"acobo #cam$o %arcía 2&2')' #scilaciones * lunes de abril de In,eniería ivil '&.) In,/ 0n,el 1ela*a 1el a*a
IN34#5UI#N &n el 'resente in(orme se muestran los resultados obtenidos en la 'r%ctica de Oscilaciones de "orsión ) !omentos de Inercia* Para esto utili+amos un disco, una es(era, un cilindro ) una arilla* Los montamos sobre un resorte ) los rotamos cada 0 -rados e hicimos .ue 'asaran entre una celda (otoeléctrica 'ara medir en el contador di-ital el semi'eriodo de cada elemento*
#6"3IV#S •
•
•
/eterminar la constante de restauración an-ular del muelle en es'iral* /eterminar el momento torsional en (unción de la desiación an-ular* /eterminar teórica ) e'erimentalmente momento de inercia de al-unos cuer'o*
el
A7A4A3#S 8 +A34IALS 1
&je de rotación
1
2arrera (otoeléctrica con contador di-ital
1
Fuente de oltaje
1
&s(era
1
/isco
1
Cilindro maci+o
1
3arilla
1
/inamómetro
#scilaciones * +omentos de Inercia La ibración torsional se re4ere a la ibración de un cuer'o r5-ido alrededor de un eje de re(erencia es'ec54co* &n este caso el des'la+amiento se mide en términos de una coordenada an-ular* &l momento de restablecimiento se debe, )a sea a la torsión de un elemento el%stico o al momento no e.uilibrado de una (uer+a o de un 'ar* La ecuación di(erencial de moimiento del 'éndulo es:
( ) '
k θ+ θ =0 I ¨
Para medir la constante de torsión de un muelle helicoidal eisten dos 'rocedimientos uno est%tico ) otro din%mico*
7rocedimiento est9tico +uelle lineal
6a hemos estudiado el com'ortamiento de los muelles el%sticos* La (uer+a F .ue a'licamos es 'ro'orcional a la de(ormación del muelle, x * F =kx
/onde: k se denomina constante el%stica del muelle ) se mide en x
N m
es el bra+o de 'alanca ) se mide en
metros .
+uelle circular
Para los muelles helicoidales eiste una le) similar, la di(erencia es .ue se a'lica un momento en e+ de una (uer+a, ) la de(ormación es un des'la+amiento an-ular*
Fr =kq
/ónde: k se denomina constante de torsión ) se mide en Nm
*
7rocedimiento din9mico &n el 'rocedimiento din%mico se se'ara la arilla so'orte un cierto %n-ulo de su'osición de e.uilibrio, se suelta, ) la arilla comien+a a oscilar* $ 'artir de la medida del 'eriodo de las oscilaciones se obtiene la constante el%stica del muelle* Cuando la arilla so'orte se ha desiado un %n-ulo . ) se suelta el muelle ejerce sobre la arilla so'orte un momento −kq * &l momento es de sentido contrario al des'la+amiento an-ular* "enemos un sólido en rotación alrededor de un eje 4jo bajo la acción de un momento* La ecuación de la din%mica de rotación se escribe Ia =−kq
&n (orma de ecuación di(erencial 2
d θ k + θ =0 2 d t I
&sta es la ecuación di(erencial de un movimiento armónico simple de (recuencia an-ular 2
w =
k I
) 'eriodo P=2 π
√
I k
74#5I+IN3# :74I+N3AL 3abla I &l montaje se e(ect7a se-7n la 4-ura 8* Para la determinación de la constante de restauración an-ular se inserta la barra en el eje* !ediante el dinamómetro o se hace -irar la barra 180 alrededor del eje, midiéndose la (uer+a* &l bra+o de la 'alanca ) el dinamómetro (ormaran un %n-ulo recto* NO"$: 'or ra+ones de se-uridad ) estabilidad se o recomienda no torcer el muelle m%s de 720 *
3abla II /eterminar la masa, el radio ) la lon-itud de los di(erentes cuer'os*
3abla III Para medir el 'eriodo de oscilación de los di(erentes cuer'os se adhiere un dia(ra-ma* La barrera (otoeléctrica con contador di-ital se coloca (rente al dia(ra-ma, estando los cuer'os en re'oso* Se mide
cada e+ un semi'eriodo, tomando la media entre los alores de medición de las torsiones iniciados 'rimero a la i+.uierda ) lue-o a la derecha*
3abla I π
α
3 π
π
2
2 π
2
F ( N )
0*8
0*9
0*;
0*;
τ ( Nm )
0*08;
0*00
0*0;
0*0<;
3abla II Esfera
Disco
Cilindro
arilla
!asa ( k" )
0*<=
0*9>9
0*9
0*8
#adio ( m )
0*00=>?
0*80;
0*0?;
@
$on"it%d ( m)
@
@
@
0*=
3abla III '
sfera '/; 2 5isco
/>& &
2 '/& ; />& 2
) '/) />& )
; '/; > />& 2
&
<
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'/2 ' />; )
= '/; & />&
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'
3(s! $ro m
'/)
2/'
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T2(s2
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ilind /&) > ro Varilla '/&'
/&= 2 '/& ;
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/&2 > '/&' 2
/&2 2 '/&> )
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/&; 2 '/&2 =
'/>) )/>
3abla IV
0.00160207
rror 7orcentual (! >/>
0.001554525
0.001358357
'2/<2
0.0003969
0.000441937
''/)&
0.02394
0.003531433
&/2&
Inercia 3eórica (?, m2! Esfera
0.001777852
Disco
Cilindro arilla
Inercia @$erimental (?, m2!
ALUL#S 8 ANALISIS 5 4SUL3A5#S 8* Ara4car en 'a'el milimetrado el tor.ue de un muelle en es'iral en (unción del %n-ulo de -iro* 9* /eterminar a 'artir del ti'o de cura la (orma de la ecuación corres'ondiente ) calcular las constantes utili+ando los métodos conocidos* La ecuación de la cura es del ti'o m=k ' =
τ 2 −τ 1 α 2 −α 1
=
0.053
3 π 2
& =mx + 0.053
= 0.0146
' =−0.0158
( )+ 3 π 2
− 0.030
− π
=0.0146
& =mx +
'/'> & >/&; >
& =0.0146 x − 0.158
3abla I τ = Nm
τ π = 0.1 N ∗0.15 m=0.015 Nm 2
τ π =0.2 N ∗0.15 m =0.030 Nm τ 3 π = 0.35 N ∗0.15 m=0.053 Nm 2
( =( 2.082 s ) = 4.332 s ( =( 1.917 s ) =3.673 s ( =( 1.093 s ) =1.195 s 2
2
2
( =( 3.090 s ) =9.549 s 2
2
2
La e'resión 'ara el 'eriodo de un 'éndulo de torsión es:
√
( =2 π
I k '
Calcular el alor e'erimental ) el alor teórico de los momentos de inercia de los di(erentes cuer'os ), determine el error 'orcentual* Los resultados 'reséntelos en (orma tabular* 2
( =
I k ' 2
k ' ( I = 2 4 π F =kx x = #θ
F k = = #θ
0.1 N
(
0.015
k =4.2441
m∗π 2
)
N m
Valor e@$erimental 2
k ' ( I = 2 4 π
&s(era I =
(
0.0146 4.332
)
2
4 π
=0.00160207 k" m
2
/isco I =
(
4.2441 3.673
)
2
4 π
= 0.001358357 k" m
2
= 0.000441937 k" m
2
Cilindro I =
(
4.2441 1.195 2
4 π
)
3arilla I =
(
4.2441 9.549 2
4 π
)
=0.003531433 k" m
2
Valor 3eórico &s(era 2
2
I = mr = 5
2 5
2
2
2
2
( 0.76 k" ) ( 0.0684 m ) =0.001777852 k" m
/isco 1
2
I = mr = 2
1 2
( 0.282 k" ) ( 0.105 m ) =0.001554525 k" m
Cilindro 1
2
I = mr = 2
1 2
2
2
( 0.392 k" ) ( 0.045 m ) =0.0003969 k" m
3arilla I =
1 12
2
mr =
1 12
( 0.133 k" ) ( 0.6 m) = 0.02394 k" m 2
|
error *orcent%al =
(
error esfera =
(
error disco =
|
)alor teorico− )alor ex*erimental )alor teori co
0.001777852
−0.00160207
0.001777852
0.001554525
)∗
−0.001358357
0.001554525
2
∗100
=9.89
100
)∗
=12.62
100
(
error cilindro =
error )arilla=
(
0.0003969
− 0.000441937
0.0003969
0.02394
)
)∗
100
=11.35
−0.003531433 ∗ = 100 85.25
0.02394
#NLUSI#NS 1 Se determinó el momento torsional en (unción de la desiación an-ular* 1 Se determinó la constante de restauración an-ular del muelle en es'iral 1 Se determinó teórica ) e'erimentalmente el momento de inercia de los cuer'os
