Método de la Distribución de Momentos (Método de Cross) 1 2 3 4 5
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Definiciones y terminología Conceptos básicos de la distribución de momentos Análisis de vigas continuas Análisis de marcos sin desplazamientos laterales permitidos Análisis de marcos con desplazamientos laterales permitidos
En este capítulo, consideraremos la formulación de un método clásico del método de los desplazamientos, el método de la distribución de momentos. El método de la distribución de momentos se puede usar solo para el análisis de vigas y marcos, tomando en cuenta solo las deformaciones por flexión. Este método, fue inicialmente desarrollado por Hardy Cross en 1924, fue el método de análisis estructural más ampliamente utilizado desde 1930, cuando se público por primera vez, hasta la década 1960. Debido a que a principios de la década de 1970, con el incremento de las computadoras, el uso del método de distribución de momentos disminuyó en favor de los métodos matriciales orientados a la computadora para el análisis estructural. No obstante, el método de la distribución de momentos aún se prefiere por varios ingenieros para analizar estructuras pequeñas, debido a que proporciona una mejor comprensión del comportamiento de las estructuras. Además, este método se puede utilizar para el diseño preliminar preliminar además de para verificar resultados de análisis mediante computadora. La razón principal para la popularidad del método de distribución de momentos en la era pre computacional fue debido al hecho de que no requiere la solución de ecuaciones simultáneas como las requeridas por los métodos clásicos. En el caso de vigas y marcos sin desplazamiento lateral permitido, el método de la distribución de momentos evita completamente el resolver las ecuaciones simultáneas, mientras que en el caso de los marcos con desplazamiento lateral permitido, el número de ecuaciones simultáneas requeridas usualmente es igual al número de desplazamientos de los nodos.
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1 Definiciones y Terminología En la aplicación del método de la distribución de momentos, se
adoptará la siguiente convención de signos: Los momentos en los extremos del elementos serán positivo en el sentido contrario a las manecillas del reloj.
Debido a que el momento en sentido contrario a las manecillas del reloj en el extremo del elemento debe actuar un momento en sentido de las manecillas del reloj en el nodo adyacente, la convención anterior implica que los momentos en sentido de las manecillas del reloj en los nodos son considerados positivo. Antes de que podamos desarrollar el método de la distribución de momentos, es necesario definir varios temas usados en el análisis.
1.1. Rigidez de los Elem entos Considere un elemento prismático AB, el cual está articulado en el extremo A y empotrado en el extremo B, como se muestra en la Fig. 16.1(a). Si apli-camos el Momento M en el extremo A, la viga rota un ángulo u en el apoyo articulado A y desarrolla un momento M AB en el extremo B, como se muestra en la figura. La relación entre el momento aplicado M y la rotación u se puede establecer usando la ecuación de la pendiente-deflexión. Sustituyendo M nf M , u n u y u f c FEM nf 0 en la ecuación de la pendiente-deflexión, obtenemos
M
4 EI L
u
(16.1)
La rigidez a la flexión, K , de una elemento se define como el momento que se debe aplicar en el extremo del elemento para generar una rotación unitaria en ese extrem o. Por lo tanto, fijando u 1 rad en la Ec. (16.1), obtenemos la expresión de la rigidez a flexión de la viga de la Fig. 16.1(a) como
K
4 EI L
(16.2)
momento de transporte
momento aplicado
constante Viga con extremo lejano empotrado momento aplicado
constante FIG. 16.1
Viga con extremo lejano articulado 2
Cuando el módulo de elasticidad de todos los elementos de una estructura es el mismo (es decir, E constante), es conveniente trabajar con la rigidez a la flexión relativa del elemento en el análisis. La rigidez a la flexión relativa, K , de un elemento se obtiene dividiendo la rigidez relativa entre 4E . por lo tanto, la rigidez relativa de la viga de la Fig. 16.1(a) está dada por
K
K
4 E
I
(16.3)
L
Ahora, suponga que el extremo lejano Bk de la viga de la Fig. 16.1(a) está articulado, como se muestra en la Fig. 16.1(b). La relación entre el momento aplicado M y la rotación u del extremo A de la viga se puede determinar usando la ecuación de la pendiente-deflexión (Ecs. (15.15)) obtenida en la Sección 15.1. sustituyendo M rh M , u r u y c FEM rh FEM rh 0 en la Ec. 15.15(a), obtenemos
M
3 EI L
u
(16.4)
Fijando u 1 rad, obtenemos la expresión para la rigidez a flexión de la viga de la Fig. 16.1(b) como
K
3 EI L
(16.5)
Una comparación de la Ec. (16.2) y (16.5) indica que las rigidez de la viga está reducida en un 25 porciento cuando el apoyo empotrado en B se remplaza por el apoyo articulado. La rigidez relativa a flexión de la viga se puede obtener dividiendo la rigidez a flexión entre 4E : K
3 I 4 L
(16.6)
De las Ec.s (16.1) a (16.4), podemos ver que la relación entre el momento M aplicado en el extremo y la rotación u del correspondiente momento en el extremo se puede resumir como sigue:
M
4 EI
u
L
3 EI L
si el extremo lejano del elemento está empotrado (16.7)
u
si el extremo lejano del elemento está articulado
De manera similar, basados en la Ec. (16.2) y (!6.5), la rigidez a flexión de un elemento está dada por
K
4 EI si el extremo lejano del elemento está empotrado L 3 EI si el extremo lejano del elemento está articulado L
(16.8)
3
Y la rigidez relativa a flexión de un elemento se puede expresar como (ver la Ecs. (16.3) y (16.6))
K
I
si el extremo lejano del elemento está empotrado
L
(16.9)
3 I 4 L
si el extremo lejano del elemento está articulado
1.2. M om ento de Transpo rte Consideremos de nuevo la viga empotrada-articulada de la Fig. 16.1(a). Cuando un momento M se aplica en el extremo articulado A de la viga, un momento M BA se desarrolla en el extremo empotrado B, como se muestra en la figura. El momento M BA en llamado momento de transporte. Para esta-blecer la relación entre el momento aplicado M y el momento de transporte M BA, escribimos la ecuación de la pendientedeflexión para M BA sustituyendo M nf M BA, u f u y u n c FEM nf 0 en la Ec. (15.9): 2 EI u M BA (16.10) L
sustituyendo u ML(4 EI ) de la Ec. (16.1) en la Ec. (16.10), obtenemos
M BA
M
2
(16.11)
Como la Ec. (16.11) indica, cuando un momento de magnitud M es aplicado en el extremo articulado de una viga, la mitad del momento aplicado es transportado al extremo lejano, siempre que el extremo lejano sea empotrado. Tenga en cuenta que la dirección del momento transportado, M BA, es el mismo que el del momento aplicado, M .
Cuando el extremo lejano de la viga está articulado, como se muestra en la Fig. 16.1(b), el momento transportado M BA es cero. Así, expresamos el momento e transporte como
M BA
M
2 0
si el extremo lejano del elemento está empotrado (16.12) si el extremo lejano del elemento está articulado
La relación del momento de transporte con el momento aplicado (M BA M ) se llama factor de trasporte del elemento. Representa la fracción del momento aplicado M que es transportado el extremo lejano del elemento. Dividiendo la Ec. (16.12) entre M ; podemos expresar el factor de transporte (FT) como
FT
1 2
si el extremo lejano del elemento está empotrado
0
si el extremo lejano del elemento está articulado
(16.13)
4
1.3. Factores de Distribución Cuando analizamos una estructura por el método de la distribución de momento, se levanta una importante pregunta en cómo distribuir el momento aplicado en el nodo entre varios elementos conectados a ese nodo. Considere el marco de tres elementos mostrado en la Fig. 16.3(a), y suponga que un momento M es aplicado en el nodo B, generando que rote un ángulo u , como se muestra en la figura. Para determinar que fracción del momento aplicado M es resistido por cada uno de los tres elementos conectados al nodo, dibu-jamos los diagramas de cuerpo libre del nodo B y de los tres elementos AB, BC y BD, como se muestra en la Fig. 16.3(b). Considerando el equilibrio de momento de los tres cuerpos del nodo B (es decir, M C 0, escribimos M M BA
M BC M BD
0
O M
M BA
M BC M BD
(16.14)
contante
FIG. 16.3
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Dado que los elementos AB, BC y BD, están rígidamente conectados el nodo B, la rotación de los extremos B de estos elementos son los mismos que los del nodo. Los momentos en los extremos de B de los elementos se pueden expresar en términos de la rotación del nodo u aplicando la Ec. (16.7). Tenga en cuenta que el extremo lejano A y C, del elemento BD está articulado, aplicamos las Ecs. (16.7) a la (16.9) par cada elemento para obtener M BA
M BC
M BD
4 EI 1 L 1 4 EI 2 L 2
3 EI 3 L 3
u
K BA u
u 4 E K BA
(16.15)
u
K BC u
4 E K BC u
(16.16)
u
K BD u
u 4 E K BD
(16.17)
La sustituyendo las Ec.s (16.15) a la (16.17) en la ecuación de equilibrio (Ec. (16.14)) resulta M
4 EI 1 4 EI 2 3 EI 3 L 1 L 2 L 3
K BA
u
K BC K BD u
K B u
(16.18)
En la cual K B representa la suma de las rigideces de flexión para todos los elementos conectados al nodo B. La rigidez rotacional de un nodo está definida como el momento requerido para generar una rotación unitaria del nodo . De la Fig.(16.18), podemos ver que la rigidez rotacional de un nodo es igual a la suma de la rigideces por flexión de todos los elementos rígidamente conectados al nodo. El signo negativo en la Ec. (16.18) aparece debido a la convención de signos que hemos adoptado, según la cual los momentos en el extremo es considerado positivo cuando en la dirección contraria a las manecillas del reloj, mientras que los momentos actuando en los nodos se consideran positivo cuando ellos actúan en la dirección de las manecillas del reloj. Para expresar los momentos en los extremos del elemento en términos del momento aplicado M , escribimos la Ec. (16.18) en términos de la rigidez a flexión relativa de los elementos como M
4 E K BA
4 E K B u
K BC K BD u
De la cual u
M
4 E
(16.19)
K B
Sustituyendo la Ec. (16.19) en las Ecs. (16.15) a la (16.17), obtenemos M BA M BC M BD
K BA
K B K BC
K B K BD
K B
M
(16.20)
M
(16.21)
M
(16.22)
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De las Ecs. (16.20) a la (16.22), podemos ver que el momento aplicado M está distribuido a los tres elementos en la proporción en términos de su rigidez a flexión relativa. La relación K K B para un elemento en términos del factor de distribución de dicho elemento para el extremo B, y se presenta la fracción del momento aplicado M que es distribuido el extremo B del elemento. Por lo tanto, las Ecs. (16.20) a la (16.22) se pueden expresar como M BA
DF BA M
(16.23)
M BC
DF BC M
(16.24)
M BD
DF BD M
(16.25)
En la cual DF BA K BA K B, DF BC K BC K B y DF BD K BD K B son los factores de distribución para los extremos B de los elementos AB, BC , y BD, respectivamente. Basados en la discusión anterior, podemos establecer que, en general, el factor de distribución (DF) de un extremo de un elemento es que está rí-gidamente conectado al nodo adyacente es igual a la relación de la rigidez a flexión relativa del elemento entre la suma de las rigideces relativas de todos los elementos conectados al nodo; es decir, DF
K
K
(16.26)
Además, el momento distribuido a (o resistido por) un extremo de un elemento conectado de forma rígida es igual al factor de distribución para ese extremo multiplicado por el momento negativo en el nodo a dyacente.
Para aplicación simplificada, se puede indicar: DF 0 para un extremo empotrado DF = 1 para un sop orte de pasador o rodillo en el extremo 1.4.
Mom entos de Em potramiento
Las expresiones para los momentos de empotramiento de los tipos más comunes de condiciones de carga además de los desplazamientos relativo de los extremos del elemento están dados en el interior de la contraportada del libro para una referencia práctica. En el método de la distribución de momentos, los efectos de los desplazamientos de los nodos debido a los asentamientos de los apoyos y los desplazamientos laterales son tomados en cuenta por medio de los momentos de empotramiento. Considera la viga empotrada de la Fig. 16.4(a). Como se muestra en la figura, un pequeño asentamiento en el extremo izquierdo A de la viga con
FIG. 16.4
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respecto al extremo derecho genera que la cuerda de la viga rote en sentido contrario a las manecillas del reloj un ángulo c L y fijando u A, c B y el momento de empotramiento FEM AB y FEM BA debido a la carga externa, igual a cero, obtenemos 6 EI FEM AB FEM BA 2 L
En la cual FEM AB y FEM BA ahora indican los momentos de empotramiento debido al desplazamiento entre los dos extremos de la viga. Tenga en cuenta que las magnitudes al igual que las direcciones de los dos momentos de empotre son los mismo. Se puede ver la de la Fig. 16.4(a) que cuando un desplazamiento relativo genera que la cuerda rota en el sentido contrario a las manecillas del reloj, entonces actúan dos momentos de empotramiento en el sentido de las manecillas del reloj (negativo) para mantener las pendientes en cero en los dos extremos de la viga. A la inversa, si la cuerda rota debido a un desplazamiento en el sentido de las manecillas del reloj, como se muestra en la Fig. 16.4(b), entonces se presenta ambos momentos de empotre en el sentido contrario a las manecillas del reloj (positivo) para prevenir que los extremos de la viga roten.
2 Conceptos Básicos del Método de la Distribución de Momentos El método de la distribución de momentos es un procedimiento iterativo, en el cual es esencial asumir que todos los nodos de la estructura que están libres a la rotación están temporalmente restringidos contra la rotación mediante un anclaje imaginario aplicado a ellos. Las cargas externas y los desplazamientos de los nodos (si hubiera) están aplicadas a estas estructuras fijas hipotéticas, y se calculan los momentos de empotramiento en los extremos de sus elementos. Estos momentos de empotre en general no están en equilibrio en esos nodos de la estructura que en realidad está libre a la rotación. Las condiciones de equilibrio de estos nodos se satisfacen de manera iterativa liberan-do un nodo a la vez, con los demás nodos restantes anclados. Se selecciona un nodo en el cual los momentos no están equilibrados o balanceados y se calculan los momentos sin balancear. El nodo entonces se libera eliminando el anclaje permitiendo de este modo que rote bajo el momento sin balancear hasta que se alcance el estado de equilibrio. La rotación del nodo induce momentos en los extremos de los elementos unidos a él. Tales extremos momentos en el extremo del elemento se les conoce como momentos distribuidos, y sus valores son determinados multiplicando el valor negativo del momento en el nodo sin balancear por los factores de distribución de los extremos de los elementos conectados al nodo. La flexión de estos elementos
debido al momentos de distribución genera momentos de transporte que se desarrollan en el extremo lejano del elemento, los cuales pueden ser fácilmente evaluado usando los factores de transporte del elemento. El nodo, que ahora está en equilibrio, se ancla nuevamente a su posición rotada. Después, se selecciona otro nodos sin momentos balanceados y se libera, balanceando y anclando en la misma manera. El procedimiento se repite hasta que los momentos no balanceados de todos los nodos de la estructura son demasiado pequeños como para despreciarlos. Los momentos finales en los extremos de los elementos son obtenidos sumando algebraicamente el momento de empotre y todos los momentos distribuidos y de trasporte en cada extremo del elemento. Este proceso iterativo para determinar los momentos en los extremos de los elementos distribuyendo sucesivamente los momentos sin balancear en cada nodo es llamado proceso de distribución de momentos. 8
Con los momentos en los extremos de los elementos determinados, los cortantes en los extremos y las fuerzas axiales, y las reacciones en los apoyos se pueden determinar mediante las consideraciones de equilibrio, como ya se ha estudiado a lo largo del presente
curso de Resistencia de Materiales II Es conveniente realizar el análisis de la distribución de momentos en forma tabular. Tenga en cuenta que la tabla, la cual es a veces llamada tabla de distribución de momentos, consiste en columnas, una para cada extremo de elemento de la estructura. Todos los cálculos de un elemento en particular se registran en la columna para ese extremo del elemento.
3 Análisis de Vigas Basados en la discusión presentada en la sección pasada, el proceso para el análisis de vigas mediante el método de la distribución de momentos es como sigue: 1.
2.
3.
4.
5. 6. 7.
Calcule los factores de distribución. En cada nodo que está libre a la rotación, calcule el factor de distribución para cada elemento conectado rígidamente al nodo. El factor de distribución para cada extremo del elemento se calcula dividiendo la rigidez a flexión relativa ( I L) del elemento rígidamente conectado al nodo. La suma de todos los factores de distribución en un nodo debe ser igual a 1. Calcule los momentos de empotre. Asumiendo que todos los nodos están anclados contra la rotación, evalúe, para cada elemento, los momentos de empotramiento debido a las cargas externas y los asenta-mientos en los apoyos (si hubiera) usando las expresiones de los momentos de empotramiento dadas en los anexos. Los momentos de empotramiento contrarios a las manecillas del reloj se consideran positivos. Balance los momentos de todos los nodos que están librea a la rotación aplicando el proceso de distribución de momentos como sigue: a. En cada nodo evalué el momento sin balancear y distribuya el momento sin balancear en cada elemento conectado al nodo. El momento distribuido en cada extremo conectado rígidamente al nodo se obtiene multiplicando el momento negativo sin balancear por el factor de distribución del extremo del elemento. b. Transporte la mitad del momento de distribuido al extremo opuesto del elemento. c. Repita los pasos 3(a) y 3(b) hasta que todos los nodos libres estén balanceados o que los momentos sin balancear en esos nodos sean demasiados pequeños para ser considerados. Determine los momentos finales en el extremo del elemento sumando algebraicamente los momentos de empotramiento y los momentos de distribución y transporte en cada extremo del elemento. Si el momento distribuido ha sido transportado correctamente, los momentos finales deben de cumplir con las ecuaciones de equilibrio de momento en todos los nodos de la estructura que está libres a la rotación. Calcule los cortante en los extremos de los elementos considerando el equilibrio de los elementos de la estructura. Determine las reacciones en los apoyos considerando el equilibrio de los nodos de la estructura. Dibuje los diagramas de cortante y momento flexionante usando la convención de signos de la viga.
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Vigas con Apoyos Simples en los Extremos A pesar de que el procedimiento anterior se puede usar para analizar vigas que están simplemente apoyada en uno o dos extremos, el análisis para tales estructuras puede ser considerablemente más simplificado usando la rigidez relativa a flexión reducida, K 3 I (4 L), para claros adyacentes al
apoyo extremo simple, de acuerdo con la Ec. (16.9). Cuando se use la rigidez reducida, los nodos de los apoyos extremos simples se balancean solo durante el proceso de distribución de momentos, después de lo cual se dejan sin anclar de modo que ningún momento se puede transportar sobre ellos como en nodos internos de la estructura que están equilibrados. Estructuras con Voladizos en Cantiliver Considera una viga con voladizos en cantiliver, como se muestra en la Fig. 16.6(a). debido a que el porción CD del cantiliver no contribuye a la rigidez rotacional del nodo C , el factor de distribución para su extremo C es cero. ( DF CD 0). Por lo tanto, el nodo C se puede tratar como en un apoyo de extremo simple en el análisis. El momento en el extremo C del cantiliver, sin embargo, afecta el momentos sin balancear en el nodo C y debe ser incluido junto con los otros momentos de empotre en el análisis (Fig. 16.6(b)). Tenga en cuenta que la parte del cantiliver CD es estáticamente determinada; por lo tanto, el momento en su extremo C se puede calcular fácilmente aplicando la ecuación de equilibrio de momento (Fig. 16.6(c)).
(a) Viga hiperestática
(b) Momento de empotre
FIG. 16.6
(c) Parte del cantiliver estáticamente determinado
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4 Análisis de Marcos Sin Desplazamiento Laterales Permitidos
El procedimiento para el análisis de marcos sin desplazamientos laterales permitidos es similar al análisis de vigas continuas presentado en la Sección anterior. Sin embargo, a diferencia de las vigas continuas, se pueden unir más de dos elementos en el mismo nodo de un marco. En tales casos, debemos tener cuidado en tomar registro de los cálculos de tal manera que no cometamos errores. Mientras algunos ingenieros les gusta registrar los cálculos de la distribución de momentos directamente en los bosquejos del marco, otros prefieren usar el formato tabular para estos propósitos.
5 Análisis de Marcos Con Desplazamiento Laterales Permitidos Hasta ahora, hemos considerado el análisis de estructuras con desplazamientos en los nodos donde eran cero o desconocidos (como en el caso de los apoyos con asentamientos). En esta sección aplicáramos el método de análisis de distribución de momentos cuyos nodos pueden presentar tanto rotaciones como traslaciones que no han prescrito. Tales marcos con comúnmente llamados como marcos con desplazamientos laterales permitidos. Considere, por ejemplo, el marco rectangular de la Fig. 16.14(a). La configuración deformada del marco para una carga arbitraria se muestra en la figura con una escala exagerada. Mientras los nodos empotrados A y B del marco están completamente restringido contra la rotación además de la translación, los nodos C y D están libres a la rotación y traslación. Sin embargo, debido a que los elementos del marco se supone que son indeformables axialmente y las deformaciones se suponen pequeñas, los nodos C y D se desplazarán la misma cantidad, , en la dirección horizontal, como se muestra en la figura. El análisis de la distribución de momentos de tal marco, con desplazamientos laterales permitidos, se desarrolla en dos partes. En la primera parte, el desplazamiento lateral permitido del marco se previene agregando un patín imaginario en la estructura, como se muestra en la Fig. 16.14(b). Las cargas externas están aplicadas en el marco y los momentos en los extremos del elemento se calculan aplicando el proceso de distribución de momentos de mansera usual. Con los momentos en los extremos conocidos, la fuerza retención (reacción ) R que se desarrolla en el apoyo imaginario se evalúa aplicando las ecuaciones de equilibrio. En la segunda parte del análisis, el marco se sujeta a la fuerza R, la cual es aplicada en la dirección opuesta, como se muestra en la Fig. 16.14(c). los momentos desarrollados en los extremos de los elementos se determinan y superponen a los momentos calculados en la primera parte (Fig. 16.14(b)) para obtener los momentos en los extremos de los elementos del marco real. (fig. 16.14(a)). Si, M, M O y M R indican, respectivamente, los momentos en los extremos de los elementos del marco real, el marco con desplazamiento lateral restringido, y el marco sujeto a R, entonces podemos escribir (verla Fig. 16.14(a), (b), y (c)) M M O M R
(16.27)
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Patín imaginario
(a) Marco real– Momentos M
(b) Marco con desplazamiento lateral preveniendo momentos M O
(c) Marco con desplazamiento lateral preveniendo momentos R – M R
FIG. 16.14
(d) Marco sujeto � desplazamiento arbitrario momentos M q
Una pregunta importante que surge en la segunda parte del análisis, es como determinar los momentos en los extremos de los elementos M R que se desarrollan cuando el marco sufre desplazamiento lateral bajo la acción de R, (fig. 16.14(c)). Debido a que el método de distribución de momentos no puede ser usado directamente para calcular los momentos debido a la carga lateral desconocida R, empleamos un enfoque directo en el cual el marco está sujeto a una traslación arbitraria conocida en el nodo generada por la carga desconocida Q actuando en la ubicación y en la dirección de R, como se muestra en la Fig. 16.14(d). de la translación desconocida en el nodo, , determinamos la traslación relativa entre los extremos de cada elemento, y calculamos los momentos de empotre de los elementos de la misma manera en que se realizó previamente en el caso de los apoyos con asentamientos. Los momentos de empotre obtenidos de esta manera son distribuidos mediante el proceso de distribución para determinar l os momentos en los extremos de los elementos M Q generado por la carga un desconocida Q. Una vez habiendo determinado los momentos en los extremos de los elementos M Q, se evalúa la magnitud de Q aplicando las ecuaciones de equilibrio. Con la carga Q y los correspondientes momentos M Q ya conocidos, lo momentos deseados M R debidos s la carga lateral R se pueden determinar fácilmente multiplicando M Q por la relación RQ; es decir, M R
R
Q
M Q
(16.28)
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Sustituyendo la Ec. (16.28) en la Ec. (16.27), podemos expresar los momentos de los extremos del marco real (Fig. 16.14(a)) como: M M O
R
Q
M Q
(16.29)
Análisis de Marcos de Varios Pisos El procedimiento anterior se puede extender a estructuras de varios grados de libertad con desplazamiento lateral permitido. Considere un marco rectan-gular de dos piso mostrado en la Fig. 16.18(a). El análisis de la distribución de momentos para este marco se realiza en tres partes. En la primera parte, se restringe el desplazamiento lateral en los dos pisos agregando patines en los niveles del piso, como se muestra en la Fig. 16.18(b). Los momentos en los extremos de los elementos M O que desarrollan en este marco debido a las cargas externas se calculan mediante el proceso de distribución de momen-tos, y las fuerzas de restricción R1 y R2 en los apoyos imaginarios se evalúan aplicando las ecuaciones de equilibrio. En la segunda parte del análisis, el piso inferior del marco se permite el desplazamiento una cantidad conocida mientras que el desplazamiento lateral del piso superior está restringido, como se muestra en la Fig. 16.18(c). Los momentos de empotre generados por este desplazamiento se calculan y distribuyen para obtener los momentos M Q1 en el extremo del elemento. Determinados los momentos en los extre-mos del elemento, las fuerzas Q11 y Q21 en las ubicaciones de los apoyos de patín se determinan a partir de las ecuaciones de equilibrio. De manera simi-lar, en la tercera parte del análisis, en el nivel superior del marco se permite el desplazamiento una cantidad conocida 2 como se muestra en la Fig. 16.18(d), y los momentos correspondientes en los extremos del elemento M Q2, y las fuerzas Q21 y Q22, se evalúan. Los momentos en los extremos del elemento M del marco real (Fig. 16.18A)) se determinaran superponiendo los momentos calculados en las tres partes como: M M O c1 M Q1 c2 M Q 2
(16.30)
En la cual c1, c2 son constantes cuyos valores se obtienen resolviendo las ecuaciones de superposición de fuerzas horizontales de los apoyos imaginarios. Superponiendo las fuerzas horizontales mostradas en la Fig. 16.18(a) a la (d) en los nodos D y F , respectivamente, obtenemos R 1 c1 Q 11 R 2
c2 Q 12 0
c1 Q 21 c2 Q 22 0
Resolviendo estas ecuaciones simultáneamente, obtenemos los valores de las constantes c1, c2, las cuales son usadas en la Ec. (16.30) para determinar los momentos en los externos del elemento deseados, M . Como se indicó anteriormente , el análisis de marcos por el método de distribución de momentos es bastante tedioso y requiere de mucho tiempo. Por lo tanto, los análisis de estas estructuras se realizan hoy en día con computadoras usando formulaciones matriciales del método de desplazamientos que se presentará en la asignatura de Estructuras II
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(a) Marco real momentos M
FIG. 16.18
(c) Marco sujeto a traslación conocida 1 – momento M Q1
(b) Marco con desplazamiento lateral restringido –momento M O
(d) Marco sujeto a traslación conocida 2 – momento M Q2
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