Unidad 4 Centroides centros de gravedad y momentos de inercia. El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo, el centroide nos ayuda a encontrar el punto en el que se concentra las fuerzas que actúan sobre una figura irregular, o figuras geométricas no muy conocidas, por ejemplo el centroide nos ayudaría a encontrar el punto en el que se concentran las fuerzas de un puente. El centro de gravedad es el punto de aplicación de un cuerpo rígido donde al ubicar la resultante de las fuerzas los efectos sobre el cuerpo novarían. En el caso de superficies homogéneas, el centro de gravedad se sustituye por el centroide del área, el cual considera las áreas de los elementos en vez de los pesos y las expresiones para determinar las coordenadas centroidales son: A= ∫dA;xA= ∫xdA;yA= ∫ydA
CENTROIDE DE AREAS COMPUESTAS En gran cantidad de casos una superficie cualquiera puede ser subdividida en una serie de figuras comunes (rectángulo, triangulo, circunferencia etc.). Esta forma de análisis es útil y permite determinar el centroide de cualquier superficie según: A=Ai ; x= xiAiAi ; y yiAiAi Los centroides y el área común se obtienen de la aplicación de fórmulas para áreas comunes como los indicados en la tabla. Subdivisión de un área TEOREMA DE PAPPUS-GULDINUS Una superficie de revolución es aquella que se genera al girar una curva con respecto de un eje, por ejemplo una esfera se puede generar al girar un arco semicircular. De manera similar tenemos los cuerpos de revolución que son obtenidos al girar un área con respecto de un eje fijo.
TEOREMA I El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generadora por la distancia recorrida por el centroide de la curva, al generar la superficie. TEOREMA II El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generadora por la distancia recorrida por el centroide del área al generar el cuerpo. FUERZAS DISTRIBUIDAS: MOMENTOS DE INERCIA El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. PRODUCTO DE INERCIA DE UN CUERPO Para los productos de inercia, es posible derivar un teorema de ejes paralelos para momentos de inercia. Considere un area A y un sistema coordenadas rectangulares x yy: A través del centroide C del área, cuyas coordenadas son x y y , se dibujan dos ejes centroidales x´y y´ que son paralelos, respectivamente, a los ejes x y y. representando con x y y las coordenadas de un elemento de un area dA con respectos a los ejes originales y con x´y y´ las coordenadas del mismo elemento con respecto a los ejes centroidales, se escribe x = x´+x y y = y´ + y
Centro de masas El centro de masas de un sistema discreto es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si estuviese sometido a la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga. Normalmente se abrevia como CM. En física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico, mientras que los otros dos términos se relacionan con las propiedades físicas de un cuerpo. Para que el centroide coincida con el centro de masa, el objeto debe
tener densidad uniforme, o la distribución de materia a través del objeto debe tener ciertas propiedades, tales como simetría. Para que un centroide coincida con el centro de
Gravedad, el centroide debe coincidir con el centro de masa y el objeto debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme. En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde, para ciertos efectos, se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para análisis físicos en los que no es importante considerar la distribución de masa. Por ejemplo, en las órbitas de los planetas. Para una definición formal, véase baricentro. Cálculo del CM de un sistema Distribución discreta de materia Para un sistema de masas discreto, formado por un conjunto de masas puntuales, el centro de masas se puede calcular como:
masa de la partícula i-ésima. , vector de posición de la masa i-ésima respecto al sistema de referencia asumido. Distribución cuasi discreta de materia [editar] En el caso de un sistema de cuerpos cuasi puntuales, o cuerpos que distan entre sí mucho más que las dimensiones de cada uno de los cuerpos, el cálculo anterior resulta bastante aproximado. Distribución continua de materia Para sistemas de masas continuos o distribuciones continuas de materia debemos recurrir al Cálculo Infinitesimal e Integral, de modo que la expresión anterior se escribe en la forma:
Distribución de masa homogénea: Si la masa está distribuida homogéneamente, la densidad será constante por lo que se puede sacar fuera de la integral haciendo uso de la relación
- Para el caso de cuerpos con geometría regular tales como esferas, paralelepípedos, cilindros, etc. el CM coincidirá con el baricentro del cuerpo. Distribución de masa no homogénea: Los centros de masas en cuerpos de densidad variable pueden calcularse si se conoce la función de densidad. En este caso se calcula el CM de la siguiente forma.
- La resolución de la integral dependerá de la función de la densidad. Centro de energía (teoría de la relatividad) [editar]
En teoría de la relatividad, el cálculo del tensor momento angular requiere calcular una magnitud similar al centro de masa, el centro de energía que viene dado por: Para un sistema de partículas moviéndose a velocidades relativamente pequeñas comparadas con la de la luz, y en presencia de campos relativamente débiles el centro de energía coincide con muy alta precisión con el centro de masa. Centro de gravedad El centro de gravedad (CG) es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas masas materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo (dicho punto no necesariamente corresponde a un punto material del cuerpo, ya que puede estar situado fuera de él. En el caso de una esfera hueca, el CG está situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo). Conceptos relacionados En física además del centro de gravedad aparecen los conceptos de centro de masa y centro geométrico o centroide que, aunque pueden coincidir con el centro de gravedad, son conceptualmente diferentes. Centro de masa y centro de gravedad El centro de masas coincide con el centro de gravedad sólo si el campo gravitatorio es uniforme; es decir, viene dado en todos los puntos del campo gravitatorio por un vector de magnitud y dirección constante. Centro geométrico y centro de masa El centro de geométrico de un cuerpo material coincide con el centro de masa si el objeto es homogéneo (densidad uniforme) o si la distribución de materia en el objeto tiene ciertas propiedades, tales como simetría. Propiedades del centro de gravedad Un objeto apoyado sobre una base plana estará en equilibrio estable si la vertical que pasa por el centro de gravedad corta a la base de apoyo. Lo expresamos diciendo que el CG cae dentro de la base de apoyo. Además, si el cuerpo se aleja algo de la posición de equilibrio, aparecerá un momento restaurador y recuperará la posición de equilibrio inicial. No obstante, si se aleja más de la posición de equilibrio, el centro de gravedad puede caer fuera de la base de apoyo y, en estas condiciones, no habrá un momento restaurador y el cuerpo abandona definitivamente la posición de equilibrio inicial mediante una rotación que le llevará a una nueva posición de equilibrio. Cálculo del centro de gravedad El centro de gravedad de un cuerpo K viene dado por el único vector que cumple que:
Para un campo gravitatorio uniforme, es decir, uno en que el vector de campo gravitatorio es el mismo en todos los puntos, la definición anterior se reduce a una equivalente a la definición del centro de masas.
Para el campo gravitatorio creado por un cuerpo másico cuya distancia al objeto considerado sea muy grande
comparado con las dimensiones del cuerpo másico y del propio objeto, el centro de gravedad del objeto vienen dado por:
Por ejemplo para una barra homogénea de longitud L orientada hacia un planeta lejano, y cuyo centro de gravedad distan del centro de gravedad del planeta una distancia dCM, el centro de gravedad de la barra está situado a una distancia del centro del planeta dada por:
Momento de inercia El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. Ecuaciones del momento de inercia
Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es: donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación. Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:
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