Resuelve la ecuación diferencial homogénea (1) ~6~
Aplicando la solución de la forma
y derivando se obtiene:
al remplazar en la ecuación diferencial (1), se obtiene:
utilizando la ecuación auxiliar
√
√
, Como las soluciones encontradas son raíces complejas conjugadas, se utiliza la ecuación:
(2)
~7~
Al remplazar en la ecuación diferencial (2) se obtiene:
Se resuelve la ecuación diferencial no Homogénea:
(3) La solución particular tiene la forma: (4)
Y derivando se obtiene:
Al remplazar en la ecuación diferencial (3), se obtiene:
=
=
Se halla el valor de A y B: (
~8~
)
(
)
Al remplazar A y B en la ecuación diferencial (4), se obtiene:
Por último se remplaza
en la ecuación:
:
2) Cuando una masa de 2 kilogramos se une a un resorte cuya constante es 32N/m, este llega al reposo en la posición de equilibrio, y con una fuerza igual a
se aplica al sistema. Determine la ecuación de
movimiento en ausencia de amortiguamiento.
Al remplazar en la ecuación diferencial de movimiento forzado ~9~
Se obtiene:
Se Resuelve la ecuación diferencial homogénea: (1) Aplicando la solución de la forma
y derivando se obtiene:
Al remplazar en la ecuación diferencial (1), se obtiene:
Y se utiliza la ecuación auxiliar:
√ √ ~ 10 ~
, Como las soluciones encontradas son raíces complejas conjugadas, se utiliza la ecuación:
(2) Al remplazar en la ecuación diferencial (2) se obtiene:
Se resuelve la ecuación diferencial no Homogénea:
(3)
La solución particular tiene la forma: (4)
Y derivando se obtiene:
Al remplazar en la ecuación diferencial (3), se obtiene:
~ 11 ~
Se halla el valor de A y B:
(
)
~ 12 ~
Al remplazar A y B en la ecuación diferencial (4), se obtiene:
Y por último se remplaza
en la ecuación:
:
3)
Al remplazar en la ecuación diferencial de movimiento forzado
Se obtiene: Se Resuelve la ecuación diferencial homogénea: (1) Aplicando la solución de la forma
y derivando se obtiene:
Al remplazar en la ecuación diferencial (1), se obtiene:
=
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√
√
Como las soluciones encontradas son raíces complejas conjugadas, se utiliza la ecuación:
(2) Para llegar a ello se realiza:
Si
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Al remplazar en la ecuación diferencial (2) se obtiene:
Se resuelve la ecuación diferencial no Homogénea (primera parte):
(3) La solución particular tiene la forma: (4)
Y derivando se obtiene:
Al remplazar en la ecuación diferencial (3), se obtiene:
Se halla el valor de A y B:
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Al remplazar A y B en la ecuación diferencial (4), se obtiene:
Se resuelve la ecuación diferencial no Homogénea (segunda parte):
Al remplazar en la ecuación diferencial (3), se obtiene:
Se halla el valor de A y B:
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Al remplazar A y B en la ecuación diferencial (4), se obtiene:
La solución general de de la ecuación diferencial no homogénea está dada por:
Y por último se remplaza
en la ecuación:
:
CONCLUSIONES El movimiento forzado dentro de los sistemas de resorte y masa abarca completamente los temas de movimiento libre no amortiguado y el movimiento libre amortiguado, ya que para la solución de la ecuación diferencial del movimiento forzado amortiguado es necesario: 1) tener claro el concepto de los dos temas anteriores, y 2) saber utilizar e implementar las ecuaciones de los temas, ya que estas son una base fundamental de la tercera.
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A partir de la ley de Hooke y de la segunda ley de Newton se pueden obtener las primeras fórmulas tanto para el movimiento libre no amortiguado como para cada uno de los siguientes temas. En la ecuación diferencial del movimiento forzado se presenta una parte de la ecuación como base única e irremplazable y otra segunda en la que se conforma de constantes de proporcionalidad de acuerdo al estado o las condiciones en las que se encuentre el resorte como: restauración, amortiguamiento, elasticidad, distancia de elongación, etc... La característica principal del sistema resorte/masa en movimiento forzado es que en el sistema se presenta una fuerza ejercida sobre el resorte u objeto, en la cual, la base también se encuentra a su vez en movimiento, situación que no ocurría en ninguno de los movimientos anteriores.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Zill G. Dennis. “ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera”. México D.F. Grupo editorial Iberoamérica S.A.1982.pag.195-205.
Kurmyshev Evguenii. “fundamentos de métodos matemáticos para física e ingeniería”. México D.C. Editorial Limusa. 2003. Pag.52.
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