Modelos Matemáticos de Sistemas de Control

FUNDAMENTOS FUNDAMENTOS Y MODELOS MATEMÁ MATEMÁTICOS TICOS DE SISTEMAS DE CONTROL

1

INTRODUCCIÓN En las últimas décadas, los sistemas de control han desempeñado un rol vital en el desarrollo y avance tecnológico de la ciencia y la ingeniería, y por ende de la sociedad moderna. En la última década se han convertido en componentes esenciales en el control de vehículos espaciales, sistemas robóticos, y más indispensables aún, en el procesamiento de productos alimenticios, combustibles, industria petroquímica, generación y distribución de energía eléctrica, distribución y tratamiento de aguas residuales y servidas, electrónica de automóviles, electrodomésticos, etc. Los sistemas de control están involucrados de manera implícita en todos los aspectos de la vida diaria, siendo su objetivo fundamental el de mantener los más altos estándares de calidad de los productos (composición, pureza, color, etc.), manteniendo los niveles de producción a mínimo costo y proporcionando además las condiciones de trabajo adecuadas para satisfacer la seguridad industrial y ambiental, con la menor intervención intervención del ser humano. En este capítulo se tratarán los aspectos relacionados con el desarrollo del modelo matemático, las estructuras típicas, los componentes físicos y demás elementos indispensables para el análisis de un sistema de control en tiempo continuo. Utilizando como herramienta la transformada de Laplace, se aplicará el concepto de función de transferencia para modelar el comportamiento dinámico del sistema, estableciendo su relación con la respuesta impulso. La representación gráfica del sistema utilizando diagrama de bloques, facilitará el modelado de cada uno de los componentes del sistema de control. A partir del diagrama de bloques se desarrollará el gráfico de flujo de señales, que permitirá el uso de la fórmula de ganancia de Mason, como herramienta para evaluar la función de transferencia de un sistema con varios lazos de control. Finalmente, utilizando el concepto de variables físicas fundamentales para establecer analogía entre sistemas físicos, se desarrollará el modelo matemático de un conjunto de sistemas típicos, asociados con sistemas eléctricos, sistemas mecánicos de traslación, sistemas mecánicos de rotación, sistemas electromecánicos, sistemas térmicos y sistemas hidráulicos.

1.1 CONCEPTOS CONCEPTOS BÁSICOS DE SISTEMAS DE CONTROL En esta sección se presentará una visión global y un conjunto de aspectos fundamentales relacionados con el propósito, definición, componentes, estrategias, señales características y campos de aplicación de los sistemas de control. 1-1

1-2

Capítulo 1 – FUNDAMENTO S Y MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DE CONTROL

Así mismo se formulará el problema de control, con el propósito de identificar los elementos que deben considerarse en el diseño del controlador, así como otros aspectos adicionales que intervienen en la solución de este problema.

Definicio Definicio nes básicas Aunque existen diferentes definiciones clásicas relacionadas con el objetivo y propósito de un sistema de control, [Dorf05], [Ogata03a], [Kuo95], [Franklin91], [Phillips00], la siguiente definición incluye dos condiciones que caracterizan a un sistema de control:

DEFINICION 1.1 Propósito del sistema de control Conjunto de componentes interconectados , de modo que puedan ser comandados, o regulados por sí mismos o por otro sistema en forma automática, para lograr una condición deseada de una variable física.

Condiciones mínimas de un sistema de control: Según esta definición, existen dos condiciones mínimas que debe satisfacer un sistema de control: la primera se refiere a la capacidad de regulación de sus componentes interconectados, para responder a las especificaciones de uso de acuerdo con la variable física a controlar o variable controlada. La segunda establece que la regulación debe ser automática, lo cual implica que no es necesaria la intervención del ser humano.

Podríamos imaginarnos las consecuencias de tener a una persona ajustando manualmente la válvula de vapor de un sistema de control de temperatura que utiliza un intercambiador de calor. En primer lugar, el alto nivel de riesgo por descuido del operador podría elevar la temperatura a valores peligrosos. En segundo lugar, la calidad en la regulación del sistema sería muy pobre, por la imposibilidad de garantizar que el operador esté pendiente de las variaciones en la temperatura del vapor, todas las horas del día y todos los días del año.

Diagrama funcional y modelo del sistema : Permite identificar la relación causa

 efecto asociada con la señal física a regular o

variable controlada, y la condición condición esperada para esta variable o valor deseado (setpoint).

Esta identificación permite formular la relación entrada

 salida del sistema tal como se

muestra en la figura 1.1, la cual establece a su vez el propósito del sistema de control.

Figura 1.1 Diagrama funcional asociado con el propósito del sistema de control.

Valor deseado Causa (entrada)

SISTEMA DE CONTROL

Variable controlada Efecto (salida)

ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

1-2


Así mismo se formulará el problema de control, con el propósito de identificar los elementos que deben considerarse en el diseño del controlador, así como otros aspectos adicionales que intervienen en la solución de este problema.

Definicio Definicio nes básicas Aunque existen diferentes definiciones clásicas relacionadas con el objetivo y propósito de un sistema de control, [Dorf05], [Ogata03a], [Kuo95], [Franklin91], [Phillips00], la siguiente definición incluye dos condiciones que caracterizan a un sistema de control:

DEFINICION 1.1 Propósito del sistema de control Conjunto de componentes interconectados , de modo que puedan ser comandados, o regulados por sí mismos o por otro sistema en forma automática, para lograr una condición deseada de una variable física.

Condiciones mínimas de un sistema de control: Según esta definición, existen dos condiciones mínimas que debe satisfacer un sistema de control: la primera se refiere a la capacidad de regulación de sus componentes interconectados, para responder a las especificaciones de uso de acuerdo con la variable física a controlar o variable controlada. La segunda establece que la regulación debe ser automática, lo cual implica que no es necesaria la intervención del ser humano.

Podríamos imaginarnos las consecuencias de tener a una persona ajustando manualmente la válvula de vapor de un sistema de control de temperatura que utiliza un intercambiador de calor. En primer lugar, el alto nivel de riesgo por descuido del operador podría elevar la temperatura a valores peligrosos. En segundo lugar, la calidad en la regulación del sistema sería muy pobre, por la imposibilidad de garantizar que el operador esté pendiente de las variaciones en la temperatura del vapor, todas las horas del día y todos los días del año.

Diagrama funcional y modelo del sistema : Permite identificar la relación causa

 efecto asociada con la señal física a regular o

variable controlada, y la condición condición esperada para esta variable o valor deseado (setpoint).

Esta identificación permite formular la relación entrada

 salida del sistema tal como se

muestra en la figura 1.1, la cual establece a su vez el propósito del sistema de control.

Figura 1.1 Diagrama funcional asociado con el propósito del sistema de control.

Valor deseado Causa (entrada)

SISTEMA DE CONTROL

Variable controlada Efecto (salida)


1-3

1.1 – CONCEPTOS BÁSICOS DE SISTEMAS DE CONTROL

El planteamiento anterior es consistente con la siguiente definición [Carlson98]:

DEFINICION 1.2 Sistema dinámico Proceso en el cual existe una relación causa



efecto y es posible

formular en forma algebraica o gráfica una relación entrada



salida,

para evaluar su comportamiento en el tiempo. La formulación de la relación entrada

 salida

conduce al desarrollo del modelo del

sistema, el cual puede ser analítico o gráfico y es el elemento básico para el análisis y

diseño del sistema de control.

Análisis y diseño: El problema de análisis se refiere a la evaluación de la respuesta dinámica del sistema (salida) para una entrada conocida, referida generalmente como señal de prueba, asumiendo que se conoce el modelo del sistema. Por otro lado, el problema de diseño se refiere a determinar el modelo del sistema para satisfacer condiciones específicas de una relación entrada  salida, referida normalmente como requerimientos de diseño.

Sistemas SISO y sistemas MIMO : Aunque el diagrama de la figura 1.1 muestra un sistema de 1-entrada y 1-salida o SISO (Single-Input-Single-Output), la mayor parte de las aplicaciones prácticas corresponden a sistemas multivariables o MIMO (Multiple-Input-Multiple-Output), cuyo diagrama

funcional se muestra en la figura 1.2. La flecha doble se usa para indicar que existen varias entradas (causas) y salidas (varios efectos) en el proceso de regulación del controlador.

Figura Figu ra 1.2 Diagrama funcional de un sistema de sistema de control multivariable (MIMO).

Entradas Valores deseados

SISTEMA DE CONTROL MULTIVARIABLE

Salidas Variables controladas

Un ejemplo típico de un sistema de control multivariable es el caso del sistema de regulación de velocidad de un automóvil, mostrado en la figura 1.3, donde la velocidad

final depende del par mecánico o torque T m ejercido por la inercia total del vehículo y el ángulo de posición del acelerador

Figura Figu ra 1.3 Diagrama funcional del sistema de regulación de velocidad de un vehículo.

T m

 acel

 acel fijado por el conductor. CONTROL DE VELOCIDAD VEHICULO

Velocidad




1-4

Capítulo 1 – FUNDAMENTOS Y MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DE CONTROL

Campos de aplicación d e los sist emas de contro l Aunque existe una gran variedad de sistemas de control que se pueden encontrar en aplicaciones domésticas, comerciales e industriales, es frecuente clasificarlos en dos grandes categorías [Johnson02], según la naturaleza de variable física a regular: - control de procesos - servomecanismos El control de procesos trata de forzar a que una variable física mantenga un valor constante en el tiempo, respecto de un valor deseado o setpoint . De este modo el control de procesos

se aplica generalmente en operaciones automáticas de control de nivel, temperatura, flujo, presión, posición, relacionadas con procesos domésticos, comerciales e industriales. Los servomecanismos obedecen a otro tipo de sistema de control, donde el objetivo es el seguimiento o rastreo de una señal física, forzando a que se mantenga cercana a valor específico o “target”. El término servomecanismo se debe a la clase de componentes que utiliza para lograr el propósito del sistema de control. Ejemplos típicos son: el control de posición de una antena de un radar, el control de la dirección de un vehículo y el uso de robots en aplicaciones industriales y biomedicina, para lograr movimientos precisos en el espacio como una función del tiempo. Otras clasificaciones hacen referencia a aplicaciones más específicas como el control secuencial, utilizado en sistemas electrodomésticos y en procesos de manufactura de

productos que utilizan máquinas herramientas computarizadas. El control analógico donde la función de regulación es realizada por dispositivos analógicos electrónicos, neumáticos o hidráulicos y el control digital que utiliza un microprocesador como unidad de control.

1.2 ESTRUCTURAS TÍPICAS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL En esta sección se hará una descripción de las estrategias utilizadas para satisfacer el requisito de regulación automática del sistema de control, sus estructuras, componentes y características. Se hará énfasis en el principio de control por realimentación (feedback) por su característica de regulación del error del sistema de control , además de otras efectos en su comportamiento dinámico como: estabilidad , capacidad de rechazo a las perturbaciones y baja sensibilidad por cambio en sus parámetros.

Estrategias de contr ol La condición de regulación automática del sistema se puede lograr utilizando diversas estrategias de control. Estas estrategias se desarrollan a través de esquemas de control que ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

1-5

1.2 – ESTRUCTURAS TÍPICAS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

ofrecen características particulares. Los esquemas clásicos utilizados con mayor frecuencia en aplicaciones prácticas, son: - sistema de control de lazo abierto - sistema de control de lazo cerrado o realimentado (feedback) - sistema de control de acción precalculada - sistema de control en cascada

Sistema de control de lazo abierto: La figura 1.4 muestra los elementos básicos de un sistema de control de lazo abierto, donde se ha introducido el término de compensador , ampliamente utilizado en la teoría clásica de sistemas de control para hacer referencia al controlador. p( t )

r(t ) Figura 1.4 Componentes de un sistema de control de lazo abierto.

COMPENSADOR O CONTROLADOR

m(t )

E F C

PROCESO O PLANTA

y( t )

Según la definición 1.1, el sistema debe ser capaz de regular la señal de salida o variable controlada y(t ) dentro de límites aceptables del valor deseado o setpoint , establecido por

la señal de entrada r (t ) . La señal de control m(t ) es determinada por la acción del controlador o compensador y se encarga de ajustar el proceso o planta para garantizar que la variable controlada se mantenga cerca del valor deseado. La señal m(t ) actúa sobre un componente del proceso referido como el elemento final de control (EFC), para regular su funcionamiento, tal como se muestra en la figura 1.4.

Ejemplos típicos del EFC son: válvulas, fuentes de potencia, reguladores, servomotores, etc. En esquemas posteriores para efecto de simplificación del esquema se omitirá el EFC. La señal p(t ) en la figura 1.4 se utiliza para simular la presencia de perturbaciones en el proceso, entendida como una señal o señales que pueden modificar la variable controlada o salida del sistema y(t ) . Para cada sistema en particular es posible identificar este tipo de señales. Por ejemplo, la temperatura ambiente, la temperatura de entrada del fluido de control y la masa de fluido cuya temperatura se desea regular, son ejemplos típicos de perturbación en un sistema de control de temperatura de un proceso. Si el sistema de regulación de velocidad de un vehículo mostrado en la figura 1.3 es de lazo abierto, la perturbación puede ocurrir cuando se presenta una pendiente en la trayectoria del ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

1-6


vehículo, la cual reduce de inmediato la velocidad manualmente el ángulo de posición del acelerador

.

A menos que el conductor ajuste

 acel (señal de referencia o setpoint), la

variable controlada seguiría la trayectoria mostrada en la figura 1.5. Luego, el sistema en lazo abierto no es regulado, dado que no es capaz de ajustar automáticamente la entrada r(t ) para responder a las perturbaciones del proceso p(t ) .



aplicación de T m

Figura 1.5 Respuesta de un sistema de control de lazo abierto ante una perturbación.

t

En este orden de ideas, las características del sistema de control de lazo abierto , son: - es simple y económico. - no responde a cambios en la variable controlada por efecto de perturbaciones. - es un sistema no regulado.

Sistema de control de lazo cerrado: Para lograr un sistema regulado, es necesario modificar el esquema de la figura 1.4, insertando un lazo de realimentación a través del cual se pueda informar continuamente al controlador o compensador de los cambios que ocurren en la variable controlada por efecto de perturbaciones en el proceso. Esta estrategia se logra con el esquema mostrado en la figura 1.6, conocido como sistema de control de lazo cerrado o control realimentado. p( t )

r (t )

Figura 1.6 Sistema de control de lazo cerrado o control realimentado.

COMPENSADOR CONTROLADOR

m(t )

PROCESO O PLANTA

y( t )

b(t )

TRANSMISOR MEDIDOR

En el esquema de la figura 1.6, los cambios en la variable controlada y (t ) por efecto de perturbaciones en el proceso p(t ) son transmitidos al controlador a través de la señal de realimentación b(t ) . El controlador, según la magnitud de estos cambios ajusta ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

1-7


automáticamente la señal de control m(t ) para lograr que la variable controlada y (t ) se mantenga cerca del valor deseado r(t ) , Retomando el ejemplo del sistema de regulación de velocidad del automóvil de la figura 1.3, podemos asumir que se instala un sensor de velocidad y un regulador que ajusta automáticamente el ángulo de posición

 acel del acelerador, cada vez que ocurra un cambio

en la velocidad del motor. La figura 1.7 muestra la respuesta dinámica de este sistema ante una perturbación, originada por un aumento en torque mecánico T m .



aplicación de T m

Figura 1.7 Respuesta dinámica de un sistema de control de lazo cerrado.

t

Las características de un sistema de control de lazo cerrado , se pueden resumir en: - transmite continuamente al controlador la información sobre el estado actual de la variable controlada y(t ) . - determina la acción de control m(t ) en función de los cambios de la variable controlada, respecto del valor deseado r(t ) . - es un sistema regulado, porque responde a los cambios en la variable controlada, por efecto de perturbaciones en el proceso. - más complejo y costoso que un sistema de control de lazo abierto. - puede ser lento en la respuesta. El esquema de la figura 1.6 es el fundamento de los sistemas realimentados de control o “feedback” y será el modelo clásico a utilizar en los capítulos posteriores relacionados con el análisis y diseño del sistema de control. Sus características y propiedades serán analizadas con detalle más adelante.

Sistema de control por acción precalculada: Una forma de mejorar la velocidad de reacción del sistema de control en lazo cerrado, es utilizar el esquema de control por acción precalculada, mostrado en la figura 1.8. En esta estrategia, el controlador recibe continuamente información relacionada con el estado actual de las variables de perturbación del proceso p(t ) . De este modo, el sistema determina la acción de control m(t ) necesaria para ajustar el funcionamiento del proceso,


1-8


antes de que ocurran los cambios en la variable controlada y (t ) , mejorando la velocidad de respuesta del sistema de control. Esta característica es fundamental en sistemas de control

de temperatura, donde las constantes de tiempo del proceso son elevadas. p( t )

Figura 1.8 Sistema de control por acción precalculada.

r (t )

COMPENSADOR CONTROLADOR

m(t )

PROCESO O PLANTA

y( t )

Sin embargo, el cálculo de la acción de control m(t ) es complejo y generalmente se recurre a registros históricos del comportamiento de la variable controlada y(t ) respecto de las variables de perturbación p(t ) . Las características del control por acción precalculada, pueden resumirse en: - evalúa continuamente las variables de perturbación del proceso, para determinar la acción de control m(t ) . - es más rápido en la respuesta, que el sistema de control en lazo cerrado. - es más complejo y más costoso de implementar. - no utiliza realimentación de la variable controlada.

Sistema de control en cascada: El esquema típico se muestra en la figura 1.9, donde se muestran 2 lazos de control que utilizan el principio de realimentación. El propósito de este esquema es regular una de las variables de perturbación que pueden tener mayor efecto en las alteraciones de la variable controlada del proceso. A partir de esta variable se establece el lazo secundario de control, logrando así minimizar su efecto sobre la variable controlada del sistema y (t ) . Un caso práctico de control en cascada es el sistema mostrado en la figura 1.18, que utiliza un intercambiador de calor para regular la temperatura de un fluido. El fluido de control es vapor y una de las variables de perturbación que tienen mayor incidencia en la variable controlada (temperatura), son las posibles variaciones en el flujo de vapor aguas arriba de la válvula de control. Una forma de minimizar el efecto de estas variaciones de flujo, es instalar un lazo secundario de control de flujo , que regule la cantidad de vapor que llega al intercambiador, ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

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tal como se muestra en la figura 1.9. Otra perturbación, como la temperatura ambiente puede minimizarse usando revestimiento térmico apropiado en el intercambiador de calor. p( t )

r(t )

CONTROLADOR PRIMARIO

mp (t )

CONTROLADOR SECUNDARIO

ms (t )

MEDIDOR SECUNDARIO Figura 1.9 Sistema de control en cascada.

MEDIDOR PRIMARIO

y( t )

PROCESO O PLANTA

[Flujo]

[Temperatura]

De acuerdo con la figura 1.9, el sistema de control en cascada utiliza un lazo de control primario, cuya acción de control mp (t ) se convierte en el setpoint del controlador secundario, el cual responderá a su vez con una acción de control ms (t ) para regular la variable controlada o variable del proceso y(t ) . En aplicaciones prácticas el controlador primario se denomina como control maestro y el controlador secundario como control esclavo y el conjunto global como sistema de control maestro-esclavo.

Características del sistema control realimentado (feedback) La razón de utilizar el principio de realimentación como estrategia de control se presentó en el sistema de regulación de velocidad de un automóvil, mostrado en la figura 1.3. En esta estrategia de control podemos identificar 3 operaciones básicas que debe realizar el sistema de control: 1. Detectar el valor actual de la variable controlada y(t ) , a través del sistema de medición y transmitirla al controlador. 2. Comparar la señal de realimentación b( t ) con el valor deseado r(t ) de la variable controlada. El resultado de esta comparación establece el error del sistema, como e( t )  r(t )  b( t )

(1.1)

3. A partir del error del sistema e( t ) establecer la acción de control m(t ) necesaria para corregir la desviación de la variable co ntrolada y (t ) .


1-10


La figura 1.10 muestra los componentes y las señales que intervienen en el desarrollo de las 3 operaciones que realiza el sistema de control realimentado. La línea punteada permite identificar al controlador o compensador mostrado en la figura 1.6. Esta similitud entre el diagrama de las figuras 1.10 y 1.6, hace que el sistema de control con realimentación, se reconozca también como sistema de control de lazo cerrado. p( t )

CONTROLADOR r (t )

e(t )

+ b(t )



MODO DE CONTROL

Figura 1.10 Componentes del sistema de control realimentado o de lazo cerrado.

m(t )

PROCESO O PLANTA

y(t )

MEDICIÓN

La estrategia para el análisis del sistema de control mostrado en la figura 1.10 consiste en modelar la relación entrada  salida de cada componente por un bloque funcional, usando las señales que se describen a continuación: y (t ) : variable controlada o variable del proceso, la cual establece el propósito del

sistema de control. r(t ) : valor deseado de la variable controlada y ( t ) , señal de referencia, o setpoint. b(t ) : valor medido de la variable controlada y (t ) o señal de realimentación. e(t ) : señal de error, como una medida de la desviación que sufre la variable controlada y (t ) , respecto del valor deseado r (t ) . m(t ) : señal de control, calculada a partir de la señal de error e(t ) , de acuerdo con el

modo de acción del controlador. p(t ) : perturbación del proceso, razón de uso del principio de realimentación.

El sumador mostrado en la figura 1.10 para evaluar la señal de error, se reconoce como el detector de error .

El problema de contr ol Es posible formular el problema de control, en términos de la siguiente definición:

DEFINICION 1.3 El problema de control Controlar con un mínimo de precisión un proceso o planta, utilizando el principio de realimentación, a través del esquema de lazo cerrado. ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

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De este modo, el propósito de la realimentación es el de minimizar el error, y su magnitud es una medida de la precisión lograda por el sistema de control. La figura 1.11 muestra la señal de error en dos sistemas de control que puede utilizarse para comparar su exactitud.

e(t )

baja exactitud alta exactitud

Figura 1.11 Exactitud de dos sistemas de control a partir de la señal de error.

t

La figura 1.12 muestra las 4 etapas [Bishop97] que se utilizan en la Ingeniería de Control para la solución del problema.

Propósito del sistema de control: - variables a ser reguladas - variables de perturbación - requerimientos del sistema

Modelo del sistema de control: - esquema de control - modelo del sensor y actuador - modelo del proceso o planta

1

2

Diseño del sistema de control: - especificaciones de diseño - ajuste de parámetros - modelo del controlador 3

Verificación de resultados: - comprobar especificaciones - análisis de sensibilidad - rechazo a perturbaciones Figura 1.12 Fases en la solución del problema de control.

No

¿Se cumplen especificaciones?

4

Sí

Documentación del proyecto

La descripción detallada de cada etapa se presenta a continuación: ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

1-12


Fase 1: Establecimiento del propósito del sistema de control En esta etapa es necesario identificar las señales a ser reguladas y las señales de perturbación, las cuales establecen el propósito del sistema de control. Así mismo es

necesario formular los requerimientos del sistema en términos de valores característicos esperados para la respuesta transitoria y permanente.

Fase2: Desarrollo del modelo del sistema de control Esta fase es la que presenta mayor complejidad en la solución del problema y se inicia estableciendo la estrategia de control y el esquema a ser utilizado: lazo abierto, lazo cerrado, cascada, acción precalculada, etc. donde la experiencia práctica del diseñador es fundamental para lograr una estrategia de control sencilla pero efectiva, según los requerimientos del sistema. Un segundo elemento a considerar en esta fase, es la selección de sensores para medición de la señal de campo y de actuadores para modificar el proceso. A continuación es necesario desarrollar el modelo del proceso o planta, del actuador y del sensor, aplicando criterios prácticos para lograr una abstracción del modelo físico, mediante el uso de elementos conceptuales de física, química, mecánica, etc. para lograr un modelo matemático simplificado, pero que a su vez sea una adecuada representación de los componentes físicos del proceso o planta.

Fase 3: Diseño del sistema de control Esta fase se inicia formulando las especificaciones de diseño a partir de lo requerimientos del sistema presentados en la fase 1. De acuerdo con el esquema de control seleccionado en la fase 2, es posible establecer el modelo matemático del controlador o compensador a utilizar y a partir de este calcular el ajuste de sus parámetros, aplicando métodos clásicos o modernos de diseño.

Fase 4: Verificación de resultados y documentación del proyecto Una vez diseñado el controlador, es necesario verificar el resultado obtenido, evaluando la respuesta dinámica del sistema a la luz de las especificaciones de diseño. En esta fase generalmente se recurre al uso de herramientas de simulación. Además de verificar el cumplimiento de las especificaciones de diseño, se deben evaluar otros aspectos relacionados con la sensibilidad por cambio en parámetros del sistema y el rechazo a las perturbaciones.

Si el resultado del diseño no es satisfactorio es necesario retornar a la fase 2, para la revisión del esquema seleccionado y de las simplificaciones hechas en el desarrollo del modelo de los componentes del proceso, hasta lograr un resultado que se ajuste a los requerimientos del sistema, formulados en la fase 1. ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

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Una vez logrado un resultado satisfactorio, la etapa final consiste en la documentación del proyecto, usando técnicas y herramientas de la ingeniería de detalle para la descripción de

las especificaciones de cada componente del sistema de control, el desarrollo de planos y diagramas de control usando simbología ISA (Instrument Society of America) [ISA92].

1.3 EJEMPLOS TIPICOS DE SISTEMAS DE CONTROL A continuación se presentará la descripción de de casos prácticos de sistemas de control, algunos de los cuales serán utilizados en los ejemplos de análisis y diseño en capítulos posteriores, con el objeto de identificar las 3 acciones operaciones básicas, la acción de control y posible perturbaciones.

Sistema de control de nivel d e un tanque La figura 1.13 muestra los componentes de un sistema de control de nivel de lazo cerrado para regular el nivel de un tanque que contiene un fluido. Se desea mantener constante el nivel (variable controlada), usando como elemento final de control (EFC) la válvula de entrada (VE). La válvula de salida (VS) se asume que está abierta en una posición fija. q(t )

VE

Figura 1.13 Sistema de control de nivel.

SP h(t )

qs (t )

VS Si se presenta un aumento en el caudal de salida qs (t ) el nivel disminuye, generando una señal de error e( t ) respecto del valor deseado o setpoint (SP). La señal de error es utilizada

por el controlador para generar la señal de control m(t ) que se encarga de abrir la válvula de control VE, para aumentar el caudal de entrada q( t ) y recuperar así el nivel h(t ) del

tanque. En este ejemplo la acción de control consiste en abrir o cerrar la válvula V E si baja o sube el nivel del tanque. Una posible perturbación en este sistema es el cambio en el caudal del fluido de control, aguas arriba de la válvula de control: VE.

Sistema de contro l de temperatura de una cámara de cultiv o La figura 1.14 muestra el caso típico de un sistema de control de temperatura de lazo cerrado [Phillips00], cuyo propósito es regular la temperatura de una cámara utilizada para

el cultivo orgánico de plan tas. La variable controlada es la temperatura de la cámara y para ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

1-14


) medirla se usa una resistencia RTD (Resistive Thermal Device), cuyas variaciones ( ohms ) a través de un puente de Wheatstone. se convierten en una señal de voltaje ( mV

Controlador o compensador

m(t )

Fuente de potencia

Resistencia Cámara de cultivo

Amplificador Figura 1.14 Sistema de control de temperatura.

e(t )

+

K

mV

Puente de Wheatstone



RTD

Puerta de acceso

SP Como la señal de salida del puente suele ser de pocos milivoltios, se usa un amplificador de voltaje para acondicionarla a un nivel de 1-5V. La salida del amplificador se compara con el valor deseado o setpoint (SP) para generar la señal de error e(t ) , que es utilizada por el controlador o compensador para generar la señal de control m(t ) , necesaria para modificar la salida de la fuente de potencia que alimenta la resistencia de calefacción. De este modo, la acción de control se traduce en aumentar o disminuir la potencia suministrada a la resistencia de calefacción, cada vez que disminuya o aumente la temperatura interior de la cámara de cultivo. Una posible perturbación en este sistema de control es la apertura de la puerta de entrada, tal como se analizará en el ejemplo 1.4.

Sistema de control de posición de una antena La figura 1.15 los componentes de este sistema de control, cuyo propósito es regular el ángulo de posición de una antena. El controlador genera una señal de voltaje que es utilizada para posicionar el eje de un servomotor, el cual a través de una caja de engranajes regula la posición de la antena. El sensor reporta una señal de voltaje como una medida del ángulo de posición de la antena, que es utilizada para compararla con el SP para generar la señal de error e( t ) entregada a controlador. La acción de control se reduce a establecer la posición del eje del servomotor y una posible perturbación es la presión del viento sobre la superficie de la antena.

SP

e(t )

+

Figura 1.15 Sistema de control de posición.

Controlador o compensador

m(t )

Servomotor

Caja de engranajes

 voltios

Sensor de posición

grados


1-15

1.3 – EJEMPLOS TIPICOS DE SISTEMAS DE CONTROL

Sistema de control digital Los ejemplos presentados hasta este momento utilizan y procesan señales continuas y en este sentido se reconocen como sistemas analógicos de control. Sin embargo, el desarrollo de los microprocesadores ha tenido una fuerte incidencia en los sistemas de control, permitiendo que la función de control pueda efectuarse en forma digital. La figura 1.16 muestra los componentes de un sistema de control digital de lazo cerrado donde la función del controlador analógico se ha sustituido por un microcontrolador (C). ] se establece a través de un algoritmo de control almacenado en La acción de control m[ k

el

C. En este esquema es necesario incluir un convertidor análogo digital (A/D) y un

convertidor digital analógico (D/A) como dispositivos de interfase. Detalles relacionados con el análisis y diseño de este modo de control serán tratados en los capítulos 5 y 6.

(t )

() +



C

A/D

] m[ k

D/A

m(t )

Proceso

(t ) y

Controlador Figura 1.16 Sistema de control digital.

Sensor o Transmisor

Sistema de control multivariable Los ejemplos anteriores se han referido a sistemas de una entrada y una salida o sistemas SISO. Sin embargo, en aplicaciones prácticas, los sistemas de control pueden incluir varios lazos de control, que se identifican a través de la variable controlada de cada uno. La figura 1.17 muestra el caso típico del control de lazo cerrado de un turbogenerador, formado por tres componentes: una caldera para la producción de vapor, una turbina para convertir la energía térmica en energía cinética y un generador de corriente alterna o alternador , para transformar la energía cinética en energía eléctrica. En este sistema es

necesario regular simultáneamente cuatro variables: - composición de la mezcla en la caldera. - temperatura de salida del valor. - presión de salida del vapor. - frecuencia del voltaje de salida del generador.


1-16


Agua Combustible

Turbina

Caldera

n

Generador

Aire

Medidor de mezcla

Medidor de temperatura

Medidor de presión

Medidor de frecuencia

Regulador de velocidad

Figura 1.17 Sistema de control multivariable para la regulación de un turbogenerador.

C

Setpoint de cada lazo de control

De acuerdo con la estrategia de lazo cerrado, es necesario medir cada una de estas variables y enviar su estado actual al controlador, que en este caso en un microprocesador, el cual se encarga de generar la respectiva señal de control en función de cada señal de error y del modo de control establecido para regular cada una de las variables controladas. Para regular cada una de las variables anteriores es necesario establecer una variable manipulada m(t ) para cada lazo de control, que sea capaz mantener su respectiva variable controlada cerca del setpoint. Según la figura 1.17 se identifican cuatro lazos de control: - flujo de entrada de aire a la caldera. - flujo de entrada de combustible a la caldera. - flujo de entrada de agua a la caldera. - velocidad n de la turbina en revoluciones por minuto (rpm ) Para facilitar la identificación de los lazos de control, en la figura 1.17 las señales correspondientes a la acción de control se han dibujado en líneas punteadas. De este modo se identifican cuatro lazos de control y se reconoce como un sistema de control multivariable o sistema MIMO.


1-17

1.3 – EJEMPLOS TIPICOS DE SISTEMAS DE CONTROL

Simbología estándar en sistemas de control de procesos En los ejemplos anteriores se han utilizando diagramas funcionales, para identificar los componentes de cada sistema de control. Sin embargo, en aplicaciones prácticas, en particular en los sistemas de control de procesos, se utiliza una simbología estándar [ISA92] desarrollada y aprobada en julio de 1992 entre el American National Standard Institute (ANSI) y la Instrument System and Automation Society (ISA), conocida como ANSI-ISA S5.1-1984 (R1992). Esta simbología se utiliza en los planos de la ingeniería de detalle del proyecto y la figura 1.18 muestra el caso de un sistema de control en cascada similar al esquema de la figura 1.9, para controlar la temperatura de salida T2 (t ) de un fluido, usando como actuador un intercambiador de calor.

FT 25

FY 25

Vapor

FRC 25

SP

TRC 25

TT 25

T1(t )

Figura 1.18 Sistema de control en cascada usando simbología ISA.

Intercambiador de calor

T2 ( t )

T

El sistema utiliza un lazo secundario de control para regular el flujo de vapor con el objeto de contrarrestar sus posibles variaciones, aguas arriba de la válvula de control. En el apéndice F se presenta un resumen de los símbolos y letras utilizadas en este diagrama.


1 - 18

1.4 – FUNCION DETRANSFERENCIA Y RESPUESTA IMPULSO

1.4 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y RESPUESTA IMPULSO En las secciones anteriores se presentaron los elementos necesarios para comprender el funcionamiento de un sistema de control. En esta sección se hará referencia a los tres modelos clásicos usados en el análisis y diseño del sistema de control en tiempo continuo:

ecuación diferencial (ED), la respuesta impulso h( t ) y la función de transferencia (FT). Para el desarrollo del modelo de FT se utilizará como herramienta la transformada de Laplace (TL), cuyos fundamentos básicos se presentan en el apéndice B.

Respuesta dinámica como soluci ón de una ecuación d iferencial Los 3 modelos clásicos utilizados en el análisis de un sistema de control se derivan de la teoría de sistemas lineales y se reconocen como [ReySoto08]: - ecuación diferencial - respuesta impulso - función de transferencia La ecuación diferencial ordinaria de coeficientes constantes (ED) permite formular la relación entrada-salida representada simbólicamente como x(t )



y (t ) , del sistema lineal

invariante en el tiempo (LIT) mostrado en la figura 1.19.

Figura 1.19 Relación entrada salida de un sistema LIT continuo.

x(t )

y (t )

SISTEMA CONTINUO

Asumiendo que el sistema es de orden-2, la ED normalizada se formula como 2

d y dt

2

 a1

dy dt

 a0 y  b1

dx

 b0 x

dt

(1.2)

En el sistema anterior n  2 y m  1 . Como m  n se puede demostrar [ReySoto08] que es causal o realizable. Si el sistema LIT es modelado por una ED, su solución permite obtener la respuesta dinámica del sistema y (t ) a una entrada arbitraria x(t ) . Aunque existen métodos clásicos para esto [ReySoto08], es preferible utilizar métodos de transformación basados en la transformada de Laplace, tal como se muestra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 1.1: Obtener la respuesta dinámica de un sistema LIT modelado por la siguiente Respuesta dinámica como solución de la ED de un sistema LIT

ED, ante una entrada escalón unitario.

1 - 18

1-19

1.4 – FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y RESPUESTA IMPULSO 2

2

d y dt

2

6

 y (0)  1  4 y  10 x( t )  dt  y '(0)  2

dy

Solución: Comenzamos normalizando la ED 2

d y dt

2

3

dy

 2 y (t )  5x(t )

dt

Llevando al dominio-s para x(t )  u( t ) y aplicando la tabla B.1, obtenemos s Y( s)  sy(0)  y '(0)  3[ sY( s)  y (0)]  2 Y( s)  X( s) 2

Resolviendo para Y( s ) Y( s) 

s 1

5

X( s)  2 ( s2  3s  2) s  3s  2  



 s  5 s( s  1)( s  2) 2

s

respuesta natural

respuesta forzada

La expresión anterior permite identificar las 2 componentes de la solución: la YN ( s ) o respuesta a entrada cero y la respuesta forzada

respuesta natural

YF ( s ) o respuesta a estado cero.

Para la respuesta natural y N (t ) , usando la tabla B.1, obtenemos YN ( s)  

s 1

( s  1)( s  2)



1



2 s

2t

y N (t )   e , t

 0

Para la respuesta forzada, descomponemos YF ( s ) en fracciones parciales YF ( s )

5 s( s  1)( s  2)



2.5



s

5 s 1



2.5 s  2 ®

que puede verificarse usando matemática simbólica de MATLAB : » syms s, Ys=5/ s/ ( s^2+3*s+2) ; FPYFs=di f f ( i nt ( Ys) ) FPYFs = 5/ 2/ s- 5/ ( s+1) +5/ 2/ ( s+2)

Utilizando la tabla B.1, obtenemos finalmente, t

y F (t )  2.5  5e

 2.5e2t , t  0

Luego la respuesta completa es t

y( t )  y N ( t )  y F (t )  2.5  5e

 1.5e2t , t  0

La solución completa y las dos componentes pueden obtenerse usando la función

dsolve()

del Toolbox de Matemática Simbólica (TBMS) de

®

MATLAB : » yF=dsol ve( ' D2y+3*Dy+2*y=5, y( 0) =0, Dy( 0) =0' ) ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

1-20


yF = 5/ 2+5/ 2*exp( - 2*t ) - 5*exp( - t ) » yN=dsol ve( ' D2y+3*Dy+2*y=0, y( 0) =- 1, Dy( 0) =2' ) yN = - exp( - 2*t ) » y=dsol ve( ' D2y+3*Dy+2*y=5, y( 0) =- 1, Dy( 0) =2' ) y = 5/ 2+3/ 2*exp( - 2*t ) - 5*exp( - t )

Respuesta imp ulso El segundo modelo de un sistema LIT es la respuesta impulso: h( t ) , que se obtiene [ReySoto08] asumiendo que la entrada del sistema de la figura 1.19 es x(t )  (t ) . Como en este caso la entrada x(t )  0 para t  0 , no es posible incluir condiciones iniciales en la solución de la ED y se reconoce como un sistema en reposo. (Respuesta forzada).

EJEMPLO 1.2: Obtener la respuesta impulso del sistema LIT de ejemplo 1.1, cuya ED es Respuesta impulso a partir de la ED de un sistema LIT

2

d y dt

2

 3

 y (0)  1  2 y  5x (t )  dt  y '(0)  2

dy

, Solución: Como se asume que el sistema está en reposo, llevamos la ED al dominio- s asumiendo y (0)  y '(0)  0 , para x(t )  (t ) y y(t )  h( t ) : s H ( s)  3sH ( s)  2 H ( s)  5 2

) , obtenemos h( t ) como Resolviendo para H ( s H ( s) 

5 2

s

 3s  2



5 s 1



5 s 2



t

h(t )  5e

 5e2t , t  0

Usando convolución lineal es posible [ReySoto08] obtener la respuesta del sistema a una entrada arbitraria como 

y(t ) 

 h() x(t  ) d  h(t ) x( t )

(1.3)



Desplazando la función h( t ) se obtiene una expresión alterna para la convolución 

y(t ) 

 x()  h(t  ) d  x(t ) h( t )

(1.4)



Por lo tanto h(t )  x(t )  x( t )  h( t ) que se reconoce como la propiedad conmutativa.


1-21

1.4 – FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y RESPUESTA IMPULSO

 0 y las expresiones Si el sistema y la señal de entrada son causales solo existen para t (1.3) y (1.4) se reducen a t

t



y( t )  h( )  x(t 0

 )d   x()  h( t  )d

(1.5)

0

Como la respuesta impulso implica que el sistema está en reposo, la convolución (1.3), (1.4) o (1.5) conducen a la respuesta forzada del sistema, suficiente para el análisis y diseño del sistema de control. De este modo, un sistema de control LIT puede ser modelado a través de la respuesta impulso h( t ) , tal como se muestra en la figura 1.20, para evaluar su respuesta dinámica ante una entrada arbitraria x(t ) .

Figura 1.20 Respuesta impulso como modelo de un sistema continuo en reposo.

y (t )

x( t )

h( t )

X( s )

Y( s )

(Reposo)

Existen tres aspectos importantes en el uso de este modelo: 1. Como el sistema está en reposo, la solución y(t ) corresponde a la respuesta forzada. 2. El uso de la convolución lineal para obtener la respuesta del sistema puede presentar dificultades algebraicas. 3. Para facilitar la evaluación de la respuesta se recurre a métodos de transformación.

Función de transferencia Aunque es posible utilizar la ED o la respuesta impulso para evaluar la respuesta dinámica de un sistema de control, es más práctico recurrir al tercer modelo conocido como la función de transferencia (FT), representando el sistema de la figura 1.20 en el dominio de

Laplace, asumiendo condiciones iniciales cero (reposo). Si el sistema se modela en función de su respuesta impulso h( t ) , aplicando la propiedad de convolución de la transformada de Laplace (tabla B.2), obtenemos: y (t )  h( t )  x(t )



Y( s)  H ( s)  X( s)

(1.6)

) es Por lo tanto, el problema se reduce a resolver la ecuación algebraica (1.6), donde H ( s

la transformada de Laplace de la respuesta impulso h( t ) , es decir H ( s)  L {h(t )}



h( t )  L

1

{ H ( s)}

(1.7)


1-22


) en la ecuación (1.6) es posible definir la FT en los siguientes términos. Despejando H ( s

DEFINICION 1.4 Función de transferencia La función de transferencia (FT) es la función característica de un sistema LIT en reposo en el dominio-s y se obtiene como la relación entre la TL de la salida y(t ) y TL de la entrada x(t ) : H (s )

) Y( s

(1.8)

X( s ) reposo

El siguiente ejemplo muestra el cálculo de la FT y de la respuesta impulso, a partir del modelo básico de ED de un sistema LIT, y su aplicación para obtener la respuesta dinámica del sistema ante una entrada escalón.

EJEMPLO 1.3: Obtener la respuesta escalón del sistema LIT del ejemplo 1.2, cuya ED es FT y respuesta escalón de sistema LIT.

2

d y dt

2

 3

dy

 2 y  5x (t )

dt

, asumiendo el sistema en reposo Solución: Para obtener la FT llevamos la ED al dominio-s s Y( s)  3sY( s)  2Y( s)  5 X( s) 2

Utilizando la definición (1.8) de FT H (s )

Y( s ) X( s)



5 2

s

 3s  2

Para obtener la respuesta escalón aplicamos (1.6), asumiendo X( s)  1/s Y( s )

5 2

s

 3s  2

1

5

s

s( s  1)( s  2)

 

Usando fracciones parciales obtenemos la TIL Y( s) 

2.5 s



5 s 1



2.5 s  2



t

y(t )  2.5  5e

 2.5e2t , t  0

Figura 1.21 Respuesta escalón de un sistema continuo en reposo.


1-23


La gráfica de y (t ) se muestra en la figura 1.21 y corresponde a la respuesta forzada de la solución que se obtuvo en el ejemplo 1.1.

Estabilidad a partir d e la respuesta impulso y la FT El resultado del ejemplo 1.3 muestra que la respuesta escalón es suficiente para evaluar la estabilidad de un sistema LIT. Lo anterior se basa en el concepto de estabilidad acotada que se define a continuación:

DEFINICION 1.5 Estabilidad acotada o estabilidad BIBO Un sistema LIT se considera que posee estabilidad acotada, si para una entrada x(t ) acotada, su salida y (t ) también es cotada. Esta condición se define como estabilidad BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) la cual establece que para todo valor de t , debe existir un valor finito M , tal que x( t )



M



y(t )



M

(1.9)

Un sistema LIT que satisface (1.9) se dice que es absolutamente estable. Como consecuencia de lo anterior, si el sistema es modelado por su respuesta impulso h( t ) , aplicando convolución (1.3) para x(t )  ( t ) se puede demostrar [ReySoto08] que el sistema tiene estabilidad absoluta, si h(t ) es absolutamente integrable, es decir 

 h(t ) dt  M

(1.10)

0

De acuerdo con (1.7), la respuesta impulso h(t ) puede evaluarse como la transformada inversa de la FT H ( s polos simples, ) . Para esto, asumiendo que H ( s ) es causal y tiene n reales o complejos conjugados, aplicando el método de fracciones parciales obtenemos: H ( s) 

k1 s  p1



k2 s  p2



k n s  pn



h(t )  k1e 1

pt

 k2 ep t    kn ep t 2

n

( a  jb)t

Luego, cada polo pk  a  jb genera en (1.11) un término de la forma ke

(1.11)

 keat ejbt .

Por lo tanto, para lograr la condición de estabilidad absoluta (1.10) todos los términos en (1.11) deben tener parte real negativa, es decir

 0 R e p k 

(1.12)

) se ubican en el semiplano izquierdo (SPI) del Lo anterior se consigue si los polos de H ( s

plano-s. La expresión algebraica que permite evaluar los polos del sistema se reconoce como la ecuación característica y se obtiene a partir del denominador de la FT. ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

1-24


EJEMPLO 1.4: Evaluar la estabilidad del sistema LIT del ejemplo 1.3, donde Estabilidad a partir de la FT y la respuesta impulso.

H (s )

5 2

s

 3s  2

) debemos resolver la ecuación característica: Solución: Para evaluar los polos de H ( s 2

s

 3s  2  0

El resultado es p1  1, p 2  2 , que se ubican en el semiplano izquierdo (SPI) del plano-s y por lo tanto el sistema es absolutamente estable. También es posible evaluar la estabilidad a partir de la respuesta impulso h( t ) , que corresponde a la TIL de H ( s ) . Utilizando el resultado del ejemplo 1.2: t

h(t )  5e

 5e2t , t  0

Considerando que h(t ) en (1.10) es real 





h(t )dt

0





   5e t  5e2t  dt  5 e t 0  5 e2 t 0  2.5 0

®

El resultado anterior se puede verificar utilizando MATLAB : » pk=r oot s( [ 1 3 2] ) pk = - 2

-1

» syms t , ht =5*exp( - t ) - 5*exp( - 2*t ) ; Sh=i nt ( abs( ht ) , 0, i nf ) Sh = 5/ 2

Propiedades de la func ión de transferencia El análisis anterior nos permite enumerar las siguientes propiedades de la función de transferencia (FT) cuando se utiliza para modelar un sistema LIT: P1. La FT es la transformada de Laplace de la respuesta impulso de un sistema LIT. P2. Es posible obtener la ED del sistema LIT a partir de su FT, aplicando la propiedad de derivación de la transformada de Laplace, asumiendo condiciones iniciales cero. P3. Los componentes de un sistema de control pueden ser modelados por una FT obtenida a partir de su ED, asumiendo condiciones iniciales cero. Aplicando la propiedad P3 al esquema de la figura 1.10, obtenemos el modelo del sistema de control de lazo cerrado mostrado en la figura 1.22.


1-25


E( s )

) + R( s

Figura 1.22 Componentes de un sistema de control de lazo cerrado.

M ( s )

) Gc ( s

Gp ( s )

Y( s )



B( s )

) H ( s

Los componentes de este modelo son: Gc ( s ) : FT del controlador o compensador, según el modo de control utilizado. Gp ( s ) : FT del proceso o planta. H ( s ) : FT del sistema de medición y transmisión.

La figura 1.22 constituye la base de la teoría de diagramas de bloque, cuyos fundamentos serán presentados en la sección 1.5. Las señales que intervienen en este modelo son: Y( s ) : variable controlada. Establece el propósito del sistema de control. B( s ) : señal de realimentación. Es una medida de la variable controlada.

) : señal de referencia, setpoint o valor deseado de la variable controlada. R( s E( s ): señal de error . Es una medida de las desviaciones de la variable controlada. M ( s ) : acción de control. Calculada en función de la señal de error.

)  1 y se refiere como un sistema de control con En algunas aplicaciones prácticas H (s realimentación unitaria simplemente de lazo cerrado unitario.

EJEMPLO 1.5: Obtener la ED del proceso del sistema de control de lazo cerrado de la ED asociada figura 1.22, asumiendo que su FT es: con una FT.

Gp ( s )

3s  2 2

s

 2s  5



Y( s ) M ( s)

Solución: Utilizando descomposición directa de la FT, obtenemos ( s2  2s  5)  Y( s)  (3s  2)  M ( s)

Como el concepto de FT implica que el sistema está en reposo, aplicamos la propiedad de la derivada, llevamos la expresión anterior al dominio-t , asumiendo condiciones iniciales cero: 2

d y dt

2

2

dy dt

 5 y (t )  3

dm

 2m(t )

dt

que es la ED del proceso del sistema de control de lazo cerrado.


1.5 – FUNCION DE MATLAB® EN SISTEMAS DE CONTROL

1 - 26

1.5 FUNCIONES DE M ATLAB ® EN SISTEMAS DE CONTROL Utilizando una estrategia similar a la del ejemplo 1.5, podría obtenerse la ED a partir de la FT de cada componente del esquema de control de lazo cerrado de la figura 1.22. Sin ®

embargo, es conveniente revisar antes los comandos y funciones que ofrece MATLAB para la representación y manipulación algebraica de una función racional de variable compleja G( s ) , las cuales se incluyen como parte del Toolbox de Control [MWorks92].

Creació n de objetos LIT ®

La versión 4.2 del Toolbox de Control (TBC) de MATLAB incorpora el uso de objetos para la creación de modelos de sistemas LIT. Se trata de una estructura basada en arreglos de celdas, que permite encapsular en una sola variable diferentes tipos de datos de un

modelo continuo o discreto. Existen tres tipos de objeto LIT [Hanselman97]: -

tipo TF: modelo de FT representada por la relación de dos polinomios.

-

tipo ZPK: modelo de FT en forma de factores de polos, ceros y constante de ganancia.

-

tipo SS: modelo de estado (ME).

Estos tres tipos de objetos LIT pueden crearse usando las siguientes funciones: » Gs=t f ( nGs, dGs)

donde nGs y dGs son arreglos del polinomio del numerador y denominador de G( s . ) » Gs=zpk( z, p, k)

donde z y p son arreglos de los ceros y polos; el escalar k es la constante de ganancia de G( s . ) » meC=ss ( A, B, C, D)

donde A , B, C, D son arreglos correspondientes a las matrices del modelo de estado.

Recuperación de datos en objetos LIT Una vez creado el objeto LIT en cualquiera de las tres formas anteriores, es posible obtener los datos asociados con cada una, utilizando las siguientes funciones: » [ num, den] =t f dat a( sys, ' v' )

Devuelve el polinomio del numerador y denominador de la forma TF del objeto sys. » [ z, p, k] =zpkdat a( sys, ' v' )

Devuelve los ceros, polos y constante de ganancia de la forma ZPK del objeto sys. » [ a, b, c, d] =ssdat a( sys)

Devuelve las matrices del modelo de estado de la forma SS del objeto sys.

1 - 26

1.5 – FUNCIONES DE M ATLAB® EN SISTEMAS DE CONTROL

1-27

El siguiente ejemplo muestra el uso de estas funciones para el desarrollo del modelo de un sistema continuo LIT tipo SISO. En el capítulo 5 se presentarán las variantes de estas ®

funciones para la creación de objetos discretos LIT. El tutorial de MATLAB del apéndice D incluye el uso de estas y otras funciones de objetos tipo MIMO.

EJEMPLO 1.6: Obtener los objetos LIT de un sistema SISO cuya FT viene dada por: Objetos LIT en las forma TF, ZPK y SS.

G( s )

2 s  3 3

s

 2s2  5s

) como objeto en la forma TF, Solución: Para crear G( s » num=[ 2 3] ; den=[ 1 2 5 0] ; G1s=t f ( num, den) Tr ansf er f unct i on: 2 s +3 ----------------s^3 + 2 s ^2 + 5 s

) en la forma ZPK, calculamos los polos y ceros de G( s ) , como Para crear G( s

las raíces del polinomio del numerador y denominador » z=r oot s( num) ; p=r oot s( den) ; k=2; » G2s=zpk( z, p, k) Zer o/ pol e/ gai n: 2 ( s+1. 5) ---------------s ( s^2 + 2s + 5)

El resultado anterior muestra que las funciones tf() y

zpk() crean

modelos de

función de transferencia, que son equivalentes. La diferencia está en que la

) como la relación de dos polinomios, mientras que forma TF representa a G( s

la forma ZPK lo hace en forma factorizada asociada con sus ceros, polos y constante de ganancia. Cuando los polos o ceros son complejos conjugados la forma ZPK incluye un polinomio de orden-2. La creación de modelos de estado como objetos LIT en la forma SS será tratada en el capítulo 7. Una vez creado un objeto de FT es posible cambiarlo a cualquiera de las dos formas de FT, aplicando la misma función utilizada para la creación. Por ejemplo, a partir del modelo TF obtenemos el modelo ZPK como » G2sm=zpk( G1s) Zer o/ pol e/ gai n: 2 ( s+1. 5) ---------------s ( s^2 + 2s + 5)


1-28


De modo similar, a partir de la forma ZPK, obtenemos » G1sm=t f ( G2s) Tr ansf er f unct i on: 2 s +3 ----------------s^3 + 2 s ^2 + 5 s

Como era de esperar, se obtiene el mismo resultado. Para la recuperación de datos asociados con las formas TF y ZPK » [ nGs, dGs] =t f dat a(G1s, ' v' ) nGs = 0 dGs = 1

0 2

2 5

3 0

Para los datos de la forma ZPK » [ z, p, k]=zpkdat a( G2s, ' v' ) z =

p = - 1. 5000

k =

0 - 1. 0000 + 2. 000i - 1. 0000 – 2. 000i

2

Es posible obtener datos de la forma TF a partir de la forma ZPK » [ num, den] =t f dat a( G2s, ' v' ) num = 0 den = 1

0 2

2 5

3 0

o datos de la forma ZPK a partir de la forma TF » [ zm, pm, km] =zpkdat a( G1s, ' v' ) zm = - 1. 5000

pm =

k = 0 - 1. 0000 + 2. 0000i - 1. 0000 - 2. 0000i

2

Utilizando la función pzmap() del TBC, es posible capturar directamente los polos y ceros de una FT creada como objeto TF o ZPK: » [ p1, z1] =pzmap( G1s) p1 =

%a par t i r de f or ma TF z1 =

0 - 1. 0000 + 2. 0000i - 1. 0000 - 2. 0000i » [ p2, z2] =pzmap( G2s) p1 =

- 1. 5000

%a par t i r de f or ma ZPK z1 =

0 - 1. 0000 + 2. 0000i - 1. 0000 - 2. 0000i

- 1. 5000


1.5 – FUNCIONES DE M ATLAB® EN SISTEMAS DE CONTROL

1-29

Comentarios: 1. Las funciones

tf()

y

zpk()

devuelven modelos equivalentes de función de

transferencia en las formas TF y ZPK. Estas mismas funciones pueden utilizarse para cambiar de una forma a otra. 2. Para recuperar datos de las formas TF y ZPK es necesario usar la cadena 'v' para indicar que se requieren los valores guardados como arreglo de celdas. 3. Aunque los modelos de FT creados en estas formas son equivalentes, el modelo ZPK ofrece mejor precisión numérica. 4. En operaciones con objetos LIT existe un orden de precedencia: SS

 ZP  TF

(ver ejemplo 1.7). Lo anterior implica que si se combinan dos modelos en forma TF y ZPK, el resultado se dará en la forma ZPK. 5. Existen otras funciones del TBC, asociadas con objetos LIT que serán incorporadas a medida que sean requeridas. Más detalles sobre el uso de las funciones

tf(), zpk()

y

ss() pueden

conseguirse en el

®

Tutorial de MATLAB que se presenta en el apéndice D.

1.6 DIAGRAMAS DE BLOQUE Y GRAFICO DE FLUJO DE SEÑALES En la figura 1.22 se utilizó el concepto de función de transferencia (FT) para representar cada componente del sistema de control de lazo cerrado, en forma de bloques funcionales entrada  salida. En esta sección se utilizarán los conceptos de diagrama de bloques (DB) y gráfico de flujo de señales (GFS) para desarrollar el modelo gráfico del sistema de control. Aplicando la fórmula de ganancia de Mason (FGM) al GFS, será posible evaluar la función de transferencia equivalente de lazo cerrado de un sistema de control.

Elementos del diagrama de bloques La figura 1.23 muestra los elementos utilizados en la construcción de un diagrama de bloques (DB), donde la FT se utiliza para representar la ganancia de cada bloque. ) X( s

) Y( s ) G( s

Figura 1.23 Elementos de un diagrama de bloques.

+

Bloque de ganancia

X( s)  Y( s)

X( s )

) X( s

) X( s

 ) Y( s

Sumador

) X( s

Derivación o toma

Usando estos 3 elementos básicos se construyó el diagrama del sistema de control de lazo cerrado de la figura 1.22. ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

1-30


Aunque existe un conjunto de reglas algebraicas [Dorf05] que pueden aplicarse para simplificar un diagrama de bloques (DB), como se demostrará posteriormente es más práctico hacerlo usando la fórmula de ganancia de Mason (FGM). Sin embargo, tres de estas reglas son de utilidad en la manipulación de DB aplicados a sistemas de control y se describen a continuación: R1. Bloques en serie o en cascada: La figura 1.24 muestra dos bloques conectados en serie o en cascada, los cuales pueden reducirse a un bloque equivalente, como el producto de sus ganancias.

Figura 1.24 Reducción de bloques en serie o en cascada.

) X( s

) M ( s ) G1( s

) Y( s

) G2 ( s

) X( s

) Y( s ) G2 ( s)G1( s

Para obtener la FT equivalente, formulamos la relación entrada

 salida del segundo

bloque como: Y( s)  G2( s)  M ( s) . De modo similar, en el primer bloque obtenemos: ) en la expresión anterior: M ( s)  G1( s)  X( s) . Sustituyendo M ( s Y( s)  G2 ( s)  G1( s)  X( s)  Ge ( s)  X( s)

donde,

Ge ( s)  G2 ( s)  G1( s)

(1.13)

es la ganancia o FT equivalente mostrada en la figura 1.23. Si se trata de un sistema ) y G2 ( s ) son escalares y el orden del producto no afecta el SISO, los valores de G1( s

resultado de (1.13). R2. Bloques en paralelo: La figura 1.25 muestra dos bloques conectados en paralelo, que pueden reducirse a un equivalente, como la suma de sus ganancias. ) X( s ) G1( s

Figura 1.25 Reducción de bloques en paralelo.

) Y( s

+ ±

) X( s

G1( s)  G2 ( s)

) Y( s

) G2 ( s

Para desarrollar la expresión equivalente, calculamos la salida de cada bloque como Y1( s)  G1( s)  X( s) y Y2 ( s)  G2( s)  X( s) . Sumando estas dos señales, la salida Y( s ) es


1-31

1.6 – DIAGRAMAS DE BLOQUE Y GRÁFICO DE FLUJO DE SEÑALES

Y( s)  Y1( s)  Y2( s)  G1( s)  X( s)  G2( s)  X( s)

) Finalmente, factorizando X( s Ge ( s)  G1( s)  G2 ( s)

(1.14)

que es la ganancia o FT equivalente mostrada en la figura 1.25. R3. Bloques en realimentación: La figura 1.26 muestra la conexión de dos bloques en realimentación, conocida como forma canónica de lazo cerrado , por su similitud con el modelo del sistema de control

en lazo cerrado de la figura 1.22. ) + R( s

Figura 1.26 FT equivalente de la forma canónica de lazo cerrado.

) Y( s

) E( s ) G( s

) R( s



G( s )

) Y( s

1 G( s)H ( s ) ) B( s ) H (s

Para conseguir la expresión equivalente, calculamos la salida como Y( s)  G( s)  E( s)

) puede expresarse como Por otro lado, la señal E( s E( s)  R( s)  B( s)  R( s)  H ( s)  Y( s)

Sustituyendo en la expresión anterior Y( s)  G( s)   R( s)  H ( s) Y ( s) 

Reagrupando términos y simplificando Y( s) 

G( s )

 R( s)

1  G( s) H ( s )

(1.15)

Por lo tanto ) Ge ( s

G( s )

1  G( s) H ( s )

(1.16)

que es la ganancia o FT equivalente mostrada en la figura 1.26. Como el signo del sumador de la figura 1.26 es negativo, se refiere como realimentación ) en la figura 1.26 es positivo, el denominador de (1.16) se negativa. Si el signo de B( s ) y se refiere como realimentación positiva. Sin embargo, como se convierte en 1  G( s) H ( s

demuestra más adelante, en aplicaciones prácticas de control la realimentación positiva genera inestabilidad en el sistema y por lo tanto no es de interés práctico. ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

1-32


Funció n de transferencia de lazo abierto y de lazo cerrado Asociadas con la forma canónica de la figura 1.26, se definen dos expresiones que son fundamentales en el análisis y diseño de un sistema de control realimentado (feedback). La ) , que primera se reconoce como la función de transferencia de lazo cerrado (FTLC): T ( s

permite establecer la relación R( s)



Y( s) y puede obtenerse aplicando (1.16). Para el

caso de realimentación negativa, obtenemos T ( s )

Y( s) R( s)



G( s)

1  G( s) H ( s)

(1.17)

) , utilizada para La segunda es la función de transferencia de lazo abierto (FTLA): F( s

formular la relación E( s)



B( s) , como F( s) 

B( s ) E( s )

 G( s) H ( s)

(1.18)

Tomando el denominador de (1.17) es posible identificar la ecuación característica (EC) del sistema de control modelado por la forma canónica, como 1 G( s) H ( s ) 0

(1.19)

De acuerdo con (1.12) la estabilidad absoluta del sistema de control se logra si las raíces de esta ecuación están en el semi-plano izquierdo (SPI) del plano-s .

EJEMPLO 1.7: Aplicando las reglas básicas del álgebra de bloques, reducir el siguiente Simplificación del DB para calcular la FTLA, FTLC y EC en la forma canónica.

diagrama de bloques a la forma canónica de lazo cerrado y a partir de este obtener la FTLA y FTLC. Evaluar además su estabilidad. +

) G1( s



+

) G2 ( s

) G1( s

 ) H 2 ( s

G2 ( s )

s  1 s  2 s

1 s

H 1( s )2 ) H 1( s

H 2 ( s )

1 s

Solución: Para el lazo de realimentación G2 ( s) H 2 ( s) aplicamos (1.16) G3 ( s )

) G2 ( s 1 G2 ( s) H 2( s)


1-33


Utilizando los datos del enunciado s

) G3 ( s

s  1 s 1

1

s 1





2

s

s( s  1)  s



s s  2

s ®

Este resultado puede verificarse usando objetos LIT de MATLAB » G1s=t f ( [ 1 1] , [ 1 2] ) ; G2s=zpk(0, - 1, 1) ; » H1s=2; H2s=t f ( 1, [ 1 0] ) ; » G3s=mi nr eal ( G2s/ ( 1+G2s* H2s) ) Zer o/ pol e/ gai n: s ----( s+2)

) y G3 ( s ) aplicamos (1.13) Para los bloques en cascada G1( s G4 ( s)  G1( s)G3 ( s) 

s 1 s 2



s s 2



s( s  1)

( s  2)

2

®

Utilizando objetos LTI de MATLAB » G4s=mi nr eal ( G1s* G3s) Zer o/ pol e/ gai n: s ( s+1) ------( s+2) ^2

Luego, el diagrama anterior se reduce a la siguiente forma estándar s( s  1)

+



G( s )

( s  2)

2

s( s  1)

( s  2)

2

H ( s )2

2

Aplicando (1.17) obtenemos la FTLC como s( s  1) T (s )

) G( s 1  G( s) H ( s)

 1

1  31 s 3 s( s  1)  2  2 4 s  2s  43 s  2s  3 2        2

( s  2)2 s( s  1) ( s  2)

1 2 3s

forma TF

forma ZPK

La forma ZPK muestra el denominador como un polinomio de orden-2, lo cual permite identificar que los polos de T ( s ) son complejos conjugados. Usando ®

objetos LTI de MATLAB :


1-34


» Gs=G4s, Hs=H1s, Ts=f eedback( Gs, Hs) Zer o/ pol e/ gai n: 0. 33333 s ( s+1) -----------------( s^2 + 2s + 1. 333)

) puede calcularse usando operaciones con objetos Aunque la expresión de T ( s ) , el TBC incluye la función LIT, tal como se hizo al evaluar a G3 ( s feedback() que

) y H ( s ) facilita el cálculo directo de la FTLC, a partir de G( s

correspondientes a la forma canónica de lazo cerrado. Aplicando (1.18), la FTLA es ) F( s)  G( s) H ( s

s( s  1)

2s( s  1)

( s  2)

( s  2)

2  2

2

La ecuación característica (EC) necesaria para evaluar la estabilidad es 1

2s( s  1) ( s  2)

2



( s  2)2  2 s( s  1) ( s  2)

2

0 

2

3s

 6 s  4  0

) . Calculando sus raíces, los polos del que corresponde al denominador de T ( s

sistema en lazo cerrado son: p1,2

 1 

j 0.5774 . Como se encuentran en el SPI,

el sistema es absolutamente estable. ®

Utilizando MATLAB : » pk=pol e( Ts) pk = - 1. 0000 + 0. 5774i - 1. 0000 – 0. 5774i

Comentarios: ) y H 2 ( s ) se crearon como objetos LIT en 1. En el ejemplo anterior las funciones G1( s ) se creó en la forma ZPK. la forma TF, mientras que G2 ( s ) aparece en la forma ZPK, 2. Sin embargo, al combinar estos objetos para obtener G3 ( s

como consecuencia del orden de precedencia en las operaciones con objetos. 3. La función

minreal()

del TBC se utiliza para simplificar en un resultado, los

factores comunes del numerador y denominador. 4. En aplicaciones prácticas es conveniente usar la función feedback() para evaluar la función de transferencia de lazo cerrado correspondiente a la forma canónica . 5. La función pole() del TBC permite calcular los polos de una FT. En el ejemplo 1.7 se utilizó para calcular las raíces de la ecuación característica , a partir de la FTLC. ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

1-35


Fundamentos del gráfico d e flujo de s eñales Una forma práctica para evaluar la FTLC de un sistema que incluye varios lazos de control, sin necesidad de reducirlo a la forma canónica , consiste en utilizar el gráfico de flujo de señales (GFS), introducido por S.J. Mason en 1953 para la representación causa

 efecto

de un sistema LIT modelado a través de ecuaciones algebraicas. El GFS es un modelo gráfico de la función de transferencia de un sistema LIT y puede considerarse como una versión simplificada del diagrama de bloques (DB) presentado en el párrafo anterior.

El GFS está asociado a un DB y utiliza los 3 elementos mostrados en la figura 1.27, donde las señales se representan mediante nodos interconectados por ramas orientadas. A cada rama se le asigna la ganancia G correspondiente a la FT del bloque. Esta ganancia se ) es transmitida reconoce como la transmitancia de la rama, para indicar que la señal X( s

desde un nodo hacia otro nodo, para crear la señal Y( s ). ) X( s

Figura 1.27 Elementos de un gráfico de flujo de señales.

) X( s

G

X( s)  Y( s)

) Y( s ) Y( s

) X( s ) X( s

1

Ganancia

) X( s

Derivación o toma

Sumador

Un nodo se considera como un sumidero o depósito en el cual se guarda el valor de una señal. El propósito del GFS es formular una ecuación en el dominio-s para expresar la señal en un nodo cualquiera, como relación causa

 efecto o

entrada

 salida:

X( s)



Y( s)

De este modo, se logra un conjunto de ecuaciones estándar de la forma Y j ( s) 

G

jk

( s) Xk ( s)

(1.20)

) es la ganancia o transmitancia entre un nodo de entrada Xk ( s ) y un nodo de donde G jk ( s ) . En este sentido, en un GFS se identifican 3 tipos de nodos: salida Y j ( s Nodo de entrada: solo transmite señales; solo pueden existir ramas que salen. Nodo de salida: solo recibe señales; a este nodo solo pueden llegar ramas. Nodo mixto: recibe y transmite señales; pueden existir ramas entrando y saliendo.

Al recorrer un GFS entre un par de nodos en el sentido de sus ramas, es posible identificar los siguientes elementos: Trayectoria directa: trayectoria abierta desde un nodo de entrada hasta un nodo de

salida, sin pasar por un nodo más de una vez. El producto de las


1-36


ganancias de las ramas recorridas establece la ganancia de la trayectoria directa. Lazo: trayectoria cerrada que inicia y termina en el mismo nodo, sin pasar por un nodo

más de una vez. El producto de las ganancias de las ramas recorridas establece la ganancia del lazo. Trayectorias conexas: trayectorias directas o lazos que se tocan o que tienen un

elemento en común (nodo o rama). La figura 1.28 muestra un ejemplo típico de un GFS utilizado para formular la relación R( s)



Y( s) , donde existe un nodo de entrada: R( s ) , un nodo de salida: Y( s ) y 4 nodos

) , E2 ( s ) , E3 ( s ) , E4 ( s ). mixtos: E1( s G 5

Figura 1.28 Ejemplo típico de un gráfico de flujo de señales.

) R( s

E 1

E G E 3 G 1 2 G 2 3

) Y( s E 4 G 4

 H 2

 H 1

Así mismo se identifican los siguientes elementos: 2 trayectorias directas para la relación R( s) 2 lazos: L1  G1 H 1 , L2



Y( s) : T1  G1G2G3G4 , T2

 G4G 5

  H 2

En cuanto a la relación entre lazos y trayectorias, se observa que: Los lazos L1 y L2 no son conexos. La trayectoria T 1 es conexa con los 2 lazos. es conexa solo con L1 . La trayectoria T 2

Estas características son indispensables al aplicar la fórmula de ganancia de Mason.

Fórmula de ganancia de Mason Esta fórmula o algoritmo fue desarrollada por S. J. Mason en el año 1956 como parte de un procedimiento gráfico para determinar la función de transferencia (FT) entre un nodo de entrada y un nodo de salida, de un gráfico de flujo de señales (GFS) o de su diagrama de bloques (DS) equivalente. La base de este algoritmo es la regla de Crammer, utilizada para resolver un sistema simultáneo de ecuaciones algebraicas. Asumiendo un sistema continuo LIT, la fórmula de ganancia de Mason (FGM) permite calcular la ganancia entre un nodo de entrada y un nodo de salida como:


1-37


NTD

) T ( s

Y( s ) X( s)

 T ( s) ( s ) k



k

k 1

( s )

(1.21)

donde: )  ganancia o FT equivalente para la relación X( s) T ( s



Y( s) .

( s )  determinante del sistema, asociado con los lazos del GFS. )  ganancia de trayectorias directas para la relación X( s)  Y( s) . T k ( s ). ( )  cofactor de cada trayectoria directa, evaluado a partir de ( s  k s Para facilitar la aplicación de la FGM, se recomienda seguir un orden específico al evaluar los términos que conforman la ecuación (1.21), usando el siguiente procedimiento: 1. Obtener el determinante del sistema:

( s ) , como:

( s)  1  Li   L2 i   L3i  

(1.22)

donde Li representa la ganancia de los lazos simples (cada lazo); L2 i la ganancia de los lazos no conexos en grupos de 2; L3 i la ganancia de los lazos no conexos en grupos de 3, y así sucesivamente. Como el determinante

( s ) solo depende de los lazos del GFS,

se convierte en un valor único del grafo , independiente del par de nodos entrada-salida considerados al aplicar (1.21). 2. Calcular la ganancia de las trayectorias directas: T k ( s ). Las trayectorias directas dependen únicamente de la relación X( s)  Y( s) para la cual se quiere calcular la FT, aplicando (1.21). Se obtienen recorriendo el grafo desde el nodo de entrada X( s ) hasta el nodo de salida Y( s ). 3. Evaluar los cofactores asociados con cada trayectoria directa:

( ).  k s

El cofactor de una trayectoria directa se obtiene anulando en el determinante del sistema

( s ) , la ganancia de los lazos conexos con dicha trayectoria. El siguiente ejemplo muestra la aplicación de la FGM para determinar la ganancia o FT equivalente del modelo gráfico de un sistema continuo LIT, utilizando el procedimiento anterior.

EJEMPLO 1.8: Aplicar la FGM para obtener la ganancia o FT equivalente del sistema FGM para calcular ganancia equivalente.

continuo LIT cuyo modelo gráfico se muestra en la figura 1.28.

Solución: Aplicando el procedimiento anterior, obtenemos 1. Determinante del sistema:


1-38


Existen 2 lazos cuyas ganancias son L1  G1 H 1 y L2

  H 2 . Como no son . Por lo L1 L2  G1 H 1 H 2

conexos, conforman un grupo de 2 cuya ganancia es tanto, aplicando (1.22), obtenemos

( s)  1  ( L1  L 2 )  L1 L2  1  G1 H 1  H 2  G1 H 1 H 2 2. Trayectorias directas: Para la relación R( s)  Y( s) existen 2 trayectorias directas con ganancias: T1  G1G2G3G4

T2

 G4G 5

3. Cofactores de trayectorias directas: La trayectoria T es conexa con los 2 lazos; para obtener su cofactor 1 anulamos L1 y L2 en

( s ) ,

obteniendo

 1( s )  1.

Por otro lado, como la

trayectoria T es conexa solo con L1 debemos anular este lazo en 2 obteniendo

( s ) ,

2 ( s)  1  L2  1  H 2 .

4. Ganancia equivalente: aplicando la FGM (1.21) T ( s )

T1 1  T2 2





G1G2G3G4  G4G5(1  H 2 )

1  G1 H 1  H 2  G1 H 1 H 2

Estabilid ad a partir d e la FGM Además de facilitar el cálculo de la FT de un sistema de control con múltiples lazos de ) en la control, la FGM permite evaluar su estabilidad, si se considera que los polos de T ( s

expresión (1.21), se pueden obtener a partir de las raíces del denominador, como

( s )  0

(1.23)

De este modo la expresión (1.23) es la ecuación característica de un sistema de control que utiliza un esquema arbitrario. La ecuación (1.19) es un caso particular que solo puede ser aplicado a un sistema cuyo esquema corresponde a la forma canónica de la figura 1.25.

Del diagrama de bloq ues al gráfico de flujo de señales Como se mencionó anteriormente la FGM puede aplicarse a un diagrama de bloques (DB). Sin embargo, es más fácil identificar lazos y trayectorias en el GFS. Para lograr un GFS con el número mínimo de nodos, es conveniente tomar en cuenta las siguientes sugerencias: -

identificar y dar nombre en el DB, a todas las señales de entrada a cada bloque (podría trabajarse con las señales de salida. Ver ejemplo 1.16.).


1-39


-

seleccionar el número mínimo de nodos igual al número de señales anteriores, más las señales de entrada y salida del sistema.

-

desarrollar el GFS a partir de las relaciones algebraicas causa  efecto del DB.

EJEMPLO 1.9: Aplicar la FGM para obtener FTLC del sistema del ejemplo 1.7. GFS a partir del DB y FGM para calcular FTLC.

) + R( s

) E1( s

) G1( s

) Y( s

) E2 ( s

+



) G2 ( s

 ) H 2 ( s

) H 1( s

Solución: Antes de utilizar la FGM desarrollamos el GFS, a partir del DB. Utilizando la sugerencia anterior, el número mínimo de nodos: ) , Y( s ) - señales de entrada y salida del sistema: R( s ) - señales de entrada a cada bloque: E1( s), E2( s) , Y( s

No. mínimo de nodos

 2 2  4

Usando estos 4 nodos desarrollamos el GFS considerando las relaciones causa

 efecto del DB. ) R( s

) G E1( s 1

) E2 ( s

G 2

) Y( s

 H 2  H 1 Aplicando el procedimiento propuesto para la relación R( s)



Y( s) :

1. Determinante del sistema. Dos lazos simples: L1  G2 H 2 y L2 No existen grupos no conexos.

 G1G2 H 1

Aplicando (1.22), obtenemos

( s)  1  ( L1  L2 )  1  G2 H 2  G1G2 H 1 2. Trayectorias directas. Una trayectoria directa para la relación R( s)



Y( s) :

T1  G1G 2 ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

1-40


3. Cofactores de trayectorias directas.

1  1

es conexa con L1 y L2 , luego T 1 4. Ganancia o FT equivalente. T ( s )

T1 1





G1G 2

1  G2 H 2  G1G2 H 1

Sustituyendo los datos del ejemplo 1.7 s 1 s 2

T ( s )

1

s s 1



s s 1

1

s 1

s

s 2

 

s



s s 1

s  2

 2

1

1 s1



2s



 s  6 s  4 2

s 2

3 s

s  2

®

Utilizando MATLAB

» G1s=t f ( [ 1 1] , [ 1 2] ) ; G2s=zpk(0, - 1, 1) ; » H1s=2; H2s=t f ( 1, [ 1 0] ) ; » Ts=mi nr eal ( G1s* G2s/ ( 1+G2s* H2s+G1s* G2s* H1s) ) Zer o/ pol e/ gai n: 0. 33333 s ( s+1) -----------------( s^2 + 2s + 1. 333)

que corresponde a la forma ZPK del resultado que se obtuvo usando la FGM.

EJEMPLO 1.10: Obtener el GFS del sistema continuo LIT cuyo DB se muestra a GFS a partir de un DB y FGM para calcular FT equivalente de lazo cerrado.

continuación y aplicar la FGM para obtener la ganancia o FT equivalente de lazo cerrado. G 5

) + R( s

E 1





G 1

E 2

G 2

Y 1

E 3

+



G 3

+

+

) Y( s

E 4 G 4

H 3

H 1 H 2

Solución: Para determinar el número mínimo de nodos: ) , Y( s ) - señales de entrada y salida del sistema: R( s ) , E2 ( s ) , E3 ( s ) , E4 ( s ) - señales de entrada a cada bloque: E1( s ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

1-41


No. mínimo de nodos

 2 4  6

Utilizando estos 6 nodos desarrollamos el GFS considerando las relaciones causa  efecto del DB. G 5

) R( s

E 1

G E 1 2

G 2

E 3

 H 1

G 3

E 4 G 4

) Y( s

G3 H 3

G3 H 2 ) del DB en el GFS, dado Se observa que no es necesario incluir el nodo Y1( s

que es la señal de salida del bloque G 3 , se evaluó como Y1

 G3  E 3 .

Aplicando el procedimiento propuesto para la relación R( s)



Y( s) :

1. Determinante del sistema. 3 lazos simples: L1  G1 H 1 , L2 1 grupo de 2 no conexos: L1 L3

 G1G2G3 H 2 y

L3

 G3 H 3

 G1G3 H 1H 3

Aplicando (1.22), obtenemos

( s)  1  ( L1  L2  L3 )  L1 L3  1  G1 H 1  G1G2G3 H 2  G3 H 3  G1G3 H 1 H 3 2. Trayectorias directas. 2 trayectorias directas para la relación R( s) T1  G1G2G3G4 y T 2



Y( s) :

 G1G4G5

3. Cofactores de trayectorias directas.

1  1 2  1  G3 H 3

es conexa con L1 , L2 y L3 , luego T 1 T 2 es conexa con L1 y L2 , luego

4. Ganancia o FT equivalente . ) T ( s

G1G2G3G4  G1G4G5(1  G3 H 3 )

1  G1 H 1  G1G2G3 H 2  G3 H 3  G1G3 H 1 H 3

En el modelo ejemplo 1.10 es posible aplicar las 3 reglas básicas para simplificar el grupo de los bloques G1 , H 1 y G2 , G3 , H 3 del DB antes de aplicar la FGM. Se puede demostrar que ) es el mismo. el GFS resultante es diferente (solo 4 nodos), pero el valor final de T ( s


1-42


1.7 MODELO MATEMÁTICO DE SISTEMAS FÍSICOS En esta sección se formularán estrategias para el desarrollo del modelo matemático de sistemas dinámicos típicos asociados con el proceso o planta de un sistema de control, utilizando fundamentos básicos de álgebra y física. Estos modelos se utilizarán en capítulos posteriores como prototipos para el análisis y diseño del sistema de control en tiempo continuo y en tiempo discreto. En su desarrollo se utilizarán unidades del sistema métrico de ingeniería y cuando sea necesario se hará referencia a equivalencias con otros sistemas

Los sistemas equivalentes o análogos [Ogata03b] se caracterizan porque pueden ser modelados por la misma ecuación diferencial. Este concepto permite generalizar el desarrollo del modelo matemático de un sistema dinámico, facilitando el análisis de su comportamiento dinámico y la simulación a través de otros sistemas físicos, particularmente de los sistemas eléctricos. El modelado matemático de un proceso físico consiste en desarrollar expresiones algebraicas para formular la relación causa

 efecto

entre sus parámetros fundamentales, que según el apéndice H son comunes en todos los procesos físicos en los sistemas de control y se recono cen como -

resistencia

-

inertancia o inductancia

-

capacitancia

Sistemas eléctricos Utilizando la definición de los tres parámetros fundamentales de un sistema eléctrico presentada en el apéndice H.2 y el concepto de función de transferencia (1.8), es posible desarrollar el modelo de un sistema eléctrico, aplicando la ley de Kirchhoff de voltajes (LKV) y la ley de Kirchhoff de corrientes (LKI) a partir de las relaciones causa efecto en cada parámetro. Los tres parámetros de un sistema eléctrico y sus unidades son: -

resistencia eléctrica: R [ohms ]

-

inductancia eléctrica: L [henrios]

-

capacitancia eléctrica: C [ faradios]

Utilizando estos tres parámetros y el concepto de función de transferencia (FT) es posible obtener el modelo de un sistema eléctrico, tal como se muestra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 1.11: Obtener la FT del sistema eléctrico mostrado a continuación, válida para FT de un sistema eléctrico.

la relación vi (t )



vo (t ) .


1-43

1.7 – MODELO MATEMÁTICO DE SISTEMAS FÍSICOS R 1 i (t ) + vi (t )

+

R1  1 M 

R 2

 1 M  C  1F R2

vo (t ) C

Solución: Dibujando el circuito en reposo en el dominio -s y aplicando la LKV R 1 I ( s ) + ) Vi ( s

Vi ( s)  R1 I ( s)  R2 I ( s) 

+

R 2

1

1

I ( s)  0 sC

), Despejando I ( s

) Vo (s

) I ( s

sC

Vi ( s ) R1  R2

 1/sC

) puede expresarse como El voltaje de salida Vo ( s Vo ( s)   R2  1/sC  I ( s)

) , obtenemos Sustituyendo la expresión de I ( s Vo( s)   R2  1/sC 

Vi ( s) R1  R2

 1/sC

Por lo tanto, la FT para la relación vi (t ) ) G( s

Vo ( s) Vi ( s)







R2  1/sC Vi ( s) R1  R2  1/sC

vo (t ) es

R2Cs  1  1/sC  R1  R2  1/sC  R1  R2  Cs  1 R2

Sustituyendo los parámetros del enunciado ) G( s

s 1

2s  1



0.5( s  1) s  0.5

Sistemas mecánicos de traslación Utilizando la definición de los tres parámetros fundamentales de un sistema mecánico presentada en el apéndice H.3 y el concepto de función de transferencia (1.8) es posible desarrollar el modelo de un sistema mecánico de traslación, aplicando la segunda ley de Newton del movimiento traslacional (SLNMT), a partir de las relaciones causa  efecto en cada parámetro. Estas relaciones se consiguen utilizando diagrama de cuerpo libre en los siguientes parámetros: ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

1-44


-

] coeficiente de fricción viscosa: B [ N s/m

-

] inertancia o inercia mecánica: M [ kg

-

] constante del resorte: K [ N /m

EJEMPLO 1.12: Aplicando la SLNMT desarrollar el modelo del sistema mecánico de FT de un sistema mecánico de traslación.

traslación mostrado a continuación, para evaluar el desplazamiento x(t ) que se produce al aplicar la fuerza f (t ) .



Ma

K



 f

i

M x(t )

f (t )

Solución: Se trata de calcular la FT válida para la relación f (t )



x(t ) . Dibujando el

diagrama de cuerpo libre para los tres componentes M , K y B , y aplicando la

PLN, obtenemos f K

f B

2

M M

d x 2

dt



f ( t )  f K ( t )  f B ( t )

Ms X( s)  F ( s)  FK (s)  FB ( s)   1 2

f

x

f K ( t )  K x( t )



 [2] FK ( s)  K X( s)

K

f B (t )  B f K

x

dx dt



FB ( s)  B sX( s)  [3]

f B

Sustituyendo [2] y [3] en [1] Ms X( s)  F( s)  K X( s)  B sX( s) 2

) obtenemos la FT del sistema, como Despejando la relación X( s) /F( s


1-45

1.7 – MODELO MATEMÁTICO DE SISTEMAS FÍSICOS

G( s )

1

 Bs  K

2

Ms

Sistemas mecánicos de rotación De acuerdo con el apéndice H.4, los tres parámetros de un sistema mecánico de rotación son análogos a los enumerados atrás para el sistema mecánico de traslación: -

] coeficiente de fricción rotacional: B [ N  m  s/rad

-

momento de inercia: J [ N  m  s2 ]

-

] constante de resorte torsional: K [ N m

Aplicando la segunda ley de Newton del movimiento rotacional (SLNMR) y utilizando diagramas de cuerpo libre es posible lograr la relación causa efecto  en cada componente

del sistema mecánico de rotación, a la luz de la relación X( s)  Y(s) de la función de transferencia (1.8).

EJEMPLO 1.13: Aplicando la SLNMR, desarrollar el modelo del sistema mecánico de FT de un sistema mecánico de rotación.

rotación mostrado a continuación, para evaluar el desplazamiento

 L t ( ) y

 m (t ) por efecto de aplicación del torque T m (t ) .

Jm , B m

K

Motor

T m(t ),  m ( t )

Carga mecánica



J L , B L

J  

 L t ( )

Solución: Se trata de obtener la FT válida para las relaciones T m(t ) T m(t )

  m (t ) .

  L (t )

y

Usando el diagrama de cuerpo libre de los 3 componentes:

motor, eje y carga mecánica para

  d 2 /dt 2 , obtenemos

T T B K m Jm , B m





T i

Jm

Motor

d

2

dt 2

Jm s

T , m m

 m ( t )

2

 T m (t )  T B

( t )  T K ( t ) [1]

m

 m( s)  T m( s)  T B

( s)  T K ( s)

m

donde el torque T B (t ) debido al rozamiento del motor es m

T Bm ( t )  Bm

 m d dt



T Bm ( s)  sBm m ( s) [2]


1-46


Para el torque T K (t ) debido a la elasticidad del eje K

T ,  m K

T K (t )  K [m (t )   L (t )]

[3]

T K ( s)  K [ m( s)   L ( s)]

T , L K

Finalmente para la carga mecánica, obtenemos T B L

d  L 2

JL

Carga mecánica

J L

 T K (t )  T B (t )

2

L

dt

[4]

J L s  L ( s)  T K ( s)  TBL ( s ) 2

, L T K

donde el torque T B (t ) por efecto del rozamiento de la caga es L

T BL ( t )  BL

L d



dt

T BL ( s)  BL s L ( s) [5]

Sustituyendo [2] y [3] en [1]

 J s  B s K  2

m

Despejando

m

m

( s)  T m ( s)  K  L ( s)

 m s ( ),

 m( s) 

1 2

Jm s

 Bm s  K

 T m( s) 

K

2

Jm s

 ( s)  Bm s  K L

[6]

Sustituyendo [3] y [5] en [4]

 J s  B s  K  2

L

Despejando

L

L

( s)  K  m( s)

 L s ( )  L ( s) 

K

2

JL s

 ( s )  BL s  K m

[7]

Sustituyendo en [6] y [7], asumiendo las siguientes expresiones G1( s) 

1 2

Jm s

 Bm s  K

, G2 ( s) 

K 2

JL s

 BL s  K

obtenemos,

 m( s)  G1( s)  Tm ( s)  K  G1( s)  L ( s),  L ( s)  G3( s) m( s)

A partir de estas relaciones se puede construir el siguiente GFS


1-47


( )  m s

( )  m s ) T m ( s

( )  L s

G 2

G 1

KG 1

El grafo anterior muestra una propiedad del GFS, en el sentido de que es posible convertir un nodo mixto en nodo de salida, sin alterar las relaciones algebraicas. Aplicando la FGM obtenemos las siguientes relaciones

 L ( s) T m ( s)



G1( s)G2( s)

1  KG1( s)G2 ( s)

 m ( s)

,

Tm ( s)



G1( s)

1  KG1( s)G2( s)

A partir de (1.23), la ecuación característica es

( s)  1 KG1( s)G2( s)  0 Sustituyendo valores de G1( s ) y G2 ( s ) s Jm J L s

3

  Jm BL  Bm JL  s2   Jm K  Bm BL  K JL  s  K ( BL  Bm )  0

Sistemas electro-mecánicos Utilizando las relaciones causa

 efecto de los parámetros eléctricos y mecánicos es

posible desarrollar el modelo de sistemas electromecánicos clásicos en aplicaciones de análisis y diseño de sistemas de control: el generador y el servomotor de corriente continua.

Generador DC La figura 1.29 muestra el esquema eléctrico de un generador de corriente directa o generador DC, con excitación independiente. Para desarrollar el modelo utilizamos diagramas de bloque donde la relación entrada  salida se obtiene formulando ecuaciones algebraicas estándar en el do minio-s , correspondientes a cada componente. i f

R a

R f

La

i a

+

Figura 1.29 Esquema eléctrico de un generador DC con excitación independiente.

v f

L f

Circuito de campo



e g

v a

Z L

Circuito de armadura

Aplicando la LKV, la ED que rige el comportamiento del circuito de campo es


1-48


v f ( t )  Rf i f ( t )  L f

di f dt





Vf ( s)  Rf

 L f s I f ( s)

(1.24)

Despejando I f ( s ) I f ( s )

Vf ( s ) L f s  R f

(1.25)

La ecuación anterior corresponde al primer bloque mostrado en la figura 1.30.

Vf ( s )

Figura 1.30 Modelo funcional del generador DC.

I f ( s )

1

Eg ( s ) k f

L f s  R f

I a ( s )

1 La s  Ra

 Z L ( s)

La salida I f ( s ) de este bloque se usa para crear el flujo magnético

Va ( s ) Z L ( s )

(t ) necesario

para

generar la fuerza electromotriz inducida (f.e.m.), la cual viene dada por [Fitzgerald03]: eg (t )  k (t )  k f i f ( t )



Eg ( s)  k f I f ( s)

(1.26)

La aproximación en (1.26) se consigue para las siguientes condiciones: - relación lineal entre el flujo de dispersión  y la corriente de excitación i f (t ) . - velocidad angular  constante. La ecuación (1.26) representa el segundo bloque de la figura 1.30. El voltaje de salida Eg ( s ) de este bloque se utiliza para generar la corriente i a (t ) del circuito de armadura, que

puede determinarse aplicando la LKV, como eg (t )  Ra i a ( t )  L a

di a dt

 va( t ) 

Eg( s)   Ra  L a s I a( s)  Va( s)

(1.27)

Si la carga se representa por su impedancia compleja Z L , el voltaje es sus terminales es va (t )  Z L  ia (t )



Va ( s)  Z L ( s) I a ( s)

(1.28)

) Sustituyendo (1.28) en (1.27) y despejando I a ( s I a ( s) 

1

 Eg ( s)

La s  Ra  Z L ( s)

(1.29)

que representa el tercer bloque de la figura 1.41. El último bloque se obtiene utilizando el resultado de la ecuación (1.28). El modelo anterior permite evaluar el voltaje en los ) . La FT ) , a partir del voltaje de excitación Vf ( s terminales de armadura del generador Va ( s

necesaria se obtiene aplicando la regla R1 de bloques en cascada de la figura 1.23 ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

1-49


G( s )

Va ( s ) Vf ( s )



k f Z L ( s )



L f s  Rf



 La s  Ra

 Z L ( s)

(1.30)

Sin embargo, en este modelo el denominador del tercer bloque depende de la impedancia ) . Es posible mejorarlo calculando la corriente de armadura, como de la carga Z L ( s I a ( s) 

1

  Eg ( s)  Va ( s)

(1.31)

La s  R a

que conduce al modelo mostrado en la figura 1.31, conocido como el modelo estándar del del generador de DC con excitación independiente.

) Vf ( s

Figura Figu ra 1.31 Modelo estándar del generador DC con excitación inde inde endi endien ente te..

) I f ( s

1 L f s  R f

k f

Eg ( s )

1

+

La s  R a



) Va ( s

I a ( s )

) Z L ( s

Aunque en esencia el generador es un sistema de lazo abierto, el modelo anterior muestra que se comporta como un sistema con realimentación unitaria negativa , donde el voltaje en ) actúa como señal de rea limentación, para mejorar la estabilidad. los terminales Va ( s

Una aplicación específica del generador DC en los sistemas de control es el tacómetro, utilizado para detectar o medir cambios de velocidad o de posición angular. Se trata de un generador con excitación separada, generalmente a través de un imán permanente, en el cual la ecuación (1.26) se reduce a eg (t )  k( t )  kg ( t )  kg

 d dt



Eg ( s)  kg ( s)  kg s ( s )

(1.32)

La figura 1.32 muestra los posibles modelos del tacómetro, como sensor de velocidad angular o como sensor de posición angular.

Figura Figu ra 1.32 Modelo del generador DC como tacómetro.

( s )

k g

Eg ( s )

Sensor de velocidad angular

( s )

kg s

Eg ( s )

Sensor de posición angular

Motor DC regulado por armadura


1-50


La figura 1.33 muestra el esquema eléctrico de un motor de corriente directa o DC con excitación independiente, regulado a través del voltaje armadura va (t ) . Para obtener el modelo aplicamos una estrategia similar a la utilizada en el caso del generador DC. Comenzando con el circuito de armadura, aplicamos la LKV para obtener va (t )  eg (t )  Ra i a (t )  L a

di a

Va ( s)  Eg( s)   Ra  L a s I a( s)

La i a

R a

Figu ra 1.33 Esquema eléctrico del servomotor regulado por armadura.



dt

v a

m (t )

(1.33)

T L (t )

e g

m

T m (t )

B m

) Despejando I a ( s I a ( s) 

1

Ra

 V ( s)  Eg (s)  La s  a

(1.34)

que corresponde a la relación causa  efecto del primer bloque de la figura 1.44. El voltaje eg (t ) es generado por efecto del campo magnético  y se reconoce como la fuerza contra-

electromotriz (f.c.e.m.) y se puede evaluar a partir partir de (1.32), como como eg ( t )  kg m( t )



Eg ( s)  kg s m( s)

(1.35)

) del bloque de realimentación de la figura 1.34, considerando Esta señal es la salida Eg ( s

que en unidades de ingeniería kg

 k m , tal como se demuestra a continuación. T L ( s )

) Va ( s

Figu ra 1.34 Modelo funcional del servomotor regulado por armadura. La potencia

1 +



I a ( s )

La s  R a

) T m ( s k m



1 2

Jm s

+

 m s ( )

 Bm s

Eg ( s ) km s

desarrollada por el motor se expresa como pd

transforma en potencia mecánica como pd

 eg (t )  i a ( t ) , la cual se

 T m(t )  m (t ) , ambas

]. expresadas en [vatios


1-51


] y la velocidad angular En unidades de ingeniería el torque T m (t ) se expresa en [ N m

(t ) en [ rad/s ] . Se puede demostrar [Fitzgerald03] que T m(t )  k i a ( t )  km i a ( t )



Tm( s)  km I a ( s)

(1.36)

 es constante, que se logra manteniendo constante la excitación del motor. La ecuación (1.36) es la relación causa  efecto del donde la aproximación supone que el flujo

segundo bloque de la figura 1.44. Sustituyendo (1.35) y (1.36) en la expresión de la potencia desarrollada, obtenemos pd

 kg m(t )  i a( t )   kmi a(t )   m(t )    

(1.37)

T m ( t )

eg (t )

donde se observa que kg  v  s  km  N  m/A

(1.38)

La expresión anterior explica por qué en el bloque de realimentación de la figura 1.39 se hace referencia a la constante k en lugar de k g . Finalmente, la ecuación correspondiente a m la parte mecánica se formula aplicando la SLN, considerando el torque desarrollado por el motor T m (t ) , el torque necesario para compensar el rozamiento B , la inercia J del motor m m y el torque exigido por la carga T L (t ) Jm

d

2

m

dt

Despejando

2

 Tm (t )  Bm

d m dt

 T L (t ) 

2

Jm s

m ( s)  Bm sm( s)  T m( s)  T L ( s)

(1.39)

 m s ( )  m( s) 

1 2

Jm s

 T ( s)  T L ( s)  Bm s m

(1.40)

que corresponde a la relación causa  efecto del tercer bloque de la figura 1.34. ) T L ( s Va ( s )

+

Figu ra 1.35 Modelo estándar del servomotor regulado por armadura.

1



La s  R a

I a ( s )

T m ( s ) k m

+



1 Jm s  B m

 m s ( )

1

 m s ( )

s

Eg ( s ) k m


1-52


Usando el modelo de la figura 1.34 es posible evaluar la FT para la relación

  m ( s ) . Sin embargo, en aplicaciones prácticas se utiliza el modelo estándar que se muestra en la figura 1.45, el cual facilita el cálculo de la velocidad angular m (t ) y evita Va ( s)

el uso de realimentación de velocidad. La inclusión del torque T L (t ) como una entrada en los modelos desarrollados, permite simular el efecto de la carga mecánica en el comportamiento del servomotor. Sin embargo, como se mostrará en el ejemplo 1.14, es posible simplificarlo si se sustituye J por m Jm  J y B por Bm  B , para incluir el efecto de la carga mecánica del sistema. L m L

Los modelos de las figuras 1.34 y 1.35 muestran que el servomotor DC, aunque físicamente es un sistema de lazo abierto, se comporta como un sistema de lazo cerrado, donde la f.c.e.m. Eg ( s ) actúa como señal de realimentación para mejorar su estabilidad propia y la del sistema de control donde es utilizado. El siguiente ejemplo muestra la aplicación del modelo estándar del servomotor en el cálculo de la función transferencia de un sistema MIMO.

EJEMPLO 1.14: Aplicar el concepto de función de transferencia (FT) para analizar el FT de un sistema MIMO.

modelo del servomotor de la figura 1.35 como un sistema MIMO de 2 entradas y 2 salidas, asumiendo los siguientes parámetros: Ra

Solución:

 5, La  1 H

km

 5 N  m/A

Jm

 4 N  m  s2 , Bm  0.5 N  m

La siguiente figura muestra el diagrama funcional del servomotor, que será utilizado para analizarlo como un sistema MIMO de 2 entradas y 2 salidas. Va ( s )

) T L ( s

SERVOMOTOR REGULADO POR ARMADURA

 m s ( )  m s ( )

Aplicando el principio de superposición es posible expresar matricialmente la relación entrada-salida del sistema anterior, como

  m ( s)  G11( s)   ( s)   G ( s)  m   21

G12 ( s)  Va ( s) 





G22 ( s)  T L ( s)

El problema se reduce a calcular las componentes del arreglo matricial

G( s ),

conocido como matriz función de transferencia (MFT), usando la fórmula de ganancia de Mason (FGM). ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

1-53


Para facilitar su aplicación, a partir del diagrama de bloques (DB) de la figura 1.45, se desarrolló el GFS mostrado a continuación. ) T L ( s ) k ) G I a ( s E1( s m a

) Va ( s

1

( ) 1/s G  m s m

( )  m s

) E2 ( s

 k m

) es la FT que contiene los parámetros del circuito de armadura, donde Ga ( s Ga ( s )

1 La s  Ra



1 s  5

) la FT que contiene los parámetros del motor y Gm ( s ) Gm ( s

1 Jm s  Bm

1



4 s  0.5

Desarrollando la primera fila de la expresión matricial

 m ( s)  G11( s)  Va ( s)  G12( s)  T L ( s)  m s ( ) se

La expresión anterior sugiere que la salida

debe a la suma de los

) y T L ( s ) . Como se trata de un sistema lineal, es efectos de las 2 entradas Va ( s

posible evaluar por separado el efecto de cada entrada. Para aplicar la FGM al GFS, obtenemos primero el determinante del sistema

 5.125s  6.875 ( s  5)( s  0.125) 2

( s)  1 kmGa ( s)Gm ( s)  2

s

El resultado anterior puede verificarse usando MATLAB® » La=1; Ra=5; km=5; J m=4; Bm=0. 5; » Ga=t f ( 1, [ La Ra] ) ; Gm=t f ( 1, [ J m Bm] ) ; » Ds=1+km^2* Ga* Gm; Ds=zpk( Ds) Zer o/ pol e/ gai n: ( s^2 + 5. 125s + 6. 875) ---------------------( s+5) ( s+0. 125)

Para la relación Va ( s)

  m ( s ) , asumiendo T L ( s )  0

G11( s )

Para la relación T L ( s)

 m ( s) Va ( s)



kmGa Gm

( s)



1.25 2

s

 5.125s  6.875

  m ( s ) , asumiendo Va ( s )  0


1-54


G12( s )

 m( s)  Gm   T L ( s) ( s)

2

s

0.25( s  5)  5.125s  6.875

®

Usando MATLAB

» G11s=mi nr eal ( km* Ga*Gm/ Ds) , G12s=mi nr eal ( - Gm/ Ds) Zer o/ pol e/ gai n: 1. 25 -------------------- -( s^2 + 5. 125s + 6. 875)

Zer o/ pol e/ gai n: - 0. 25 ( s+5) ---------------------( s^2 + 5. 125s + 6. 875)

Siguiendo el mismo procedimiento se obtienen los siguientes valores G21( s )

 m( s) Va ( s)

) G22 ( s



kmGaGm / s

( s )

 m ( s) Gm /s   ( s ) T L ( s)



1.25

  5.125s  6.875 2

s s

0.25( s  5) 2  6.875 s s  5.125s

®

Usando MATLAB

» s=zpk( ' s ' ) ; » G21s=mi nr eal ( km* Ga*Gm/ s/ Ds) , G22s=mi nr eal ( - Gm/ s/ Ds) Zer o/ pol e/ gai n: 1. 25 -------------------- ---s ( s^2 + 5. 125s + 6. 875)

Zer o/ pol e/ gai n: - 0. 25 ( s+5) ----------------------- s ( s^2 + 5. 125s + 6. 875)

Como se trata de un modelo arbitrario, la ecuación característica del sistema debe evaluarse usando (1.23), como 2

s

( s )  0

 5.125s  6.875  0

cuyas raíces (polos del sistema) son p1,2

 2.5625 

j 0.5555 . Como los polos ®

están en el SPI, el sistema es absolutamente estable. Usando MATLAB » ECs=t f data( Ds, ' v' ) , pk=r oot s( ECs) ECs = 1. 0000

5. 1250

6. 8750

pk = - 2. 5625 + 0. 5555i - 2. 5625 - 0. 5555i

En el ejemplo anterior se recurrió al uso de una forma especial de la función crear el objeto

s,

zpk() para

que permite manipularlo como si fuera una variable simbólica.

Interpretando los resultados del ejemplo 1.14, la figura 1.36 muestra una forma modificada del DB del servomotor regulado por la armadura, en función de los componentes de la matriz de transferencia

). G( s


1-55


( )  m s

) G11( s

) Va ( s

Figura 1.36 DB modificado del servomotor en términos de la MFT.

) G21( s

+

+

) G12( s

) T L ( s

( )  m s

+

+

) G22( s

(s )

Engranajes en sistemas electromecánicos En las aplicaciones prácticas de los sistemas electromecánicos es necesario recurrir al uso de engranajes, como dispositivos para aumentar el torque o par mecánico, reduciendo la velocidad angular. La figura 1.37 presenta los parámetros y el sistema eléctrico equivalente que será utilizado para desarrollar el modelo. T 1 , 1

2

1 r 1

T 2

T 1

Figura 1.37 Sistema mecánico de engranajes y sistema eléctrico análogo.

r 2

J L r1 : r 2

, 2 T 2 r1 : r 2

En la figura anterior se sume que no existe inercia ni rozamiento en el sistema de engranajes, que es consistente con el modelo del transformador ideal. A partir de la relación de transformación r1 : r , obtenemos 2 T1 T2



2  1

r 1 r 2

 a

(1.41)

Usando el principio del transformador ideal [Fitzgerald03], es posible evaluar el efecto del [N-m-s/rad] y de la inercia de la carga J rozamiento viscoso B [N-m-s 2 ] , desde el lado L L del motor, tal como se indica en la figura 1.38.

Figura 1.38 Evaluación del efecto de la carga desde el lado del motor.

Motor

r1 : r 2

, m T m

, L T L

Carga J L , B L

Motor

Carga L ( m) T ,  m J L ( m) , B m


1-56


El problema se reduce a calcular los parámetros equivalentes de la carga J L ( m) , B L ( m) , vistos desde el lado del motor. Aplicando la SLNMR en el lado de la carga d

T L (t )  J L

2

L

dt

2

 BL

d L dt



T L ( s)  JL s

2

 L ( s)  s L ( s)

(1.42)

Aplicando (1.41) obtenemos la relación entre variables del lado del motor y de la carga

 L ( t )   m( t )  a

T L ( t )  Tm ( t ) / a

(1.43)

Sustituyendo (1.43) en (1.42), obtenemos T m ( s)  J L ( a ) s 2

 m ( s)  BL (a )2 s m(s)  J L( m)s2 m(s)  B L( m)s m(s)

2

(1.44)

Los parámetros equivalentes de la carga en el lado del motor son J L ( m)

 a2 J L

B L ( m)

 a2 B L

(1.45)

El resultado anterior es consistente con la interpretación que se hace de pasar un parámetro de un circuito eléctrico de un lado a otro del transformador ideal, si se toma en cuenta que en la analogía torque-voltaje la inercia J equivale a una inductancia y el rozamiento B L L equivale a una resistencia en el sistema eléctrico. Un procedimiento similar se puede aplicar para desarrollar el modelo equivalente de un sistema real de engranajes [Kuo95].

Modelo de un brazo robótico Como una aplicación de los modelos anteriores se considera a continuación el desarrollo del modelo de un brazo robótico [Phillips00], mostrado en la figura 1.39, compuesto por un servomotor DC regulado por la armadura, un juego de engranajes con relación de transformación a  r1 /r y lazo de control con realimentación unitaria que utiliza un 2 controlador proporcional con ganancia k p [voltios/rad] . Otros modelos del controlador

serán tratados en la sección 4.1. Se trata de obtener un modelo que permita establecer la relación

r t ( )  ( t ) entre

el

]. valor referencia y la posición final deseada del brazo robótico, ambas expresadas en [ rad

( )  r s

+

) Gm ( s

) Ga ( s ) V( s



k p

+

1



La s  R a

) T m ( s

) I a ( s k m

1 J s  B

( )  m s

1 s

( )  m s

r 1 r 2

) Eg ( s

Figura 1.39 Modelo del brazo robótico

k m


( s )

1-57


) Es posible simplificar el modelo de la figura 1.35 considerando que el par mecánico T L ( s

se requiere para compensar la inercia J y el rozamiento viscoso B de la carga. Sin L L embargo, como estos dos parámetros están después de la caja engranajes los valores totales de inercia y coeficiente de rozamiento viscoso, referidos al lado del motor son J  Jm  J L ( r1/r2 )

B  Bm  BL ( r1/r2 )

2

2

(1.46)

EJEMPLO 1.15: Aplicando la fórmula de ganancia de Mason (FGM), determinar la FT del FT del modelo de un brazo robótico.

modelo del brazo robótico de la figura 1.39, para las relaciones ( )  (t ) y  r t

v( t )



T m (t ) , asumiendo los siguientes parámetros:

 10, La  1 H , Ra  5 , km  5 N  m/A Mecánicos: J  4 Nm s2 , B  0.5 N  s/rad , a  1: 20 Eléctricos: kp

Solución: Para facilitar la aplicación de la FGM, desarrollamos el gráfico de flujo de señales (GFS), usando 8 nodos para representar las señales de entrada a cada bloque de la figura 1.39 y las señales de entrada y salida propias del sistema.

 r

E 10 1

Ga ( s ) I a E 2

) Gm ( s 5 T m

 m

1/s 

m

1/20



5 1 ( s ) respectivamente, Las señales E p y Ga 1 y E 2 son la entrada de los bloques k

en la figura 1.39. Siguiendo el procedimiento propuesto en la sección 1.5, ) , a partir de los 2 lazos del GFS calculamos el determinante del sistema ( s

L1

 25  Ga ( s)  Gm ( s)

L2

 50  Ga ( s)  Gm( s)/s

( s)  1  ( L1  L2 )

Donde, de acuerdo con la figura 1.39 Ga ( s) 

1

1

Gm ( s)  Js  B

La s  Ra

Utilizando los parámetros del sistema, obtenemos

( s ) 

( s  4.1965)( s2  0.9285s  2.9785) s( s  5)( s  0.125) ®

que puede verificarse utilizando MATLAB


1-58


>> >> >> >> >>

La=1; Ra=5; km=5; J m=4; Bm=0. 5; Ga=t f ( 1, [ La Ra] ) ; Gm=t f ( 1, [ J m Bm] ) ; L1=Ga* km*Gm*( - km) ; L1 =zpk( L1) L2=kp*Ga*km*Gm* t f ( 1, [ 1 0] ) *( - 1) ; L2=zpk( L2) ; Ds=1- L1- L2 Zer o/ pol e/ gai n: ( s+4. 197) ( s^2 + 0. 9285s + 2. 979) --------------------------------s ( s+5) ( s+0. 125)

Para la relación  r s ( )  ( s ) , las trayectorias directas y cofactores son T1  50  Ga ( s)  Gm ( s)/(20s),  1

1

Aplicando la FGM (1.21), obtenemos T1( s )

0.625 ( s) T 1   1   2 ( s  4.1965)( s  0.9285s  2.9785)  r ( s)  ®

que puede comprobarse usando MATLAB

>> a=1/ 20; T1=kp*Ga*km* Gm*t f ( 1, [ 1 0] ) * a; T1=zpk( T1) ; D1=1; >> T1s=mi nr eal ( T1*D1/ Ds) Zer o/ pol e/ gai n: 0. 625 --------------------------------( s+4. 197) ( s^2 + 0. 9285s + 2. 979)



Para lograr la relación V( s)

) no aparece en el GFS, es T m ( s) , como V( s

necesario obtener del DB la relación auxiliar V( s)  kp  E1( s) . Luego T2 ( s )

T m ( s) V( s)

1 T m ( s)



kp E1( s)

) es un nodo mixto que puede convertirse en un En la expresión anterior, T m ( s ) es nodo de salida, tal como se hizo en ejemplo 1.13. Sin embrago, como E1( s nodo mixto no puede convertirse en nodo de entrada. Por lo tanto es necesario

recurrir al siguiente artificio algebraico: T2 ( s )

1 T m( s) kp E1( s)



1 T m ( s) kp

 r ( s)



 r ( s) E1( s)

 r ( s)  Tm ( s ) y  r s ( )  E1( s ) , que

donde el primer factor es la FT de la relación

el segundo

factor es el inverso de la FT de la relación

pueden ser

evaluadas a través de la FGM. Para los 2 factores obtenemos T a ( s) 

T m ( s)

 r ( s)



kp Gm k m

( s)

E ( s) T b ( s)  1  r ( s)



1  L1

( s)


1-59


) y utilizando los parámetros del sistema Sustituyendo en la expresión de T2 ( s T2 ( s )

1 kp



T a ( s) Tb ( s)



5( s  0.125) 2

s

 5.125s  6.875

que puede verificarse usando MATLAB® >> Ta=mi nr eal ( kp*Ga*km/ Ds) ; Tb=mi nr eal ( ( 1- L1) / Ds) ; >> T2s=( 1/ kp) *mi nr eal ( Ta/ Tb) Zer o/ pol e/ gai n: 5 ( s+0. 125) ---------------------( s^2 + 5. 125s + 6. 875)

)  0 , viene dada por La ecuación característica del sistema ( s 3

s

 5.125s2  6.875s  12.5  0

Las raíces de esta ecuación o polos del sistema en lazo cerrado, son p1  4.1965, p2,3

 0.4642 

j 1. 6623

Como estas raíces se encuentran en el SPI del plano-s, el sistema en lazo ®

cerrado es absolutamente estable. Usando MATLAB : >> ECs=t f dat a( Ds, ' v' ) , pol os=r oot s( ECs) ECs = 1. 0000

5. 1250

6. 8750

12. 5000

pol os = - 4. 1965 - 0. 4642 + 1. 6623i - 0. 4642 - 1. 6623i

Utilizando la función

step() del

®

) TBC de MATLAB , se generó a partir de T1( s

la gráfica de la respuesta escalón del sistema en lazo cerrado, mostrada en la figura 1.40, cuya forma verifica la estabilidad del sistema.

Figura 1.40 Respuesta escalón del modelo del brazo robótico


1-60


Sistemas térmicos El modelo del proceso de un sistema de control de temperatura se desarrolla aplicando ecuaciones de balance de energía, que se desarrollan usando los siguientes parámetros: [ºC-s/kcal] - resistencia térmica: R T [kcal/ºC] - capacitancia térmica: C T definidos en el apéndice H.5, debido a que en aplicaciones prácticas el efecto de la inertancia es despreciable en este tipo de sistemas. Aunque los parámetros R y C T T

generalmente se distribuyen a lo largo de las sustancias que actúan en el funcionamiento de los procesos térmicos, para efectos de simplificación del modelo se tratarán como parámetros concentrados.

La resistencia térmica es la propiedad que se opone a la circulación del flujo térmico y según el apéndice H.5, puede manifestarse por conducción a través de paredes o por convección a través de un fluido. Por otro lado, la capacitancia térmica está asociada con la

habilidad de un proceso de almacenar energía térmica y se determina como: CT

 m c e

(1.47)

] es la masa de la sustancia y c donde m [ kg [kcal/kg-°C] el calor específico. El modelo e

físico del proceso térmico a considerar se presenta en la figura 1.41, donde se asume que se desea calentar el fluido dentro de un tanque, utilizando una resistencia eléctrica R y un C agitador para lograr una temperatura uniforme del líquido dentro del tanque.

Agitador q1( t ), T1( t )

+

T a (t )

i q( t )

qp ( t )

R C

Figura 1.41 Modelo físico del proceso térmico.



qL (t ), T ( t )

q2 ( t ), T ( t )

Por lo tanto la variable del proceso o variable controlada es la temperatura de salida T (t ) y la variable manipulada es el flujo térmico q( t ) suministrado por la resistencia de calefacción. Existen 2 perturbaciones que pueden afectar la variable controlada T (t ) : las variaciones en la temperatura de entrada T1(t ) y los cambios en la temperatura ambiente T a (t ) . La figura 1.42 muestra el modelo funcional del proceso. ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

1-61


T1(t )

q(t )

Figura 1.42 Modelo funcional del proceso térmico.

T a (t )

PROCESO TÉRMICO DE UN TANQUE

T (t )

] que deben ser consideradas en el desarrollo del modelo: Existen 3 temperaturas en [ºC T1( t ): temperatura de entrada del fluido (perturbación) T (t ): temperatura de salida del fluido (variable co ntrolada) T a ( t ): temperatura ambiente (perturbación)

La diferencia entre estas temperaturas origina la propagación de calor en los diferentes puntos del sistema, que se evalúa a través de 5 flujos térmicos en [ kcal /s ] q1( t ): flujo térmico asociado con el fluido de entrada q(t ): flujo térmico entregado por resistencia de calefacción (variable manipulada) qL ( t ): flujo térmico generado por efecto capacitivo del fluido qp (t ): flujo térmico generado por conducción en las paredes del tanque q2 ( t ): flujo térmico generado por convección del fluido de salida

Para obtener el modelo se parte del balance de energía correspondiente a estos flujos ] , el cual se expresa como térmicos en [ kcal /s q1( t )  q( t )  q2 ( t )  qL ( t )  qp ( t )

Ahora se debe formular la relación causa

(1.48)

 efecto que generan cada uno de los 5 flujos

térmicos a partir de las 3 temperaturas. La temperatura T1(t ) de entrada del fluido, genera un flujo térmico que se obtiene aplicando (H.16) y (H.17) del apéndice H.5: q1( t )  k1T1(t )

(1.49)

Donde k 1 es una constante que depende del flujo másico y del calor específico del fluido. El flujo térmico que se genera por efecto capacitivo del líquido dentro del tanque es función la capacitancia térmica del sistema y según (H.21), viene dado por qL (t )  C T

dT

dt

(1.50)

El flujo térmico asociado con el fluido de salida se propaga por convección y depende de la resistencia térmica R del fluido. Aplicando (H.16) obtenemos T ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

1-62


q2 ( t ) 

T (t ) R T

(1.51)

Finalmente, el flujo térmico que se propaga por conducción a través de las paredes del tanque, está dado por (H.16) como qp (t ) 

T (t )  T a ( t )

R p

(1.52)

donde R es la resistencia térmica de las paredes del tanque. P Sustituyendo (1.49), (1.50), (1.51) y (1.52) en (1.48), obtenemos k1T1(t )  q(t ) 

T (t ) RT

dT

 CT 

T ( t )  Ta ( t )

dt

Rp

(1.53)

) , obtenemos Llevando al dominio-s y despejando la salida del sistema T ( s T ( s) 

R

1 RCT s

Q( s) 

R  k 1

1  RCT s

T1( s) 

RT /( RT

 R p )

1  RCT s

T a ( s)

(1.54)

donde R  RT Rp /( RT resistencias R T

 Rp ) , que por analogía corresponde al equivalente en paralelo de las ] , que se reconoce como la constante de y R p . Sustituyendo   RCT [ s

tiempo de cada componente de orden-1 de la respuesta en (1.54), obtenemos T (t ) 

K1

1  s

Las constantes K 1  RT Rp /( RT

Q( s) 

 Rp ) ,

K2

1 s

K2

T1( s) 

K 3

T a ( s)

(1.55)

1   s

 RT Rp k1 /( RT  Rp ) y

K3



RT /( RT

 Rp ) son la

ganancia DC de cada término en (1.55), cuyas dimensiones deben ser compatibles con la relación causa-efecto que se formula en cada uno. De este modo K 1 se expresa en y K 3 son adimensionales. La figura 1.43 presenta el [º C  s/kcal ] , mientras que K 2 diagrama de bloques del modelo desarrollado.

Q( s )

K 1

1   s T1( s )

K 2

1   s

Figura 1.43 Modelo de diagrama de bloques del proceso térmico.

T a ( s )

+

+

T (s )

+

K 3

1  s


1-63


) y Ta ( s ) el modelo se reduce a un Si se desprecia el efecto de las perturbaciones T1( s

sistema de primer orden mostrado en la figura 1.44, que será utilizado en capítulos posteriores para el análisis y diseño del sistema de cont rol.

Figura 1.44 Modelo simplificado del proceso térmico.

) Q( s

K 1

T ( s )

1  s

Sistemas hid ráulicos El modelo de un sistema hidráulico se obtiene formulando relaciones causa

 efecto

donde intervienen los siguientes parámetros: 2 - resistencia hidráulica: RH [ N s /m5 ] o [ s/m ] 2 ] - capacitancia hidráulica: CH [m3 /N ] o [m

Las unidades de estos dos parámetros pueden cambiar dependiendo de la unidad utilizada para medir la presión del proceso. En el primer caso se utiliza la presión absoluta p(t ) en 2 [ N /m ] y en el segundo caso la presión hidrostática o cabeza de presión h( t ) en [m ].

Para mostrar el uso de estos parámetros se desarrollará a continuación el modelo del proceso, correspondiente al sistema de control de nivel de la figura 1.13, asumiendo flujo laminar a través de la válvula de salida Vs. La figura 1.45 muestra el modelo funcional del proceso, donde la variable controlada es el nivel del líquido en el tanque h( t ) y la variable manipulada es el caudal de entrada q(t ) .

Figura 1.45 Modelo funcional del proceso de nivel de líquido en un tanque.

q( t )

PROCESO DE NIVEL DE LÍQUIDO EN UN TANQUE

h( t )

Para desarrollar el modelo asumimos un cambio diferencial de nivel d h que produce un cambio diferencial de volumen A dh , siendo A la sección transversal del tanque. Este cambio en el volumen debe ser compensado por la diferencia entre el caudal de entrada q( t ) y el caudal de salida qs (t ) en un tiempo dt . Por lo tanto

 q(t )  qs (t )  dt  A dh Ordenando términos, obtenemos ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

1-64


A

dh

 q(t )  qs ( t )

(1.56)

dt

que básicamente es la ecuación (H.24), si CH  A y la presión p(t ) se expresa en términos de la cabeza de líquido o presión hidrostática h(t ) . Asumiendo que flujo laminar a través de la válvula de salida y aplicando (H.22), obtenemos qs (t ) 

h(t ) R H

(1.57)

Sustituyendo (1.57) en (1.56), para CH  A y ordenando términos CH RH

dh

 h(t ) 

RH q(t )

dt

(1.58)

que es una ecuación diferencial de primer orden y corresponde al modelo fundamental del sistema de la figura 1.45, para la relación: Q( s)



H ( s) . Esta misma relación puede

modelarse a través de la función de transferencia (FT), asumiendo que el sistema está en reposo. Llevando (1.58) al dominio-s para cero condiciones iniciales RH CH sH ( s)  H ( s)  RH Q( s) G( s )

donde

  RH CH [ s ] y

K



H ( s) Q( s)



RH RH CH s  1



K

1  s

(1.59)

2

RH [ s/m ] .

De este modo, el modelo del proceso de nivel de líquido se muestra en la figura 1.47, que 2 ] y  la constante corresponde a un sistema de orden-1, donde K es la ganancia DC en [ s/m

] , similar al modelo simplificado del proceso t érmico de la figura 1.44. de tiempo en [ s

Figura 1.47 Modelo del proceso de nivel de líquido en un tanque.

Q( s )

H ( s )

K

1  s 

El desarrollo del modelo anterior no incluyó perturbaciones del proceso. Sin embargo, es posible que existan y una de estas es la posibilidad de fluctuaciones en el caudal de líquido aguas arriba de la válvula de entrada, la cual puede regularse usando un sistema de control de flujo en cascada. Llevando (1.57) al dominio-s y combinando con (1.59), se puede obtener la FT para la relación Q( s)



Qs ( s) , como

) G1( s

Qs( s) Q( s)



K /RH

 1  s

(1.60)


1-65


2 ] la constante de ganancia del numerador es adimensional, Como R se expresa en [ s/m H

consistente con la relación causa  efecto de los 2 caudales. El siguiente ejemplo muestra el desarrollo del modelo de un proceso hidráulico, donde existe interacción entre dos tanques a través de la válvula.

EJEMPLO 1.16: Aplicando la FGM, calcular la FT para la relación Q( s)  Q2 ( s) del FT de un sistema modelo hidráulico mostrado a continuación, asumiendo flujo laminar a hidráulico de 2 tanques con interacción.1.17: EJEMPLO

través de las dos válvulas. q

h 1

h 2

R 1

C 1

C 2

q 1

R 2

q 2

Solución: La diferencia entre el caudal de entrada y el caudal de salida del primer tanque q(t )  q1( t ) origina un cambio en e l nivel h1(t ) , determinado por (1.56), como C1

dh 1 dt

 q(t )  q1( t )

El caudal q1( t ) a través de la válvula R 1 depende de la diferencia de presión h1(t )  h2( t ) . Asumiendo flujo laminar podemos aplicar (1.57), como h1(t )  h2 (t ) R 1

 q1(t )

En el segundo tanque, la variación de caudal h2 (t ) se presenta por efecto de la diferencia q1(t )  q2( t ) del caudal de entrada y el caudal de salida, que puede evaluarse a través de la ecuación (1.56), como C2

dh 2 dt

 q1(t )  q2 (t )

Finalmente el caudal de salida q2 (t ) a través de la válvula R 2 , asumiendo flujo laminar , se puede calcular a partir de (1.57), como h2 ( t ) R 2

 q2( t )


1-66


Llevando al dominio-s cada una de las expresiones anteriores para el sistema en

 efecto,

reposo y escribiéndolas en forma estándar , como relación causa

obtenemos H 1( s)  H 2 ( s) 

1 C1 s

1 C2 s

Q( s)  Q1( s)

1

Q1( s) 

Q1( s)  Q2( s)

 H 1( s)  H 2( s)

R 1

Q2( s) 

H 2 ( s ) R 2

Usando estas expresiones es posible desarrollar el diagrama de bloques que se presenta a continuación, que constituye el modelo del sistema hidráulico de 2 tanques con interacción.

) Q( s

+



1

) H 1( s

C1 s

+



) Q1( s

1 R 1

1

1

+

C2 s H ( s ) 2



El problema se reduce a encontrar la FT para la relación Q( s)



) Q2 ( s

R 2

Q2 ( s) . Para

esto, podemos desarrollar el GFS asociado el DB anterior, representando las señales de salida de cada bloque y las señales de entrada y salida del sistema.

El resultado se muestra a continuación: ) Q( s

1/R Q 1 1

1/C1s H 1

1/C2 s H 2

1/C1s

1/R 1

) Q2 ( s

1/R 2

1/C2 s

Aplicando la FGM, obtenemos para el determinante del sistema

( s )  1

1 R1C1s



1 R1C2 s



1



R2C 2s

1 2

R1 R2C 1C2s

Agrupando términos

( s ) 

2

R1 R2C1C2 s

 R1C1s  R1C2s  R2C 2s  1 2

R1 R2C1C2 s

La única trayectoria directa para la relación q( t )



q2 ( t ) es


1-67


T 1 

1 C1 s



1 R1



1 C2 s



1 R2



1 2

,

R1 R2C1C2s

1  1

Aplicando (1.21), obtenemos ) G( s

1 2

R1 R2C1C2 s

 R1C1s  R1C2s  R2C2s  1


1-68


RESUMEN Este capítulo se presentó una lista de conceptos básicos relacionados con el funcionamiento de los Sistemas de Control, sus estructuras típicas de lazo abierto, lazo cerrado, control por acción precalculada y control en cascada. Se identificaron los componentes, variables y operaciones básicas de un sistema de control realimentado (feedback), que fue el fundamento de muchos de los problemas desarrollados en el capítulo. Se formuló el problema de control y se analizaron las fases necesarias para su solución, que incluyen el propósito del sistema de control, desarrollo del modelo del proceso y otros componentes, diseño del controlador, verificación de resultados y la documentación final del proyecto. Se describieron ejemplos de sistemas físicos de control de nivel, temperatura y posición, con el objeto identificar aspectos prácticos relacionados con el propósito del sistema de control, operaciones básicas del control realimentado (feedback), acción de control y posibles perturbaciones. Se analizaron sistemas de una entrada y una salida o SISO (Single Input Single Output) y un sistema de control múltiples entradas y salidas o MIMO (Multiple Input Multiple Output), tanbien conocido como multivariable. Se concluyó con el análisis de un sistema de control de temperatura en cascada utilizando simbología ISA (Instrument Society of America) con el propósito de reconocer la simbología estándar que se utiliza para el desarrollo de planos, en aplicaciones prácticas de sistemas de control. Se hizo una revisión de los conceptos de función de transferencia (FT) y respuesta impulso, necesarios para el análisis de sistemas de control y se aplicaron para obtener la respuesta forzada de un sistema de control y evaluar su estabilidad acotada o estabilidad BIBO (Boundary Input Boundary Output). Con base en la FT, se desarrolló el modelo matemático de un sistema de ), control de lazo cerrado o realimentado, representando sus 3 componentes básicos como: Gc ( s 

Gp ( s ) y H ( s ) . Utilizando funciones de objetos LIT del Toolbox de Control de MATLAB

se

demostró que es posible simular el modelo de FT en el dominio-s en la forma TF: como una fracción racional de dos polinomios y la forma ZPK o forma factorizada que identifica los polos

ceros y la constante de ganancia. El uso de estos objetos LTI facilitó considerablemente la solución de ejemplos prácticos desarrollados a lo largo del capítulo y la interpretación gráfica de la respuesta dinámica de un sistema de control. Se presentó una breve revisión de los elementos básicos de un diagrama de bloques (DB) y las reglas fundamentales para la simplificación de bloques en cascada, en paralelo y en realimentación. Usando bloques se estableció la forma canónica de un sistema de control realimentado o de lazo cerrado, cuyas componentes son la FT de la rama directa: G( s ) y la FT de ) , el cual se aplicó para definir los conceptos de función de transferencia de la rama inversa: H ( s ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

RESUMEN, TERMINOS Y CONCEPTOS IMPORTANTES, PROBLEMAS DE REFUERZO

1-69

) , función de transferencia de lazo cerrado: T ( s ) y ecuación característica (EC). lazo abierto: F( s

Se demostró que es posible desarrollar el Gráfico de Flujo de Señales (GFS) a partir del DB, con el objeto de facilitar la aplicación de la Fórmula de Ganancia de Mason (FGM) para el cálculo de la FT de un sistema de control. Usando esta estrategia se demostró que el determinante de Mason:

( s ) se puede utilizar para lograr la ecuación característica (EC) de un sistema SISO o MIMO, cuyo esquema de control es arbitrario. Se desarrolló un conjunto de modelos matemáticos de sistemas físicos, basados en el concepto sistemas análogos, que permite el uso de 3 parámetros fundamentales: resistencia, inertancia y capacitancia, para establecer la relación causa

 efecto o entrada  salida en cada

componente de sistema. Usando esta estrategia de desarrolló el modelo de un sistema eléctrico, utilizando como herramienta la Ley de Kirchhoff de Corrientes (LKC) y la Ley de Kirchhoff de Voltajes (LKV). De modo similar se desarrolló el modelo matemático de un sistema mecánico de traslación aplicando la Segunda Ley de Newton del movimiento traslacional (SLNMT) al diagrama de cuerpo libre. Un trabajo similar permitió el desarrollo del modelo matemático de un sistema mecánico de rotación, mediante la aplicación de la Segunda Ley de Newton del movimiento rotacional (SLNMR).

Utilizando los elementos básicos de un sistema eléctrico y de un sistema mecánico de rotación, se construyó el modelo de un generador DC con excitación independiente y el modelo de un servomotor regulado por el circuito de armadura. Utilizando analogía con un transformador ideal, se logró el modelo de un sistema de engranajes, el cual se utilizó para formular el modelo del brazo de un robot, como una aplicación práctica de un sistema de control de lazo cerrado. Finalmente, utilizando el concepto de balance de energía y el balance de flujo, se desarrolló el modelo de un sistema un sistema térmico incluyendo las posibles perturbaciones y de un sistema hidráulico sin perturbaciones, donde se asumió flujo laminar a través de la válvula de control. Este último modelo se aplicó para desarrollar el modelo de dos tanques con interacción.

TERMINOS Y CONCEPTOS IMPORTANTES A continuación se presenta una relación de los términos y conceptos que fueron considerados en este capítulo y que pueden ser una buena referencia para la evaluación del aprendizaje de los temas desarrollados. 1. Definición y propósito de un sistema de control. 2. Condiciones mínimas de un sistema de control: regulado y automático. 3. Diagrama funcional: relación causa  efecto o entrada  salida. ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

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4. Definición de sistema dinámico. 5. Diferencia entre análisis y diseño de un sistema LIT. 6. Sistema SISO y sistema MIMO. 7. Campos de aplicación de los sistemas de control: control de procesos, servomecanismos, control secuencial, control analógico, control digital. 8. Estrategias de control: lazo abierto, lazo cerrado, acción precalculada y cascada. 9. Características del sistema de control de lazo abierto. 10. Características del sistema de control de lazo cerrado. 11. Características del sistema de control de por acción precalculada. 12. Características del sistema de control en cascada: lazo primario y secundario, sistema de control maestro-esclavo. 13. Tres operaciones básicas del sistema de control realimentado. 14. Componentes y variables del sistema de control realimentado. 15. Definición del problema de control: realimentación. 16. Propósito de la realimentación: minimizar la señal de error e( t ) . 17. Fases en la solución del problema de control: propósito, modelo, diseño y verificación. 18. Sistema de control de nivel de un tanque. 19. Sistema de control de temperatura de una cámara. 20. Sistema de control de posición de una antena. 21. Sistema de control digital. 22. Sistema de control multivariable. 23. Simbología estándar en sistemas de control: normas ISA. 24. Modelos clásicos de sistemas de control: ED, respuesta impulso y FT. 25. Solución de la ED usando Laplace: respuesta forzada y respuesta natural. 26. Respuesta impulso: sistema en reposo. 27. Convolución lineal: respuesta forzada ante entrada arbitraria. 28. Definición de FT H ( s)  L { h( t )} . 29. Estabilidad a partir de la respuesta impulso: integrable. 30. Estabilidad a partir de la FT: polos en el SPI. ) , Gp ( s ). 31. Modelo del sistema de control de lazo cerrado: Gc ( s ) y H ( s

32. Ecuación diferencial a partir de la función de transferencia. 33. Funciones de MATLAB® para creación de objetos LIT: tf(), zpk() y ss(). ®

34. Funciones de MATLAB para recuperar datos: tfdta(), zpkdata() y ssdata(). 35. Elementos de un diagrama de bloques: ganancia, sumador y toma. 36. Reglas para simplificar un DB: bloques en cascada, paralelo y realimentación. ) y FT de lazo cerrado T ( s ). 37. FT de lazo abierto F( s ) y H ( s ). 38. Reducción de un sistema a la forma canónica: G( s ) 0. 39. Ecuación característica para forma canónica: 1 G( s) H ( s ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL CON APLICACIONES EN MATLAB – Carlos Alberto Rey Soto - 2009

Modelos Matemáticos de Sistemas de Control

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