Introducción Cuandot enemo mosunsi s t ema mama masar es or t ey mov emo mosl ama masadema maner aquee l r esor t eexper i ment aunael ongaci ón,yl uegosol t am mo osl ama masa,est acome menzar áa o s c i l a ra l r e de do rdes upunt odee q ui l i br i odema ma ne r ai nde fini da .Ene lc a sof í s i c or e al e s t onos uc e de ,y aquee x i s t e nf ue r z a sdi s i pat i v a soder o z ami e nt ol a sc ua l e ss o n c a us ant e sdee x t i ng ui re lmo v i mi e nt o ,de s apar e c i e ndoas íl a sos c i l ac i o ne s .Pe r o¿ Qu Qué suceder í asiapl i camo mosunaf uer zaquecont r arr est eelamo mort i guami mi ent o? Enest ei nf orme meanal i zar emo mosl ascar act erí st i casdeunosci l adorsome met i doauna f uer zai mpul sorasenoi dal ;conl aayudadelmat l abyelori gi nvamo mosapoderr esol ver l aecuaci óndi f er enci aldemo movi mi ent o,corr oborarqueelmovi mi ent odespuésde a l g una so s c i l ac i o ne st i e nel af o r ma maA( w) c o s ( wt +δ)ymo most r argr aficasquepermi mi t anver e lc ompo r t ami e nt odel asde pe nde nc i asx ( t ) , v ( t ) ,del aampl i t uddel aso s ci l ac i o ne se n f unc i ó n del af r e c ue nc i aang ul ardel af ue r z ai mpul s or a ( w) ,de lde s f as aj ee nt r el a f uer zai mpul sorayelmovi mi ent or esul t ant e( e nf unc i ó ndel a sf r e c ue nc i aang ul a rde δ) l af ue r z ai mpul s or a ( w) .
Pr ocedi mi ent o Conl aayudadelMat l abseconst ruyer ondependenci asx( t )yv( t )deunsi st ema ma o sc i l at o r i o ,e lc ualt i e neunaec uac i ó ndi f e r e nc i aldemo mo v i mi e nt oc or r e s po ndi e nt ea:
F 2 ´ ´ + 0 cos ( wt ) …( x´ =−w0 x −2 γ x 1) m ó
´ ´ + A0 cos (wt ) …( x´ =−w0 x −2 γ x 2) 2
Donde
w0
e sl af r e c ue nc i ana t ur aldemo mo v i mi e nt o ,
γ
esl aconst ant ede
amo mort i guami mi ent oyw esl af r ecuenci adeosci l aci óndel af uer zai mpul sor a. y s ec ompar ar onconl asdependenci asx( t )yv( t )enelmovi mi ent oamor t i guado. Sec ompar ól asde pe nde nc i asx( t )yv( t )de ls i s t e ma mao sc i l at o r i opar adi f e r e nt e s c ondi c i o ne si ni c i al e sys ei de nt i fic oe lr é g i me nt r ans i t o r i oye lr é g i me ne s t ac i o nar i o . Conl aayudadelMat l abseconst ruyóelespect r odelosci l adorysecomp mparól os r e g í me ne st r ans i t or i oyes t ac i o nar i o .
Sec ons t r uy óe le s pe c t r ode lo sc i l ado rpar adi f e r e nt e sv al o r e sde
w0
ys ei de nt i fic ó
quéparámet r osi nfluyenenl af r ecuenci adel asosci l aci onesenelr égi men e s t ac i onar i o. Haci endousodelOri gi n6. 0secor r obor óqueelmovi mi ent oqueseobt i eneenel r é g i me ne s t a ci o na r i ov i e nedadopo rl af o r mul a: x( t ) =A( w) cos( wt …. ( 3) , δ) s ec al c ul ar o nl o sde s f as aj e spar adi f e r e nt e sf r e c ue nc i asang ul ar e sdel af ue r z a i mpul sor aysegr aficól adependenci aδ( w)par adi f e r e nt e sv al or e sde
γ
.
Sec a l c ul a r o nl o sv al o r e sdeApar adi f e r e nt e sv a l o r e sd ew,s ee nc o nt r óe lmá xi mo v al ordeAysede t er mi nol af r ecuenci ader esonanci a.
RESULTADOS 1.Comosepuedenot ar ,l afigur a1. amuest r al agraficadel aposi ci ónenf unci ón delt i empodeunosci l adorsomet i doal af uer zai mpul sor asenoi dal( movi mi ent o f orz ado)ysuper puest al agr aficacuandol aampl i t uddel af uer zasenoi dales0 ( movi mi ent oamort i guado) . Comosepuedeobser varenelcasodelmovi mi ent oamort i guadoelosci l ador empi ezaamover se,per ol aampl i t uddel asosci l aci onessehacecadavez pequeñahast aqueseapr oxi maa0,est oqui er edeci rqueelosci l adorse empi ezaadet ener .Enelcasodelmovi mi ent of orz adoelosci l ador empi ezaa mover seyl aampl i t uddel asosci l aci onesdecaehast aquedespuésdeun t i empol aampl i t udse mant i enees t abl e.Ent oncessev equepar at i empos cor t osl osmovi mi ent ossec ompor t andemaner apar eci da,mi ent asquepar a t i empospr ol ongadosenelmovi mi ent oamort i guadoelosci l adorpr áct i cament e sedet i eneyenelmovi mi ent of orz adoelosci l ador secomport ademaner a par ec i daaunmovi mi ent oar móni cos i mpl e.
( a)
( b) Fi gur a1 Enl at abl a1seobserv al aposi ci ónyelt i empodespuésdeal gunasosci l aci ones dondel aampl i t uddel aosci l aci ónesmáxi ma( dat osobt eni dosdelpr ogr amaen Mat l a b) .Eli nt e r v a l odet i e mpoe nt r ec adac r e s t ae se lpe r i o do ;pa r ae nc o nt r are l per i odoset omaráelpr omedi odeal gunosi nt er val osdet i empo.
Posi ci ón( m) 0. 1855 0. 1856 0. 1856 0. 1855 0. 1856 0. 1855 0. 1855
Ti empo( s) 41. 0524 44. 1838 47. 3216 50. 4364 53. 5929 56. 7172 59. 8569 Tabl a1
Elpr omedi odel osi nt erv al osdet i empoes3. 13575s,est acant i dades apr oxi madament eelper i ododelmovi mi ent odespuésdeal gunasosci l aci onesy l af r ecuenci aesapr oxi madament e0. 31890Hz . e r i o rl asde pe nde nc i asx ( t )yv ( t )de lmo v i mi e nt of o r z a dos e 2.Enelcasoant const r uye r onconpar ámet r os
w0
=3,
γ
=0. 5,w=2,
A 0
=1yc on
c o ndi c i o ne si ni c i a l e sx( 0) =1yv( 0) =0,¿ Cuá nt oc ambi a r ál ag r a fic as il as c ondi c i o ne si ni c i al e ss o nx ( 0) =0yv ( 0) =1? Comosepuedeobser varenl afigur a2. asecompar al asgr aficasdel aposi ci ón e nf unc i ó nde lt i e mpopa r adi s t i nt asc o ndi c i o ne si ni c i a l e s ;s eno t aq uepa r a
t i empospequeñosl asgraficassondi st i nt as,mi ent r asquepar at i empos pr ol ongadosl asgr aficasses uper ponendemaner aquenosepuededi f er enci ar unadel aot r acomosit uvi er anunaf or madefini daol i mi t equenodependede l o sval o r e si ni c i al e s .Ent o nc e se lc ompo r t ami e nt odel af unc i ó nx ( t )par a t i empospequeñosdependedel ascondi ci onesi ni ci al esmi ent r asquepara t i empospr ol ongadosnodependedel ascondi ci onesi ni ci al es. Enl at abl a2seobserv al aposi ci ónyelt i empodespuésdeal gunasosci l aci ones do ndel aampl i t uddel aos c i l ac i ó ne smáx i ma( x ( 0) =0yv ( 0) =1) .
Posi ci ón( m) 0. 1855 0. 1856 0. 1854 0. 1856 0. 1852 0. 1853 0. 1856
Ti empo( s) 41. 0099 44. 1658 47. 2884 50. 4657 53. 5640 56. 7700 59. 8753 Tabl a2
Elpr omedi odel osi nt erv al osdet i empoes3. 14423s,est acant i dades apr oxi madament eelper i ododelmovi mi ent odespuésdeal gunasosci l aci onesy l af r ecuenci aesapr oxi madament e0. 31804Hz .
( a)
( b) Fi gur a2
Sepuedeni dent i ficardospart esenl agr aficadelmovi mi ent of orz ado,l apart e t r a ns i t or i a( v e rfig 3. a)yl apar t ees t ac i onar i a( v e rfig 3. b) .
( a)
( b) Fi gur a3
ag r a maf ás i c ooe s pe c t r ode lo sc i l ado re sl agr afic adel av e l o ci dadv sl a 3.Eldi po s i c i ó ndel apa r t í c ul a .Pa r ae lc a sode lmo v i mi e nt oar mó ni c os i mpl ee l espect r oesunael i pse( verfig4. a)mi ent r asqueparaelcasodelmovi mi ent o amort i guadoesunaespi r all ogar í t mi ca( verfig4. b) . Comosepuedeobserv are n l afig ur a4. ce le s pe c t r ode lmo v i mi e nt of o r z a do ,e ne lr é g i me ndet r a ns i c i ó ne l espect r oseapr oxi maaunaespi r alyenelr égi menest aci onari oseapr oxi maa unae l i ps e .
( a)
( b)
( c) Fi gur a4 4.Lafigur a5muest r aelespect r odelosci l adorc on e s pe c t r ode lo sc i l ado rc o n
w0
w0
=1( a)yt ambi é ne l
=4( b) .
Lafigur a6muest r al adependenci ax( t )par acadacaso,seobserv aquecon
w0 con
=1l aampl i t uddel asosci l aci onesdelr égi menest aci onari oesmayorque
w0
=4.
Enl at abl a3seobserv al aposi ci ónyelt i empodespuésdeal gunasosci l aci ones dondel aampl i t uddel aosci l aci ónesmáxi macon
Posi ci ón( m) 0. 2557 0. 2557 0. 2557 0. 2557 0. 2557 0. 2557 0. 2557
w0
=1.
Ti empo( s) 38. 7773 41. 9188 45. 0604 48. 2020 51. 3436 54. 4852 57. 6268 Tabl a3
Elpr omedi odel osi nt erval osdet i empoes3. 141583s,est acant i dades apr oxi madament eelper i ododelmovi mi ent odespuésdeal gunasosci l aci onesy l af r ecuenci aesapr oxi madament e0. 318314Hz . Enl at abl a4seobserv al aposi ci ónyelt i empodespuésdeal gunasosci l aci ones dondel aampl i t uddel aosci l aci ónesmáxi macon
Posi ci ón( m) 0. 0821 0. 0821 0. 0822 0. 0822
Ti empo( s) 37. 7985 40. 9461 44. 0677 47. 1949
w0
=4.
0. 0822 0. 0822 0. 0822
50. 3434 53. 4896 56. 6273 Tabl a4
Elpr omedi odel osi nt erval osdet i empoes3. 13813s,est acant i dades apr oxi madament eelper i ododelmovi mi ent odespuésdeal gunasosci l aci onesy l af r ecuenci aesapr oxi madament e0. 318660Hz
( a)
( b) Fi gur a5
Fi gur a6
Laf r ecuenci aenelr égi menest aci onari o,comosepuedenot arenl oscál cul os r e al i z a do spa r al o sc as o sant e r i o r e s ,node pe ndede i ni c i al e s,nide
γ
. Simul t i pl i c a mo spo r2
π
w0
,nidel asc ondi c i o ne s
al af r e c ue nc i ao bt e ni dae nl o s
c a s osa nt e r i o r e s ,e nt o do sl o sc as o ss eo bt i e neunaf r e c ue nc i aang ul a rd e o s c i l a ci ó napr o x i ma da me nt ei g uala2,c ur i o s ame nt ee s t ev a l o re si g ua lalv a l o r del af r e c ue nc i aang ul a rc o nl aqueo s c i l al af ue r z ai mpul s o r a .Es t ono shac e s upo ne rq uel af r e c ue nc i adel aso s c i l a c i o ne sde pe ndede lv a l o rdew ( f r e c ue nc i a a ng ul a rdel af ue r z ai mpul s o r a ) . é g i me ne s t ac i o na r i ode lmo v i mi e nt oos c i l a t o r i of o r z a doquees t a mo s 5.Elr es t udi andopar ec et enerf or madeunmovi mi ent oar móni cosi mpl e,conl a ayudadel osdat osobt eni dosdelpr ogr amaenMat l ab,yconelOr i gi n6. 0vamos aencont r arl aecuaci óndel acurvaqueseaj ust aadi chosdat os. Enpri nci pi ol acurvadeber í at enerunaf ormacomol asi gui ent e: x( t ) =Acos(
w1
t -
δ
)
Ut i l i z a ndol ahe r r ami e nt aNo nLi ne arCur v eFi t t i ngde lOr i g i n6. 0,l acual despuésdedarl af ormul aqueparecer egi re lmovi mi ent oaj ust al acurv a( del os dat osobt eni dosconelmat l ab) ,encuent r al osval oresdel osparámet r osA,
w 1 , δ
.( v erfig7) .
Dees t af ormasecorr obor aqueelmovi mi ent oqueseobt i eneenelr égi men e s t ac i o nar i oe s t ade s c r i t opo rl aEc . 3,y aq ue muypequeño.
w1
=w conunmar gendee r r or
Fi gur a7
Comoseobser vaenl afigur a7,l aher r ami ent adelOr i gi n6. 0encuent r aval or es apr oxi madospar al ospar áme t r osc onunmar ge ndeer r ormuypequeño, Re pi t i e ndoe lmi s mopr o c e di mi e nt opa r adi f e r e nt e sv a l o r e sdew ( v e rT ab. 5) ,s e const r ui r áunagr aficaquenosmues t r el adependenci a
rad W ( s ) 0 1 2 2. 2 2. 4 2. 6 3 3. 2 3. 4
δ 1
( rad)
0. 1251 0. 3876 0. 48703 0. 6378 0. 86099 1. 17986 1. 57304 1. 93402 2. 21476
δ 2
( rad)
0. 35793 0. 87784 1. 00788 1. 14249 1. 28851 1. 43251 1. 56978 1. 69531 1. 8039 Tabl a5
δ
( w) .
Lafigur a8,mues t r al adependenci a
γ
δ
( w)c o n
w0
=3ycondosval or esde
.
Fi gur a8 Ambasgr aficasempi ez andesdeelpunt o i nt er ce pt anapr oxi madament ee nw=3, w al canz aelmi smov al orque obser vat ambi énquepar a co mpar aci ónc uando
w0
γ =0,5
γ =1,5
.
y
δ
δ
δ
=0,w=0yvancr eci endohast ase
=1. 57. Lai nt er sec ci ónsedacuando
π esapr oxi madament e
2
. Se
l agraficat i enemayorconcavi daden
Fi gur a9 6.Lat abl a6muest r al osval oresdel aampl i t uddelmovi mi ent oparadi st i nt os v al or esdew con
w 0=3
,
γ =0.5
.Sec o ns t r uy el ag r a fic aapar t i rdee s t o s
dat os( ve rfig10) . Senot aquel agraficacr ecehast al l egaraunpunt omáxi moy l uegodecae,est odal ai deaqueparaun
wm
acondi ci onesdet er mi nadas
exi st eunaampl i t udmáxi ma,enes t ecasol aampl i t udmáxi maseal canz a cuandow seapr oxi maalval or2. 9comoseobser vaenl agr afica.
rad W ( s ) 0 1 2 2. 2 2. 4 2. 6 3 3. 2 3. 4 3. 6 3. 8 4 5 6
A( m) 0. 11111 0. 12403 0. 18567 0. 21245 0. 24793 0. 29125 0. 32977 0. 33317 0. 29134 0. 18687 0. 15072 0. 12406 0. 05966 0. 03615 Tabl a6
Fi gur a10
Lapul saci ón
wm
seconocecomof r ecuenci ader esonanci ayparaes t ecaso
compar andoconelval orde
wm
esmenorque
w0
w0
seapr oxi manbast ant eper osenot aque
.
COMENTARI OS Y DI SCUCI ONES DE LOS RESULTADOS Lasgr aficasdel afigur a1muest r anelmovi mi ent oyl ave l oci dadenf unci óndel t i e mpode lo s c i l a do r ,Enf o c ándo no se nl as o l uc i ó ndel ae c uac i ó ndi f e r e nc i a lde movi mi ent o,ést at i eneunasol uci ónhomogéneayunasol uci ónpart i cul ar ,l asol uci ón homogéneaesi gualal adelmovi mi ent oamort i guadoyl asol uci ónpart i cul art i ene f or madeunmovi mi ent oar móni cosi mpl e.Loi nt er esant eesquepar at i empos pr ol ongados,l apart ehomogéneasehacepr áct i cament e0yaqueent eor í aseal canza e l0e ne li nfini t o ,q ue da ndoas ís o l ol as o l uc i ó npa r t i c ul a r .Espo re s oq uee nl as gr aficasevequeent i emposcort osseveelr égi mendet r ansi ci ónyparat i empos pr o l o ng a do ss ev ee lr é g i me ne s t a c i o nar i o . Lasol uci ónhomogéneat i eneconst ant esquedependendel osval ore si ni ci al es mi ent r asquel asol uci ónpart i cul arnot i eneconst ant esquedependandel osval ores i ni c i al e s ,e spo re s ot ambi é nq uee nl afig ur a2s ev eq uepar adi f e r e nt e sv a l o r e s i ni c i al e se lr é g i me ne s t ac i o nar i oe selmi s mo .
Losdi agr amasdef aseques emues t r anenl afigur a4nosdan l ai deadec ómose comport anl osmovi mi ent ososci l at ori ossi mpl eyamort i guado,ycomosepuedenot ar eldi agramadef asesdelmovi mi ent oosci l at ori of orz adoest esecomport apr i mer ocomo amor t i guadoyl uegoseasemej aalMAS.Est osdi agr amast ambi éndani nf or maci ón sobr el aener gí a;enelmovi mi ent oar móni cosi mpl esemuest r aunael i psequeno v ar í a,l oquenodal ai nf or maci ónquel aener gí asec onser v aesdeci rsemant i ene const ant e,mi ent r asqueenelmovi mi ent oamort i guadol aener gí adecaehast aque pr áct i cament esehacecer o,ent oncesenelmovi mi ent of orz adol aener gí adecaehast a queporacci óndel af uer zai mpul soraest asemant i enepr áct i cament econst ant e(l a ener gí asi guedecay endoper omuypoco,semant endr áconst ant eeneli nfini t o) . Debi doaqueenl asol uci ónpart i cul arseobt i enel aampl i t udapr oxi madadel as o s c i l a ci o ne ss eno t aq ues iv a r i amo se lv a l o rdel af r e c ue nc i aa ng ul a rna t ur a lde l mo v i mi e nt ov ar í al aampl i t uddel a sos c i l ac i o ne s . Lo spe r i o do syl asf r e c ue nc i a sc al c ul a da se nl o sca s osv i s t o sdel o sí t e ms1,2y4s o n muycer canosycomosepudocal cul arl af r ecuenci aangul are nt odosl oscasosse apr oxi mabast ant ealval ordel af r ecuenci aangul ardel af uer zai mpul sora( l ami sma ent odosl oscasos) ,porl ocualesdesuponer sequel af r ecuenci adelmovi mi ent oen r é g i me ne s t a ci o na r i onode pe ndedel asc o ndi c i o ne si ni c i a l e snidel o spa r á me t r o s
w 0 , γ
nidel aampl i t uddel af uer zai mpul sor asi noúni cament edelval ordel a
f r ecuenci aangul ardel af uer zai mpul sor a. Lasdependenci asobt eni das
δ ( w ) par adi f e r e nt e sv al or e sdel aco ns t ant ede
amor t i guami ent onosmues t r anes t omi smoqued
CONCLUCI ONES Elmo v i mi e nt oos c i l at o r i of o r z a doana l i z a dot i e nedo sr e g í me ne se nl o sc ua l e ss e comport ademaner at ot al ment edi st i nt a. Elr é g i me nt r ans i t or i o ,e ne lc uale lo s ci l ado ros c i l aal e at o r i ame nt e ,de pe ndedel as c o ndi c i o ne si ni c i a l e sydur aunc o r t ot i e mpo ;mi e nt r ase lr é g i me ne s t a c i o na r i o ,e ne l cualelosci l adort i eneosci l aci onesmuypareci dasalmovi mi ent oarmóni cosi mpl e,no dependedel ascondi ci onesi ni ci al esysemant i eneenelt i empo.
Laso s ci l ac i o ne se ne lr é g i me ne s t ac i o nar i ot i e nel af r e c ue nc i aang ul ar apr oxi madament ei gualal af r ecuenci adel af uer zai mpul sor asenoi dal . Elosci l adorexper i ment aundesf asaj eent r el af uer zai mpul sorayelmovi mi ent o r e s ul t a nt e ,e s t ede s f a s aj et i e neunade pe nde nc i ac o nl af r e c ue nc i aang ul a rdel af ue r z a i mpul s o r a ;pa r adi f e r e nt e sv a l o r e sd e lf a ct o rd eamo r t i g ua mi e nt oe s t ade pe nde nc i a t i e nedi s t i nt asf o r mas ,e s t odai nf o r mac i ó ns o br ee lg r a dodea mo r t i g ua mi e nt ode l os ci l ador . Laampl i t uddel a so s c i l ac i o ne se ne lr é g i me ne s t ac i o na r i ode pe ndede lv a l o rdel a f r e c ue nc i ana t ur alde lo s c i l ado r ,e lf ac t o rd ea mo r t i g ua mi e nt o ypo rs upue s t odel a f uer zai mpul sora. Ladependenci aent r el af r ecuenci aangul ardel af uer zai mpul sorayl aampl i t uddel mov i mi ent omues t r aunmáxi modeampl i t udal canzadocuandol af r ec uenci aangul ar t i eneunval orl l amadof r ecuenci ader esonanci a. Est ar esonanci adesapare cecuandoelamort i guami ent oesgr ande,porl ocont r ari o cuandoelamor t i guami ent oesmuypequeñol acurv ader es onanci aseasemej aal a delmov i mi ent onoamor t i guado
