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Modelos matemáticos de sistemas mecánicos traslacionales
Los sistemas traslacionales son aquellos en los cuales el movimiento se produce a lo largo de una línea recta, los elementos traslacionales activos son la fuerza y lavelocidad, y los elementos pasivos son la masa, la elasticidad y el amortiguamiento. Masa: Una fuerza aplicada a la masa ocasiona una aceleración en la misma dirección en que es aplicada la fuerza. Se encuentra que experimentalmente la aceleración es directamente proporcional a la fuerza aplicada. Def.: La masa m de un cuerpo se define como el factor de proporcionalidad entre la fuerza aplicada y la aceleración que ella produce.
2da ley de Newton:
ó
La aceleración se mide en la dirección de la fuerza, la masa permanece constante y es fijo el sistema de coordenadas en el cual se realizan las mediciones de desplazamiento, velocidad y aceleración. “La masa almacena energía cinética.”
Resorte lineal
En un resorte se cumple la ley de Hooke, que establece lo siguiente: La elongación o compresión neta es directamente proporcional a la fuerza externa aplicada.
Los términos
y
son los desplazamientos de los dos extremos del
resorte en sus posiciones iniciales, resorte.
es la constante de proporcionalidad del
Una curva típica de un resorte se muestra en la siguiente figura:
El factor es llamado rigidez llama complianza. Un resorte cuya
del
resorte y
el
reciproco
de
se
le
es una constante se le llama resorte de Hooke.
El resorte almacena energía potencial.
Elemento de fricción lineal
El amortiguador en su forma mas simple. Un amortiguador consiste de un recipiente lleno con un líquido viscoso que contiene un pistón el cual comprime al
fluido, si dicho fluido se comprime por el movimiento del pistón este escapa rodeando al pistón a través de pequeños orificios taladrados en el pistón.0 Conforme el pistón se mueve le proporciona energía cinética al fluido, y esta energía se convierte en calor, por lo tanto, se disipa perdiéndose. La fuerza requerida para mover el pistón esta dada por la siguiente formula:
La constante amortiguador.
se
llama coeficiente
de
fricción
viscosa o coeficiente
del
Modelos matemáticos de sistemas mecánicos rotacionales
Estos son sistemas mecánicos en los cuales el movimiento se produce alrededor de un punto fijo. Los elementos activos son el Par y la Velocidad angular y los dispositivos pasivos que conforman a los sistemas rotacionales son la rigidez del resorte torsional, elmomento de inercia y la fricción de los amortiguadores rotatorios.
El movimiento de inercia
La relación entre el movimiento de inercia y el par aplicado esta dado por la siguiente formula:
en donde
es el par aplicado y
es el momento de inercia respecto a un eje
fijo, es el desplazamiento angular, la ecuación resultante se basa en la 2da ley de Newton.
Resorte torsional
Si ambos extremos del resorte están libres para moverse y sus desplazamientos respectivos son y entonces para pequeños cambios de desplazamiento la relación matemática entre el par aplicado y las variaciones del desplazamiento son:
en donde es la rigidez del resorte. Prácticamente un resorte torsional se representa por una flecha o un eje que no este perfectamente rígido.
El amortiguador rotacional
Las fuerzas fricciónales en sistemas rotatorios se ocasionan por la fricción entre flechas rotatorias y las chumaceras que las soportan. Usualmente las chumaceras se lubrican con algún fluido viscoso ocasionando que se pierda en ellos energía en forma de calor. El par necesario para girar la flecha contra la oposición del fluido viscoso se encuentra con la siguiente ecuación:
en donde y son los desplazamientos angulares de la flecha y del cilindro respectivamente de acuerdo con el plano de referencia. A la constante se le llamacoeficiente friccional.
Leyes básicas de los sistemas rotacionales
Las ecuaciones dinámicas de los sistemas rotacionales mecánicos se encuentran con la aplicación de la 2da ley de Newton y con el principio de D’Alembert y son:
