CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOLÓGICO
Tarea: Movimientos Traslacionales y Rotacionales
Materia: Modelado de sistemas físicos Profesor: Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez Alumno: Ing. Carlos Jesús Zúñiga Aguilar
Índice 1. ELEMENTOS MECÁNICOS TRASLACIONALES
1.1. 1.2. 1.3. 1.4.
Masa Traslacional . . . . . . . . . Resorte Traslacional . . . . . . . Disipador Traslacional . . . . . . Fuentes de Energía Traslacional .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
3
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
2. ELEMENTOS MECÁNICOS ROTACIONALES
2.1. 2.2. 2.3. 2.4.
Masa Rotacional . . . . . . . . Resorte Rotacional . . . . . . . Disipador Rotacional . . . . . . Fuentes de Energía Rotacional .
. . . .
. . . .
. . . .
2
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
3 4 5 6 7
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
7 8 9 10
1. ELEMENTOS MECÁNICOS TRASLACIONALES El movimiento traslacional de sistemas mecánicos es caracterizado por un conjunto de componentes energéticamente conectados, donde la naturaleza de la interconexión es determinada por el conjunto de fuerzas correspondientes al conjunto de velocidades sobre el sistema. Por ejemplo, una fuerza aplicada a una masa ideal da como resultado una aceleración. A continuación se verá como es que se puede representar matemáticamente el movimiento de los tres principales elementos mecánicos.
1.1.
Masa Traslacional
Una masa ideal es un cuerpo rígido el cual se mueve a través de un entorno ideal (sin fricción o fuerzas que no le permitan el movimiento). Entonces, de acuerdo a la segunda ley de Newton, el momento p de la masa es proporcional a la velocidad v: p = mv
(1)
donde m es la masa Newtoniana de un objeto. la cantidad de momento es definida por: t
p =
F dt + p(t0 ) or F =
t0
dp dt
(2)
donde F es una fuerza. De (2) se puede observar que el sistema es un almacenador de flujo dado que tiene una relación con la definición f =
df a dt
Por tanto, siguiendo una analogía de que la velocidad se “modelará” como un esfuerzo y, como se ha mencionado en la ecuación anterior, la fuerza se podrá “modelar” como el flujo. Se define una relación constitutiva como se muestra en (3). v = φ ( p)
⇒
p = φ
1
−
(v )
(3)
La analogía que se definió indica que la cantidad de momento en análoga a la acumulación de flujo, entonces una masa traslacional puede ser clasificada como un acumulador de flujo con una relación constitutiva como se muestra en la figura 1. De acuerdo a la ecuación (3) la energía acumulada y la co-energía acumulada se expresa como se uestra en (4). pf
U
=
pf
vdp =
p0 vf
U
∗
=
φ( p)dp
p0 vf
pdv =
v0
(4) 1
−
φ
(v )dv
v0
Una masa Newtoniana se encuentra en función de una relación constitutiva lineal como se muestra en (1) y en consecuencia, tanto como la energía acumulada y la co-energía acumulada pueden representarse como se muestra en (5).
3
Figura 1: Masa Traslacional; símbolo y relación constitutiva.
1 2 mv (5) 2 Dicha energía lleva el nombre de energía cinética. La energía cinética es aquella energía que sufre un cuerpo u objeto en consecuencia a un movimiento. Y dada esas condiciones la energía acumulada y la co-energía son iguales. La función lineal que se comentó con anterioridad se obtiene dado que se supone que la velocidad del cuerpo mecánico es menos que la velocidad de la luz, es decir, v << c donde c es la velocidad de la luz con una aproximación de 300000 km ; s si esta condición no es cumplida entonces el comportamiento del momento es no lineal como se muestra en (6). U = U = ∗
p =
mv
1−
(6)
v2 c2
dicha consideración se realiza dada la ley de la relatividad.
1.2.
Resorte Traslacional
Un objeto mecánico el cual cuando es sujeto a una fuerza se contrae o se elónga sin una aceleración significante por parte de sus componentes, o pierde energía o no se deforma es un resorte traslacional. La energía almacenada en este dispositivo es un desplazamiento neto de su estado en reposo. La variable de desplazamiento se define como tf
x =
v (τ )dτ + x(t0 ) o v =
t0
dx dt
(7)
Las propiedades del material con el que se encuentra hecho el resorte son especificadas por una relación constitutiva la cual está en función de la fuerza y da la información de la posición o “deformación” que el objeto sufre. En (7) se puede observar la relación constitutiva en función de la fuerza y del desplazamiento. x = φ (F ) o F = φ
4
1
−
(x)
(8)
El símbolo del resorte como la relación constitutiva que describe su movimiento se puede ver en la figura 2.
Figura 2: Resorte Traslacional; símbolo y relación constitutiva El comportamiento del resorte se puede expresar en forma lineal dando referencia a la ley de Hooke, dando como resultado una relación constitutiva lineal como se muestra en (9). x =
1 k
F
(9)
donde k es conocida como el coeficiente de esfuerzo del resorte, mientras que el inverso de esta constante se le conoce como complanza. De acuerdo a la analogía ( e(esfuerzo) = v (velocidad) y f (flujo) = F (fuerza)) se es claro que un resorte ideal es un almacenador de esfuerzo, donde el desplazamiento x representa una acumulación de la variable de esfuerzo (velocidad). La energía almacenada T en el resorte se define teóricamente como energía potencial ; la energía potencial es la capacidad que tiene un sistema para realizar un trabajo en función de su ubicación. La energía potencial se encuentra expresada matemáticamente en (10). T = T = ∗
1.3.
1 2 F 2k
(10)
Disipador Traslacional
Un objeto mecánico el cual requiere una fuerza estable para mantener cierta velocidad da como resultado una disipación de fuerza. Usualmente, la disipación de energía ocurre porque la energía está siendo transformada de energía cinética a energía térmica por la fricción viscosa. Entonces, cualquier arreglo el cual envuelva un movimiento relativo a un objeto adyacente tendrá una disipación de energía. Un disipador puro es aquel que se abstiene de absorber energía cinético y/o potencial. por tanto un cuerpo rígido ligero el cual “sufre” de un movimiento a través de un fluido viscoso tiene una relación constitutiva la cual estáticamente relaciona a la fuerza aplicada y la velocidad relativa del objeto: 5
F = φ (v),
(11)
en el caso lineal se tiene una relación como F = bv
(12)
Un disipador puro es representado simbólicamente por la figura 3. La energía absorbida por el disipador es el producto de las dos variables básicas; esfuerzo y flujo, y es obtenida por la relación de la suma del contenido y el co-contenido. Para un disipador lineal con una relación constitutiva como (12), el contenido y el co-contenido están dados por J = G =
1 2 bv , 2
(13)
la energía neta absorbida es Energia = bv 2 =
F 2 b
(14)
Figura 3: Disipador Traslacional; símbolo y relación constitutiva
1.4.
Fuentes de Energía Traslacional
Siguiendo la analogía que se había comentado con anterioridad, una fuente de fuerza es una fuente de flujo. De manera similar, una fuente ideal de velocidad es una fuente de esfuerzo. Las fuentes de energía son modeladas como fuentes ideales asociadas con un disipador y de elementos de almacenamiento para representar imperfecciones. A pesar de ese punto práctico, sigue siendo posible encontrar fuentes de energía la cual son una gran aproximación a una ideal. Un ejemplo es la fuerza de atracción gravitatoria de la Tierra, esto es convencionalmente modelada como una fuente ideal de fuerza mg, donde g es la constante gravitatoria y m es la masa del objeto que se encuentra bajo la influencia de la gravedad.
6
2. ELEMENTOS MECÁNICOS ROTACIONALES El movimiento rotacional con respecto a un eje está en función de un conjunto de pares y velocidades angulares. El par es el momento de una fuerza en un punto y, por consecuencia, es una variable de la misma forma que la fuerza lo es. Para este análisis se tomará una analogía parecida a la anterior; la variable de esfuerzo se modelará como una velocidad, mientras que, la variable de flujo será modelada como un par.
2.1.
Masa Rotacional
Una masa rotaciónal es un cuerpo mecánico rígido rotando sin resistencia a través de un eje OA como s emuestra en la figura 4. Ahora, de acuerdo con la segunda ley de Newton, el momento angular h está relacionado con la velocidad angular ω de la masa con respecto a la inercia y está dada por h = I ω,
(15)
donde I se define como el momento de inercia del objeto en el eje OA. El par axial τ aplicado a un objeto es definido por la relación dinámica: τ =
dh . dt
(16)
• NOTA:
La ecuación (15) puede ser deducida con ayuda de la ecuación (16) esto es: dh , si h es un momento entonces se puede definir que h es el producto vectorial dt de una fuerza P (peso) “tangente” al cuerpo por una distancia r. Entonces se puede decir que la fuerza por la que es afectada el cuerpo es una fuerza centrípeta, por tanto P es un vector vm donde v es el módulo de velocidad y m la masa del objeto rotando. Dado que v es un velocidad tangencial este se puede definir como v = ωr sustituyendo en τ se tiene que d d τ = (rmv ) = (rmrω ), como la masa y el radio no cambian su composición original por dt dt
De 16: τ =
la velocidad angular inferior al de la luz entonces pueden considerarse como constantes. Y dω
por tanto τ = mr2 . Si la velocidad angular ω es la derivada de la posición angular con dt respecto al tiempo, entonces, la aceleración angular está definida matemáticamente como la derivada de la velocidad o bien la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo
d2 θ esto hace que τ = mr 2 . Si se define matemáticamente a la inercia como I = r2 dm dt 2 = I r m entonces . Dichas consideraciones dan como resultado que la segunda ley de Newton
2
sea transformada a la siguiente forma: N
τ i = mr 2θ¨ = I θ¨
i=1
Una masa rotacional es representada simbólicamente en la figura 5, en la misma figura se encuentra la relación constitutiva de la rotación de una masa; según la analogía que se tomó, 7
Figura 4: Movimiento Rotacional las propiedades de la relación son representadas por un conjunto de flujos. No te que, la acumulación de flujo se encuentra linealmente relacionado a través de la relación constitutiva a la variable de esfuerzo. Este análisis da como resultado una energía cinética acumulada U y a la co-energía acumulada U las cuales son iguales y están definidas como ∗
U = U = ∗
1 2 Iω 2
(17)
Figura 5: Masa Rotacional; símbolo y relación constitutiva Al igual que la “masa traslacional”, la relación constitutiva lineal es una consecuencia directa de los efectos de la ley de la relatividad.
2.2.
Resorte Rotacional
Cualquier objeto el cual cuando es sujeto a un par tiene como resultado un desplazamiento angular, medido a través del objeto y a lo largo del eje que muestre una rotación en función 8
del resorte. Si el objeto es se mueve sin disipación de energía, entonces este es un resorte “rotacional”. La relación constitutiva de un resorte rotatorio es θ = φ (τ ).
(18)
Con referencia a la figura 6, la ecuación (18) establece que el desplazamiento angular θ medido a través del resorte es estaticamente determinado por el par aplicado en las terminales 1 y 2. La variable de desplazamiento está definida en términos de la velocidad angular con una relación dinámica como ω =
dθ . dt
(19)
Figura 6: Resorte Rotacional; símbolo y relación constitutiva Bajo la convención de la figura 6, la velocidad relativa ω es positiva si de las velocidades ω1 y ω 2 , ω 1 es más grande en contra de manecillas del reloj que ω 2 . Si la relación constitutiva del resorte es lineal, entonces τ = kθ,
(20)
donde k es el coeficiente de rigidez del resorte, y k 1 es la complanza torcional. De acuerdo a la analogía, un resorte rotacional es un acumulador de esfuerzo, con una acumulación de energía potencial T y una co-energía potencial T , si la relación constitutiva es lineal entonces la energía y co-energía potencial están dadas por −
∗
T = T = ∗
2.3.
1 2 kθ 2
(21)
Disipador Rotacional
Un disipador rotacional de energía muestra el comportamiento del dispositivo el cual determina la velocidad angular en función del par. El disipador de hecho convierte la energía
9
mecánica a energía térmica por el fenómeno de la viscosidad de la fricción. El disipador cuenta con una relación constitutiva: τ = φ (ω )
(22)
donde la velocidad angular ω es medida a través de las terminales del disipador. La forma lineal de relación constitutiva es τ = bω.
(23)
La energía disipada por el disipador rotacional es la suma del contenido del disipador G y la co-contenido J . En un caso lineal g y J son iguales y están dado por G = J =
2.4.
1 2 bω 2
(24)
Fuentes de Energía Rotacional
Las fuentes puras de par y de velocidad angular son respectivamente las fuentes rotacionales de flujo y esfuerzo. Rara vez aparecen en formas que se asemejan a las fuentes ideales y se modelan como elementos disipadores adecuados para emular las imperfecciones de la fuente de energía.
10
