Herramientas y Modelos de La Termodinámica de Sistemas Continuo

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Herramientas y modelos de la termodinámica de sistemas continuos

MANUEL CRIADO-SANCHO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

CUADERNOS DE LA UNED HERRAMIENTAS Y MODELOS DE LA TERMODINÁMICA DE SISTEMAS CONTINUOS

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamos públicos.

© Universidad Nacional de Educación a Distancia Madrid 20

WWWUNEDESPUBLICACIONES © Manuel Criado-Sancho

ISBNELECTRÆNICO: 987-84-362-

%diciónDIGITAL: MAYODE

ÍNDICE

Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

UNIDAD DIDÁCTICA I HERRAMIENTAS Y MODELOS DE LA TERMODINÁMICA DE SISTEMAS CONTINUOS Capítulo I. CALCULO

VECTORIAL Y TENSORIAL EN COORDENADAS

CARTESIANAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1. Álgebra de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Concepto de tensor. Operaciones tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Producto diádico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Algunas operaciones en que intervienen tensores . . . . . . . . . . 1.3. Operaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 15 18 18 19 22

Capítulo II. COORDENADAS CURVILÍNEAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Coordenadas curvilíneas. Bases covariante y contravariante . . . . . 2.1.1. Coeficientes y tensores métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Expresión de un vector en coordenadas curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Operaciones entre vectores en coordenadas curvilíneas . . 2.3. Operaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Derivadas de los vectores de la base covariante . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Derivadas de los vectores de la base contravariante . . . . . . . 2.4. Expresiones explícitas resultado de operaciones diferenciales . . . 2.5. Coordenadas curvilíneas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Derivadas de los vectores de la base {e1, e2, e3} . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Algunos ejemplos de aplicación de en coordenadas curvilíneas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 27 29 31 33 35 36 40 42 44 45

Ápendice 2.A. ALGUNOS SISTEMAS DE COORDENADAS CURVILÍNEAS USUALES 2.A.1. Coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.A.2. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48 48 49

46

7

HERRAMIENTAS

Y MODELOS DE LA TERMODINÁMICA DE SISTEMAS CONTINUOS

Capítulo III. SISTEMAS CONTINUOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Coordenadas convectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Dependencia temporal de los vectores gi y gi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Derivada de los tensores de deformación material y espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Derivada local y material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Tensores de deformación finita e infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Tensor de deformación infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Derivada de los tensores de deformación finita . . . . . . . . . . . . . 3.4. Derivadas convectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Derivada corrotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Tensor presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58 58 60 60 61 63 68 69

Ápendice 3.A. MAGNITUDES OBJETIVAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

Capítulo IV. FORMULACIÓN

53 53 56

CLÁSICA DE LA TERMODINÁMICA

4.1. Ecuaciones de balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Balance de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Balance de momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Balance de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Ecuaciones de balance en términos de derivadas materiales . . . . . 4.3. Hipótesis de equilibrio local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Las ecuaciones constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Teoría clásica de la termodinámica de no equilibrio . . . . . . . . . . . . . . .

79 79 80 81 82 86 88 91 94

Ápendice 4.A.

.......................................................................

97

Capítulo V. EL FLUIDO NEWTONIANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Ecuaciones de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Divergencia del Tensor P de un fluido newtoniano . . . . . . 5.1.2. Ecuación de balance de momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Integración de la Ecuación de Stokes estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Expresión explícita del tensor de Oseen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Ecuación de Langevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Consideraciones acerca de las fuerzas aleatorias . . . . . . . . . 5.4. Integración de la Ecuación de difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101 101 101 103 105 108 112 114 115

Ápendice 5.A. OPERADORES

118

DE PROCESOS IRREVERSIBLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

DE PROYECCIÓN

...............................

ÍNDICE

Capítulo VI. EL MODELO DE TERMODINÁMICA EXTENDIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Hipótesis y desarrollo del modelo EIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Evolución temporal de las variables clásicas . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2. Tasa de producción de entropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Flujos, fuerzas y ecuaciones constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Determinación de los parámetros α1, α2, β1 β2 . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Variables de estado fuera de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. La teoría de la información como herramienta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Algunas expresiones del tensor presión viscosa deducidas a partir del modelo EIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1. Modelo de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2. Modelo de Maxwell en términos de derivadas convectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121 121 123 124 125 127 129 132

Referencias

143

...........................................................................

138 138 141

9

HERRAMIENTAS

10


PRÓLOGO

PRÓLOGO

En el supuesto de que a cualquiera de nosotros nos mencionaran la existencia de un proverbio chino que dijera algo así como: «Si no vas a decir nada mejor que el silencio, por favor, permanece callado», sin duda alabaríamos la sabiduría oriental, pero si, mutatis mutandis, ese mismo proceder se lo recomendáramos a un escritor en grado de tentativa, es probable que su proyecto editorial no se consumara y, en todo caso, fuera reconsiderado. Personalmente, reflexioné sobre ello al escribir mi primer libro1 en 1983, en cuyo prólogo mencionaba que al consultar la bibliografía, podía constatarse que un buen número de libros son a modo de eco de páginas escritas por unos pocos autores ya clásicos. Esta percepción es común a muchos autores y, tal vez, sea Aris quién lo exprese de forma más directa en la primera línea del prologo de uno de sus libros2, donde la presentación de la obra comienza con la exclamación que pone en boca tanto del estudiante, como del profesional que se encuentra con el texto en una librería y que, en términos castizos, podríamos traducir por ¡más de lo mismo! Por consiguiente, antes de que un libro de carácter científico vea la luz, su autor ha debido responderse dos preguntas: por qué lo escribo y qué aporto. Posiblemente la autojustificación de quienes transitamos por estos jardines editoriales sea (al menos lo es en mi caso) que a lo largo de nuestra ejercicio profesional, ya sea como investigadores, pero sobre todo como profesores, hemos acumulado una serie de experiencias que no nos resignamos a no transmitir, haciendo énfasis de forma más o menos implícita, en que lo que se escribe fue engendrado mucho tiempo atrás (en tal línea podemos citar a Maugin, quien en la página vii de su obra3 publicada en 1999 atribuye su origen a un curso impartido en 1987). 1 CRIADO-SANCHO, M. Introducción conceptual a la Termodinámica Química, Editorial AC, Madrid (1983). 2 ARIS, R., VECTORS, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics, Dover, Nueva York (1989). 3 MAUGIN, G. A. The thermomechanics of non linear irreversible behaviors, World Scientific, Singapur (1999).

11

HERRAMIENTAS


Quede para los estudiosos de la mente y la antropología discernir si es el sentimiento o la racionalidad quien está detrás de ese propósito de «perpetuarnos» en nuestros lectores; pero en todo caso el autor sigue interpelado por ese ¿qué aporto? mencionado con anterioridad; por supuesto, la pregunta no se refiere sólo a los contenidos que se piense incluir en un libro, sino en cómo se perfila esa tarea en un contexto general del conocimiento científico. En su prólogo a la obra de Lewis y Randall4 (uno de los textos clásicos de la bibliografía termodinámica) Kenneth S. Pitzer y Leo Brewer comparan la ciencia con las catedrales, inspiradoras de solemnidad y reverencia una vez construidas y asentadas en el imaginario colectivo, pero también hacen una certera reflexión acerca de ese tiempo de construcción que precedió a la obra maestra que ahora vemos concluida. Se refieren Pitzer y Brewer a la etapa de construcción de forma muy gráfica «But sometimes we enter such an edifice that is still partialy under construction; then the sound of hammers, the reek of tobacco, the trivial jests bandied from workman...» para así concluir que la obra de arte es el resultado de dar al esfuerzo humano ordinario una dirección y un propósito. El escenario que mencionan Pitzer y Brewer presenta tres elementos: ruido de herramientas, humo de tabaco y bromas banales, que ponen de manifiesto que sobre la cotidianidad ¿no nace la ciencia de la curiosidad y el deseo de interpretar lo que se observa en nuestro entorno? se pueden construir «obras maestras» siempre que se apueste por la convicción de que el hombre puede influir en la naturaleza y se posean las herramientas adecuadas. Por supuesto, la monografía que el lector tiene entre sus manos dista mucho de ser una obra maestra, pero teniendo en cuenta que el humo (no sólo de tabaco) y las opiniones banales nos las brinda la sociedad en cantidades ingentes, ¿tiene algo de extraño que alguno de nosotros apueste por amenizar la fiesta con el ruido de los martillos? Posiblemente, este derecho de acudir al «tajo» llevando algo más que un cigarro podría ser el argumento legitimador de por qué escribir un libro y a tal derecho me acojo para presentar al lector esta modesta herramienta (espero que menos contundente que un martillo), que pretende facilitar el trabajo de picapedrero de la ciencia, en que tantas veces nos vemos embarcados profesores y estudiantes. 4 LEWIS, G. N. y RANDALL, M. (revisión de PITZER, K. S. y BREWER, L.), Thermodynamics, McGrawHill, Nueva York (1961).

12

PRÓLOGO

Por tanto, esta monografía posee un carácter instrumental, no conceptual, que pretende facilitar a los lectores herramientas matemáticas y modelos que se emplean en diversos campos, pero cuya dispersión en programas y bibliografía hace que, aun siendo oficialmente conocidos, algunos estudiosos tengan la sensación de tratar con temas estigmatizados por una sutil «omertà». Acorde con lo que acaba de exponerse, se efectúa un estudio exhaustivo de las coordenadas curvilíneas no ortogonales que facilitará al lector el estudio de libros especializados de dinámica de polímeros o mecánica de fluidos y que también puede ser de utilidad en cursos de Mecánica Cuántica o Ingeniería. Por lo que respecta al concepto de tensor, se introduce de forma sucinta, haciendo énfasis en el estudio del tensor presión (imprescindible en el estudio de fluidos) y de aquellos otros tensores que intervienen en el tratamiento de sistemas continuos; asimismo, en relación con los sistemas continuos, se presta especial atención a las ecuaciones de balance de materia, momento y energía, cuyo interés en Física, Química e Ingeniería no es necesario recordar. Teniendo en cuenta que la Termodinámica de no-equilibrio es una herramienta básica para el estudio de los sistemas continuos, se introducen dos capítulos (uno dedicado al modelo clásico basado en la hipótesis del equilibrio local y otro dedicado al modelo de EIT); asimismo, otro capítulo se dedica específicamente al estudio del fluido newtoniano. Puesto que no se trata de una obra de Termodinámica de no-equilibrio, únicamente se exponen los elementos básicos que configuran los respectivos modelos y dado el carácter de herramienta con que se ha concebido esta obra, el lector echará en falta temas tan importantes como el teorema de producción mínima de entropía o las diversas elecciones de flujos, aunque, eso sí, podrá comprobar que se presta mucha atención a las manipulaciones matemáticas. No puedo concluir esta presentación sin agradecer el apoyo del Director del Departamento de Ciencias y Técnicas Fisicoquímicas de la UNED y de mis compañeros a la hora de publicar esta monografía. Asimismo, expreso mi afecto y gratitud a los Profesores José Casas-Vázquez y David Jou, quienes no sólo me han introducido en la Termodinámica de no-equilibrio, sino que me han brindado su amistad entrañable a lo largo de los muchos años que llevo colaborando con ellos en la Universidad Autónoma de Barcelona.

Madrid, 7 de enero de 2009

13

HERRAMIENTAS

14


CAPÍTULO I CÁLCULO VECTORIAL Y TENSORIAL EN COORDENADAS CARTESIANAS

El estudio de sistemas continuos, inherente a la Termodinámica de no-equilibrio, la Mecánica de Fluidos y otras ramas de la Física, recurre fundamentalmente a dos herramientas matemáticas: las operaciones entre vectores y tensores (tanto en su aspecto algebraico, como utilizando operadores diferenciales) y las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. En este capítulo se aborda el manejo de vectores y tensores cuando se considera un sistema de coordenadas cartesianas. Restringir el estudio a este tipo de coordenadas, con las que se suele estar más familiarizado, permite introducir de forma intuitiva ciertos conceptos, operaciones y entes matemáticos, aunque a la hora de resolver muchos de los problemas planteados, se manifiesta la necesidad de recurrir de otros sistemas de coordenadas más adecuados a la geometría particular del sistema. Aunque posiblemente el lector haya estudiado previamente las operaciones vectoriales en coordenadas cartesianas, conviene que se sirva de este capítulo como ayuda para acceder a conceptos y herramientas formales, presentes en todos los artículos y monografías relacionados con sistemas continuos, pero no siempre expuestos de forma suficientemente explícita o sistemática.

1.1. ÁLGEBRA DE VECTORES Al considerar un sistema de ejes cartesiano cualquier vector r se expresa en términos de los vectores unitarios uj (i=1,2,3) 3

r=

∑

xj u j

(1.1)

j =1

15

HERRAMIENTAS


de tal modo que los vectores {u1,u2,u3} constituyen una base del espacio vectorial y satisfacen diversas operaciones (productos) que se enumeran seguidamente. Producto escalar Definido de acuerdo con las reglas 1)

ui ⋅ u j = δ ij

2)

ui ⋅ (λ u j ) = λ (ui ⋅ u j )

3)

ui ⋅ (u j + uk ) = ( ui ⋅ u j ) + (ui ⋅ uk )

(1.2)

(i, j=1,2,3)

(1.3)

(i, j=1,2,3) (i, j=1,2,3)

(1.4)

Asimismo, conviene resaltar que si los vectores u1, u2, u3 se agrupan en forma de matriz columna ⎛ u ⎞ ⎜ 1 ⎟ u = ⎜ u2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ u3 ⎟⎠

(1.5)

la ortogonalidad de la base, puesta de manifiesto por (1.2), se expresa mediante el producto matricial (1.6)

u ⋅ uT = I siendo I la matriz unidad.

En el caso de que se consideren vectores distintos a los de la base {u1, u2, u3}, el producto escalar viene dado por ⎛ a ⋅b = ⎜ ⎜ ⎜⎝

3

∑ i=1

3

=

3

∑ j =1

⎞ bj u j ⎟ = ⎟ ⎟⎠

3

∑∑ i =1

16

⎞ ⎛ ai ui ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎜⎝

j =1

3

ai bj ui ⋅ u j =

(1.7) 3

∑∑ i =1

j =1

3

ai bjδ ij =

∑ i =1

ai bi

CÁLCULO

VECTORIAL Y TENSORIAL EN COORDINADAS CARTESIANAS

Nótese que si los vectores se hubieran considerado como matrices columnas1, es decir ⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ a = ⎜ a2 ⎟ ⎜⎝ a ⎟⎠ 3

⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ b = ⎜ b2 ⎟ ⎜⎝ b ⎟⎠ 3

(1.8)

el producto escalar puede expresarse como producto matricial ⎛ b ⎞ 1 ⎜ ⎟ a ⋅ b = ( a1 , a2 , a3 ) ⋅ ⎜ b2 ⎟ = a T ⋅ b ⎜ ⎟ ⎜⎝ b3 ⎟⎠

(1.9)

Producto vectorial Definido de acuerdo con las reglas 1)

ui × ui = 0

2)

ui × u j = − u j × ui

3) 4)

u1 × u2 = u3

(i = 1, 2, 3)

(1.10)

(i, j=1,2,3)

u2 × u3 = u1

ui × (u j + uk ) = (ui × u j ) + (ui × uk )

u3 × u1 = u2 (i, j , k=1,2 2,3)

(1.11) (1.12) (1.13)

Obsérvese que el producto vectorial entre vectores unitarios puede expresarse de forma compacta mediante la notación ui × u j = ε ijk uk

(1.14)

donde el coeficiente εijk adopta los valores +1 o −1, dependiendo de la permutación de índices ijk considerada2.

1 Por comodidad de notación, se usará indistintamente a y a como símbolo para una matriz columna, la correspondiente matriz fila se indicará como aT o aT, respectivamente. 2 El valor de ε puede calcularse mediante la fórmula ε =(i–j)(j–k)(k–i) / 2. ijk ijk

17

HERRAMIENTAS


Así, el producto vectorial a × b puede expresarse de acuerdo con la expresión 3

a×b=

3

∑∑ i=1

3

ai bj ui × u j =

j =1

3

∑∑ i=1

ε ijk ai bj uk

( k ≠ i, j )

(1.15)

j =1

a partir de la cual puede concluirse que u1 u2

u3

a × b = a1

a2

a3

b1

b2

b3

(1.16)

1.2. CONCEPTO DE TENSOR. OPERACIONES TENSORIALES Además de los productos mencionados, se define el producto diádico que permite generar unos nuevos entes matemáticos denominados tensores. Por supuesto, la introducción del concepto tensor que se lleva a cabo seguidamente constituye una simplificación demasiado drástica que no satisfará a un lector exigente; para aquellos interesados en una presentación más rigurosa, se recomienda recurrir a textos clásicos [Lichnerowicz (1950); Sokolnikoff (1964); Aris (1989)] o a otra referencia [Ruíz-Tolosa y Castillo (2005)] donde se efectúa una exposición exhaustiva y de nivel elevado.

1.2.1. Producto diádico El producto diádico ui ⊗ uj da lugar a un ente denominado unidad diádica3. Del mismo modo que los vectores {u1, u2, u3} constituyen la base a la que referir un vector, las diadas {u1 ⊗ u1, u1 ⊗ u2,...,ui ⊗ uj,...,u3 ⊗ u3} sirven para desarrollar el tensor T en términos de sus componentes cartesianas Tij

3

18

En ocasiones el producto diádico ui ⊗ uj se indica simplemente por uiuj.

CÁLCULO

3

T=


3

∑∑ i =1

Tij ui ⊗ u j

(1.17)

j =1

En el caso de que se verifique la igualdad Tij = Tij, se dice que el tensor es simétrico y se expresa de acuerdo con la notación T=TT, donde el superíndice T hace referencia a la matriz transpuesta; análogamente, se le denominará antisimétrico al tensor si verifica T=–TT. Asimismo, conviene resaltar que todo tensor T puede descomponerse en suma de un tensor simétrico Ts y otro antisimétrico Ta, definidos del modo siguiente Ts =

(

1 T + TT 2

)

Ta =

(

1 T – TT 2

)

(1.18)

Para las unidades diádicas se definen las operaciones siguientes ( ui ⊗ u j ) ⋅ uk = ui ( u j ⋅ uk ) = δ jkui

(1.19)

ui ⋅ (u j ⊗ uk ) = (ui ⋅ u j )uk = δ ij uk

(1.20)

(ui ⊗ u j ) × uk = ui ⊗ (u j × uk )

(1.21)

ui × ( u j ⊗ uk ) = ( ui × u j ) ⊗ uk

(1.22)

(ui ⊗ u j ) ⋅ (uk ⊗ ul ) = ui ⊗ (u j ⋅ uk )ul = δ jk ui ⊗ ul

(1.23)

(ui ⊗ u j ) : (uk ⊗ ul ) = (u j ⋅ uk )(ui ⋅ ul ) = δ jkδ il

(1.24)

donde con el símbolo : introducido en la última ecuación se denota el producto contraído de tensores.

1.2.2. Algunas operaciones en que intervienen tensores De acuerdo con lo que se acaba de exponer, pueden considerarse diversas operaciones en las que intervienen tensores

19

HERRAMIENTAS


Producto tensorial de vectores ⎛ a⊗b = ⎜ ⎜ ⎜⎝

3

∑ i=1

⎞ ⎛ ai ui ⎟ ⊗ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎜⎝

3

∑ j =1

⎞ bj u j ⎟ = ⎟ ⎟⎠

3

3

∑∑ i =1

ai bj ui ⊗ u j

(1.25)

j =1

que conduce al tensor T, que tiene por representación matricial ⎛ ab ⎜ 1 1 a ⊗ b = T= ⎜ a2 b1 ⎜ ⎝⎜ a3 b1

a1b3 ⎞ ⎟ a2 b3 ⎟ ⎟ a3 b3 ⎟⎠

a1b2 a2 b2 a3 b2

(1.26)

Nótese que T también puede obtenerse mediante la operación (1.27)

T= a ⋅ bT donde el punto hace referencia a producto matricial.

Producto escalar tensor-vector ⎛ T⋅a = ⎜ ⎜ ⎜⎝

=

3

i=1

j =1

∑∑

3

=

3

3

⎞ ⎛ Tij ui ⊗ u j ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎜⎝

i =1

j =1

k=1

3

3

3

∑∑∑ j =1

∑ k=1

⎞ akuk ⎟ ⎟ ⎟⎠

3

∑∑∑ i =1

3

k=1

3

Tij ak (ui ⊗ u j ) ⋅ uk =

3

∑∑∑ i=1

3

Tij akδ jk ui =

⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝

3

∑∑ i =1

3

j =1

j =1

Tij ak ui (u j ⋅ uk )

(1.28)

k =1

⎞ Tij aj ⎟ ui ⎟ ⎟⎠

resultado del que puede colegirse de forma inmediata que el resultado de la operación es el vector b que tiene por componentes

20

CÁLCULO


3

bi =

∑

(i=1,2,3)

Tij aj

(1.29)

j =1

Por consiguiente, recordando la notación (1.26), la operación puede interpretarse como un producto matricial ordinario b = T · a.

Producto contraído de dos tensores ⎛ T:P =⎜ ⎜ ⎜⎝

=

3

i =1

j =1

∑∑ 3

=

3

3

⎞ ⎛ Tij ui u j ⎟ : ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎜⎝

3

i=1

j =1

k=1

l =1

3

3

3

3

∑∑∑∑ j =1

k=1

3

k=1

l =1

∑∑

⎞ Pkl uk ul ⎟ = ⎟ ⎟⎠

3

∑∑∑∑ i=1

3

l =1

Tij Pkl (ui u j ) : (uk ul ) = 3

3

∑∑

Tij Pklδ jkδ il =

i=1

(1.30)

j =1

3

Tij Pji =

∑

( T ⋅ P)ii

i =1

que en forma abreviada se expresa como4 T : P = Tr (T ⋅ P )

(1.31)

El producto contraído posee las propiedades siguientes: 1) Si S es un tensor simétrico y A es antisimétrico, su producto contraído es nulo S: A = 0 (1.32) tal y como se pone de manifiesto en las igualdades siguientes

4 La traza de una matriz se denota por el símbolo Tr y viene dada por la suma de los elementos de su diagonal principal.

21

HERRAMIENTAS


3

S: A =

3

∑∑ i=1

3

Sij Aji = −

j =1

3

∑∑ i=1

Sji Aij = − S : A

(1.33)

j =1

2) El producto contraído de dos tensores simétricos es conmutativo 3

S : S′ =

3

∑∑ i =1

3

Sij S′ji =

j =1

3

∑∑ i =1

Sji Sij′ = S′ : S

(1.34)

j =1

3) Si S es un tensor simétrico y T cualquier otro tensor, se verifica S:T = T:S

(1.35)

lo cual se demuestra descomponiendo T en suma de parte simétrica y antisimétrica, lo que permite escribir las igualdades T : S = (T s + T a ) : S = T s : S

S : T = S : (T s + T a ) = S : T s

(1.36)

que junto con la propiedad 2 prueban la validez de (1.35).

1.3. OPERACIONES DIFERENCIALES Como una cuestión previa, conviene mencionar que los tres tipos de productos de vectores considerados se comportan de manera análoga frente a la derivación con respecto a un escalar (al que de forma genérica se denominará s), de tal modo que puede escribirse ⎛∂ ⎞ ⎛∂ ⎞ ∂ ( a ∧ b) = ⎜ a ⎟ ∧ b + a ∧ ⎜ b⎟ ⎝ ∂s ⎠ ⎝ ∂s ⎠ ∂s

( ∧ = ⋅, ×, ⊗)

(1.37)

Por otra parte, la mayoría de operaciones diferenciales que se llevan a cabo sobre vectores se efectúan empleando el operador nabla, definido como 3

∇=

∑ j =1

22

uj

∂ ∂xj

(1.38)

CÁLCULO


asimismo, es bien conocido que a partir de ∇ se construye el operador 3

∇2 =

∑ j =1

∂2 ∂xj2

(1.39)

que recibe el nombre de laplaciana. Cuando se consideran coordenadas cartesianas, la aplicación de permite construir los siguientes entes: Gradiente de un escalar 3

∇s =

∑

uj

j =1

∂s ∂xj

(1.40)

Divergencia de un vector 3

∑

uj

u1

u2

u3

∂ ∂x1

∂ ∂x2

∂ ∂x3

a1

a2

a3

∇⋅a =

j =1

∂aj

(1.41)

∂xj

Rotacional de un vector

∇×a =

(1.42)

Gradiente de un vector ⎛ ∇⊗a = ⎜ ⎜ ⎜⎝

3

∑ i =1

⎞ ⎛ ∂ ⎟ ⎜ ui ⊗ ∂xi ⎟⎟ ⎜⎜ ⎠ ⎝

3

∑ j =1

⎞ aj u j ⎟ = ⎟ ⎟⎠

3

3

∑∑ i=1

j =1

∂a j ∂xi

ui ⊗ u j

(1.43)

23

HERRAMIENTAS


y así se llega al tensor ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ∇ ⊗ a = T= ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

∂a1 ∂x1

∂a2 ∂x1

∂a1 ∂x2

∂a2 ∂x2

∂a1 ∂x3

∂a2 ∂x3

∂a3 ⎞ ⎟ ∂x1 ⎟ ∂a3 ⎟ ⎟ ∂x2 ⎟ ⎟ ∂a3 ⎟ ∂x3 ⎟⎠

(1.44)

que, de acuerdo con (1.27), también puede obtenerse mediante la operación T= ∇ ⋅ a T

(1.45)

donde el punto indica producto matricial.

Divergencia de un tensor ⎛ ∇⋅T = ⎜ ⎜ ⎜⎝ =

=

∑

⎞ ⎛ ∂ ⎟ ⎜ ui ⋅ ∂xi ⎟⎟ ⎜⎜ ⎠ ⎝

3

3

3

i=1

3

∑∑∑ i =1

j =1

k=1

3

3

3

∑∑∑ i =1

j =1

k=1

3

3

j =1

k=1

∑∑

∂ Tjk ∂xi ∂ Tjk ∂xi

⎞ Tjk u j ⊗ uk ⎟ ⎟ ⎟⎠ (1.46)

ui ⋅ (u j ⊗ uk ) 3

⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝

3

∑∑

δ ij uk =

k=1

i=1

⎞ ∂ Tik ⎟ u ∂xi ⎟⎟ k ⎠

que conduce al vector b cuyas componentes son 3

bk =

∑ i=1

24

∂ Tik ∂xi

(i=1,2,3)

(1.47)

CÁLCULO


Una vez más, el resultado se puede expresar de forma más compacta recurriendo a la notación de producto matricial b = ∇T ⋅ T

(1.48)

Laplaciana de un vector Se define como la divergencia del gradiente de un vector; es decir ∇ ⋅ (∇ ⊗ a ) . Haciendo uso de (1.38) y (1.43), es posible escribir ⎛ ∇ ⋅ (∇ ⊗ a ) = ⎜ ⎜ ⎜⎝

∑

3

3

=

=

3

i=1

i=1

j =1

k=1

3

3

3

∑∑∑ 3

j =1

⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝

k=1

3

∑∑ k=1

3

3

j =1

k=1

∑∑

⎞ ∂ak u ⊗ uk ⎟ ⎟ ∂xj j ⎟⎠

3

∑∑∑ i=1

=

⎞ ⎛ ∂ ⎟ ⎜ ui ⋅ ∂xi ⎟⎟ ⎜⎜ ⎠ ⎝

i =1

∂2 ak u ⋅ (u j ⊗ uk ) ∂xi ∂xj i (1.49)

∂ ak δ u ∂xi ∂xj ij k 2

⎞ ∂2 ak ⎟ uk ∂xi2 ⎟⎟ ⎠

lo que pone de manifiesto que el resultado de la operación es el vector 3

∇ ⋅ (∇ ⊗ a ) =

∑(

)

∇ 2 ak uk

(1.50)

k=1

25

CAPÍTULO II COORDENADAS CURVILÍNEAS

Sin duda, los lectores están suficientemente familiarizados con el empleo del sistema de ejes cartesiano como referencia de los puntos en el espacio, de tal modo que el vector trazado desde el origen de coordenadas (punto O) hasta el punto genérico P viene dado por 3

r=

∑

xj u j

(2.1)

j =1

donde vectores u1,u2,u3 satisfacen las ecuaciones (1.2), (1.5) y (1.6). Asimismo, si se considera un punto P' suficientemente próximo a P, el vector que tiene su origen en P y su extremo en P' puede expresarse en forma diferencial 3

dr =

∑

(dxj )u j

(2.2)

j =1

de tal modo que si P y P' pertenecen a una curva, el vector tangente en el punto P viene dado por dr.

2.1. COORDENADAS CURVILÍNEAS. BASES COVARIANTE Y CONTRAVARIANTE Sin embargo, las coordenadas cartesianas no son siempre las más adecuadas para estudiar cualquier problema, ya que la mayor o menor idoneidad de un sistema de coordenadas viene dictada por la geometría del problema, circunstancia que obliga a introducir otros sistemas de coordenadas. Desde un punto de vista formal, el paso de un sistema de ejes cartesiano a

27

HERRAMIENTAS


otro de coordenadas curvilíneas expresado por la terna q1, q2, q3, puede identificarse con el cambio de variables ( x1 , x2 , x3 ) → ( q1 , q 2 , q3 )

(2.3)

asociado con la matriz jacobiana J que tiene por elementos

J ij =

∂q i ∂xj

(J ) −1

ij

=

∂xi

(2.4)

∂q j

Al introducir las nuevas matrices ⎛ g ⎞ ⎜ 1 ⎟ g = ⎜ g2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ g3 ⎟⎠

⎛ g1 ⎞ ⎟ ⎜ g = ⎜ g 2 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ g ⎠

(2.5)

construidas a partir de (1.5) de acuerdo con las igualdades

( )

g = J −1

T

g = J ⋅ u

⋅u

(2.6)

quedan definidas las nuevas bases de vectores {g1, g2, g3} y {g1, g2, g3}, a las que respectivamente se denominan covariante y contravariante. Desarrollando (2.6) en términos de los elementos de las matrices respectivas, se llega a las expresiones equivalentes 3

gi =

∑( J ) −1

3

T ij

uj =

j =1

∑( J ) −1

∑ j =1

28

ji

j =1

3

gi =

3

uj =

∑ j =1

∂xj ∂q i

uj

(i = 1, 2, 3)

(2.7)

3

Jij u j =

∑ j =1

∂q i u ∂xj j

(i = 1, 2, 3)

(2.8)

COORDENADAS

CURVILÍNEAS

que permiten poner de manifiesto el significado geométrico de los vectores de las bases introducidas. Así, basta recordar (2.2) y tener en cuenta (2.7) para concluir que ∂r gi = i (i = 1, 2, 3) (2.9) ∂q de lo que se colige el carácter de vector tangente que posee gi. Análogamente (2.8) pone de manifiesto el carácter de gradiente de gi g i = ∇q i

(2.10)

(i = 1, 2, 3)

Asimismo, las expresiones homólogas de (2.1) y (2.2) vienen dadas por 3

r=

∑

3

j

q gj

dr =

j =1

∑ i=1

3

∂r dq i = i ∂q

∑(

)

dq i gi

(2.11)

i =1

Por otra parte, el producto escalar entre un vector de la base covariante y otro de la contravariante puede expresarse como producto matricial entre g y g˜

( )

g ⋅ g T = J −1

T

( )

⋅ u ⋅ u T ⋅ J T = J −1

T

(

⋅ J T = J ⋅ J −1

)

T

=I

(2.12)

lo cual significa que gi ⋅ g j = δ ij

(2.13)

y pone de manifiesto que las bases covariante y contravariante son ortonormales.

2.1.1. Coeficientes y tensores métricos Los coeficientes métricos de cada una de las bases se definen a partir de los productos escalares gij = gi ⋅ g j

g ij = g i ⋅ g j

(2.14)

29

HERRAMIENTAS


que ordenados en forma matricial ⎛ g ⎜ 11 G = ⎜ g21 ⎜ ⎜⎝ g31

g13 ⎞ ⎟ g23 ⎟ ⎟ g33 ⎟⎠

g12 g22 g32

⎛ g11 ⎜ = ⎜ g21 G ⎜ 31 ⎝ g

g12 g 22 g

32

g13 ⎞ ⎟ g 23 ⎟ ⎟ g 33 ⎠

(2.15)

constituyen los respectivos tensores métricos covariante y contravariante. A partir de (2.6) y (2.14), puede escribirse

( )

G = g ⋅ g T = J −1

T

( )

⋅ u ⋅ uT ⋅ J −1 = J −1

T

⋅ J −1

(2.16)

= g ⋅ g T = J ⋅ u ⋅ uT ⋅ J T = J ⋅ J T G

(2.17)

relaciones de las cuales se concluye que =I G ⋅G

(2.18)

Obsérvese finalmente que los coeficientes métricos adoptan las formas explícitas 3

gij =

∑ k =1

∂xk ∂xk

(2.19)

∂q i ∂q j

3

g ij =

∑ k=1

∂q i ∂q j ∂xk ∂xk

(2.20)

a partir de las cuales el elemento de longitud de una curva viene dado por la forma cuadrática ⎡ ⎢ dr = dr ⋅ dr = ⎢ ⎢⎣ 2

30

3

∑( i=1

⎤ ⎡ ⎥ ⎢ i dq gi ⎥ ⋅ ⎢ ⎥⎦ ⎢⎣

)

3

∑( j =1

⎤ ⎥ j dq g j ⎥ = ⎥⎦

)

3

3

∑∑ i =1

j =1

gij dq i dq j

(2.21)

COORDENADAS

CURVILÍNEAS

que, en forma compacta, se expresa como producto matricial ⎛ dq1 ⎜ dr = (dq1 , dq 2 , dq3 ) ⋅ G ⋅ ⎜ dq 2 ⎜ 3 ⎝ dq 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(2.22)

2.2. EXPRESIÓN DE UN VECTOR EN COORDENADAS CURVILÍNEAS Al considerar un sistema de coordenadas curvilíneas, cualquier vector puede referirse tanto a la base covariante como a la contravariante, de acuerdo con alguna de las igualdades 3

v=

∑

3

v=

j

v gj

j =1

∑

vj g j

(2.23)

j =1

de las que se siguen las relaciones ⎧ ⎪ i ⎪g ⋅ ⎪ gi ⋅ v = ⎨ ⎪ ⎪ gi ⋅ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ gi ⋅ ⎪ gi ⋅ v = ⎨ ⎪ ⎪g ⋅ ⎪ i ⎩

3

∑

3

3

j =1

∑ j =1

∑

3

3

3

∑

vj gj =

v j gi ⋅ g j =

j =1

j =1

∑ j =1

∑

3

3

3

∑

vj g j =

vj g i ⋅ g j =

j =1

j =1

∑

3

3

3

∑ j =1

vj g j =

∑ j =1

(2.24) vj g ij

j =1

∑

vj gj =

v j gij = vi

v j gi ⋅ g j =

v j gij

(2.25)

j =1

v j gi ⋅ g j =

∑

vjδ ij = vi

j =1

31

HERRAMIENTAS


que permiten concluir que vi = g i ⋅ v

vi = gi ⋅ v

(2.26)

Asimismo, la siguiente proposición permite establecerse la relación entre los vectores de ambas bases Proposición 2.1. Los vectores gi y gi se relacionan a través de las ecuaciones 3

gi =

∑

3

gi =

gij g j

j =1

∑

g ij g j

(2.27)

j =1

Demostración Si el vector gi se refiere a la base contravariante, ha de satisfacerse la expresión 3

gi =

∑

α ij g j

(2.28)

j =1

donde los coeficientes αij se obtienen multiplicando escalarmente por gk los dos miembros de la igualdad anterior. Así se obtiene 3

gik = gi ⋅ g k =

∑ j =1

3

α ij g j ⋅ g k =

∑

α ijδ jk = α ik

(2.29)

j =1

y queda probada la primera de las igualdades (2.27). La segunda de ellas se obtiene a partir de un razonamiento análogo, escribiendo para el vector gi la expresión homóloga de (2.28).

32

COORDENADAS

CURVILÍNEAS

2.2.1. Operaciones entre vectores en coordenadas curvilíneas Producto escalar Haciendo uso de (2.23), (1.3) y (2.13), puede escribirse ⎧⎛ ⎪⎜ ⎪⎜ ⎪⎪⎜⎝ v⋅w = ⎨ ⎪⎛ ⎪⎜ ⎪⎜⎜ ⎪⎩⎝

3

∑ i=1 3

∑ i=1

⎞ ⎛ i v gi ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎞ ⎛ i v gi ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎜⎝

3

∑ j =1 3

∑ j =1

⎞ j⎟ wj g = ⎟ ⎟⎠ ⎞ j w gj ⎟ = ⎟ ⎟⎠

3

3

∑∑ i=1

j =1

3

3

∑∑ i=1

3

vi wj gi ⋅ g j =

vi w j gi ⋅g j =

j =1

3

∑∑ i=1

j =1

3

3

∑∑ i=1

vi wjδ ij (2.30)

vi w j gij

j =1

que da lugar al resultado ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ v⋅w = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

3

∑

vi wi

3

3

i=1

∑∑ i=1

(2.31) vi w j gij

j =1

Operaciones diádicas Las operaciones diádicas (para las que se usa el símbolo ⊗) introducidas en el Capítulo I se generalizan del modo siguiente gi ⋅ ( g j ⊗ g k ) = ( gi ⋅ g j ) gk = gij g k

(2.32)

( gi ⊗ g j ) ⋅ g k = gi ( g j ⋅ g k ) = g jk gi

(2.33)

g i ⋅ ( g j ⊗ g k ) = ( g i ⋅ g j ) g k = δ ij g k

(2.34)

( gi ⊗ g j ) ⋅ g k = gi ( g j ⋅ g k ) = δ jk gi

(2.35)

gi × ( g j ⊗ g k ) = ( gi × g j ) ⊗ g k

(2.36)

33

HERRAMIENTAS


( gi ⊗ g j ) × g k = gi ⊗ ( g j × g k )

(2.37)

g i × ( g j ⊗ gk ) = ( g i × g j ) ⊗ gk

(2.38)

( g i ⊗ g j ) × g k = gi ⊗ ( g j × g k )

(2.39)

donde el punto indica producto escalar y el símbolo × producto vectorial. Asimismo, un tensor referido a la base covariante se expresa mediante la igualdad 3

T=

3

∑∑ i=1

T ij gi ⊗ g j

(2.40)

j =1

Producto tensor-vector De acuerdo con lo que acaba de exponerse, el producto entre un tensor y un vector viene dado por ⎛ T⋅v = ⎜ ⎜ ⎜⎝ =

∑∑

⎞ ⎛ ij T gi ⊗ g j ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎜⎝

3

3

3

3

i=1

j =1

3

∑∑∑ i=1

j =1

3

∑ k=1

⎞ k⎟ vk g = ⎟ ⎟⎠

3

T ij vkδ jk gi =

k=1

3

3

∑∑∑ i=1

j =1

3

∑∑ i=1

3

k=1

3

T ij vj gi =

j =1

T ij vk gi ( g j ⋅ g k ) =

⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝

3

∑∑ i=1

j =1

⎞ ij T vj ⎟ gi ⎟ ⎟⎠

(2.41)

donde, de acuerdo con la primera de las igualdades (2.23), el término contenido en el paréntesis de la última igualdad es la componente contravariante del vector que resulta al efectuar el producto T·ν. Proposición 2.2. El tensor unidad viene dado por la expresión 3

I=

∑∑ i=1

34

3

j =1

g ij gi ⊗ g j

(2.42)

COORDENADAS

CURVILÍNEAS

Demostración Si se considera el segundo miembro de (2.42) como un operador y se aplica a un vector arbitrario ν, se llega al resultado siguiente ⎛ I⋅v = ⎜ ⎜ ⎜⎝

3

∑∑ i =1

3

=

3

j =1

⎞ ⎛ g gi ⊗ g j ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎜⎝ ij

3

j =1

∑ k=1

3

∑∑∑ i=1

3

k=1

⎞ vk g ⎟ = ⎟ ⎟⎠ k

3

g vkδ jk gi = ij

3

3

∑∑∑ i =1

j =1

3

∑∑ i=1

3

k=1

3

g v j gi = ij

j =1

g ij vk gi ( g j ⋅ g k ) =

⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝

3

∑∑ i =1

j =1

⎞ g vj ⎟ gi = ⎟ ⎟⎠ ij

(2.43)

3

=

∑

vi gi = v

i=1

que pone de manifiesto que el tensor I coincide con el operador unidad. 2.3. OPERACIONES DIFERENCIALES Como una cuestión previa, conviene mencionar que los tres tipos de productos de vectores considerados en este capítulo se comportan de manera análoga frente a la derivación ⎛∂ ⎞ ⎛∂ ⎞ ∂ ( gi ∧ g j ) = ⎜ gi ⎟ ∧ g j + gi ∧ ⎜ g j ⎟ ∂s ⎝ ∂s ⎠ ⎝ ∂s ⎠

(∧ = ⋅, ×, ⊗)

(2.44)

⎛∂ ⎞ ⎞ ⎛∂ ∂ (gi ∧ g j ) = ⎜ gi ⎟ ∧ g j + gi ∧ ⎜ g j ⎟ ∂s ⎝ ∂s ⎠ ⎝ ∂s ⎠

( ∧ = ⋅, ×, ⊗)

(2.45)

Operador nabla En coordenadas cartesianas el operador nabla se define como 3

∇=

∑ j =1

uj

∂ ∂xj

(2.46)

35

HERRAMIENTAS


que puede escribirse en la forma 3

∇=

∑ j =1

3

∂ uj = ∂xj

⎛ uj ⎜ ⎜ ⎜⎝

3

∑ ∑ j =1

i=1

⎞ ∂ ∂q ⎟ = ∂q i ∂xj ⎟⎟ ⎠ i

3

⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝

3

∑∑ i=1

j =1

⎞ ∂q i ⎟ ∂ u ∂xj j ⎟⎟ ∂q i ⎠

(2.47)

y de acuerdo con (2.8) se convierte en 3

∇=

∑

gi

i=1

∂ ∂q i

(2.48)

2.3.1. Derivadas de los vectores de la base covariante En la derivación de los vectores de la base se recurre a unos entes denominados símbolos de Christoffel, que se introducen del modo siguiente: Definición 2.1. Se denomina símbolo de Christoffel de primer orden Γijk al ente definido mediante la igualdad 3

∂gi ∂q j

=

∑

Γ ijk g k

(2.49)

k =1

Nótese que los símbolos de Christoffel de primer orden satisfacen las relaciones 3

∂gi ∂q

j

⋅ gl =

∑

(2.50)

k=1

∂gi ∂q j

36

Γ ijk g k ⋅ gl = Γ ijl

⋅ g k = Γ ijk

(2.51)

COORDENADAS

CURVILÍNEAS

cuya utilidad para obtener las derivadas de los vectores gi se pone de manifiesto en lo que se expone a continuación. A fin de que los cálculos sean más fáciles de seguir, se va a proceder en varias etapas: Etapa 1. A partir de las ecuaciones (2.9) y (2.11), rescritas como 3

gi =

∂r ∂q i

r=

∑

q j gj

(2.52)

j =1

se obtiene la siguiente relación entre los símbolos de Christoffel ∂gi ∂q j

=

∂2 r ∂2 r = ⇒ Γ ijk = Γ jik ∂q i ∂q j ∂q j ∂q i

(2.53)

Etapa 2. Haciendo uso de la primera de las igualdades (2.14) y de (2.51), se sigue que ∂gij ∂q k

=

∂ gj ∂g ∂ g g g ⋅ = ⋅ + ik ⋅ g j = Γ jki + Γ ikj i j i k k ∂q ∂q ∂q

(2.54)

y al efectuar las adecuadas reordenaciones de índices es posible escribir ⎧ ∂g jk ⎪ i = Γ kij + Γ jik ⎪ ∂q ⎨ ⎪ ∂gik = Γ + Γ kji ijk ⎪ ∂q j ⎩

(2.55)

que junto con (2.53) permite colegir que 2Γ ijk + Γ ikj + Γ jki =

∂g jk ∂q

i

+

∂gik ∂q j

(2.56)

37

HERRAMIENTAS


Despejando Γijk en esta ecuación se obtiene ⎞ 1 ⎛ ∂g jk ∂g Γ ijk = ⎜ i + ikj − Γ ikj − Γ jki ⎟ 2 ⎝ ∂q ∂q ⎠

(2.57)

que junto con (2.55) da lugar al resultado ∂gij ⎞ 1 ⎛ ∂g jk ∂g Γ ijk = ⎜ i + ikj − k ⎟ 2 ⎝ ∂q ∂q ∂q ⎠

(2.58)

Definición 2.2. Se denomina símbolo de Christoffel de segundo orden Γ ijk al ente definido mediante la igualdad 3

∂gi ∂q

j

=

∑

(2.59)

Γ ijk gk

k =1

A partir de la definición anterior resulta inmediato comprobar que los símbolos de Christoffel de segundo orden satisfacen las relaciones siguientes 3

∂gi ∂q

j

⋅ gl =

∑

3

Γ ijk g k ⋅ g l =

k=1

∑

Γ ijkδ kl

(2.60)

k =1

de donde se deduce ∂gi ∂q j

⋅ g k = Γ ijk

(2.61)

Asimismo, el hecho de verificarse gi · gj = δij , da lugar a la identidad ∂g ∂ ∂gj j ⋅ = ⋅ g g g + ik ⋅ g j = 0 i i k k ∂q ∂q ∂q

38

(2.62)

COORDENADAS

CURVILÍNEAS

que junto con (2.61) conduce a la expresión ∂gj ⋅ g = −Γ ikj ∂q k i

(2.63)

Etapa 3. Al multiplicar escalarmente el segundo miembro de (2.59) por el vector gm y tener en cuenta (2.60), (2.27), (2.49), (2.51), se pueden escribir las igualdades 3

∑

3

Γ ijk gkm =

k=1

∑ k=1

3

∂gi ∂q

j

⋅ g k gkm =

∂gi ∂q

j

⋅

∑

g k gkm =

k =1

∂gi ∂q j

⋅ gm = Γ ijm

(2.64)

y, a partir de ellas, establecer la nueva expresión 3

3

∑∑ m =1

3

Γ ijk gkm g m =

k=1

∑

Γ ijm g m

(2.65)

m=1

Ahora bien, haciendo uso de (2.27), el primer miembros de la igualdad anterior puede transformarse del modo siguiente 3

3

∑∑ m =1

3

Γ ijk gkm g m =

k=1

3

∑ ∑ Γ ijk

k=1

3

gkm g m =

m =1

∑

Γ ijk g k

(2.66)

m=1

y al igualar los segundos miembros de (2.65) y (2.66), es posible escribir 3

∑ k=1

3

Γ ijk g k =

∑

Γ ijm g m

(2.67)

m=1

Al multiplicar escalarmente por un vector de la base contravariante gl en la expresión anterior, se llega a las nuevas igualdades

39

HERRAMIENTAS


3

∑

3

∑

Γ gk ⋅ g = k ij

l

k=1

Γ ijm g m ⋅ g l

(2.68)

Γ ijm g lm

(2.69)

m=1

3

∑

3

Γ ijkδ kl =

k=1

∑ m=1

que al efectuar las permutaciones de índices l ↔ k y m ↔ l en la última de ellas adopta la forma 3

Γ = k ij

∑

Γ ijl g kl

(2.70)

l =1

Al tener en cuenta la expresión explícita de los símbolos de Christoffel de primer orden dada por (2.58), se concluye que 3

Γ ijk =

1 2

∑ l =1

⎛ ∂g jl ∂g ∂gij ⎞ g kl ⎜ i + ilj − l ⎟ ⎝ ∂q ∂q ∂q ⎠

(2.71)

2.3.2. Derivadas de los vectores de la base contravariante Al igual que en el caso de la base covariante, se expresará la derivada como combinación lineal de alguna de las bases; así, en el caso de elegir la contravariante, ha de satisfacerse la relación genérica 3

∂g i = ∂q j

∑

α ijk g k

(2.72)

k =1

siendo la etapa siguiente tratar de relacionar αijk con los símbolos de Christoffel.

40

COORDENADAS

CURVILÍNEAS

Si, una vez más, se tiene en cuenta la ortogonalidad entre las bases covariante y contravariante, resulta inmediata la igualdad ∂g ∂ ∂ gi i g g ⋅ = ⋅ gl + g i ⋅ lj = 0 l j j ∂q ∂q ∂q

(2.73)

que, al tener en cuenta (2.72) y (2.61) se transforma en 3

∑

α ijk g k ⋅ g l + Γ lji = 0

(2.74)

k=1

de donde se deduce de forma inmediata que αijk = –Γ kji y se llega al resultado 3

∂g =− ∂q j i

∑

Γ kji g k

(2.75)

k=1

Definición 2.3. Si se considera cierto vector a, se define la derivada covariante de sus componentes de acuerdo con las siguientes igualdades 3

ai, j =

∂ai ∂q j

−

∑

Γ ijk ak

(2.76)

k=1

en el caso de que se consideren sus componentes covariantes y 3

∂ai ai, j = j + ∂q

∑

Γ kji ak

(2.77)

k=1

si la derivación se refiere a las componentes contravariantes del vector.

41

HERRAMIENTAS


2.4. EXPRESIONES EXPLÍCITAS RESULTADO DE OPERACIONES DIFERENCIALES La generalización de lo expuesto en 1.3 para las coordenadas cartesianas se lleva a cabo utilizando la expresión (2.48) para y las definiciones de los símbolos de Christoffel, con lo que se llega a las expresiones siguientes Divergencia de un vector ⎛ ∇⋅a = ⎜ ⎜ ⎜⎝ =

∑

⎞ ⎛ i ∂ ⎟ ⎜ g ⋅ ∂q i ⎟⎟ ⎜⎜ ⎠ ⎝

3

3

i =1

j =1

3

i=1

∑∑

3

∑ j =1

⎞ j⎟ gj a = ⎟ ⎟⎠

3

3

i=1

j =1

∑∑

⎞ ⎛ ∂a j i j i g g a Γ ⋅ + j ji ⎟= ⎜ ∂q i ⎠ ⎝

⎛ ∂a j ∂g j ⎞ j + a gi ⋅⎜ g ⎟= j i ∂q i ⎠ ⎝ ∂q (2.78)

3

3

i=1

j =1

∑∑

⎞ ⎛ ∂a j j i δ + Γ a ij ji ⎜ ∂q i ⎟ ⎝ ⎠

que, recordando la definición derivada covariante (2.77), permite escribir 3

∇⋅a =

∑ i=1

⎛ i ⎜ ∂a + ⎜ ∂q i ⎜⎝

3

∑ j =1

⎞ Γ a⎟= ⎟ ⎟⎠ i ji

j

3

∑

ai,i

(2.79)

i=1

Gradiente de un vector ⎛ ∇⊗ a = ⎜ ⎜ ⎜⎝ =

3

∑ i =1

⎞ ⎛ i ∂ ⎟ g ⊗⎜ ∂q i ⎟⎟ ⎜⎜ ⎠ ⎝

3

3

i =1

j =1

∑∑

3

∑ j =1

⎞ j⎟ gja = ⎟ ⎟⎠

3

3

i=1

j =1

∑∑

⎛ j ⎜ ∂a g i ⊗ g + a j g i ⊗ j ⎜ ∂q i ⎜⎝

3

∑ k=1

⎞ k Γ ji g k ⎟ ⎟ ⎟⎠

que puede rescribirse del modo siguiente

42

⎛ ∂a j ∂g j ⎞ gi ⊗ ⎜ gj + aj ⎟= i ∂q i ⎠ ⎝ ∂q (2.80)

COORDENADAS

3

∇⊗ a =

3

∑∑ i=1

j =1

3

=

i=1

j =1

∂a gi ⊗ gj + ∂q i j

3

∑∑∑ i =1

j =1

3

3

∑∑

3

3

∂a j i g ⊗ gj + ∂q i

3

j =1

a j Γ jik g i ⊗ g k =

k=1

(2.81)

3

∑∑∑ i=1

CURVILÍNEAS

a kΓ kij g i ⊗ g j

k =1

y conduce al resultado 3

∇⊗ a =

⎛ j ∂a i g ⊗ gj ⎜ + ⎜ ∂q i ⎜⎝

3

∑∑ i=1

j =1

3

∑ k =1

⎞ j k⎟ Γ ki a = ⎟ ⎟⎠

3

3

∑∑ i =1

a ,ji

(2.82)

j =1

Por otra parte, si sólo se hubieran considerado vectores de la base contravariante, se llega a la expresión 3

∇⊗ a =

3

∑∑ i=1

j =1

⎛ j i j ⎜ ∂a g ⊗g − ⎜ ∂q i ⎜⎝

3

∑ k=1

⎞ k k⎟ Γ ji a = ⎟ ⎟⎠

3

3

∑∑ i =1

aj ,i

(2.83)

j =1

Divergencia de un tensor ⎛ ∇⋅T = ⎜ ⎜ ⎜⎝

3

∑ i=1

3

=

⎞ ⎛ i ∂ ⎟ ⎜ g ⋅ ∂q i ⎟⎟ ⎜⎜ ⎠ ⎝

3

3

∑∑∑ i=1

j =1

k=1

3

3

∑∑ j =1

k=1

⎞ T g j ⊗ gk ⎟ = ⎟ ⎟⎠ jk

(2.84)

⎛ ∂T ∂g j ∂g ⎞ g i ⋅ g j ⊗ g k + T jk g i ⋅ i ⊗ g k + T jk g i ⋅ g j ⊗ ki ⎟ ⎜ i ∂q ⎠ ∂q ⎝ ∂q jk

y considerando con detalle las operaciones siguientes ⎛ i ⎜ i g ⋅ i ⊗ gk = g ⋅ ⎜ ∂q ⎜⎝ ∂g j

3

∑ l =1

⎞ l Γ ji g l ⎟ ⊗ g k = ⎟ ⎟⎠

3

∑

Γ lji g i ⋅ gl ⊗ g k = Γ iji g k

(2.85)

l =1

43

HERRAMIENTAS


⎛ i i g ⋅ gj ⊗ i = g ⋅ gj ⊗ ⎜ ⎜ ∂q ⎜⎝ ∂g k

3

∑ l =1

⎞ l Γ ki gl ⎟ = ⎟ ⎟⎠

3

∑

3

Γ kil g i ⋅ g j ⊗ gl =

l =1

∑

δ ij Γ kil gl

(2.86)

l =1

la expresión (2.84) se convierte en 3

∇⋅T =

3

∑∑ i=1

k=1

3

3

3

∑∑∑

∂T ik g + ∂q i k

i=1

j =1

3

T jkΓ iji g k +

k =1

3

3

∑∑∑ i=1

k=1

T ikΓ kil gl

(2.87)

l =1

Si la notación de los índices del segundo sumatorio de (2.87) se transforma de acuerdo con k → j y j → l y en el tercero se modifica haciendo l → j y k → l, se llega al resultado 3

∇⋅T =

3

∑∑ i=1

j =1

⎛ ij ∂T gj ⎜ i + ⎜ ∂q ⎜⎝

3

∑

3

T Γ + lj

i li

l =1

∑ l =1

⎞ T Γ ⎟ ⎟ ⎠⎟ il

j li

(2.88)

2.5. COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES Un sistema de coordenadas curvilíneo es ortogonal, si lo son los vectores de cualquiera de las bases covariente o contravariante y, asimismo, se pone de manifiesto de forma inmediata que la ortogonalidad de una de las bases implica necesariamente la de la otra. Si se parte de la hipótesis gij = gi ⋅ g j = hi2δ ij

(2.89)

el tensor métrico covariante adopta la forma ⎛ h2 ⎜ 1 G=⎜ 0 ⎜ ⎜⎝ 0

44

0 h22 0

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ ⎟ h32 ⎟⎠

(2.90)

COORDENADAS

CURVILÍNEAS

y teniendo en cuenta (2.16) y (2.17), se obtiene para G ⎛ ( h )−2 1 ⎜ −1 G=G =⎜ 0 ⎜ ⎜⎝ 0

0

0

( h2 )−2

0

0

−2

( h3 )

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠

(2.91)

que pone de manifiesto que la base contravariante es ortogonal y se verifica g ij = g i ⋅ g j = ( hi )2 δ ij

hi = 1 hi

(2.92)

Asimismo, los coeficientes métricos hi y hi permiten definir las bases de vectores unitarios 1 1 (2.93) ei = gi ei = i g i hi h con lo cual el operador definido de acuerdo con (2.48) adopta la forma 3

∇=

∑ i=1

e1

1 ∂ h1 ∂q i

(2.94)

2.5.1. Derivadas de los vectores de la base {e1, e2, e3} En el caso de un sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales, la expresión de los símbolos de Christoffel de segundo orden (2.71) se modifica de acuerdo con (2.89) y (2.92), lo que da lugar a las nuevas expresiones 3

1 Γ = 2 k ij

∑ l =1

⎡⎛ ∂ ⎞ ⎤ ⎞ ⎛∂ ⎞ ⎛∂ 1 δ hj2 ⎟ δ jl + ⎜ j hi2 ⎟ δ il − ⎜ l hi2 ⎟ δ ij ⎥ i 2 kl ⎢ ⎜ ⎠ ⎥⎦ ⎝ ∂q hk ⎠ ⎝ ∂q ⎠ ⎢⎣ ⎝ ∂q

Γ ijk =

∂hi ∂hi ⎤ 1 ⎡ ∂hj δ δ δ ⎥ h h h + − ⎢ i i hk2 ⎣⎢ j ∂q i jk ∂q j ik ∂q k ij ⎥⎦

(2.95)

(2.96)

45

HERRAMIENTAS


Por otra parte, de (2.93) se sigue ∂ei ∂q

=−

j

1 ∂hi 1 ∂gi gi + j 2 hi ∂q j hi ∂q

(2.97)

y al expresar la derivada del segundo miembro de esta última igualdad en términos de (2.59) y (2.96) se obtiene a la expresión 3

∂ei

1 ∂hi 1 =− e + j j i hi ∂q hi ∂q

∑ k=1

∂hi ⎤ ∂hi 1 ⎡ ∂hj ⎢ hj i δ jk + hi j δ ik − hi k δ ij ⎥ ek hk ⎢⎣ ∂q ∂q ∂q ⎥⎦

(2.98)

de la cual se llega al resultado 1 ∂hj e − δ ij = j hi ∂qi j ∂q

∂ei

3

∑ k=1

1 ∂hi e hk ∂q k k

(2.99)

2.5.2. Algunos ejemplos de aplicación de en coordenadas curvilíneas ortogonales Divergencia de un vector ⎛ ∇⋅a = ⎜ ⎜ ⎜⎝

3

∑ i=1

⎞ ⎛ 1 ∂ ⎟ ⎜ ei ⋅ hi ∂q i ⎟⎟ ⎜⎜ ⎠ ⎝

3

=

∑ i =1

1 ∂ai + hi ∂q i

3

∑ j =1

3

3

i=1

j =1

∑∑

⎞ j a ej ⎟ = ⎟ ⎟⎠

3

3

i =1

j =1

∑∑

∂ej ⎞ 1 ⎛ ∂a j j ⎜ i ei ⋅ ej + a ei ⋅ i ⎟ = hi ⎝ ∂q ∂q ⎠

(2.100)

a j ∂ej ⋅e hi ∂q i i

que al introducir (2.99) se convierte en 3

∇⋅a =

∑ i =1

46

3

1 ∂ai + hi ∂q i

3

∑∑ i=1

j =1

⎛ a j ⎜ 1 ∂hi e −δ hi ⎜⎜ hj ∂q j i ij ⎝

3

∑ k=1

⎞ 1 ∂hj ⎟ e ⋅e hk ∂q k k ⎟⎟ i ⎠

(2.101)

COORDENADAS

CURVILÍNEAS

que finalmente adopta la forma1 3

∇⋅a =

∑ i=1

∂ ⎛ ai ⎞ ⎜ ⎟+ ∂q i ⎝ hi ⎠

3

3

∑∑ i=1

j =1

a j ∂hi hi hj ∂q j

(2.102)

Gradiente de un vector ⎛ ∇⊗ a = ⎜ ⎜ ⎜⎝

3

∑ i =1

⎞ ⎛ 1 ∂ ⎟ ⎜ ⊗ ei hi ∂q i ⎟⎟ ⎜⎜ ⎠ ⎝

3

∑ j =1

⎞ j a e1 ⎟ = ⎟ ⎟⎠

3

3

i=1

j =1

∑∑

∂e j ⎞ 1 ⎛ ∂a j j (2.103) ⎜ i ei ⊗ e j + a ei ⊗ i ⎟ hi ⎝ ∂q ∂q ⎠

y haciendo uso de (2.99) se llega al resultado 3

∇⊗ a =

⎛ 1⎜ hi ⎜⎜ ⎝

3

∑ ∑ i=1

j =1

⎞ a j ∂hi ⎟ e ⊗ ei + hj ∂q j ⎟⎟ i ⎠

3

3

∑∑ i=1

j =1

1 ⎛ ∂a j ai ∂hi ⎞ − ⎜ ⎟ e ⊗ ej hi ⎝ ∂q i hj ∂q j ⎠ i

(2.104)

1 Conviene resaltar que en (2.100) las componentes del vector están referidas a la base ortonormal {e1, e2, e3}. Por tal motivo, a la hora de particularizar la expresión de la divergencia para un determinado sistema de coordenadas ortogonales, debe precisarse si las componentes del vector están referidas a la base anterior o a la base {g1, g2, g3}.

47

HERRAMIENTAS


APÉNDICE 2.A ALGUNOS SISTEMAS DE COORDENADAS CURVILÍNEAS USUALES

2.A.1. Coordenadas cilíndricas El cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas ( x1 , x2 , x3 ) → ( r ,ϕ , z)

(2.A.1)

en forma explícita viene dado por ⎧ x1 = r cos ϕ ⎪ ⎨ x2 = r sen ϕ ⎪ ⎩ x3 = z

(2.A.2)

de tal modo que la matriz jacobiana asociada a la transformación adopta la forma ⎛ cos ϕ ⎜ J = ⎜ sen ϕ ⎜⎝ 0 −1

− r sen ϕ r cos ϕ 0

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ 1 ⎟⎠

⎛ cos ϕ ⎜ J = ⎜ − r −1 sen ϕ ⎜ 0 ⎝

sen ϕ r −1 cos ϕ 0

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ 1 ⎟⎠

(2.A.3)

Teniendo en cuenta lo que acaba de exponerse, las ecuaciones (2.6) se convierten en ⎧ g = u cos ϕ + u sen ϕ 1 2 ⎪⎪ r ⎨ gϕ = − u1r sen ϕ + u2 r cos ϕ ⎪ ⎪⎩ gz = u3

⎧ g r = u1 cos ϕ + u2 sen ϕ ⎪⎪ ϕ −1 1 ⎨ g = − u1r sen ϕ + u2 r cos ϕ ⎪ z ⎪⎩ g = u3

de tal modo que las relaciones de ortogonalidad se expresan

48

(2.A.4)

COORDENADAS

⎧ gr ⋅ gr = 1 ⎪⎪ 2 ⎨ gϕ ⋅ gϕ = r ⎪ ⎪⎩ gz ⋅ gz = 1

⎧g r ⋅ gr = 1 ⎪ ϕ ϕ −2 ⎨g ⋅ g = r ⎪g z ⋅ gz = 1 ⎩

CURVILÍNEAS

(2.A.5)

lo que da lugar a la base de vectores unitarios ⎧ e = e r = u cos ϕ + u sen ϕ 1 2 ⎪⎪ r ϕ ⎨ eϕ = e = − u1 sen ϕ + u2 cos ϕ ⎪ z ⎪⎩ ez = e = u3

(2.A.6)

y el operador en coordenadas cilídricas viene dado por ∇ = er

1∂ ∂ ∂ + eϕ + ez ∂r ∂z r ∂ϕ

(2.A.7)

El resultado de aplicar (2.99) para calcular las derivadas de los vectores de la base se recogen en la Tabla 2.A. 1. Tabla 2.A.1. er

eϕ

ez

∂ / ∂r

0

0

0

∂ / ∂ϕ

eϕ

–er

0

∂ / ∂z

0

0

0

A título de ejemplo, resulta inmediato particularizar la expresión (2.102) y escribir la divergencia de un vector del modo siguiente ∇⋅a =

∂ar 1 ∂aϕ ∂a z a r + + + ∂r r ∂ϕ ∂z r

(2.A.8)

49

HERRAMIENTAS


aunque en la bibliografía suele presentarse escrita en la forma alternativa ∇⋅a =

1 ∂( ra r ) 1 ∂aϕ ∂a z + + r ∂r r ∂ϕ ∂z

(2.A.9)

En [Bird, Armstrong y Hassager (1977)] puede encontrar una recopilación exhaustiva de expresiones de operadores diferenciales presentada.

2.A.2. Coordenadas polares El cambio de coordenadas cartesianas a polares ( x1 , x2 , x3 ) → ( r ,ϕ ,θ )

(2.A.10)

en forma explícita se expresa ⎧ x1 = r senθ cos ϕ ⎪ ⎨ x2 = r senθ sen ϕ ⎪ x = r cos θ ⎩ 3

(2.A.11)

y la matriz jacobiana viene dada por ⎛ sen θ cos ϕ ⎜ J = ⎜ sen θ sen ϕ ⎜ cos θ ⎝ −1

r cosθ cos ϕ r cosθ sen ϕ − r sen θ

− r sen θ sen ϕ ⎞ ⎟ r sen θ cos ϕ ⎟ ⎟ 0 ⎠

(2.A.12)

que junto con (2.6) permite escribir ⎧ gr = u1 sen θ cos ϕ + u2 sen θ sen ϕ + u3 cosθ ⎪ ⎨ gθ = u1r cos θ cos ϕ + u2 r cosθ sen ϕ − u3 r sen θ ⎪ g = − u r sen θ sen ϕ + u r sen θ cos ϕ 1 2 ⎩ ϕ hr = 1

50

hθ = r

hϕ = r sen θ

(2.A.13)

(2.A.14)

COORDENADAS

CURVILÍNEAS

Por consiguiente, los vectores de la base ortonormal del sistema de coordenadas polares son ⎧ er = u1 sen θ cos ϕ + u2 sen θ sen ϕ + u3 cosθ ⎪ ⎨ eθ = u1 cos θ cos ϕ + u2 cosθ sen ϕ − u3 sen θ ⎪ e = − u sen ϕ + u cos ϕ 1 2 ⎩ ϕ

(2.A.15)

y el operador nabla adopta la forma ∇ = er

1∂ 1 ∂ ∂ + eθ + eϕ r ∂θ r sen θ ∂ϕ ∂r

(2.A.16)

Por lo que respecta a las derivadas de los vectores de la base, éstas se recogen en la tabla Tabla 2.A. 2.

Tabla 2.A.2 er

eθ

eϕ

∂ / ∂r

0

0

0

∂ / ∂θ

eθ

–er

0

∂ / ∂ϕ

eϕ sen θ

eϕ cos θ

–er sen θ –eθ cos θ

Tal y como se hizo en el caso de coordenadas cilíndricas, sólo se da la expresión de la divergencia de un vector ∇⋅a =

1 ∂ 2 r 1 ∂ 1 ∂aϕ θ θ ( ) + ( sen ) + r a a r sen θ ∂θ r sen θ ∂ϕ r 2 ∂r

(2.A.17)

y de nuevo se remite a [Bird, Armstrong y Hassager (1977)] para consultar las expresiones relacionadas con los restante operadores diferenciales.

51

CAPÍTULO III SISTEMAS CONTINUOS

3.1. COORDENADAS CONVECTIVAS Durante la deformación de un medio continuo sus partículas se desplazan siguiendo determinadas trayectorias, de tal manera que la partícula que en el instante t tenía a r por vector posición, ocupa la posición r' en el instante t' (ver Figura 3.1), de tal modo que el movimiento de la partícula se expresa por (3.1) r ' = r '( r , t , t ') que constituye una formulación más general que aquella que considera que la partícula se localizaba en el punto r en el instante t = 0 [Gyarmati (1970); Criado-Sancho y Casas-Vázquez (2007), pág. 482].

Figura 3.1

53

HERRAMIENTAS


Al vector r = (x1, x2, x3) de la ecuación (3.1) puede atribuírsele el papel de «etiqueta» de la partícula, lo cual implica que su valor permanece constante para todo valor t' y sugiere, asimismo, la posibilidad de construir un sistema de coordenadas (q1, q2, q3), a las que se denomina coordenadas convectivas [Bird, Armstrong y Hassager (1977)], que se deforman con el sistema, de tal modo que en todo instante se satisfaga la identidad qi = xi La evolución desde la posición r a la r' puede interpretarse formalmente como la transformación de coordenadas ( x1 , x2 , x3 ) → ( x1′, x2′ , x3′ )

(3.2)

con la que están asociadas las matrices ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ F=⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

∂x1′ ∂x1

∂x1′ ∂x2

∂x2′ ∂x1

∂x2′ ∂x2

∂x3′ ∂x1

∂x3′ ∂x2

∂x1′ ⎞ ⎟ ∂x3 ⎟ ∂x2′ ⎟ ⎟ ∂x3 ⎟ ⎟ ∂x3′ ⎟ ∂x3 ⎟⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ H =⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

∂x1 ∂x1′

∂x1 ∂x2′

∂x2 ∂x1′

∂x2 ∂x2′

∂x3 ∂x1′

∂x3 ∂x2′

∂x1 ⎞ ⎟ ∂x3′ ⎟ ∂x2 ⎟ ⎟ ∂x3′ ⎟ ⎟ ∂x3 ⎟ ∂x3′ ⎟⎠

(3.3)

que corresponden, respectivamente, a los tensores de deformación material y espacial; nótese que H = F–1 y que tales tensores pueden generarse como gradientes de los vectores posición

(

F = ∇ r r′

)

T

(

H = ∇ r′ r

)

T

(3.4)

Sin embargo, la identificación qi = xi permite escribir ( x1′, x2′ , x3′ ) → ( q1 , q 2 , q 3 ) ≡ ( x1 , x2 , x3 )

(3.5)

lo que pone de manifiesto que el cambio de variable (mediante el que se define el sistema de coordenadas convectivas) tiene a F–1 como matriz jacobiana; por consiguiente, los vectores de la base covariante {g1,g2,g3} y contravariante {g1,g2,g3} se construyen de acuerdo con lo expuesto en el Capítulo II [ver ecuación (2.6)]

54

SISTEMAS

g(t′ ) = F −1⋅ u

g ( t′) = FT ⋅ u

CONTINUOS

(3.6)

expresiones en las que intervienen las matrices ⎛ g ( t′) ⎜ 1 g ( t ′ ) = ⎜ g2 ( t ′ ) ⎜ ⎜⎝ g3 ( t ′)

⎛ u ⎞ ⎜ 1 ⎟ u = ⎜ u2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ u3 ⎟⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠

⎛ g1 ( t ′ ) ⎜ g (t ′) = ⎜ g 2 ( t ′) ⎜ 3 ⎝ g ( t′)

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(3.7)

siendo (u1,u2,u3} los vectores de la base cartesiana. Si (3.6) se particulariza para el vector gi, es posible escribir 3

gi =

∑ j =1

3

Fji u j =

∑ j =1

∂x′j ∂xi

uj

(i = 1, 2, 3)

(3.8)

El hecho de permanecer constantes las coordenadas (q1, q2, q3) durante la evolución del sistema, exige que los vectores gi(t') y gi(t') sean distintos en cada posición de la partícula considerada; tal modificación en el transcurso del tiempo se pone de manifiesto en (3.6) y (3.7) resaltando la dependencia con respecto a t'. Asimismo, F y H son función del tiempo, que verifican F (t ′ = t ) = I

H (t ′ = t ) = I

(3.9)

Figura 3.2

55

HERRAMIENTAS


Un ejemplo sencillo acerca de las coordenadas convectivas lo brinda un fluido sometido a esfuerzo de cizalla (Ver Figura 3.2), situación en la cual se verifica sistema de ecuaciones diferenciales ⎧ dx1 = γ x2 ⎪⎪ dt ⎨ ⎪ dx2 = 0 ⎪⎩ dt

(3.10)

⎧ x1′ = x1 − γ (t − t′ ) x2 ⎪ ⎨ x2′ = x2 ⎪x = x 3 ⎩ 3′

(3.11)

que tiene por solución

de la que fácilmente se obtiene la expresión explícita de F y H ⎛ 1 –γ (t − t ′ ) 0 ⎞ ⎟ F = ⎜⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠

⎛ 1 γ ( t − t′ ) 0 ⎞ ⎟ H = ⎜⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠

(3.12)

y que, junto con (3.6), permiten conocer los vectores covariantes y contravariantes de la base convectiva (q1, q2, q3) ≡ (x1, x2, x3) ⎧ g1 (t ′) = u1 + γ (t − t ′ )u2 ⎪⎪ 2 ⎨ g (t ′ ) = u2 ⎪ 3 ⎪⎩ g (t ′ ) = u3

⎧ g1 (t ′) = u1 ⎪ ⎨ g2 (t ′ ) = –γ (t − t ′)u1 + u2 ⎪ g (t ′ ) = u 3 ⎩ 3

(3.13)

3.2. DEPENDENCIA TEMPORAL DE LOS VECTORES gi Y gi Al derivar con respecto a t' en (3.8), es posible establecerlas igualdades siguientes 3

∂gi = ∂t ′

56

∑ j =1

∂ ∂x′j u = ∂t ′ ∂xi j

3

∑ j =1

∂ ∂x′j u = ∂xi ∂t ′ j

3

∑ j =1

∂vj ∂xi

uj =

3

3

j =1

k =1

∑∑

∂vj ∂x′k u (3.14) ∂xk′ ∂xi j

SISTEMAS

CONTINUOS

Por otra parte, si también en (3.8) se multiplica por el vector unidad uk, se concluye que 3

uk ⋅ gi =

∑ j =1

∂x′j ∂xi

3

u j ⋅ uk =

∑ j =1

∂x′j ∂xi

δ jk =

∂xk′ ∂xi

(3.15)

resultado que sustituido en (3.14) y tras tener en cuenta la relación (1.20) permite escribir 3

∂gi = ∂t ′

3

∑∑ j =1

(∇v )kj ( gi ⋅ uk )u j =

k=1

3

= gi ⋅

3

∑∑ j =1

(∇v ) kj gi ⋅ (uk ⊗ u j ) =

k =1

3

∑∑ j =1

3

(3.16)

(∇v ) kj (uk ⊗ u j ) = gi ⋅ ∇v

k=1

Por consiguiente, las derivadas con respecto al tiempo de los vectores de la base covariante vienen dadas por ∂gi = (∇v )T ⋅ gi ∂t ′

(3.17)

Respecto a los vectores de la base contravariante, su derivada temporal se calcula haciendo uso de la relación de ortogonalidad gi·gj = δij, de la cual se sigue la relación ( gi ⋅∇v ) ⋅ g j + gi ⋅

∂g j =0 ∂t ′

(3.18)

cuyo primer sumando se obtiene a partir de (3.16). Por consiguiente, se llega al siguiente resultado ∂g j = −∇v ⋅ g j ∂t ′

(3.19)

57

HERRAMIENTAS


3.2.1. Derivada de los tensores de deformación material y espacial Para calcular la derivada temporal del tensor F, se parte de la definición (3.3) y de forma inmediata se deduce 3

∂ ∂ ∂xi′ ∂ ∂xi′ ∂vi′ = Fij = = = ∂t′ ∂t ′ ∂xj ∂xj ∂t ′ ∂xj

∑ k=1

3

∂vi′ ∂xk′ = ∂xk′ ∂xj

∑

(∇v )Tik Fkj

(3.20)

k=1

que, de forma compacta, puede expresarse ∂ F = (∇v )T ⋅ F ∂t′

(3.21)

Con respecto a la deducción de la derivada de H, basta tener en cuenta que F ·H = I, de tal modo que al derivar con respecto a t' se obtiene la igualdad ⎛∂ ⎞ ⎛∂ ⎞ F ⋅⎜ H⎟ = − ⎜ F ⋅H ⎝ ∂t′ ⎠ ⎝ ∂t ′ ⎟⎠

(3.22)

en consecuencia, basta multiplicar por la izquierda ambos miembros por H y tener en cuenta (3.21) para llegar al resultado ∂ H = − H ⋅ (∇v )T ∂t′

(3.23)

3.2.2. Derivada local y material Considerar una magnitud física Φ dependiente de la posición y del tiempo, se plasma formalmente en la expresión funcional Φ = Φ (r', t'); ahora bien, la existencia de la relación (3.1) implica que Φ no puede considerarse sólo como función de r' y t', ya que también ha de considerarse la dependencia funcional Φ =Φ [r' (r, t, t'), t']. Estas consideraciones de carácter matemático dan lugar a que a la hora de definir derivadas temporales de Φ, deba definirse con precisión qué variables espaciales se mantienen cons-

58

SISTEMAS

CONTINUOS

tantes [Criado-Sancho y Casas-Vázquez (2004), pág. 487]. Si se desea calcular la derivada en un determinado punto de la trayectoria que sigue un punto del sistema (es decir, cuando se fija r'), se estaría ante una derivada local definida como ∂Φ ⎛ ∂Φ ⎞ = ∂t ′ ⎜⎝ ∂t ′ ⎟⎠ r ′

(3.24)

y que también recibe el nombre de derivada euleriana. Por el contrario, si la derivada se refiere al sistema de referencia que viaja con la partícula, habrá que imponer la constancia del vector r, al que, de acuerdo con lo expuesto en el Apartado 3.1, se le asigna el papel de «etiqueta» de la partícula, que permanece constante para todo valor t'. Así, se construye la derivada material1 d Φ ⎛ ∂Φ ⎞ = dt′ ⎜⎝ ∂t′ ⎟⎠ r

(3.25)

también denominada derivada lagrangiana. A partir de las respectivas definiciones, resulta sencillo establecer la relación entre las derivadas local y material. Así, al derivar la relación funcional Φ =Φ [r' (r,t,t'), t'] con respecto a t' manteniendo r constante, es posible escribir ∂Φ ∂r ′ ∂Φ d Φ ⎛ ∂Φ ⎞ + ⋅ = + ∇Φ ⋅ v =⎜ ⎟ dt ′ ⎝ ∂t ′ ⎠ r ′ ∂r ′ ∂t ′ ∂t ′

(3.26)

lo que pone de manifiesto que las derivadas local y material se relacionan entre sí de acuerdo con la igualdad d ∂ = + v⋅∇ dt ∂t

(3.27)

1

En [MATOLCSI y VÁN (2006)] se estudia si la derivada material puede considerarse magnitud objetiva, de acuerdo con la definición de este concepto introducida en el Apéndice 3.A.

59

HERRAMIENTAS


3.3. TENSORES DE DEFORMACIÓN FINITA E INFINITESIMAL Tal y como se expuso en el Capítulo II, para un sistema de coordenadas curvilíneas los coeficientes métricos gij = gi ⋅ g j

g ij = g i ⋅ g j

(3.28)

proporcionan información acerca de la forma del elemento de volumen. Por consiguiente, constituyen el punto de partida para construir magnitudes que permitan cuantificar la deformación del sistema. Así, a partir de los tensores métricos, ⎛ g ⎜ 11 G = ⎜ g21 ⎜ ⎜⎝ g31

g12 g22 g32

g13 ⎞ ⎟ g23 ⎟ = g ⋅ gT ⎟ g33 ⎟⎠

⎛ g11 ⎜ = ⎜ g 21 G ⎜ 31 ⎝ g

g12 g22 g

32

g13 ⎞ ⎟ T g 23 ⎟ = g ⋅ g ⎟ g 33 ⎠

(3.29)

se construyen los nuevos tensores γ [ 0 ] = G( r , t , t′ ) − G( r , t, t )

(3.30)

( r , t, t′ ) − G ( r , t, t ) ⎤ γ [ 0 ] = − ⎡⎣G ⎦

(3.31)

que reciben el nombre de tensor deformación finita relativa (covariante y contravariante, respectivamente). Por otra parte, al tener en cuenta (3.29), (3.6) y (3.9), es fácil concluir que los tensores γ [0] y γ [0] adoptan la forma γ [ 0 ] = FT ⋅ F − I

(3.32)

γ [ 0 ] = − ⎡⎣ H ⋅ H T − I ⎤⎦

(3.33)

3.3.1. Tensor de deformación infinitesimal En la Figura 3.1 se pone de manifiesto que la deformación del sistema da lugar a que el punto P (cuyo vector posición es r) se transforme en P', sien-

60

SISTEMAS

CONTINUOS

do r' = r + s el nuevo vector posición. Al tener en cuenta la ecuación (3.3) en que se define el tensor de deformación material F, se concluye que Fij =

∂xi′ ∂ ∂s = ( xi + si ) = δ ij + i ∂xj ∂xj ∂xj

(3.34)

resultado que en notación matricial se expresa F = I + (∇s)T

(3.35)

La sustitución de (3.35) en (3.32) permite obtener para el tensor de deformación finita covariante la siguiente expresión γ [ 0 ] = ⎡⎣I + ∇s ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣I + (∇s)T ⎤⎦ − I = (∇s)T + ∇s + ∇s ⋅ (∇s)T

(3.36)

que, en el caso en el caso de considerar una deformación suficientemente pequeña, puede escribirse omitiendo el término cuadrático s · (s)T. Asimismo, puede llegarse a un resultado análogo para el tensor γ [0], de tal modo que definiendo el tensor de deformación infinitesimal γ = ∇s + (∇s)T

(3.37)

se concluye que para pequeños desplazamientos se verifican las relaciones γ [0 ] γ

γ [0 ] γ

(3.38)

3.3.2. Derivadas de los tensores de deformación finita Al proceder a la derivación con respecto a t' en la ecuación (3.32) y tener en cuenta (3.21), se obtienen las igualdades siguientes γ [1] =

⎛ ∂F ⎞ ⎛ ∂ T ⎞ ∂ [0] ∂ γ = FT ⋅ F = FT ⋅ ⎜ F ⋅ F = FT ⋅ ⎡⎣∇v + (∇v )T ⎤⎦ ⋅ F (3.39) + ∂t ′ ∂t ′ ⎝ ∂t ′ ⎟⎠ ⎜⎝ ∂t ′ ⎟⎠

(

)

61

HERRAMIENTAS


y se concluye que γ [1] = F T ⋅ γ (1) ⋅ F

(3.40)

donde se ha introducido el tensor γ (1) (r,t',t) definido del modo siguiente γ (1) = ∇v + (∇v )T

(3.41)

Las derivadas de orden superior se obtienen reiterando la operación que ha conducido a γ [1]: es decir ∂ [1] ∂ γ = FT ⋅ γ (1) ⋅ F = ∂t ′ ∂t ′ ⎛ ∂ (1) ⎞ = FT ⋅∇v ⋅ γ (1) ⋅ F + FT ⋅ ⎜ γ ⎟ ⋅ F + FT ⋅ γ (1) ⋅ (∇v )T ⋅ F ⎝ ∂t ′ ⎠

(

γ [2] =

)

(3.42)

que en forma compacta se expresa γ [ 2 ] = FT ⋅ γ ( 2 ) ⋅ F

(3.43)

y donde se introduce el nuevo tensor γ (2) =

∂ (1) γ + ⎡⎣∇v ⋅ γ (1) + γ (1) ⋅ (∇v )T ⎤⎦ ∂t ′

(3.44)

El mismo proceso puede repetirse partiendo del tensor contravariante γ [0], lo cual da lugar a las expresiones (3.45)

∂ ∂ γ [1] = H ⋅ γ (1) ⋅ HT = ∂t ′ ∂t ′ ⎛∂ ⎞ = − H ⋅ (∇v )T ⋅ γ (1) ⋅ HT + H ⋅ ⎜ γ (1) ⎟ ⋅ HT − H ⋅ γ (1) ⋅ ∇v ⋅ H T ⎝ ∂t ′ ⎠

(3.46)

γ [2] =

62

∂ ∂ γ [0] = − H ⋅ HT = H ⋅ ⎡⎣∇v + (∇v )T ⎤⎦ ⋅ H T ∂t ′ ∂t ′

)

γ [1] =

(

(

)

SISTEMAS

CONTINUOS

y γ [2] puede escribirse del modo siguiente

γ [ 2 ] = H ⋅ γ ( 2 ) ⋅ HT

(3.47)

donde se ha introducido el nuevo tensor

γ (2) =

∂ γ – ⎡ (∇v )T ⋅ γ (1) + γ (1) ⋅ ∇v ⎤⎦ ∂t ′ (1) ⎣

(3.46b)

3.4. DERIVADAS CONVECTIVAS Cuando se verifica la condición t'=t, las relaciones (3.9) permiten comprobar que (3.40) se convierte en γ [1] ( r , t ′ = t, t ) = γ (1) ( r , t ) = ∇v + (∇v )T

(3.48)

donde la última igualdad se deduce de (3.41). Asimismo, (3.41) puede escribirse en la forma alternativa γ ( r , t ) = ∇v + (∇v )T

(3.49)

y, de todo lo anterior, se siguen las identidades γ [1](r,t,t)=γ (1) (r,t)=γ·· (r,t). Por otra parte, supuesto satisfechas las adecuadas condiciones de regularidad, de (3.1) se sigue γ (1) ( r , t ′, t ) = γ (1) ⎡⎣ r ′( r , t ′, t ), t′ ⎤⎦

(3.50)

de tal modo que la derivación con respecto a t' de los dos miembros de esta última igualdad, permite escribir ⎛ ∂ (1) ⎞ ⎛ ∂ (1) ⎞ ⎛ ∂ (1) ⎞ ⎛ ∂r ′ ⎞ ∂ (1) ∂ (1) =⎜ γ ( r , t ′, t ) = ⎜ γ ⎟ +⎜ γ ⎟ ⋅⎜ γ ⎟ + v′ ⋅ γ ⎟ (3.51) ⎠ r′ ∂r ′ ∂t ′ ⎝ ∂t ′ ⎠ r′ ⎝ ∂r ′ ⎠ t′ ⎝ ∂t ′ ⎠ r ,t ⎝ ∂t′ que al imponer la condición t' = t, conduce al resultado

63

HERRAMIENTAS


∂ (1) ∂ d γ ( r , t ) = γ (1) + v ⋅∇γ (1) ≡ γ (1) ∂t ∂t dt

(3.52)

donde se ha introducido la derivada material d/dt definida por (3.27). A partir de estos últimos resultados, las ecuaciones (3.40) y (3.44) se rescriben del modo siguiente γ [1] ( r , t , t) = γ (1) ( r , t) = ∇v + (∇v )T γ [ 2 ] ( r , t , t ) = γ ( 2) ( r , t ) =

d (1) γ + ⎡⎣∇v ⋅ γ (1) + γ (1) ⋅ (∇v )T ⎤⎦ dt

(3.53)

(3.54)

y que fácilmente pueden generalizarse para derivadas de orden superior γ [ n ] ( r , t , t ) = γ ( n) ( r , t ) =

d ( n−1) γ + ⎡⎣∇v ⋅ γ ( n−1) + γ ( n−1)) ⋅ (∇v )T ⎤⎦ dt

(3.55)

donde γ (n) (r,t) se denomina derivada convectiva covariante. Al efectuar un tratamiento análogo para los tensores contravariantes, se llega a resultados análogos, definiendo γ ( n) (r , t ) =

d γ − ⎡(∇v )T ⋅ γ ( n−1) + γ ( n−1) ⋅∇v ⎤⎦ dt ( n−1) ⎣

(3.56)

como derivada convectiva contravariante Derivada convectiva de un tensor A partir de (3.55) y (3.56), resulta inmediato establecer que las derivadas convectivas de un tensor vienen dadas por

64

T(1) =

d T + ⎡⎣(∇v )T ⋅ T + T ⋅∇v ⎤⎦ dt

(3.57)

T(1) =

d T − ⎡⎣(∇v )T ⋅ T + T ⋅ ∇v ⎤⎦ dt

(3.58)

SISTEMAS

CONTINUOS

Con relación a estos resultados, conviene puntualizar que la derivación convectiva de un tensor constante no conduce necesariamente a un resultado nulo; tal es el caso cuando se efectúa la derivación del tensor unidad I (1) = ⎡⎣(∇v )T + ∇v ⎤⎦ = γ (1)

(3.59)

I (1) = − ⎡⎣(∇v )T + ∇v ⎤⎦ = − γ (1)

(3.60)

Para conocer de forma explícita los componentes del tensor derivada, se recurre a los desarrollos siguientes. 3

⎡⎣(∇v )T ⋅ Τ ⎤⎦ = mn

∑

3

(∇v )lm Tln =

l =1

l =1

3

⎡⎣Τ ⋅∇v ⎤⎦ mn =

∑

∑

∂vm T ∂xl ln

(3.61)

3

Tml (∇v )ln =

l =1

∑ l =1

3

⎡⎣(∇v )T ⋅ Τ + Τ ⋅ ∇v ⎤⎦ = mn

∑ l =1

∂vn T ∂xl ml

⎡ ∂vm ⎤ ∂v Tln + n Tml ⎥ ⎢ ∂xl ⎣ ∂xl ⎦

(3.62)

(3.63)

3

∂T d Tmn = mn + dt ∂t

∑

∂Tmn ∂xl

(3.64)

⎤ ⎡ ∂Tmn ∂vm ∂v Tln + n Tml ⎥ + ⎢ vl ∂xl ∂xl ⎦ ⎣ ∂xl

(3.65a)

⎡ ∂Tmn ∂vm ⎤ ∂v − Tln − n Tml ⎥ ⎢ vl ∂xl ∂xl ⎣ ∂xl ⎦

(3.65b)

l =1

vl

que dan lugar a los resultados 3

⎡ T (1) ⎤ ⎣ ⎦ mn

∂T = mn + ∂t

∑ l =1 3

⎡ T(1) ⎤ ⎣ ⎦ mn

∂T = mn + ∂t

∑ l =1

65

HERRAMIENTAS


Derivada convectiva del producto de un escalar por un tensor El resultado plasmado en (3.59) y (3.60) no es la única situación en que las reglas de derivación convectiva difieren de las de la derivación ordinaria; así, cuando se considera el producto aT (siendo a un escalar y T un tensor), su derivada convectiva contravariante viene dada por d ( aT ) − ⎡⎣(∇v)T ⋅ ( aT ) + ( aT ) ⋅ ∇v ⎤⎦ = dt da d da = T + a T − a ⎡⎣(∇v )T ⋅ T + T ⋅ ∇v ⎤⎦ = T + aT(1) dt dt dt

( aT )(1) =

(3.66)

obteniéndose una expresión análoga para el caso contravariante. Derivada convectiva de un producto de tensores Si se considera el tensor T = A · B y se sustituye en la ecuación (3.57) la derivada del producto tensorial consta de varias contribuciones que para facilitar los cálculos se desglosa en varias contribuciones Contribución 1. 3

3

⎡⎣ ( A ⋅ B ) ⋅∇v ⎤⎦ ij = ⎡⎣ A ⋅ (B ⋅∇v ) ⎤⎦ ij =

∑ ∑ Aik

k=1

l =1

∂vj ∂xl

3

Bkl =

∑ l =1

∂vj ∂xl

( A ⋅ B )il

(3.67)

que permite escribir 3

⎡⎣ (∇v )T ⋅ ( A ⋅ B ) + ( A ⋅ B ) ⋅ ∇v ⎤⎦ = ij

∑ l =1

⎤ ⎡ ∂vi ∂vj ( A ⋅ B )il ⎥ ( A ⋅ B )lj + ⎢ ∂xl ⎥⎦ ⎢⎣ ∂xl

Contribución 2.

Corresponde a la derivada material del producto, es decir

66

(3.68)

SISTEMAS

3

∑

d ∂ ( A ⋅ B )ij = dt ∂t

Aik Bkj +

k=1

3

=

3

∑ k=1

CONTINUOS

3

∑ ∑ ∂ vl ∂xl

l =1

⎡ ∂Bkj ∂Aik ⎤ Bkj ⎥ + + ⎢ Aik ∂t ∂t ⎢⎣ ⎥⎦

Aik Bkj =

k =1

3

3

l =1

k=1

∑∑

(3.69) ⎡ ∂Bkj ∂Aik ⎤ Bkj ⎥ vl ⎢ Aik + ∂xl ∂xl ⎢⎣ ⎥⎦

Contribución 3.

Se trata de un término que permite expresar de forma compacta las dos contribuciones anteriores A ⋅ γ (1) ⋅ B = A ⋅ ⎡⎣∇v + (∇v )T ⎤⎦ ⋅ B = A ⋅∇v ⋅ B + A ⋅ (∇v )T ⋅ B 3

⎡ A ⋅ γ (1) ⋅ B ⎤ = ⎣ ⎦ij

∑∑ k=1

3

3

l =1

∂vk AB + ∂xl il kj

(3.70)

3

∑∑ k=1

l =1

∂vk A B ∂xl ik lj

(3.71)

Expresión global del producto

La combinación de (3.68) y (3.69) en (3.65) conduce al resultado 3

⎡( A ⋅ B )(1) ⎤ = ⎣ ⎦ij

∑ k=1

3

−

⎡ ⎢ ∂Bkj Aik ⎢ + ∂t ⎢⎣

∑ l =1

3

∑∑ k=1

3

l =1

⎤ ∂Bkj ⎥ vl + ∂xl ⎥ ⎦⎥

3

∂vi A B − ∂xl lk kj

3

∑∑ k=1

l =1

3

∑

∂vj ∂xl

k=1

⎡ ⎢ ∂Aik ⎢ ∂t + ⎢⎣

3

∑ l =1

⎤ ∂Aik ⎥ vl B − ∂xl ⎥ kj ⎥⎦

(3.72)

Aik Bkl

que puede escribirse en forma más compacta teniendo en cuenta (3.27), (3.56) y (3.65)

67

HERRAMIENTAS


⎡ ( A ⋅ B )(1) ⎤ = ⎡ A ⋅ B (1) ⎤ + ⎡ A (1) ⋅ B ⎤ + ⎦ij ⎦ij ⎣ ⎣ ⎦ij ⎣ 3

+

3

∑∑ k=1

l =1

3

∂vk A B + ∂xl ik lj

3

∑∑ k=1

l =1

∂vk AB ∂xl il kj

(3.73)

y al sustituir (3.71) en esta última expresión, se llega al resultado ( A ⋅ B )(1) = A (1) ⋅ B + A ⋅ B (1) + A ⋅ γ (1) ⋅ B

(3.74)

Asimismo, un cálculo análogo permite concluir que ( A ⋅ B )(1) = A (1) ⋅ B + A ⋅ B (1) − A ⋅ γ (1) ⋅ B

(3.75)

3.4.1. Derivada corrotacional A partir de las derivadas convectivas puede construirse una nueva derivada, denominada corrotacional (a la que también se conoce en la bibliografía como derivada de Jaumann), definida del modo siguiente

D

Dt

T=

1 ⎡ T + T (1) ⎤ ⎦ 2 ⎣ (1)

(3.76)

A diferencia de lo que sucede con las derivadas convectivas, la derivada corrotacional de un producto de tensores satisface las mismas reglas que la derivación ordinaria; en efecto, al expresar de forma conjunta las respectivas definiciones (3.55), (3.56) y (3.76), es posible escribir

D

Dt

1 ⎡ A ⋅ B + A ⋅ B (1) + A ⋅ γ (1) ⋅ B + A (1) ⋅ B + A ⋅ B (1) − A ⋅ γ (1) ⋅ B ⎤ = ⎦ 2 ⎣ (1) (3.77) 1 1 (1) (1) ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎣ A (1) + A ⎦ ⋅ B + A ⋅ ⎣B (1) + B ⎦ 2 2

(A ⋅ B) =

que puede reordenarse dando lugar al resultado

68

SISTEMAS

D

⎞ ⎛D ⎞ ⎛D (A ⋅ B) = ⎜ A⎟ ⋅ B + A ⋅ ⎜ B⎟ Dt ⎝Dt ⎠ ⎝ Dt ⎠

CONTINUOS

(3.78)

3.5. TENSOR PRESIÓN Al considerar una región en el seno de un sistema continuo, el material en ella contenido experimenta la acción que ejerce el resto del sistema a través de la superficie que delimita dicha región y ello es el origen de los efectos de presión y viscosidad. Así, en la Figura 3.3, se pone de manifiesto la existencia de dos fuerzas que actúan sobre el elemento de área dA, una tiene en cuenta la presión y la otra los efectos de la viscosidad (contribución netamente de no-equilibrio).

Figura 3.3

Las fuerzas de presión, actúan en la dirección de la normal a la superficie (dA = ndA), es decir dFpre = − P ⋅ dA

(3.79)

siendo P la presión de equilibrio.

69

HERRAMIENTAS


La componente de dFpre en la dirección del vector unitario ui viene dada por 3

(dFpre )i = ui ⋅ dFpre = − P

∑

3

ui ⋅ u j (dA) j = − P

j =1

∑

δ ij (dA ) j

(3.80)

j =1

de tal modo que la ecuación (3.79) puede escribirse en notación matricial dFpre = − PI ⋅ dA

(3.81)

siendo I la matriz unidad. Por lo que respecta a la fuerza asociada con la viscosidad, es posible adoptar una expresión análoga a la anterior dFvis = − P v ⋅ dA

(3.82)

donde se ha introducido el nuevo tensor Pv denominado presión viscosa. De este modo, los efectos de la presión de equilibrio y de la viscosidad pueden englobarse en el tensor presión P definido como suma de las dos contribuciones consideradas P = PI + P v

(3.83)

Antes de atribuir una expresión explícita al tensor Pv, conviene detenerse en algunas consideraciones previas. En primer lugar, las componentes del tensor presión viscosa, es decir Pijv corresponde a la contribución por unidad de área del componente de la fuerza en la dirección ui actuando sobre un elemento de superficie cuya normal está orientada en la dirección uj. Por otra parte, hay que tener presentes dos consideraciones de carácter físico, la primera que la viscosidad es el resultado de la fricción interna de las partículas del sistema y, por consiguiente, Pv únicamente será distinto de cero si tiene lugar un movimiento relativo de unas partículas del sistema respecto a otras; ello exige que Pv sólo sea función de las derivadas de la

70

SISTEMAS

CONTINUOS

velocidad con respecto a las coordenadas espaciales, aunque esta conclusión puede hacerse menos general al considerar un régimen de gradientes de velocidad suficientemente bajos (teniendo en cuenta sólo las derivadas primeras de la velocidad) y, restringiendo aún más, proponer únicamente relaciones lineales entre Pv y las derivadas ∂vi / ∂xj. Otra consideración que no ha de perderse de vista, tiene en cuenta que debe anularse en el caso de que el sistema en su conjunto efectúe una rotación, situación que implica que la velocidad viene dada por ν = ω × r, siendo ω la velocidad angular. Nótese que para tal campo de velocidades se verifica Pv

⎧(ω 2 x3 − ω 3 x2 )u1 ⎪ v = ⎨(ω 3 x1 − ω1 x3 )u2 ⎪(ω x − ω x )u 2 1 3 ⎩ 1 2

(3.84)

de donde se deducen las relaciones ∂vi = 0 (i = 1, 2, 3) ∂xi

∂vj ∂vi =− ∂xj ∂xi

(i, j = 1, 2, 3; i ≠ j )

(3.85)

Como conclusión de lo que se acaba de exponer, en el contexto de la aproximación lineal puede proponerse para Pv una expresión del tipo 3

∑

⎛ ∂v ∂vj ⎞ Pijv = A ⎜ i + ⎟+ B ⎝ ∂xj ∂xi ⎠

i=1

∂vi ∂xi

(3.86)

Antes de seguir adelante, se abre un paréntesis para explicitar algunas consideraciones de tipo formal relacionadas con el tensor gradiente de velocidad v; éste puede descomponerse como suma de los tensores V=

1 ⎡∇v + (∇v )T ⎤ = (∇v )S ⎦ 2⎣

W=

1 ⎡∇v − (∇v )T ⎤ = (∇v ) A ⎦ 2⎣

(3.87)

71

HERRAMIENTAS


el primero de los cuales es de naturaleza simétrica y el segundo posee carácter antisimétrico2. Asimismo, el tensor V se descompone del modo siguiente 1 ˆ V = (∇ ⋅ v )I + V 3

ˆ =0 Tr V

(3.88)

Al tener en cuenta (3.86) y (3.87), es posible escribir (3.89)

P v = 2 AV + B(∇ ⋅ v)I que al sustituir (3.88) en (3.89) se convierte en ⎛2 ⎞ P v = ⎜ A + B⎟ (∇ ⋅ v)I + 2 AV ⎝3 ⎠

(3.90)

y corresponde a una descomposición del tipo P v = p vI + Pˆ v

Tr Pˆ v = 0

(3.91) ^

donde pν=(1/3)Tr Pν es la presión viscosa escalar y P v es una matriz de traza nula. El valor de los parámetros A y B se determina fácilmente en el caso de un tipo particular de fluidos, denominados newtonianos, para los cuales se verifican la ley de Newton de la viscosidad y la ley de Stokes, cuyas expresiones respectivas son ˆ Pˆ v = −2η V

p v = −ζ (∇ ⋅ v )

(3.92)

donde η es la viscosidad de cizalla y ζ la viscosidad de volumen. Así, resulta inmediato establecer las relaciones A = −η

2 B = η −ζ 3

(3.93)

2 Resulta fácil comprobar que si S es tensor simétrico y A antisimétrico, el producto S : A es nulo. Por consiguiente, si se considera el carácter simétrico del tensor presión, se verifica Pν : ν = Pν : V.

72

SISTEMAS

CONTINUOS

y puede concluirse que la presión viscosa de un fluido newtoniano viene dada por ⎛2 ⎞ P v = −2η V + ⎜ η − ζ ⎟ (∇ ⋅ v )I ⎝3 ⎠

(3.94)

expresión de la cual se deduce de forma inmediata TrP v = −3ζ (∇ ⋅ v )

(3.95)

Para los fluidos no newtonianos existen diferentes expresiones explícitas del tensor presión viscosa, dependiendo de cuál sea el sistema considerado. Suponiendo simétrico dicho tensor, las magnitudes que tienen interés desde el punto de vista experimental son P 12v , P11v – P22v y P22v – P 23v , donde las dos últimas reciben el nombre de presiones normales. En el caso de un fluido no newtoniano sometido a un gradiente de velocidad con una tasa de cizalla γ·· ver Figura 3.2), se proponen las siguientes expresiones generales ⎧P12v = −η (γ )γ ⎪⎪ v v 2 ⎨P11 − P22 = −Ψ 1 (γ )γ ⎪ v v 2 ⎪⎩P22 − P33 = −Ψ 2 (γ )γ

(3.96)

donde se han introducido las funciones materiales viscosidad no newtoniana η(γ·· ) y los coeficientes de presión normal Ψ1(γ·· ) y Ψ2 (γ·· ). Antes de concluir este apartado, conviene exponer algunas consideraciones relacionadas con el tensor presión cuando se trabaja en un sistema de coordenadas curvilíneas; la primera de ellas hace referencia al modo de escribir el propio tensor P, que puede expresarse en forma análoga a (2.40), en este caso 3

P=

3

∑∑ k=1

Pkl g k ⊗ g l

(3.97)

l =1

donde Pkl son las componentes covariantes del tensor y gk y gl vectores de la base contravariante. Asimismo, las componentes del tensor se obtienen a partir de las operaciones siguientes

73

HERRAMIENTAS


3

P : ( gi ⊗ g j ) =

3

∑∑ k=1

3

=

Pkl ( g ⊗ g ) : ( gi ⊗ g j ) = l

l =1

3

∑∑ k=1

Pkl ( g l ⋅ gi )( g k ⋅ g j ) =

l =1

3

∑∑ k=1

3

k

(3.98)

Pklδ ilδ kl =Pji

l =1

donde se ha hecho uso de la relación homóloga de (1.24). Por otra parte, si se utiliza la base de vectores covariante {g1, g2 ,g3} al considerar un elemento de superficie cuya normal está orientada en la dirección del vector gi, los efectos de la presión y la viscosidad dan lugar a la fuerza Fi = −

1 P ⋅ gi gi

(3.99)

expresión que, con la ayuda de (2.33), puede desarrollarse de la forma siguiente 3

P ⋅ gi =

3

∑∑ k =1

Pkl ( g k ⊗ g l ) ⋅ gi =

l =1 3

=

3

∑∑ k =1

∑∑ k=1

3

3

l =1

3

Pklδ li g k =

l =1

∑

Pkl g k ( g l ⋅ gi ) = (3.100)

Pki g k

k=1

lo que permite expresar el vector Fi en términos de sus componentes covariantes 3

Fi = −

∑ k=1

Pki gi

gk

(3.101)

Asimismo, la proyección de la fuerza Fi en la dirección del vector gj puede calcularse del modo siguiente

74

SISTEMAS

3

Fi ⋅ g j = −

∑ k=1

CONTINUOS

3

Pki gi

∑

gk ⋅ gj = −

k =1

Pki gi

δ kj = −

Pji

(3.102)

gi

que, de acuerdo con (3.98), adopta la forma Fi ⋅ g j = −

1 P : ( gi ⊗ g j ) gi

(3.103)

75

HERRAMIENTAS


APÉNDICE 3.A MAGNITUDES OBJETIVAS

Si dos sistemas de referencia se encuentran en movimiento, la posición de un punto del espacio en el instante t puede definirse mediante el vector r referido al sistema inercial, o mediante el vector r* referido al otro sistema de coordenadas. Cuando se considera el movimiento de un cuerpo, se requiere que la relación entre r y r* sea tal que no se modifique ni la distancia entre dos puntos arbitrarios del conjunto de puntos en movimiento ni el ángulo entre dos direcciones. La ley de transformación más general que garantiza las condiciones que acaban de enumerarse es la transformación euclídea [Noll (1958); Jou, Casas-Vázquez y Lebon (2001); Matolcsi (2006)] r ∗ = Q(t ) ⋅ r + c ( t )

(3.A.1)

donde Q(t) es un tensor ortogonal que satisface las condiciones Q ⋅ Q T = QT ⋅ Q = I

det Q = 1

(3.A.2)

y c(t) es el vector que une los orígenes de los dos sistemas de coordenadas. La transformación (3.A.1) permite introducir el concepto de magnitud objetiva, que son las más adecuadas para la descripción de las deformaciones cinemáticas. Dependiendo de que se trate de un escalar, un vector o un tensor, una magnitud se denomina objetiva si se verifica

76

a∗ = a

(3.A.3)

a∗ = Q ⋅ a

(3.A.4)

A∗ = Q ⋅ A ⋅ Q T

(3.A.5)

SISTEMAS

CONTINUOS

A título de ejemplo, puede estudiarse el carácter objetivo de la velocidad, para lo cual basta derivar con respecto al tiempo en los dos miembros de (3.A.1) y así comprobar que ⋅ r + c ) ≠ Q ⋅ v v ∗ = Q ⋅ v + (Q

(3.A.6)

donde se han introducido las derivadas temporales =d Q Q dt

c =

d c dt

(3.A.7)

Nótese que el resultado (3.A.6) pone de manifiesto que no se satisface (3.A.4) y, en consecuencia, la velocidad no es una magnitud objetiva. Análoga conclusión puede establecerse para el tensor v ; aunque ahora los desarrollos presentan algo más de complejidad. En primer lugar, hay que tener en cuenta que ∇∗ = Q ⋅∇ = ∇ ⋅ QT

(3.A.8)

⋅ r + c ) ⎤T = ∇∗ (Q ⋅ v )T + ∇ ∗ (Q ⋅ r )T = (∇v )∗ = ∇ ∗v ∗ = ∇ ∗ ⎡⎣Q ⋅ v + (Q ⎦

(3.A.9)

de tal modo que

T) = Q ⋅∇( v T ⋅ QT ) + Q ⋅ ∇( r T ⋅ Q

ahora bien, la identidad rT = I permite concluir que T (∇v )∗ = Q ⋅ ∇v ⋅ QT + Q ⋅ Q

(3.A.10)

de lo que se infiere que el tensor gradiente de velocidad no es una magnitud extensiva. Por el contrario, el tensor γ·· (r,t) = v + ( v )Τ definido por (3.49) sí es una magnitud objetiva. Para probar este aserto, se parte de la expresión ∗

γ ∗ = ⎡⎣∇v + (∇v )T ⎤⎦ = (∇v )∗ + ⎡⎣(∇v )T ⎤⎦

∗

(3.A.11)

77

HERRAMIENTAS


y se hace uso de (3.A.10) y de las operaciones que seguidamente se efectúan ∗

T

(

⎡⎣(∇v )T ⎤⎦ = ⎡⎣(∇v )∗ ⎤⎦ = Q ⋅∇v ⋅ Q T ⋅ QT = Q ⋅ (∇v )T ⋅ QT + Q

) + (Q ⋅ Q ) T

T

T

=

(3.A.12)

Por consiguiente T +Q ⋅ QT ⎤ γ ∗ = Q ⋅ ⎡⎣ ∇v + (∇v )T ⎤⎦ ⋅ Q T + ⎡⎣ Q ⋅ Q ⎦

(3.A.13)

Ahora bien, si se deriva con respecto al tiempo en (3.A.2), resulta inme· · diato concluir que se anula el término Q·Q T + Q·Q T, de tal modo que se verifica la igualdad γ··* = Q·γ··QT, lo que implica que para γ·· se satisface la condición de objetividad (3.A.5).

78

CAPÍTULO IV FORMULACIÓN CLÁSICA DE LA TERMODINÁMICA DE PROCESOS IRREVERSIBLES

Uno de los aspectos más llamativos de la Termodinámica de equilibrio es que describe al sistema por medio de propiedades que son independientes de la posición y del tiempo; es decir: homogéneas, isótropas y estacionarias. Por supuesto, tal descripción se limita a los estados de equilibrio, de tal modo que sólo se consideran las diferencias que experimentan los valores de las magnitudes al pasar de un estado a otro. Sin embargo, si se consideran situaciones de no equilibrio, el interés se centra en la evolución del sistema, es decir, en el proceso y no en el estado, lo cual exige conocer el valor de las propiedades del sistema en todo instante y en cada punto del espacio; formalmente, lo anterior requiere la consideración de variables de campo, del tipo Φ = Φ (r,t) en las que r es el vector posición del punto y t el tiempo.

4.1. ECUACIONES DE BALANCE En el desarrollo de la Termodinámica de los procesos irreversibles juegan un papel fundamental las ecuaciones de balance. En efecto, puesto que la Termodinámica de no equilibrio considera al sistema como un continuo, en las ecuaciones de balance se da razón de cómo varía el valor de una propiedad en un elemento de volumen en el transcurso del tiempo. En general, la variación puede deberse a dos efectos: la existencia de un flujo y la generación en el interior del volumen considerado; en el caso de la entropía se produce producción siempre que tenga lugar algún proceso irreversible en el seno del sistema y es, precisamente, el criterio de producción positiva de entropía el que determina la dirección de evolución espontánea. El desarrollo de una teoría Termodinámica de no equilibrio requiere disponer de una expresión que dé razón de la producción de entropía, lo cual es inherente al establecimiento de la pertinente ecuación de balance. Para

79

HERRAMIENTAS


conseguir ese objetivo, es preciso conocer la evolución temporal de otras propiedades del sistema, en particular la masa, el momento y la energía.

Figura 4.1

4.1.1. Balance de masa Si se considera un fluido que se desplaza a la velocidad ν es posible construir el elemento diferencial dV mostrado en la Figura 4.1, que corresponde al volumen de fluido que circula durante el tiempo dt dV = dLdA = v cos α dtdA = ( v ⋅ dA)dt

(4.1)

de tal modo que la masa que circula por unidad de tiempo viene dada por dm dV =ρ = ρ ( v ⋅ dA) dt dt siendo ρ la densidad del fluido.

80

(4.2)

FORMULACIÓN

CLÁSICA DE LA TERMODINÁMICA DE PROCESOS IRREVERSIBLES

Por consiguiente, la variación de la masa contenida en un volumen V en el transcurso del tiempo viene dada por ∂ ∂t

∫

ρ dV = −

V

∫

ρv ⋅ d A

(4.3)

A

que al aplicar el teorema de Gauss a la integral del segundo miembro de esta igualdad

∫

ρv ⋅ d A = A

∫

∇ ⋅ (ρ v) d V

(4.4)

V

permite escribir (4.3) en la forma

∫

⎤ ⎡ ∂ρ ⎢ + ∇ ⋅ ( ρ v ) ⎥ dV = 0 ∂t ⎦ V⎣

(4.5)

de la que se deduce la ecuación de balance de masa ∂ρ = −∇ ⋅ ( ρ v ) ∂t

(4.6)

que también se conoce como ecuación de continuidad.

4.1.2. Balance de momento

ν, la Figura 4.1 pone Teniendo en cuenta la definición del momento p = mν de manifiesto que el momento transportado por el flujo de materia por unidad de tiempo viene dado por [momento] dm = v = v ( ρ v ⋅ dA) [tiempo] dt

(4.7)

que para la componente i del vector adopta la forma

81

HERRAMIENTAS


3

⎛ [momento] ⎞ ⎜⎝ [tiempo] ⎟⎠ = vi ρ i

∑

3

vj dAj = ρ

j =1

∑

vj vi dAj = ρ ( vv ⋅ dA)i

(4.8)

j =1

donde con la notación vv se indica el producto tensorial v v . Por otra parte, es un resultado bien conocido en Mecánica que la variación temporal del momento coincide con la suma de las fuerzas que actúan sobre el sistema ∂ p= ∂t

∑

Fk = − ⋅ dA + ρ f

(4.9)

k

donde el término P·dA corresponde a las fuerzas de presión y viscosidad y ƒ se refiere a las fuerzas externas. En consecuencia, la variación del momento consta de dos contribución, una debida al flujo [ecuación (4.8)] y otra a las fuerzas actuantes [ecuación (4.9)]. Al considerar todo el volumen del sistema, se obtiene el balance ∂ ∂t

∫

ρ v dV = −

V

∫

ρ vv ⋅ d A − A

∫

⋅d A + A

∫

ρ f dV

(4.10)

V

que por aplicación del teorema de Gauss a las integrales de superficie, adopta la forma

∫

⎤ ⎡∂ ⎢ ∂t ρ v + ∇ ⋅ ( ρ vv ) + ∇ ⋅ − ρ f ⎥ dV = 0 ⎦ V⎣

(4.11)

expresión que permite escribir para el momento la siguiente ecuación de balance ∂ ( ρ v ) = −∇ ⋅ ( ρ vv + ) + ρ f ∂t

(4.12)

4.1.3. Balance de energía La energía total de un sistema viene dada por la suma de las energías cinética, potencial (a la que no se hará referencia explícita en lo que sigue)

82

FORMULACIÓN


e interna; asimismo, a la hora de establecer el balance de energía, es preciso tener en cuenta la existencia de flujos y fuerzas exteriores. Por otra parte, conviene hacer énfasis en que el balance de energía interna es el que posee mayor interés desde el punto de vista de la Termodinámica. Energía cinética La energía cinética por unidad de volumen viene dada por 1 2 1 ρv = ρv ⋅ v 2 2

(4.13)

Al derivar con respecto al tiempo el segundo miembro de la igualdad anterior se obtiene ⎞ 1 ⎛ ∂ρ ∂v ⎞ ∂ ⎛1 ρ v ⋅ v⎟ = ⎜ v ⋅ v + 2ρ v ⋅ ⎟ ⎜ ∂t ⎠ ∂t ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ ∂t

(4.14)

y si la relación trivial v⋅

∂ ∂ρ ∂v (ρ v) = v ⋅ v + ρv ⋅ ∂t ∂t ∂t

(4.15)

se combina con (4.14), es posible escribir ⎞ 1 ∂ρ ∂ ∂ ⎛1 ρ v ⋅ v⎟ = − v ⋅ v + v ⋅ (ρ v ) ⎜ 2 ∂t ∂t ⎠ ∂t ⎝ 2

(4.16)

Por otra parte, al multiplicar escalarmente por v los dos miembros de (4.12) y tener en cuenta (4.A.3) se llega a la expresión v⋅

∂ ( ρ v ) = − v2∇ ⋅ ( ρ v ) − ρ vv : ∇v − (∇ ⋅ P ) ⋅ v + ρ v ⋅ f ∂t

(4.17)

que junto con la ecuación de balance de masa (4.6) conduce al resultado

83

HERRAMIENTAS


⎞ ∂ ⎛1 1 ρ v ⋅ v ⎟ = − v2∇ ⋅ ( ρ v ) − ρ vv : ∇v − (∇ ⋅ P) ⋅ v + ρ v ⋅ f ⎜ ∂t ⎝ 2 ⎠ 2

(4.18)

expresión que, al tener en cuenta (4.A.7), se convierte en 1 ∂ ⎛ 1 2⎞ ρ v ⎟ = −∇ ⋅ ( ρ v2 v ) − (∇ ⋅ P ) ⋅ v + ρ v ⋅ f ⎜ 2 ∂t ⎝ 2 ⎠

(4.19)

Energía interna La energía total del sistema puede considerarse como suma de la energía cinética y de la energía interna U. Cuando se expresa por unidad de volumen, viene dada por e=

Energía cinética+Energía interna 1 2 = ρ v + ρu V 2

(4.20)

donde se ha introducido energía interna por unidad de masa u=

U ρV

(4.21)

La energía de un sistema puede modificarse por los efectos que se detallan a continuación: 1. Transporte de materia. Teniendo en cuenta (4.1), el volumen de materia que atraviesa un elemento de superficie por unidad de tiempo viene dada por el producto escalar v ·dA Por otra parte, la energía que atraviesa tal elemento de superficie por unidad de tiempo vale ⎞ Energía cinética+Energía interna ⎛ 1 2 = ⎜ ρ v + ρu⎟ v ⋅ dA Tiempo ⎝2 ⎠ 2. Flujo de calor q.

84

(4.22)

FORMULACIÓN


3. Efectos viscosos y de presión. De acuerdo con lo expuesto en el Apartado 3.5 [consultar las ecuaciones (3.81)-(3.83) y la Figura 3.3], la fuerza asociado con los efectos viscosos y la presión se expresa por F = –P·dA, de tal modo que al considerar un desplazamiento dl = νdt, la energía (referida al elemento de superficie dA) disipada por unidad de tiempo viene dada por Evis+ pre t

= −(P ⋅ dA) ⋅ v

(4.23)

y al desarrollar el segundo miembro de la igualdad anterior, se puede escribir 3

3

∑∑

(P ⋅ dA) ⋅ v =

i =1

3

3

∑∑

Pij vi dAj =

j =1

i=1

( PT ) ji vi dAj = (PT ⋅ v ) ⋅ dA

(4.24)

j =1

que pone de manifiesto que si el tensor presión es simétrico (P=PT), se verifica Evis+ pre Tiempo

= −( P ⋅ v ) ⋅ dA

(4.25)

4. Trabajo efectuado por fuerzas externas. A las que siguiendo la notación empleada anteriormente se denominan ƒ. Al tener en cuenta todas las contribuciones que acaban de explicitarse, el balance de energía total se obtiene al combinar las ecuaciones (4.20), (4.22)-(4.25) integradas para todo el sistema ∂ ∂t

∫

⎛1 2 ⎞ ⎜⎝ 2 ρ v + ρu⎟⎠ dV = − V −

∫

q⋅d A − A

∫

∫

⎛1 2 ⎞ ⎜⎝ 2 ρ v + ρu⎟⎠ v ⋅ d A − A

(P ⋅ v ) ⋅ d A + A

∫

(4.26)

ρ v ⋅ f dV

V

La aplicación del teorema de Gauss en (4.26), conduce a la expresión

85

HERRAMIENTAS


⎛1 ⎞ ∂ ⎛ 1 2⎞ ∂ ρ v ⎟ + ( ρu) = −∇ ⋅ ⎜ ρ v2 v ⎟ − ∇ ⋅ ( ρuv ) − ⎜ ∂t ⎝ 2 ⎝2 ⎠ ⎠ ∂t

(4.27)

− ∇ ⋅ q − ∇ ⋅ (P ⋅ v ) + ρ v ⋅ f que puede transformarse utilizando (4.19) y (4.A.9) para dar lugar al resultado ∂ ( ρu) = −∇ ⋅ ( ρuv ) − ∇ ⋅ q − P : ∇v ∂t

(4.28)

Con relación a esta última ecuación de balance, conviene resaltar de nuevo el carácter simétrico del tensor presión, por lo que de acuerdo con (1.35), se verifica P : ν = ν : P, lo que explica el cambio de orden en el producto contraído respecto a lo indicado en (4.A.9).

4.2. ECUACIONES DE BALANCE EN TÉRMINOS DE DERIVADAS MATERIALES Hasta ahora se ha venido utilizando ∂ /∂t para indicar la derivación con respecto al tiempo; sin embargo, puede introducirse otro tipo de derivada con un significado físico distinto al asociado con ∂ /∂t. Tal y como se expuso en el Apartado 3.2.2, el operador ∂ /∂t se aplica en un punto fijo del espacio y por ello recibe el nombre de derivada local (también denominada euleriana), pero si lo que interesa es la derivada temporal en el sistema de referencia que viaja con la partícula, es necesario considerar la derivada material (también llamada lagrangiana) que se denota por el símbolo d/dt. La relación entre las derivadas local y material viene dada por (3.27) d ∂ = + v ⋅∇ dt ∂t

(4.29)

y a partir de esta expresión las ecuaciones de balance pueden escribirse en términos de d/dt, tal y como se hace seguidamente

86

FORMULACIÓN


Balance de masa La expresión conjunta de (4.6) y (4.29) permite escribir dρ ∂ρ = + v ⋅∇ρ = −∇ ⋅ ( ρ v ) + v ⋅∇ρ dt ∂t

(4.30)

de donde se deduce dρ = − ρ∇ ⋅ v dt

(4.31)

Balance de momento La aplicación de (4.29) a la magnitud ρv conduce a la igualdad d ∂ ρ v = ρ v + v ⋅ ∇( ρ v ) dt ∂t

(4.32)

cuyo primer miembro puede desarrollarse del modo siguiente ⎤ ⎡ ∂ρ d dv dρ dv ρv = ρ +v =ρ + v ⎢ + v ⋅∇ρ ⎥ = dt dt dt dt ⎦ ⎣ ∂t dv dv =ρ + v ⎡⎣ −∇ ⋅ ( ρ v ) + v ⋅ ∇ρ ⎤⎦ = ρ − ρ v∇ ⋅ v dt dt

(4.33)

que expresado junto con (4.31), (4.12) y (4.A.12) conduce al resultado

ρ

dv = −∇ ⋅ P + ρ f dt

(4.34)

Balance de energía interna De acuerdo con la definición de derivada material, es posible escribir d ∂ ( ρu) = ( ρu) + v ⋅∇( ρu) dt ∂t

(4.35)

87

HERRAMIENTAS


que haciendo uso de la ecuación de balance (4.28) da lugar a la ecuación d ( ρu) = −∇ ⋅ ( ρuv ) − ∇ ⋅ q − P : ∇v + v ⋅∇( ρu) dt

(4.36)

cuyo primer miembro se desarrolla del modo siguiente d du dρ du ( ρu) = ρ +u =ρ − ρu∇ ⋅ v dt dt dt dt

(4.37)

y donde la última igualdad se obtiene al hacer uso de (4.31). Al expresar de forma conjunta (4.36) y (4.37), se llega al resultado

ρ

du = −∇ ⋅ q − P : ∇v dt

(4.38)

A la vista de las ecuaciones que acaban de obtenerse, conviene resaltar que las ecuaciones de balance poseen la misma estructura; así, para cualquier magnitud por unidad de masa φ su tasa de variación en el transcurso del tiempo viene dada por dφ (4.39) = −∇ ⋅ Jφ + σ φ ρ dt donde Jφ es un flujo asociado a la propiedad considerada y σφ es un término de producción (o destrucción).

4.3. HIPÓTESIS DE EQUILIBRIO LOCAL La hipótesis del equilibrio local [De Groot y Mazur (1984)], establece que al suponer dividido en regiones suficientemente pequeñas un sistema, aun cuando no esté en equilibrio, para cada una de ellas se satisfacen las ecuaciones termodinámicas que, en rigor, sólo serían aplicables en condiciones de equilibrio; así, para un sistema en equilibrio (por sencillez se considera un fluido puro) la ecuación de Gibbs adopta la forma ds = T −1du + T −1Pdv

88

(4.40)

FORMULACIÓN


donde la energía interna u y la entropía s están referidas a la unidad de masa y con el símbolo v se denota el volumen específico

v=

1 ρ

dv = −

1 dρ ρ2

(4.41)

Por consiguiente, la variación temporal de entropía puede calcularse a partir de (4.40) y (4.41) ds du P dρ = T −1 − T −1 2 dt dt ρ dt

(4.42)

Al multiplicar por la densidad los dos miembros de la ecuación anterior y sustituir en ella (4.31) y (4.38) se llega al resultado

ρ

ds = −T −1∇ ⋅ q − T −1P : ∇v + T −1P∇ ⋅ v dt

(4.43)

Si el tensor presión se descompone [tal y como se puso de manifiesto en (3.83)] en la suma de una contribución de equilibrio y otra asociada con los efectos viscosos P = PI + P v (4.44) donde I es el tensor unidad y Pv es el denominado tensor presión viscosa, se verifican las igualdades siguientes P : ∇v = Tr ⎡⎣( PI + P v ) ⋅∇v ⎤⎦ = Tr ⎡⎣ P∇v + P v ⋅∇v ⎤⎦ = P∇ ⋅ v + P v : ∇v

(4.45)

que permite modificar (4.43) del modo siguiente

ρ s = −T −1∇ ⋅ q − T −1P v : ∇v

(4.46)

expresión en la cual se ha introducido el símbolo s· para la tasa de variación de entropía en el transcurso del tiempo (s· = ds/ dt); por otra parte, si se tiene en cuenta la relación

89

HERRAMIENTAS


∇ ⋅ (T −1 q) = −T −2 q ⋅∇T + T −1∇ ⋅ q

(4.47)

el balance de entropía viene dado por

ρ s = −∇ ⋅ (T −1q) + ⎡⎣ − T −2 q ⋅ ∇T − T −1P v : ∇v ⎤⎦

(4.48)

ecuación, que si se compara con la expresión general de un balance (4.39), muestra inmediatamente la existencia de dos contribuciones: un flujo de entropía (Js = T–1q)) y un término de producción de entropía. Tal y como se puso de manifiesto en el Apartado 3.5 [véase la ecuación (3.91)], el tensor presión viscosa puede escribirse en la forma P v = p vI + Pˆ v

(Tr Pˆ v = 0 )

(4.49)

con lo cual el término de producción de entropía puesto de manifiesto en (4.48) adopta la forma

σ = q ⋅∇(T −1 ) − T −1 p v (∇ ⋅ v ) − T −1Pˆ v : ∇v

(4.50)

Si se denomina V = (∇v ) s a la parte simétrica del tensor gradiente de ^ velocidad, el hecho de poseer carácter simétrico el tensor P v permite establecer la relación Pˆ v : ∇v = Pˆ v : ⎡⎣(∇v ) s + (∇v ) a ⎤⎦ = Pˆ v : V

(4.51)

Asimismo, el tensor V puede descomponerse de forma análoga a Pv véase la ecuación (4.49)], es decir 1 ˆ V = (∇ ⋅ v )I + V 3

ˆ = 0) (tr V

(4.52)

con lo cual se concluye que ˆ Pˆ v : ∇v = Pˆ v : V

90

(4.53)

FORMULACIÓN


y la producción de entropía debida a los procesos de no equilibrio que tienen lugar en el sistema viene dada por ˆ σ = q ⋅ ∇(T −1 ) − p v T −1 (∇ ⋅ v ) − T −1Pˆ v : V

(4.54)

donde, de acuerdo con el Segundo Principio, ha de verificarse que el valor de σ sea siempre mayor que cero. Al observar el segundo miembro de la ecuación (4.54), lo primero que se pone de manifiesto es que se trata de una suma de términos, cada uno de los cuales está asociado con un efecto físico bien definido (conducción de calor y de viscosidad), pero también se constata que cada uno de estos sumandos se escribe como producto de una fuerza por un flujo [CriadoSancho y Casas-Vázquez (2004), Tabla 23.1]. Conviene resaltar que al existir flujos de orden tensorial diferente, el tipo de producto es diferente de un caso a otro (multiplicación entre números reales en el caso de flujos escalares, producto escalar para los flujos vectoriales y producto contraído cuando flujo y fuerza son de carácter tensorial); es decir

σ=

∑ i

Φi X i +

∑ i

Φi ⋅ X i +

∑

Φi : X i

(4.55)

i

4.4. LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS Puesto que el segundo principio de la Termodinámica impone la condición σ ≥ 0, ello supone una condición restrictiva a cualquier posible relación funcional entre flujos y fuerzas ⎧ X i = X i (Φ i ,Φi , Φi ) ⎪ ⎨ X i = X i (Φ i ,Φi , Φi ) ⎪X = X (Φ ,Φ , Φ ) i i i i ⎩ i

(4.56)

Resulta inmediato constatar que la expresión más sencilla se basa en admitir que cada flujo es proporcional a su fuerza asociada. En efecto, al considerar los flujos que intervienen en (4.54), se conocen ecuaciones que

91

HERRAMIENTAS


los relacionan con la variación espacial de magnitudes tales como la temperatura o el gradiente de velocidad. Así, puede hacerse mención a las siguientes expresiones empíricas: Ley de Fourier q = − λ ∇T

(4.57)

que establece la proporcionalidad entre el flujo de calor y el gradiente de temperatura, siendo λ la conductividad térmica1. Ley de Fick de la difusión J = − D ∇c

(4.58)

donde el flujo de materia es directamente proporcional al gradiente de concentración. Ley de Newton de la viscosidad ˆ Pˆ v = − 2η V

(4.59)

válida para los fluidos denominados newtonianos y donde η es la viscosidad de cizalla. Ley de Stokes p v = −ζ ∇ ⋅ v

(4.60)

en la que el flujo pv es proporcional a la divergencia de la velocidad del fluido y donde la constante de proporcionalidad ζ se denomina viscosidad de volumen; ésta última es cero para gases ideales monoatómicos, pero no así para gases ideales diatómicos o poliatómicos, ni, por supuesto, para gases reales. 1 A partir de la ley de Fourier se establece la ecuación de difusión del calor, que permite conocer el valor de la temperatura en una posición e instante dados [Criado-Sancho y Casas-Vázquez (2004), pág. 528; Lebon, Jou y Casas-Vázquez (2008), pág. 56]. Asimismo, en el apartado 5.4 se efectuará la integración de la ecuación de difusión de materia deducida a partir de la ley de Fick.

92

FORMULACIÓN


En general, se denominarán ecuaciones constitutivas2 a relaciones funcionales tales como las (4.56). Por lo que respecta a su forma explícita, puede generalizarse la hipótesis de proporcionalidad entre un flujo y su fuerza asociada admitiendo que además existe acoplamiento entre los diversos efectos que dan lugar a la producción de entropía; estas dos hipótesis son la base de la teoría lineal de la Termodinámica de no equilibrio, que puede enunciarse de acuerdo con los puntos siguientes: 1. Los flujos dependen linealmente de las fuerzas de acuerdo con la expresión n

Φi =

∑

Lij X j

(4.61)

j =1

donde Lij se denominan coeficientes fenomenológicos. 2. En sistemas isótropos un flujo sólo depende funcionalmente de aquellas fuerzas que tengan su mismo orden y carácter tensorial (principio de Curie). 3. Los coeficientes fenomenológicos satisfacen las relaciones de reciprocidad de Onsager, cuya justificación puede encontrarse en [Onsager (1931)] (4.62) Lij = Lji o en forma matricial L = LT

(4.63)

Al tener en cuenta (4.55) y (4.61), la teoría lineal predice que la producción de entropía por unidad de volumen y unidad de tiempo viene dada por n

σ=

∑∑ i =1

2

n

Lij X i X j ≥ 0

(4.64)

j =1

También se denominan relaciones fenomenológicas.

93

HERRAMIENTAS


Esta última desigualdad condiciona los valores admisibles de los coeficientes fenomenológicos, que han de verificar [Criado-Sancho y CasasVázquez (2004)]

(

Lii ≥ 0

Lii Ljj ≥ 14 Lij + Lji

)

2

(4.65)

Por otra parte, es un sencillo ejercicio [Criado-Sancho y Casas-Vázquez (2004)] establecer la relación entre los coeficientes fenomenológicos y la conductividad y viscosidades que intervienen en las leyes clásicas de Fourier, Newton y Stokes; los resultados a los que se llega son Lqq = λ T 2 Lvv = ζ T

(4.66)

Lˆ vv = 2η T

(4.67)

que junto con (4.54) y (4.64) permiten escribir ˆ ) : (T −1V ˆ) σ = λ T 2∇(T −1 ) ⋅ ∇(T −1 ) + ζ T (T −1∇ ⋅ v )(T −1∇ ⋅ v ) + 2η (T −1V 1 1 2η ˆ ˆ V : V≥ 0 = 2 λ (∇T )2 + ζ (∇ ⋅ v )2 + T T T

(4.68)

que por ser una forma cuadrática asegura que los coeficientes de transporte son siempre semipositivos definidos

λ ≥ 0,

ζ ≥ 0,

η≥0

(4.69)

lo que está de acuerdo con la evidencia experimental.

4.5. TEORÍA CLÁSICA DE LA TERMODINÁMICA DE NO EQUILIBRIO Todo lo expuesto a lo largo de este capítulo permite configurar la «teoría clásica» de la Termodinámica de no equilibrio; en estas páginas sólo se presenta una exposición resumida de la misma, omitiendo aspectos tan fundamentales como el teorema de producción mínima de entropía que puede consultarse en [Criado-Sancho y Casas-Vázquez (2004)].

94

FORMULACIÓN


Recopilando lo expuesto a lo largo de este capítulo, la teoría clásica de los procesos irreversibles puede formularse de forma esquemática enunciando las hipótesis siguientes [De Groot y Mazur (1984); Criado-Sancho y Casas-Vázquez (2004); Lebon, Jou y Casas-Vázquez (2008)]: 1. El sistema es un medio continuo y las magnitudes necesarias para su descripción son magnitudes de campo, es decir dependientes de la posición y del tiempo. 2. Las magnitudes extensivas obedecen a ecuaciones de balance de forma local o material, en las que intervienen términos de flujo y de fuente con significado físico preciso. 3. La entropía, al igual que las restantes magnitudes extensivas, obedece a una ecuación de balance, cuyo término de fuente, de acuerdo con el segundo principio, es siempre positivo (producción) o nulo. 4. Se postula la hipotesis del equilibrio local, según la cual los parámetros intensivos (derivadas primeras de la entropía cuando ésta se expresa como una función de sus variables naturales: energía, volumen y composición) poseen localmente el mismo significado que en equilibrio. 5. A partir de la ecuación de Gibbs inherente a la hipótesis de equilibrio local y de las ecuaciones de balance de masa y energía, se determina la evolución temporal de la entropía y se calcula el término de producción de entropía 6. Los flujos y las fuerzas están relacionados por ecuaciones constitutivas lineales, lo que da lugar a que la producción de entropía sea una forma bilineal en flujos y fuerzas. 7. Se verifican las relaciones de reciprocidad de Onsager. La Teoría Clásica a la que se viene haciendo referencia constituye una herramienta sumamente útil en el estudio de los procesos irreversibles en situaciones próximas al equilibrio (dominio de validez de las leyes lineales), pero presenta una serie de limitaciones [Lebon, Jou y Casas-Vázquez (2008)], algunas de las cuales se exponen a continuación. Por supuesto, el modelo no permite el tratamiento de fenómenos regidos por leyes fenomenológicas no-lineales, cual es el caso de las reacciones

95

HERRAMIENTAS


químicas y de los fluidos no-newtonianos. Sin embargo, la crítica más dura que puede formularse está relacionada con la validez de la propia hipótesis de equilibrio local; no cabe duda que suponer a priori la existencia de una expresión analítica para la función entropía permite escribir de forma explícita la evolución de la entropía y el correspondiente término de producción. Ahora bien, no conviene olvidar que no resulta evidente que fuera de equilibrio la entropía sólo dependa de las mismas variables que en equilibrio (energía interna y volumen en el caso de un fluido puro), ya que bien pudiera ocurrir, y de hecho ocurre, que en las situaciones de no equilibrio intervengan variables que «no se manifiestan» en equilibrio, tal y como sucede en el caso de disoluciones de macromoléculas, superfluidos y superconductores. Asimismo, la hipótesis de equilibrio local presupone sistemas de dimensiones relativamente grandes, donde además se consideran tiempos largos; por ello, difícilmente puede ser compatible con fenómenos que transcurren a frecuencias altas (propagación de ultrasonidos, colisiones nucleares o dispersión de neutrones), ni con sistemas cuyas dimensiones sean del orden de las nanoestructuras. No conviene perder de vista que la adopción de ecuaciones constitutivas lineales, no sólo puede ser criticada desde el punto de vista de su mayor o menor capacidad para interpretar la información experimental, sino que predicen comportamientos incorrectos desde un punto de vista físico. Así, la introducción de la ley de Fourier (supuesta conductividad térmica constante) en la ecuación de balance de energía conduce a una ecuación diferencial de tipo parabólico, lo cual predice que cualquier perturbación que experimente el sistema se propagará con velocidad infinita. A situación análoga se llega al considerar la ecuación de Navier-Stokes, cuya deducción se efectúa en el Capítulo V al sustituir en (4.34) las leyes de Newton y Stokes de la viscosidad.

96

FORMULACIÓN


APÉNDICE 4.A

Cálculo de ⎡⎣∇ ⋅ ( ρ vv ) ⎤⎦ ⋅ v A partir del término ∇ ⋅ ( ρ vv ) que aparece en (4.12), resulta inmediata la igualdad 3

⎡⎣ ∇ ⋅ ( ρ vv ) ⎤⎦ = i

∑ j =1

∂ ( ρ vi vj ) ∂xj

(4.A.1)

de la que se deduce 3

⎡⎣ ∇ ⋅ ( ρ vv ) ⎤⎦ ⋅ v =

∑∑ i=1

⎛ =⎜ ⎜ ⎜⎝

3

⎞⎛ 2⎟ ⎜ vi ⎟⎜ ⎟⎠ ⎜⎝

3

∑ ∑ i=1

3

j =1

j =1

vi

∂ ( ρ vi vj ) = ∂xj

⎞ ∂ρ ⎟ vj +ρ ∂xj ⎟⎟ ⎠

3

3

∑∑ i =1

j =1

vi2

∂vj ∂xj

3

+ρ

∑∑ i=1

(4.A.2)

3

j =1

vi vj

∂vi ∂xj

que puede escribirse en la forma compacta ⎡⎣ ∇ ⋅ ( ρ vv ) ⎤⎦ ⋅ v = v2∇ ⋅ ( ρ v ) + ρ vv : ∇v

(4.A.3)

Cálculo de ∇ ⋅ ( ρ v2 v ) Si se adopta como punto de partida la expresión ∇ ⋅ ( ρ v 2 v ) = ∇ ( ρ v2 ) ⋅ v + ρ v 2 ∇ ⋅ v

(4.A.4)

97

HERRAMIENTAS


y se tiene en cuenta la definición de gradiente, resulta inmediato que ⎛ ∂ ⎜ 2 ⎡ ∇( ρ v ) ⎤ = ⎣ ⎦ i ∂x ⎜ ρ i ⎜ ⎝

3

⎞ 2⎟ vj = ⎟ ⎟⎠

3

∑ ∑ j =1

j =1

⎛ ∂ρ 2 ∂vj ⎞ vj + 2 ρ v j ⎜ ⎟ ∂xi ⎠ ⎝ ∂xi

(4.A.5)

de donde se deduce

⎡ ∇( ρ v 2 ) ⎤ ⋅ v = ⎣ ⎦

3

3

i=1

j =1

∑∑

⎛ ∂ρ 2 ∂vj ⎞ vi ⎜ v j + 2ρ v j ⎟= ∂xi ⎠ ⎝ ∂xi

3

=v

2

∑ i=1

3

∂ρ + 2ρ vi ∂xi

3

∑∑ i =1

vi vj

j =1

∂vj ∂xi

(4.A.6) =

= v v ⋅ ∇ρ + 2ρ∇v : vv 2

Al sustituir este resultado en (4.A.4), se obtiene finalmente ∇ ⋅ ( ρ v2 v ) = v2∇ ⋅ ( ρ v ) + 2ρ∇v : vv

(4.A.7)

Cálculo de ∇ ⋅ (P ⋅ v ) Al escribir esta expresión en términos de las componentes tanto de la velocidad, como del tensor presión, es posible escribir 3

∇ ⋅ (P ⋅ v) =

3

∑∑ i=1

j =1

3

( )

∂ Pv = ∂xi ij j

3

∑∑ i=1

j =1

∂Pij ∂xi

3

vj +

3

∑∑ i=1

j =1

Pij

∂vj ∂xi

(4.A.8)

que puede reordenarse dando lugar a ∇ ⋅ ( P ⋅ v ) = (∇ ⋅ P ) ⋅ v + ∇v : PT

98

(4.A.9)

FORMULACIÓN


Cálculo de v ⋅∇( ρ v ) Recordando la definición de gradiente de un vector se llega a la relación ∂v ∂ρ ⎡⎣∇( ρ v ) ⎤⎦ = vi + ρ i ji ∂xj ∂xj

(4.A.10)

de la que se deduce de forma inmediata 3

⎡⎣ v ⋅ ∇( ρ v ) ⎤⎦i =

∑ j =1

⎛ ∂ρ ∂v ⎞ vj ⎜ vi + ρ i ⎟ = ∂xj ⎠ ⎝ ∂xj

3

=

∑ j =1

(4.A.11)

3

∂ ( ρ vi vj ) − ∂xj

∑ j =1

ρ vi

∂v j ∂xj

que puede escribirse de forma compacta como ⎡⎣ v ⋅ ∇( ρ v ) ⎤⎦ = ⎡⎣∇ ⋅ ( ρ vv ) ⎤⎦ − vi ρ∇ ⋅ v i i

(4.A.12)

99

CAPÍTULO V EL FLUIDO NEWTONIANO

5.1. ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES El estudio hidrodinámico de un fluido tiene por objeto conocer en cada uno de sus puntos la densidad y la temperatura en un instante dado, así como la velocidad v considerada en el apartado 4.1.1. Esas variables de campo están asociadas con alguna de las ecuaciones de balance (4.31), (4.34) y (4.38), aunque, expresándonos en un lenguaje coloquial, no puede atribuírseles un carácter estrictamente «termodinámico». Por otra parte, además de basarse en las ecuaciones de balance, la teoría clásica de la Termodinámica de no equilibrio se construye en el ámbito de ecuaciones fenomenológicas lineales, de las que las ecuaciones de transporte (4.57), (4.59) y (4.60) son un buen ejemplo. El modelo lineal desarrollado en el Capítulo IV permite llevar a cabo el estudio hidrodinámico de fluidos [Lebon, Jou y Casas-Vázquez (2008), pág. 60], aunque exige que éstos se encuentren sometido a un regimen laminar, de tal modo que se excluye cualquier consideración acerca de la turbulencia y adolece, además, del inconveniente de utilizar unas ecuaciones de transporte que implican la respuesta instantánea del fluido ante cualquier ˆ , de acuerdo con (4.57), (4.59) y (4.60)]. Uno efecto [tales serían T, ·v y V de los primeros sistemas que pueden estudiarse en el contexto de las restricciones anteriores anterior es el fluido newtoniano, para lo que se adopta como punto de partida la ecuación de balance de momento. En lo que sigue se exponen con detalle los pasos que conducen a la ecuación que rige el comportamiento hidrodinámico de tal fluido. 5.1.1. Divergencia del tensor P de un fluido newtoniano Según lo expuesto en el Capítulo III, la expresión explícita del tensor presión de un fluido newtoniano puede establecerse a partir de las ecuaciones (3.83) y (3.94), de las cuales se obtiene

101

HERRAMIENTAS


⎛2 ⎞ P = PI − 2η V + ⎜ η − ζ ⎟ (∇ ⋅ v )I ⎝3 ⎠

(5.1)

Por consiguiente, al efectuar sobre P la operación se llega al resultado ⎛2 ⎞ ∇ ⋅ P = ∇P − 2η∇ ⋅ V + ⎜ η − ζ ⎟ ∇ ⋅ ⎡⎣(∇ ⋅ v )I ⎤⎦ ⎝3 ⎠

(5.2)

de tal modo que han de considerarse las contribuciones siguientes: 1) Término ·[(·v)I] ⎛ 0 0 ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎜ ∇⋅v ∇ ⋅ ⎣⎡(∇ ⋅ v )I ⎤⎦ = ⎜ , , ,⎟ ⋅ 0 0 ∇⋅v ⎝ ∂x1 ∂x2 ∂x3 ⎠ ⎜⎜ 0 ∇⋅v ⎝ 0

⎞ ⎟ = ∇(∇ ⋅ v ) ⎟ ⎟⎠

(5.3)

2) Término ·V Tal y como establece (3.87), el tensor V es la parte simétrica del gradiente de velocidad ( V = [∇v + (∇v )T ] / 2 ), de tal modo que al aplicar · es preciso considerar las relaciones siguientes ⎛ ∂v ∂x 1 1 ⎛∂ ∂ ∂ ⎞ ⎜ ∇ ⋅ ∇v = ⎜ , , ,⎟ ⋅ ⎜ ∂v1 ∂x2 ⎝ ∂x1 ∂x2 ∂x3 ⎠ ⎜ ⎜⎝ ∂v1 ∂x3

∂v2 ∂x1 ∂v2 ∂x2 ∂v2 ∂x3

⎛ ∂v ∂x ∂v ∂x 1 1 1 2 ⎜ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ T ∇ ⋅ (∇v ) = ⎜ , , ,⎟ ⋅ ⎜ ∂v2 ∂x1 ∂v2 ∂x2 ⎝ ∂x1 ∂x2 ∂x3 ⎠ ⎜ ⎜⎝ ∂v3 ∂x1 ∂v3 ∂x2

∂v3 ∂x1 ⎞ ⎟ ∂v3 ∂x2 ⎟ = ∇2 v ⎟ ∂v3 ∂x3 ⎟⎠

(5.4)

∂v1 ∂x3 ⎞ ⎟ ∂v2 ∂x3 ⎟ = ∇(∇ ⋅ v ) ⎟ ∂v3 ∂x3 ⎟⎠

(5.5)

Al sustituir (5.3)-(5.5) en (5.2), se llega al resultado ⎛1 ⎞ ∇ ⋅ P = ∇P − η∇ 2 v − ⎜ η + ζ ⎟ ∇(∇ ⋅ v ) ⎝3 ⎠ 102

(5.6a)

EL

FLUIDO NEWTONIANO

que puede escribirse en la forma equivalente ⎛1 ⎞ ∇ ⋅ P = ∇P − η∇ 2 v − ⎜ η + ζ ⎟ ∇(∇ ⋅ v ) ⎝3 ⎠

(5.6b)

donde se ha introducido el parámetro

β=

1 ζ + 3 η

(5.7)

5.1.2. Ecuación de balance de momento Al sustituir la ecuación de la continuidad (4.6) en la expresión del balance de momento (4.12), es posible escribir

ρ

∂v − ∇ ⋅ ( ρ v ) v = −∇ ⋅ ( ρ vv + P ) + ρ f ∂t

(5.8)

Por otra parte, al desarrollar (4.A.1) se obtiene el resultado 3

⎡⎣∇ ⋅ ( ρ vv ) ⎤⎦ i =

∑ j =1

∂ ( ρ vi vj ) = ∂xj

3

= vi

∑ j =1

3

∂ρ +ρ vj ∂xj

∑ j =1

3

∂vi v + ρ vi ∂xj j

∑ j =1

∂vj ∂xj

=

(5.9)

= vi ( v ⋅∇ρ ) + ρ ⎡⎣(∇v )T ⋅ v ⎤⎦ + ρ vi∇ ⋅ v i

que, en forma compacta, puede expresarse ∇ ⋅ ( ρ vv ) = v( v ⋅∇ρ ) + ρ v ⋅∇v + ρ v∇ ⋅ v = = v∇ ⋅ ( ρ v ) + ρ v ⋅ ∇v

(5.10)

lo cual permite rescribir (5.8) en la forma

103

HERRAMIENTAS


ρ

∂v + ρ v ⋅∇v = −∇ ⋅ P + ρ f ∂t

(5.11)

Al sustituir en esta última ecuación ·P por el segundo miembro de (5.6b), se llega al resultado

ρ

∂v + ρ v ⋅∇v = −∇P + η∇2 v + βη∇(∇ ⋅ v ) + ρ f ∂t

(5.12)

que se conoce como ecuación de Navier-Stokes y puede considerarse como la base de la hidrodinámica de los fluidos viscosos [Landau y Lifshitz (1986)]. Conviene resaltar que (5.12) constituye un sistema de ecuaciones diferenciales de carácter parabólico, lo cual implica que cualquier perturbación se propaga a velocidad infinita en el seno del fluido; desde el punto de vista físico esto constituye una objeción seria, aunque no se manifiesta si se consideran tiempos característicos que sea mucho mayores que el tiempo de tránsito de las señales que soporte de la información. Para profundizar en el estudio de la ecuación de Navier-Stokes, se sugiere los lectores consultar la referencia [Brenner (2005)]. Para un fluido incompresible, la ecuación de la continuidad permite establecer que ·ν = 0 y la ecuación de Navier-Stokes adopta la forma

ρ

∂v + ρ v ⋅∇v = −∇P + η∇2 v + ρ f ∂t

(5.13)

Asimismo, cuando se desprecia el término de inercia ρ v · v, la ecuación anterior se simplifica dando lugar a

ρ

∂v = −∇P + η∇ 2 v + ρ f ∂t

que recibe el nombre de ecuación de Stokes.

104

(5.14)

EL

FLUIDO NEWTONIANO

5.2. INTEGRACIÓN DE LA ECUACIÓN DE STOKES ESTACIONARIA En situación estacionaria la ecuación de Stokes adopta la forma (5.15)

η∇ 2 v − ∇P = − F donde se ha introducido la fuerza F = ρ ƒ.

A la hora de integrar la ecuación de Stokes estacionaria, hay que tener presente que en la deducción de (5.14), y por tanto en la de (5.15), se introdujo la hipótesis de incompresibilidad del fluido (·v = 0), lo cual implica que el tratamiento matemático afecta al par de ecuaciones ⎧η∇ 2 v − ∇P = − F ⎨ ⎩⎪∇ ⋅ v = 0

(5.16)

En la bibliografía se presentan diferentes métodos para integrar la ecuación de Stokes estacionaria, siendo [Venkatalaxmi et al. (2007)] uno de los artículos más recientes que se han publicado; en esta monografía se va a utilizar la transformada de Fourier como herramienta para resolver (5.16), que constituye un método menos farragosos que el seguido por otros autores [Yamakawa (1971), pág. 355]. La transformada de Fourier1 aplicada a cualquier función genérica de las coordenadas espaciales A(r) permite genera la nueva función ⎡⎣F A ⎤⎦ definida del modo siguiente 1 ⎡⎣F A ⎤⎦ ( k ) = (2π )3/2

∫

(

)

A( r )exp − ik ⋅ r d r

(5.17)

y, análogamente, la transformada inversa viene dada por

A( r ) =

1 (2π )3/2

∫F ⎡⎣

(

)

A ⎤⎦ ( k )exp ik ⋅ r d k

(5.18)

1

Aquellos lectores poco familiarizados con la transformada de Fourier, pueden encontrar en [Kreyszig (1993), pág. 612] las definiciones anteriores, así como las propiedades de la transformación.

105

HERRAMIENTAS


Cuando se aplica

F

a las dos ecuaciones de (5.16) se obtiene

⎧⎪−η k 2 ⎡⎣F v ⎤⎦ − ik ⋅ ⎡⎣F P ⎤⎦ = − ⎡⎣F F ⎤⎦ ⎨ ⎩⎪ik ⋅ ⎡⎣F v ⎤⎦ = 0

(5.19)

pudiendo colegirse de la segunda de las ecuaciones que la transformada de la velocidad es perpendicular al vector k. Asimismo, de la primera de las ecuaciones (5.19) se puede despejar la transformada de v y llegar al resultado 1 ⎡⎣F v ⎤⎦ = 2 ⎡⎣F F ⎤⎦ + ik ⋅ ⎡⎣F P ⎤⎦ (5.20) ηk

(

)

ˆ ˆ definido en el Apéndice 5.A a la función Al aplicar el operador I − kk ⎡⎣F v ⎤⎦, se proyecta la componente de la función perpendicular al vector k; ahora bien, el hecho de verificarse ⎣⎡F v ⎤⎦ ⊥ k , implica que la tal proyección coincide con la propia función ⎡⎣F v ⎤⎦, es decir

(

)

(

)

ˆ ˆ ⎡F v ⎤ = 1 I − kk ˆ ˆ ⎡F F ⎤ ⎡⎣F v ⎤⎦ ≡ I − kk ⎣ ⎦ η k2 ⎣ ⎦

(5.21)

donde la última igualdad se deduce a partir de (5.20) teniendo en cuenta que el término k ⋅ ⎡⎣F P ⎤⎦ es paralelo a k y, por consiguiente, desaparece al ˆ . Asimismo, en (5.21) interviene la transformada aplicar I–kˆ k 1 ⎡⎣F F ⎤⎦ ( k ) = (2π )3/2

∫

(

)

F ( r ′)exp − ik ⋅ r ′ d r ′

(5.22)

Aplicando la transformada de Fourier inversa a (5.21) puede obtenerse la expresión de la velocidad v(r) v( r ) =

1 = (2π )3/ 2

106

∫F ∫ (

1 (2π )3/ 2

(

)

⎡⎣ v ⎤⎦ ( k )exp ik ⋅ r d k =

)

(5.23)

1 ˆ ˆ ⎡F F ⎤ ( k )exp ik ⋅ r d k I − kk ⎣ ⎦ η k2

(

)

EL

FLUIDO NEWTONIANO

que, al tener en cuenta (5.22), permite escribir

∫ ∫ ∫

v(r) = =

1 (2π )3/2

⎪⎧ 1 ⎨ 3 ⎪⎩ (2π )

⎡

∫

⎤ F ( r ′ )exp − ik ⋅ r ′ d r ′ ⎥ exp ik ⋅ r d k = ⎥⎦ ⎣ (5.24) ⎫⎪ 1 ˆ ˆ exp ⎡ − ik ⋅ ( r ′ − r ) ⎤ dk ⎬ ⋅ F (r ′ )dr ′ I − kk ⎣ ⎦ η k2 ⎪⎭

(

1 ˆˆ I − kk η k2

(

) ⎢⎢ (2π1) )

3/ 2

(

)

(

)

y llegar al resultado v (r ) =

∫

H( r ′ − r ) ⋅F ( r ′ )dr ′

(5.25)

que constituye la expresión del campo de velocidades como función de las fuerzas externas y donde H se define como H( r ) =

1 (2π )3 η

∫

(

)

1 ˆ ˆ exp(− ik ⋅ r )dk I − kk k2

(5.26)

y recibe el nombre de tensor de Oseen.

Figura 5.1

107

HERRAMIENTAS


5.2.1. Expresión explícita del tensor de Oseen De acuerdo con (5.26) los elementos del tensor de Oseen vienen dados por H jl =

1 (δ I − I jl ) 8π 3η jl 0

(j , l= 1,2,3)

(5.27)

donde I0 y Ijl son las integrales I0 =

I jl =

∫

∫

1 exp(− ik ⋅ r )dk k2

1 ˆ ˆ k k exp(− ik ⋅ r )dk k2 j l

(5.28)

(j, l= 1,2,3)

(5.29)

Ahora bien, puesto que la integración se efectúa sobre el vector k, la posición del vector r no varía durante el proceso de integración y por comodidad puede fijarse en la dirección del eje k3, tal y como se muestra en la Figura 5.1. En tales circunstancias, el producto escalar que aparece en la exponencial de las integrales (5.28) y (5.29) viene dado por k·r = rk cos θ y se verifica la igualdad ⎛ 0 0 0 1 rr = ⎜ 0 0 0 2 ⎜ r ⎜⎝ 0 0 1

⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠

(5.30)

asimismo, el elemento de volumen dk en coordenadas polares esféricas [ver ecuaciones (2.A.12) y(2.A.13)] viene dado por dk = k2sen θ dkdϕ dθ

(5.31)

Por otra parte, a partir de (5.28) y (5.29) pueden considerarse los casos siguientes:

108

EL

FLUIDO NEWTONIANO

Cálculo de I0 2π

I0 =

∞

∫ ∫ ∫ dϕ

0

π

dk

0

sen θ exp(− irk cos θ ) dθ = 2π

0

∫

∞

I0 (k)d k

(5.32)

0

donde con el símbolo I 0(k) se denota la integral I0 (k ) =

∫

π

sen θ exp(− ikr cos θ ) dθ =

0

=

(5.33)

i 2 ⎡⎣ exp(− ikr ) − exp(( ikr ) ⎤⎦ = sen(kr ) kr kr

y al efectuar la integración sobre k, se llega al resultado I0 = 4π

∫

∞

0

∞ sen(kr ) 4π 2π 2 dk = ⎡⎣Si(t ) ⎤⎦0 = kr r r

(5.34)

donde Si(t) es la función seno integral, definida como Si(t ) =

∫

sen t dt t

(5.35)

Cálculo de I11 I11 =

∫

2π

cos 2ϕ dϕ

∫

∞

I1 (k)d k

(5.36)

0

0

donde I 1(k) viene dada por I1 (k) =

∫

π

sen 3θ exp(− ikr cosθ ) dθ =

0

{

}

(5.37)

π 1 ⎡ 2 2 ⎤ = − θ 4 kr θ + i − kr + kr 2 θ − 4 ikr exp( c os ) cos [ ( ) ( ) cos ] ⎦0 2( kr )3 ⎣

109

HERRAMIENTAS


cuya integración conduce a ⎡ cos( kr ) sen( kr ) ⎤ I1 (k ) = 4 ⎢ − + ⎥ 2 ( kr )3 ⎦ ⎣ ( kr )

(5.38)

y, al sustituir en (5.36), permite escribir

∫

k

0

∞

⎤ 2 ⎡ cos t sen t π I1 (k )d k = ⎢ − 2 + Si( t) ⎥ = r⎣ t t ⎦0 r

(5.39)

π2 r

(5.40)

I11 =

Cálculo de I22

I22 =

∫

2π

sen 2ϕ dϕ

∫

∞

0

0

π I1 (k)d k = r

2

(5.41)

resultado al que se llega a partir de (5.39).

Cálculo de I33 2π

I33 =

∫ ∫

∞

dϕ

I3 (k )d k

(5.42)

0

0

donde I 1(k) viene dada por I3 (k) =

∫

π

senθ cos 2 θ exp(− ikr cosθ ) dθ =

0

{

}

π 1 ⎡ 2 2 ⎤ =− θ 2 θ 4 θ 4 ikr kr kr i kr exp( ( − cos ) ( ) + ( ) cos − ( )cos − ⎦0 2( kr )3 ⎣

110

(5.43)

EL

FLUIDO NEWTONIANO

que puede rescribirse como ⎡ sen( kr ) cos( kr ) sen( kr ) ⎤ I3 (k ) = −2 ⎢ +2 −2 ⎥ 2 ( kr ) ( kr )3 ⎦ ⎣ kr

(5.44)

y tras efectuar la integración sobre k, puede concluirse que

∫

k

0

∞

⎤ 2⎡ cos t cos t sen t I3 (k)d k = − ⎢Si( t ) − 2 − 2Si(t ) + + 2 + Si(t ) ⎥ = 0 r⎣ t t t ⎦0

(5.45)

y, en consecuencia, se sigue que I33 = 0

(5.46)

Cálculo de los términos no diagonales Las integrales asociadas con los elementos no diagonales del tensor de Oseen son las siguientes:

I12 =

∫

2π

I13 =

∫

2π

∫

2π

0

I23 =

0

∫ ∫

sen 2θ cos θ exp(− ikr cos θ ) dθ

(5.48)

sen 2θ cosθ exp(− ikr cosθ ) dθ

(5.49)

π

dk

0

0

∞

senϕ dϕ

(5.47)

0

∞

cos ϕ dϕ

I1 (k )d k

senϕ cos ϕ dϕ

0

∫

∞

∫ ∫

π

dk

0

0

y resulta sencillo comprobar que en todas ellas se anulan la integrales sobre ϕ. Por consiguiente, se concluye que I12 = I13 = I23 = 0

(5.50)

111

HERRAMIENTAS


Al expresar de forma conjunta (5.27), (5.34), (5.40), (5.41), (5.46) y (5.50), se llega a la siguiente expresión explícita del tensor de Oseen ⎛ 1 0 0 1 ⎜ H( r ) = 0 1 0 8πη r ⎜⎜ ⎝ 0 0 2

⎡⎛ 1 0 0 ⎞ ⎟ = 1 ⎢⎜ ⎟ 8πηr ⎢⎜ 0 1 0 ⎟⎠ ⎢⎝⎜ 0 0 1 ⎣

⎞ ⎛ 0 0 0 ⎟ +⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1

⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎟⎠ ⎥ ⎦

(5.51)

que al tener en cuenta (5.30), conduce al resultado H( r ) =

1 ⎛ 1 ⎞ I + 2 rr ⎟ ⎜ 8πη r ⎝ r ⎠

(5.52)

5.3. ECUACIÓN DE LANGEVIN Tal y como se expuso anteriormente, la ecuación de Navier-Stokes es el punto de partida para el estudio de los fluidos newtonianos, y, en tal contexto, la relación (5.25) es uno de los resultados a los que se llega para el caso de un sistema estacionario e incompresible. De entre los diversos problemas que pueden abordarse haciendo uso de (5.25), se va a efectuar un estudio fenomenológico del movimiento browniano, cuyo carácter aleatorio obliga a considerar en F(r) no sólo contribuciones «deterministas» (por ejemplo, las derivadas de un potencial), sino otras cuya génesis está en promedios a nivel molecular y a las que se prestará atención más adelante. Con respecto al estudio teórico del movimiento browniano, pueden consultarse las referencias clásicas [Uhlenbeck y Orstein (1930); Wang y Uhlenbeck (1945)]; sin embargo, en estás páginas se efectuará un tratamiento mucho más simplificado, considerando un fluido en el que las partículas suspendidas en su seno son puntos materiales [Doi y Edwards (1986), pág. 68]. Así, cuando ri es el vector posición de la partícula i, la fuerza sólo actúa en r = ri, lo que de un modo formal se plasma en la igualdad N

F (r ) =

∑ j =1

112

Fjδ ( r − rj )

(5.53)

EL

FLUIDO NEWTONIANO

La segunda hipótesis a la que se recurre consiste en admitir que cada partícula se mueve a la misma velocidad que el fluido [es decir v i = v ( ri )], lo que de acuerdo con (5.25) permite escribir N

N

vi =

∑∫

H( r ′ − ri ) ⋅ Fjδ ( r ′ − rj ) d r ′ =

j =1

∑

H( rj − ri ) ⋅ Fj

(5.54)

j =1

y se plasma en la expresión N

vi =

∑

H( ij ) ⋅ Fj

(5.55)

j =1

donde se han introducido los tensores2 H( ij ) = H( rj − ri )

H ( ii ) =

1 I ζ

(5.56)

denominándose a H(ij) matriz movilidad y al parámetro ζ coeficiente de fricción3. Por otra parte, la fuerza Fj puede considerarse como suma de dos contribuciones, una que se deriva del potencial U y otra aj de carácter aleatorio que tiene en cuenta las colisiones entre las moléculas del fluido y las partículas. De acuerdo con todo lo anterior, (5.55) se convierte en N

∂ri = ∂t

∑

H ( ij ) ⋅ ⎡⎣ −∇ jU + a j (t) ⎤⎦

(5.57)

j =1

y recibe el nombre de ecuación de Langevin. El gradiente que aparece en el segundo miembro de la igualdad se refiere a las coordenadas de una partícula genérica j, es decir

2 Ha de tenerse en cuenta que (5.52) predice que H(0) es infinito. Para obviar este inconveniente, se introduce la segunda de las igualdades (5.56). 3 Para partículas esféricas de radio a, el coeficiente de fricción vale ζ = 6πηa.

113

HERRAMIENTAS


3

∇j =

∑ k=1

∂ ∂xk( j )

(5.58)

Por otra parte, un tratamiento más riguroso del problema [Lax (1960), (1966)] conduce al resultado N

∂ri = ∂t

∑ j =1

⎤ ⎡ 1 H( ij ) ⋅ ⎢ −∇ jU + a ( j ) ( t ) + kB T ∇ j H ( ij ) ⎥ 2 ⎦ ⎣

(5.59)

5.3.1. Consideraciones acerca de las fuerzas aleatorias La fuerza que experimenta una partícula como resultado de las colisiones con las moléculas del disolvente no pueden plasmarse en una relación funcional explícita. Por ello, el carácter aleatorio de las fuerzas aj(t) que aparecen en la ecuación de Langevin requiere que se les asocie con una función de distribución. En términos generales, las variables cuyos valores x fluctúan en el transcurso de un proceso, dependiendo de la posición en que se efectúe la medida, poseen un comportamiento estadístico regido por cierta función de distribución Ψ ( x) , tal que todos los valores posibles conducen al valor medio x =

∫

xΨ ( x)d x

(5.60)

De entre todas las posibles distribuciones estadísticas, existe una, denominada gaussiana, cuya función de distribución viene dada por ⎛ 1 Ψ ( x) = ⎜ ⎜⎝ 2π x2

⎞ ⎟ ⎟⎠

1/ 2

(

⎡ x− x exp ⎢ − ⎢ 2 x2 ⎢⎣

de la cual se deducen las igualdades siguientes

114

)

2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

(5.61)

EL

x =0

FLUIDO NEWTONIANO

(5.62)

Δx2 = [ x − x ]2

Si se consideran de nuevo las fuerzas aj(t) y se admite la hipótesis de atribuirles carácter gaussiano, es preciso rescribir (5.61) para poder promediar funciones temporales ƒ(t). Esto puede conseguirse introduciendo la función de distribución ⎡ 1 Ψ [ f (t )] ∼ exp ⎢ − ⎢⎣ 4ζ kB T

∫

⎤ f (t )2 dt ⎥ ⎥⎦

(5.63)

asociada con los valores medios f (t) = 0

f (t ) f (t ′) = 2ζ kB Tδ (t − t ′ )

(5.64)

resultado que se particulariza para las fuerzas aj(t), de tal modo que la ecuación de Langevin debe completarse con las relaciones siguientes ⎧ a ( j ) (t) = 0 ⎪ ⎨ ( i) ( j) ⎪⎩ am ( t ) an ( t ′) = 2ζ kBTδ ijδ mnδ (t − t ′)

( m, n = 1, 2, 3)

(5.65)

5.4. INTEGRACIÓN DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIÓN Para terminar este capítulo se procede a integrar la ecuación de difusión planteada a partir de la ley de Fick. Así, al considerar un sistema multicomponente en ausencia de reacción química, las ecuaciones (4.6) y (4.58) pueden escribirse para cada uno de los componentes i en la forma [CriadoSancho y Casas-Vázquez (2004), págs. 493, 500] ∂ρi = −∇ ⋅ ( ρi vi ) = −∇ ⋅ J i ∂t

J i = − Di∇ci

(5.66)

donde Di es el coeficiente de difusión de la especie i y ci su concentración expresada en moles por unidad de volumen. Teniendo en cuenta que

115

HERRAMIENTAS


ρi = Mici (donde Mi es la masa molecular del componente i), las ecuaciones (5.66) pueden combinarse para dar lugar a ∂ci = Di∇ 2 ci ∂t

(5.67)

que se conoce como ecuación de difusión. Al efectuar la trasformada de Fourier de los dos miembros de la igualdad (5.67), ésta se convierte en ∂ F ⎡⎣ ci (r , t )⎤⎦ = − k2 DiF ⎡⎣ ci (r , t) ⎤⎦ ∂t

(5.68)

cuya solución viene dada por

F

⎡⎣ ci ( r , t ) ⎤⎦ = F ⎣⎡ ci ( r , 0) ⎤⎦ exp[− k2 Di t ]

(5.69)

Al hacer uso de (5.18) para efectuar la transformada inversa, la concentración viene dada por ci ( r , t ) =

∫F ∫F

1 (2π )3/ 2

1 = (2π )3/ 2

⎡⎣ ci ⎤⎦ exp[ik ⋅ r ] d k = (5.70)

⎡⎣ ci ( r , 0) ⎤⎦ exp[− k2 Di t ]exp[ ik ⋅ r ] d k

que al tener en cuenta que la transformada de la concentración inicial viene dada por

F

1 ⎡⎣ ci ( r ′, 0) ⎤⎦ = (2π )3/2

∫

ci ( r ′, 0 )exp[ − ik ⋅ r ] d r ′

(5.71)

permite escribir ci ( r , t ) =

116

1 (2π )3

∫∫

ci ( r ′, 0 )exp[− k 2 Di t]exp[ik ⋅ ( r - r ′ )] d r ′ d k

(5.72)

EL

FLUIDO NEWTONIANO

Conviene observar que la integral con respecto a k es el producto de tres integrales de la forma

∫

+∞

exp( − kj2 χ t ) exp ⎡⎣ − i kj ( xj − x′j ) ⎤⎦ dkj =

−∞

=

∫

(j = 1, 2,3)

+∞

−∞

(5.73)

exp(− kj2 χ t ) cos ⎡⎣ kj ( xj − x′j ) ⎤⎦ dkj

donde la segunda igualdad se obtiene al tener en cuenta que las propiedades de simetría de la función seno hacen que se anule la parte imaginaria. Por otra parte, si se consideran las relaciones

∫

+∞

⎛π⎞ exp(−α t ) cos (β t )dt = ⎜ ⎟ ⎝α⎠ 2

−∞

12

⎛ β2 ⎞ exp ⎜ − ⎟, ⎝ 4α ⎠

α >0

(5.74)

se concluye que

ci ( r , t ) =

1 8(π Di t )3 2

∫

⎡ ( r − r ′)2 ⎤ ci ( r ′, 0) exp ⎢ − ⎥ d r′ ⎣ 4 Di t ⎦

(5.75)

Asimismo, si en el instante inicial existen n0i moles de la especie i en el punto r = r0, es decir ci(r,0) = n0i V–1δ (r–r0), la concentración debida la difusión viene dada por

ci ( r ,t ) =

⎡ ( r − r0 )2 ⎤ exp ⎢− ⎥ 8(π Di t )3 2 ⎢⎣ 4 Di t ⎥⎦ ni0 / V

(5.76)

117

HERRAMIENTAS


APÉNDICE 5.A OPERADORES DE PROYECCCIÓN

En este apéndice se introducen dos operadores, que aplicados a un vector permiten proyectar sus componentes longitudinal y normal según una dirección dada. Para ello se comienza por considerar el vector unitario u que define una dirección en el espacio y un vector arbitrario a 3

u=

∑

3

ui ui

a=

i=1

∑

(5.A.1)

ai ui

i =1

y con ellos se efectúa la operación ⎡⎛ ⎢ (u ⊗ u ) ⋅ a = ⎢ ⎜ ⎜ ⎢⎜⎝ ⎣

∑

3

3

=

i=1

3

∑∑∑ i =1 3

=

3

j =1

⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝

3

∑ j =1

⎞⎤ ⎛ ⎥ uj u j ⎟ ⎥ ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎥ ⎜⎝ ⎦

j =1

3

∑ k =1

3

ui uj ak (ui ⊗ u j ) ⋅ uk =

k=1

3

∑∑ i =1

⎞ ⎛ ui ui ⎟ ⊗ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎜⎝

3

⎞ ⎛ ⎟ uj aj ui ui = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎜⎝

⎞ uj a j ⎟ ⎟ ⎟⎠

j =1

ui uj akδ jk ui =

(5.A.2)

k =1

3

∑ ∑ j =1

3

∑∑∑ i=1

3

⎞ ak uk ⎟ = ⎟ ⎟⎠

ui ui

i =1

donde se ha tenido en cuenta (1.19) y que en forma compacta se expresa del modo siguiente ( u ⊗ u) ⋅ a = (u ⋅ a)u = a

(5.A.3)

lo que pone de manifiesto que la aplicación del operador u⊗u sobre el vector a genera el nuevo vector a|| paralelo a la dirección fijada por u.

118

EL

FLUIDO NEWTONIANO

Por otra parte, si se consideran las igualdades a = I ⋅ a = (u ⊗ u + I − u ⊗ u ) ⋅ a = (u ⊗ u) ⋅ a + (I − u ⊗ u) ⋅ a

(5.A.4)

y se tiene en cuenta (5.A.3), se llega al resultado a = a + (I − u ⊗ u) ⋅ a

(5.A.5)

que pone de manifiesto que I –u ⊗ u actúa como un operador que proyecta la componente normal de a perpendicular a la dirección de u. Los resultados anteriores pueden resumirse en las dos igualdades ⎧⎪( u ⊗ u) ⋅ a = a ⎨ ⎪⎩(I − u ⊗ u ) ⋅ a = a⊥

(5.A.6)

que en notación simplificada (u⊗u ≡ uu) vienen dadas por ⎪⎧uu ⋅ a = a ⎨ ⎩⎪(I − uu) ⋅ a = a⊥

(5.A.7)

119

CAPÍTULO VI EL MODELO DE TERMODINÁMICA EXTENDIDA

A pesar de que la teoría clásica de los procesos irreversibles constituye una herramienta teórica sumamente útil en el estudio de muchas situaciones de no-equilibrio, no cabe duda que no pueden ignorarse las limitaciones consideradas en el Capítulo IV. Por tal motivo, han sido varios los intentos de desarrollar modelos que permitieran superar las contradicciones de la teoría lineal y poder efectuar un tratamiento satisfactorio de situaciones alejadas del equilibrio. De entre todos los modelos presentes en la bibliografía, se va a considerar únicamente el modelo de Termodinámica Extendida (también conocido por sus siglas en inglés EIT1), ya que posee una fundamentación rigurosa, un formalismo sencillo y conduce a resultados muy satisfactorios.

6.1. HIPÓTESIS Y DESARROLLO DEL MODELO EIT El modelo de Termodinámica Extendida [Jou, Casas-Vázquez y Lebon (2001)], se introduce de acuerdo con las proposiciones siguientes: 1. Además de la energía interna, volumen, etc., se incorporan como variables independientes los flujos disipativos existentes en el sistema (flujo de calor, transporte de materia, presión viscosa, etc.). 2. La evolución temporal de las variables clásicas viene dada por las ecuaciones de balance de materia, momento y energía interna. 3. Se postula la existencia de una entropía generalizada que es función analítica de las variables clásicas (energía interna, volumen y composición) y del conjunto de flujos disipativos {Φι}. Esta función s=s(u,v,c1,c2,...,Φ1,Φ2,...) denominada ecuación de Gibbs generalizada, 1

Corresponden a las palabras inglesas Extended Irreversible Thermodynamics.

121

HERRAMIENTAS


debe ser aditiva, convexa2 y garantizar que la producción de entropía σ sea localmente positiva. 4. El flujo de entropía J S no consta sólo del término T–1q (siendo q el flujo de calor y T la temperatura), sino que depende de los demás flujos existentes en el sistema. Puesto que el flujo de entropía es de carácter vectorial, su expresión formal ha de construirse combinando los flujos de distintos órdenes tensoriales de tal modo que el resultado sea un vector. 5. Al expresar de forma conjunta la ecuación de Gibbs generalizada, las ecuaciones de balance y la expresión de J S , se puede escribir la producción de entropía como suma de productos de flujo por una fuerza asociada (σ=Φ1X1+Φ2X2+...) . Para exponer con algo más de detalle el método de trabajo propio de la Termodinámica Extendida, va a considerarse un sistema constituido por una especie (componente 1) que actúa como soluto y otra (componente 2) que lo hace como disolvente, teniendo en cuenta el efecto de la presión viscosa Pν y la existencia del flujo de difusión de soluto J [Casas-Vázquez, Criado-Sancho y Jou (2002)]. En estas circunstancias la ecuación de Gibbs es una función analítica del tipo s=s(u,ν,c1, J, Pv), siendo c1 la fracción másica de soluto, y la expresión diferencial de la entropía por unidad de masa viene dada por ds = T −1du + T −1Pdv − T −1μ dc1 − v α1 J ⋅ dJ − v α 2 P v : dP v

(6.1)

donde u es la energía interna específica v , volumen específico (definido como inverso de la densidad v = 1/ρ) y el potencial químico se ha definido como μ = μ1 – μ2. Con el fin de no complicar excesivamente el formalismo, se ha omitido la dependencia respecto del flujo de calor q, lo cual implica que se está considerando un sistema en el que los efectos más importantes son el transporte de materia y la deformación (caso típico de una disolución de polímero sometida a un gradiente de velocidades).

2

Los conceptos convexo y cóncavo no siempre se corresponden en español y en inglés; para evitar confusiones, el término que aquí se utiliza hace referencia a una función que siempre permanece «por debajo» de sus líneas tangentes.

122

EL

MODELO DE TERMODINÁMICA EXTENDIDA

Los tres primeros sumandos del miembro de la derecha de la igualdad (6.1) coinciden con la ecuación de Gibbs en condiciones de equilibrio y ponen de manifiesto la dependencia funcional respecto de las variables de estado energía interna, volumen y composición; asimismo, de acuerdo con el modelo EIT, se añaden como variables independientes los flujos J y Pv, lo cual exige introducir las nuevas funciones α1 y α2 cuya expresión explícita y significado se establecen más adelante. También conviene hacer un breve comentario acerca de la inclusión de la temperatura T como variable, ya que en rigor debería introducirse una temperatura de no equilibrio θ en lugar de T; sin embargo, para simplifica la exposición se considerará que θ ≡ T y se remite al lector interesado en el tema a referencias más especializadas [Jou, Casas-Vázquez y Lebon (2001)]; [Casas-Vázquez y Jou (2003)], [Jou, Criado-Sancho y Casas-Vázquez (2005); Criado-Sancho, Jou y Casas-Vázquez (2006)]. Asimismo, en el modelo EIT se considera que el flujo de entropía J S no depende sólo del flujo de calor q, sino de éste y de la contribución de los demás flujos existentes en el sistema, lo que en el caso que nos ocupa conduce a J S = T −1q − T −1μ J + ξ P v ⋅ J + ϖ P v ⋅ q

(6.2)

Sin embargo, para ser coherente con el criterio seguido al escribir (6.1), se desprecia el acoplamiento entre flujo de calor y presión viscosa, lo cual implica ignorar la contribución Pv· q al flujo de entropía y, en consecuencia, J S viene dado por J S = T −1q − T −1μ J + ξ P v ⋅ J

(6.2a)

expresión en la que se introduce el coeficiente de acoplamiento ξ cuyo significado se determinará junto con el de α1 y α2.

6.1.1. Evolución temporal de las variables clásicas De acuerdo con lo expuesto en el Capítulo IV, las ecuaciones de balance de materia, energía interna y entropía vienen dadas por

ρv = ∇ ⋅ v

(6.3)

123

HERRAMIENTAS


ρc1 = −∇ ⋅ J

(6.4)

ρu = −∇ ⋅ q − P : ∇v

(6.5)

ρ s + ∇ ⋅ J S = σ

(6.6)

Nuevamenente, se procede a descomponer el tensor presión de acuerdo con las igualdades (3.83) y (4.44), es decir P = PI + P v

(6.7)

siendo I el tensor unidad. Así, resulta inmediato comprobar que se verifica

( PI + P ) : ∇v = P (∇ ⋅ v) + P v

v

: ∇v

(6.8)

y el balance de energía interna adopta la forma

ρu = −∇ ⋅ q − P ( ∇ ⋅ v ) − P v : ∇v

(6.5a)

6.1.2. Tasa de producción de entropía La variación temporal de entropía se deduce de forma inmediata a partir de la ecuación de Gibbs (6.1)

ρ s = T −1ρu + T −1P ρv − T −1μρ c1 − α1 J ⋅ J − α 2 P v : P v

(6.9)

y al tener en cuenta (6.3), (6.4) y (6.5b), la ecuación (6.9) adopta la forma

ρ s = T −1 ⎡⎣ −∇ ⋅ q − P (∇ ⋅ v ) − P v : ∇v ⎤⎦ +

+ T −1P∇ ⋅ v + T −1μ∇ ⋅ J − α1 J ⋅ J − α 2 P v : P v

(6.10)

que puede reordenarse del modo siguiente

ρ s = −T −1∇ ⋅ q − T −1P v : ∇v + T −1P∇ ⋅ v + T −1μ∇ ⋅ J − α1 J ⋅ J − α 2 P v : P v

124

(6.11)

EL


Por otra parte, al recordar (6.2a) y hacer uso de la relación

(

)

( )

∇ ⋅ ξ P v ⋅ J = J ⋅ ⎡⎣∇ ⋅ ξP v ⎤⎦ + ξ P v : ∇J

(6.12)

la divergencia del flujo de entropía viene dada por

(

)

∇ ⋅ J S = ∇T −1 ⋅ q + T −1∇ ⋅ q − ∇ T −1μ ⋅ J − T −1μ∇ ⋅ J +

( )

(6.13)

+ J ⋅ ⎡∇ ⋅ ξP v ⎤ + ξ P v : ∇J ⎣ ⎦

que sustituida en (6.6) y haciendo uso de (6.11) permite obtener el término de producción de entropía

(

)

( )

σ = q ⋅ ∇T −1 + J ⋅ ⎡⎣ −∇ T −1μ − α1 J + ∇ ⋅ ξP v ⎤⎦ + + P v : ⎣⎡ − T −1∇v − α 2 P v + ξ∇J ⎤⎦

(6.14)

6.2. FLUJOS, FUERZAS Y ECUACIONES CONSTITUTIVAS La producción de entropía que acaba de deducirse posee la estructura de suma de los productos de cada flujo por una «fuerza» asociada con él; es decir

σ=

∑ i

Φi Xi +

∑

Φi ⋅ X i +

i

∑

Φi : X i

(6.15)

i

donde los flujos se representan por los símbolos Φi, Φi, Φi, dependiendo de que sean escalares, vectores o tensores; análogamente, las fuerzas se denominan Xi, Xi, Xi, de acuerdo con su orden tensorial, de tal modo que en cada caso se efectúa el producto adecuado para que σ sea un escalar. Las ecuaciones constitutivas, es decir las relaciones funcionales entre cada una de las fuerzas y los diferentes flujos, pueden expresarse en la forma general ⎧ X i = X i (Φ i ,Φi , Φi ) ⎪ ⎨ X i = X i (Φ i ,Φi , Φi ) ⎪X = X (Φ ,Φ , Φ ) i i i i ⎩ i

(6.16)

125

HERRAMIENTAS


Para que exista coherencia con (6.15), las fuerzas asociadas con los flujos q, J y Pv considerados en (6.14) han de ser respectivamente X q = q ⋅∇T −1

(

(6.17)

)

( )

X J = −∇ T −1μ − α1 J + ∇ ⋅ ξ P v

(6.18)

X = −T −1∇v − α 2 P v + ξ∇J

(6.19)

La expresión funcional más sencilla que puede adoptarse para una ecuación constitutiva se obtiene al establecer que la fuerza es proporcional a su flujo asociado; si se sigue este criterio para las fuerzas (6.17)-(6.19) y, una vez más, se desprecia el flujo de calor, es posible escribir

(

)

( )

−∇ T −1μ − α1 J + ∇ ⋅ ξP v = β1 J

(6.20)

−T −1∇v − α 2 P v + ξ∇J = β2 P v

(6.21)

donde se han introducido los coeficientes fenomenológicos β1 y β2. Asimismo, ambas ecuaciones pueden reordenarse del modo siguiente

(

)

( )

α1 J + β1 J = −∇ T −1μ + ∇ ⋅ ξP v

(6.20a)

α 2 P v + β2 P v = −T −1V + ξ ( ∇J )

(6.21a)

S

en la última de las cuales los símbolos V y (J)S hacen referencia a la parte simétrica de los tensores v y J que, de acuerdo con (1.18), vienen dados por V=

1 ⎡∇v + (∇v )T ⎤⎦ 2⎣

( ∇J )

S

=

1 ⎡∇J + (∇J )T ⎤⎦ 2⎣

(6.22)

Nótese que (6.20a) y (6.21a) dan razón de cómo evolucionan los flujos J y Pν en el transcurso el tiempo y, a este respecto, conviene resaltar su diferencia cualitativa con las ecuaciones de evolución de las variables«clásicas» (energía, densidad, momento, etc.) dadas por los balances (6.3)-(6.5), que han sido utilizadas como punto de partida para llegar a (6.20a) y (6.21a).

126

EL


6.2.1. Determinación de los parámetros α1,α2, β1 y β2 Un caso físico sumamente sencillo es el que brinda un sistema isotermo, · · en estado estacionario (lo cual implica que J y Pv son nulos) y sin acoplamientos entre flujos [condición equivalente a suponer ξ= 0 en (6.20a) y (6.21a)]; en tales condiciones, las ecuaciones fenomenológicas (6.20a) y (6.21a) se particularizan del modo siguiente J=−

1 ∇μ β1T

(6.23)

1 V β2T

(6.24)

Pv = −

que pueden compararse con la ley de Fick J = − D ∇μ

(6.25)

y con la ley de Newton de la viscosidad3 P v = −2η V

(6.26)

De tales comparaciones se concluye que 1 β1 = DT

β2 =

1 2ηT

(6.27)

donde D se relaciona con el coeficiente de difusión ordinario D de acuerdo con ⎛ ∂μ ⎞ D = D ⎜ ⎟ ⎝ ∂c1 ⎠

3

−1

(6.28)

Para simplificar los cálculos se utiliza esta expresión en lugar de (4.59).

127

HERRAMIENTAS


El resultado puesto de manifiesto en (6.27) puede incluirse en las expresiones generales (6.20a) y (6.21a), de tal modo que las ecuaciones fenomenológicas pueden escribirse

(

)

( )

∇ T −1μ + DT ∇ ⋅ ξP v τ 1 J + J = − DT

(6.29)

τ 2 P v + P v = −2η V + 2ηTξ ( ∇J )

(6.30)

S

donde τ1 y τ2 son tiempos de relajación relacionados con los parámetros α1, α2, β1 y β2, y del modelo EIT a través de los cocientes

τ i = α i βi

(i = 1, 2)

(6.31)

Con relación a los tiempos de relajación conviene resaltar su carácter de magnitud mensurable; en tal sentido puede recordarse la ecuación de Maxwell-Cattaneo (6.32) τ P v + P v = −2η V 2

que constituye una herramienta teórica sumamente útil para el estudio de los fluidos viscoelásticos4, tal y como se pone de manifiesto en el apartado 6.5. Volviendo de nuevo a (6.30), conviene resaltar que algunos autores [Yuan (1999); Lu, Olmsted y Ball (2000)] han considerado la expresión5

τ 2 P v + P v = −2η V + α∇2 P v

(6.33)

para poner de manifiesto la insuficiencia del modelo de equilibrio local en el estudio de bandas en disoluciones poliméricas sometidas a un gradiente de velocidad. Por consiguiente, α puede considerarse como parámetro que se determina experimentalmente. . En 1948 Cattaneo propuso la ecuación τ q + q = λ para estudiar situaciones experimentales en las cuales la transmisión de calor no era bien interpretada por la ley de Fourier. Observése la analogía con (6.32). 5 En las referencias citadas se emplean derivadas objetivas (por ejemplo, derivadas convectivas, ya sean covariantes o contravariantes, tales como las estudiadas en el Capítulo III), en lugar de las derivadas temporales ordinarias. En el apartado 6.5, se tendrá ocasión de hacer uso de una de tales derivadas. 4

128

EL


Si se supone que el tiempo de relajación del flujo de difusión es mucho más corto que el correspondiente a la presión viscosa (τ2>>τ10), el sistema es isotermo y los coeficientes D y ξ permanecen constantes, la expresión conjunta de (6.29) (6.30) permite escribir

( )

∇μ + DT ∇ ⋅ ξP v ⎤ = τ 2P v + P v = −2ηV + 2ηT ξ∇ ⎡⎣ − D ⎦ 2 2 2 v = −2η V − 2ηTξ D∇∇μ + 2ηT ξ D∇ P

(6.34)

Cuando el valor del potencial químico sea homogéneo en todo el sistema, la ecuación anterior se convierte en (6.33), verificándose la relación α = 2ηT 2ξ 2 D

(6.35)

que permite expresar el parámetro ξ en términos de magnitudes mensurables.

6.3. VARIABLES DE ESTADO FUERA DE EQUILIBRIO El tratamiento efectuado en el apartado anterior ha permitido establecer de forma precisa el significado de todos los parámetros que intervienen en (6.1), de tal modo que la entropía inherente al modelo EIT viene dada por ds = T −1du + T −1Pdv − T −1μ dc1 −

v μτ 1

vτ J ⋅ dJ − 2 P v : dP v DT 2ηT

(6.36)

El hecho de aceptar la existencia de una función entropía fuera del equilibrio deja abierta la posibilidad de definir otras funciones termodinámicas fuera de equilibrio [Jou, Casas-Vázquez y Criado-Sancho (2000)]. Para simplificar la exposición posterior, va a estudiarse una situación más particular que la considerada en (6.36), fijando la atención en un sistema en el cual se ignoran los flujos de materia, para el cual la entropía de no equilibrio adopta la forma dS = T −1dU + T −1PdV −

τ P v : dP v 2ηT

(6.37)

129

HERRAMIENTAS


donde en lugar de valores específicos se consideran los valores totales de la entropía, energía interna y volumen (para ello se ha tenido en cuenta que la masa del sistema viene dada por el cociente V/v ). La ecuación (6.37) puede integrarse entre los valores de equilibrio de las variables independientes (correspondientes a la anulación de Pv) y los que éstas poseen una vez apartado el sistema de tal situación; así se obtiene S(U , V , P v ) = Seq (U eq , V ) + T −1U + T −1PV −

τ v v P : P − T −1Ueq − T −1 ( PV ) eq (6.38) 4η

que, de forma más compacta, pude escribirse S(U , V , P v ) = Seq −

τ v v P :P 4η

(6.39)

donde la contribución de equilibrio Seq viene dada por Seq = Seq (Ueq , V ) + T −1U − T −1Ueq + T −1PV − T −1 ( PV ) eq

(6.40)

También es posible generalizar la función de Gibbs para situaciones de no equilibrio. Aunque la transformación de Legendre para situaciones fuera de equilibrio no es un problema trivial [Casas-Vázquez, del Castillo, Jou y Criado-Sancho (2001)], puede recordarse la definición G=U–TS+PV para introducir la función de Gibbs de acuerdo con el modelo EIT del modo más sencillo posible; al sustituir en ella la expresión (6.38) de la entropía, se llega al resultado τ v v (6.41) G(U , V , P v ) = Geq + P :P 4η donde la contribución de equilibrio Geq viene dada por Geq = Ueq − TSeq (Ueq , V ) + ( PV ) eq

(6.42)

Continuando con la generalización de funciones termodinámicas fuera de equilibrio, merece especial énfasis el caso del potencial químico, cuya definición es

130

EL


⎛ ∂G ⎞ μi = ⎜ ⎟ ⎝ ∂ni ⎠ T ,P ,n ,Z

(6.43)

k

donde con el símbolo Z se indica una magnitud de no equilibrio (no restringida a un orden tensorial dado). Por coherencia con la expresión (6.41), parece razonable definir el potencial químico como ⎛ ∂G ⎞ μi = ⎜ ⎟ ⎝ ∂ni ⎠ T ,P ,n ,P v

(6.43a)

k

Los criterios de estabilidad considerados en Termodinámica [CriadoSancho y Casas-Vázquez (2004)] pueden generalizarse en el marco de los procesos irreversibles mediante la introducción de un potencial químico de no equilibrio. A título de ejemplo, puede estudiarse el caso de la coexistencia de dos fases en presencia de efectos asociados a Pv; así, denotando el número de moles del componente i en la fase γ por n(iγ) y el correspondiente (γ) potencial químico por μi se verifican las relaciones ⎧⎪G = ni(α ) μ i(α ) + ni( β ) μi( β ) ⎨ (α ) (β) ( ni = const.)) ⎪⎩ni = ni + ni

(6.44)

la segunda de las cuales se deduce de suponer que el sistema es cerrado. Por consiguiente, la variación temporal de la función de Gibbs y de la composición de cada fase vienen dadas por ⎧ dG dn(α ) dn( β ) = μ i(α ) i + μi( β ) i ⎪ ⎪ dt dt dt ⎨ (α ) (β ) ⎪ dni = dni + dni = 0 ⎪⎩ dt dt dt

(6.45)

que permite establecer para G la siguiente ecuación de balance

(

)

G = μ i(α ) − μi( β ) Ji

(6.46)

131

HERRAMIENTAS


donde se define Ji ≡ n· (iα) como flujo de materia, de tal modo que μ(iα)– μ(iβ) puede interpretarse como la fuerza conjugada a dicho flujo. Por otra parte, tal y como se estableció anteriormente, la ecuación constitutiva más sencilla que puede proponerse en el caso que nos ocupa viene dada por

(

J i = − L μi(α ) − μi( β )

)

(6.47)

siendo L>0 el correspondiente coeficiente fenomenológico. En el caso estacionario (n·i(α) = 0) resulta trivial la anulación del flujo Ji y, de acuerdo con (6.47), ha de satisfacerse la condición

μ i(α ) (T , P v ) = μ i( β ) (T , P v )

(6.48)

que constituye la generalización de la condición obtenida en Termodinámica a partir del carácter de extremo de la función de Gibbs en el equilibrio.

6.4. LA TEORÍA DE LA INFORMACIÓN COMO HERRAMIENTA La Teoría de la Información [Jaynes (1963); Levine y Tribus, M. (1979); Luzzi et al (2000); Jou, Casas-Vázquez y Lebon (2001)] proporciona una justificación basada en argumentos de carácter mecano-estadísticos (microscópicos) que avala la existencia de la ecuación de Gibbs propuesta por el modelo EIT. Por otra parte, la propia EIT permite identificar los multiplicadores de Lagrange que intervienen en el formalismo de la Teoría de la Información y, en todo caso, esta última constituye una herramienta que se adapta bien a la metodología EIT y permite deducir resultados y conclusiones interesantes. En la somera introducción que se efectúa a continuación se sigue lo expuesto en [Jou, Casas-Vázquez y Lebon (2001)]. El punto de partida del la Teoría de la Información es estrictamente mecano-estadístico, ya que considera un sistema constituido por N partículas cuyo estado viene definido por el conjunto de posiciones y momentos de cada una de las partículas = {r1,..., rN, p1 ,..., pN}. Ahora bien, no todos los posibles conjuntos de valores de posición y momento son igualmente

132

EL


probables y cada uno de ellos está asociado con una función de densidad de probabilidad ƒ( ), aunque por comodidad se hará referencia a ella con el término probabilidad. Asimismo, para que la función ƒ( ) posea el carácter de «probabilidad» debe satisfacer la condición de normalización 1 h N! 3N

∫

f (Γ ) dΓ = 1

(6.49)

donde d = dr1,...drNdp1,...dpN es el elemento de volumen en el espacio de fase. Los parámetros macroscópicos de un sistema pueden considerarse como resultado de promediar el comportamiento microscópico; así, para cada conjunto la energía del sistema viene dada por el correspondiente hamiltoniano H(), aunque a nivel macroscópico el observable energía viene dado por U= H =

1 h N! 3N

∫

H (Γ ) f (Γ ) dΓ

(6.50)

resultado que puede generalizarse para las m variables extensivas que intervienen en una descripción termodinámica

Ai =

1 h N! 3N

∫

Ai (Γ ) f (Γ ) dΓ

(i = 1,..., m)

(6.51)

Sin embargo, para que todo lo expuesto sea algo más que mero formalismo, es preciso conocer la expresión explícita de la función ƒ(). La Teoría de la Información permite conseguir ese objetivo partiendo de dos premisas: 1. La expresión de la entropía prevista por argumentos de carácter mecano-estadístico S = − kB

1 h N! 3N

∫

f (Γ )ln f (Γ ) dΓ

(6.52)

2. El carácter de máximo que posee la entropía.

133

HERRAMIENTAS


Resulta inmediato que el problema planteado no es otro que determinar qué función ƒ( ) hace que la entropía definida por (6.52) alcance un valor extremo, sujeto a las condiciones de ligadura ⎧ 1 ⎪ 3N ⎪ h N! ⎨ ⎪ 1 ⎪ h3 N N ! ⎩

∫ ∫

f (Γ )dΓ − 1 = 0 (6.53) Ai (Γ ) f (Γ )dΓ − Ai = 0 (i = 1,..., m)

Por consiguiente, se está ante un problema de extremos condicionados, para cuya resolución se recurre al método de Lagrange. Como es bien sabido, el método se reduce, en definitiva, a calcular los extremos «ordinarios» de una nueva función construida a partir de la función inicial y de las condiciones de ligadura, incorporando unos determinados parámetros denominados multiplicadores de Lagrange. En el caso que nos ocupa, debe determinarse el máximo de la función

λ0 Φ 0 = S − 3 N0 h N!

∫

m

fdΓ −

∑ i=1

λi0 h3 N N !

∫

m

Ai fdΓ + λ00 +

∑

λi0 Ai

(6.54)

i =1

Teniendo en cuenta que tanto los multiplicadores como los observables Ai no son función de ƒ, se anulan sus derivadas y, por tanto, pueden ignorarse en (6.54); por otra parte, sustituyendo S por el segundo miembro de (6.52) he introduciendo los nuevos multiplicadores 00 = 0kB y 0i = ikB, en lugar de 0 puede considerarse la nueva función

Φ =

∫

⎡ ⎢ f ln f + λ f + f 0 ⎢ ⎢⎣

m

∑ i=1

⎤ λ i A i ⎥⎥ dΓ ⎥⎦

(6.55)

Nótese que en la última ecuación se ha introducido la notación Ai y i que indica que tanto los observables como los multiplicadores no son necesariamente escalares y pueden ser vectores o tensores; por ello, se utiliza el

134

EL


símbolo 䉺 que indica producto escalar en el caso de vectores y doble contracción cuando intervengan tensores. Si con el operador ƒ se indica la operación derivada funcional, la probabilidad que hace máxima la entropía es aquella para la cual se verifica ⎡ δ ⎢ f ln f + λ0 f + f δf ⎢ ⎢⎣

m

∑ i =1

⎤ λ i Ai ⎥ = 0 ⎥ ⎥⎦

(6.56)

de donde se llega al resultado ⎡ 1 f = exp ⎢⎢ − Z ⎢⎣

m

∑ i =1

⎤ λ i A i ⎥⎥ ⎥⎦

(6.57)

donde Z es la función de partición definida como

1 Z = 3N h N!

∫

⎡ exp ⎢⎢ − ⎢⎣

m

∑ i =1

⎤ λ i A i ⎥⎥ dΓ ⎥⎦

(6.58)

Nótese que la derivada de Z satisface la relación Ai = −

∂ln Z ∂λ i

(6.59)

de la que se siguen las igualdades m

d ln Z =

∑ i =1

m

∂ln Z dλ i = − ∂λi

∑

A i dλ i

(6.60)

i=1

Cuando se sustituye (6.57) en (6.52), es posible escribir

135

HERRAMIENTAS


⎡ ⎢ S = kB ⎢ ln Z + ⎢⎣

m

∑ i =1

⎤ ⎥ λi Ai ⎥ ⎥⎦

(6.61)

y al diferenciar la expresión anterior y hacer uso de (6.60) se llega al resultado m

dS = kB

∑

(6.62)

λ i d Ai

i=1

Con respecto a esta última expresión de la entropía, conviene resaltar que posee la misma estructura que la función de Gibbs que postula la EIT, por ejemplo (6.1) y (6.36); en esta última el conjunto de variables Ai viene dado por {u,v,c1, J, dPv}, siendo los correspondientes multiplicadores de Lagrange

λu =

1 kB T

λv =

P kBT

λμ =

μ kB T

(6.63)

que están asociados con las variables termodinámicas que intervienen en la descripción de equilibrio, en tanto que

λJ = −

v μτ 1

J kB DT

λPv = −

vτ2 2ηT

Pv

(6.64)

lo están con las nuevas variables que introduce el modelo EIT. Por otra parte, la Teoría de la Información permite abordar el tratamiento de las fluctuaciones definidas como diferencia entre el valor microscópico de una propiedad y su promedio a escala macroscópica; es decir: δA i = A i − A i

(6.65)

Para ello, se derivan con respecto a λj los dos miembros de (6.65) y se hace uso de (6.51) y (6.57), lo que da lugar a la expresión

136

EL

⎤ ⎥ λ i Ai ⎥ dΓ = ⎥⎦ i =1 ⎡ ∂ ln Z ⎤ A i (Γ ) f (Γ ) + A i (Γ ) A j (Γ ) f (Γ ) ⎥ dΓ ⎢− ⎢⎣ ∂λ j ⎥⎦

∂ Ai ∂2 ln Z 1 ∂ =− = − 3N ∂λ i ∂λ i ∂λ j h N ! ∂λ j =−

1 h N! 3N

∫


∫

⎡ 1 ⎢ A i (Γ )exp ⎢ − Z ⎢⎣

m

∑

(6.66)

que tras considerar de nuevo (6.59), da lugar al resultado ∂2 ln Z = Ai ∂λ i ∂λ i

A j − Ai A j

(6.67)

Si se tiene en cuenta la fluctuación definida por (6.65), resulta inmediato δA i δA j = ⎡⎣ A i − A i ⎤⎦ ⎡ A j − A j ⎤ = A i A j − A i A j ⎣ ⎦

(6.68)

de tal modo que ∂2 ln Z = δA i δA j ∂λ i ∂λ i

(6.69)

Este último resultado puede expresarse en términos de las derivadas de la entropía; para ello, se parte de la ecuación (6.62) de la cual resulta inmediato colegir ∂2 S ∂ Ai ∂ A j

= kB

∂λ i ∂ Aj

(6.70)

Ahora bien, de (6.59) se sigue ∂ Aj ∂λ i

∂2 ln Z = ∂λ i ∂λ j

(6.71)

que expresada de forma conjunta con (6.69) y (6.70) conduce al resultado

137

HERRAMIENTAS


δA i δA j

⎛ ∂2 S 1 =− ⎜ kB ⎜⎝ ∂ A i ∂ A j

⎞ ⎟ ⎟⎠

−1

(6.72)

Por lo que se refiere a casos concretos en que se recurre a la Teoría de la Información en el contexto de la EIT, puede consultarse [Casas-Vázquez y Jou (1997)], [Jou, Casas-Vázquez y Criado-Sancho (2000)], [Jou, CasasVázquez y Lebon (2001)].

6.5. ALGUNAS EXPRESIONES DEL TENSOR PRESIÓN VISCOSA DEDUCIDAS A PARTIR DEL MODELO EIT 6.5.1. Modelo de Maxwell Nuevamente se considera el caso del fluido no newtoniano que se mencionó en el apartado 3.5; se trata de un sistema sometido a un gradiente de velocidad caracterizado por la tasa de cizalla γ· = ∂v1/∂x2, tal como se esquematiza en la Figura 3.2. En tales circunstancias, los tensores v y vienen dados por ⎛ 0 γ 0 ⎜ ∇v = ⎜ 0 0 0 ⎜⎝ 0 0 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠

⎛ 0 γ 0 ⎞ 1⎜ ⎟ V = ⎜ γ 0 0 ⎟ 2 ⎜⎝ 0 0 0 ⎟⎠

(6.73)

de tal modo que, al tener en cuenta (6.22), la ecuación (6.32) adopta la forma

τ2

d v P + P v = −ηγ dt

en la que se ha introducido el nuevo tensor γ·

(6.74)

= 2V.

Desde un punto de vista general, debería considerarse la viscosidad como función de γ·. La existencia de la dependencia funcional η = η(γ· ) constituye un típico efecto no-newtoniano6 [de hecho η (γ· ) se denomina visco·

Para muchos sistemas (por ejemplo las disoluciones de polímeros) al aumentar γ· disminuye el valor de la viscosidad, efecto que se denomina shear thinnnig en la bibliografía en lengua inglesa. 6

138

EL


sidad no-newtoniana], aunque para valores pequeños de γ· la dependencia de η con respecto de γ· es poco acusada y, por tal motivo, suele considerarse a la viscosidad como independiente de la tasa de cizalla. Para proceder a la integración de (6.74), se comienza por integrar la ecuación diferencial homogénea d v P + Pv = 0 dt

τ2

(6.75)

lo cual conduce al resultado P v = Θ exp(− t / τ 2 )

(6.76)

La segunda etapa consiste en convertir la «constante» de integración en una función = (t) y sustituir Pv en la ecuación completa (6.74); así se obtiene Θ (t ) = −

η τ2

∫

t

γ ( t ′)exp(t ′ / τ 2 ) d t ′ + K

(6.77)

−∞

donde K constituye una «verdadera» constante de integración. Por consiguiente, al incorporar en (6.76) la expresión de (t) que acaba de obtenerse, se llega al resultado

η P = − exp(− t / τ 2 ) τ2 v

∫

t

γ (t′ )exp(t′ / τ 2 ) d t′ + K exp(− t / τ 2 )

(6.78)

−∞

Ahora bien, hay que tener presente que para que Pv sea finita cuando t=–, es condición necesaria que se anule K. Por consiguiente, el tensor presión viscosa puede escribirse en la forma

P =− v

∫

t

⎫⎪ ⎪⎧ η ⎨ exp[− ( t − t ′ ) τ 2 ] ⎬ γ (t ′ ) d t′ ⎪τ 2 ⎪⎭ −∞ ⎩

(6.79)

139

HERRAMIENTAS


La expresión de Pv que acaba de deducirse está acuerdo con lo que se conoce como modelo de Maxwell de la viscoelasticidad. Conviene mencionar que los modelos viscoelásticos han de dar razón de que el fluido responde como newtoniano a los estímulos lentos, en tanto que frente a los rápidos (tiempo inferior al tiempo de relajación τ2) se comporta como un sólido elástico. Por otra parte, el modelo de Maxwell puede generalizarse considerando más de un tiempo de relajación y constituye un caso particular de los modelos viscoelásticos lineales, en los que el tensor Pv viene dado por una expresión del tipo [Bird, Armstrong y Hassager (1977)].

P =− v

∫

t

G(t − t′) γ ( t′) d t ′

(6.80)

−∞

donde G(t–t’) recibe el nombre de módulo de relajación. Conviene resaltar que la estructura de las ecuaciones (6.79) y (6.80) es tal que el integrando consta de dos términos, uno de ellos G (t–t’) depende de la naturaleza del fluido (a través de la viscosidad y el tiempo de rela· jación), en tanto que el otro γ (t’) depende del tipo de flujo a que está sometido. Nótese asimismo que el término {...} de la ecuación (6.79) y en general G(t–t’) es una función positiva, monótona decreciente que se anula para tiempo infinito; por tal motivo, se dice que aquellos fluidos cuyo comportamiento modeliza son sistemas viscoelásticos de «memoria corta». La ecuación (6.74) permite concluir de forma inmediata que en régimen estacionario el tensor P v viene dado por ⎛ 0 ⎜ P = ⎜ −ηγ ⎜⎝ 0 v

−ηγ 0 ⎞ ⎟ 0 0 ⎟ 0 0 ⎟⎠

(6.81)

Al tener en cuenta (3.96), se concluye que el modelo de Maxwell predice que la viscosidad no depende de la tasa de cizalla y que las presiones normales son nulas.

140

EL


6.5.2. Modelo de Maxwell en términos de derivadas convectivas7 Al final del apartado 6.3 se hizo mención a la posibilidad de escribir las ecuaciones de evolución de Pv no en términos de derivadas temporales ordinarias, sino de algunas de las definidas en el Capítulo III. Así, en el caso de · sustituir P v por la derivada convectiva contravariante, la ecuación de Maxwell-Cattaneo (6.32) adopta la forma

τ 2P(v1) + P v = −2ηV

(6.82)

v donde, de acuerdo con (3.58) la derivada P(1) viene dada por

P(v1) =

d v P − ⎡⎣(∇v )T ⋅ P v + P v ⋅ ∇v ⎤⎦ dt

(6.83)

Si se considera el mismo sistema estudiado en el apartado anterior, son validas las igualdades (6.73) y la ecuación de evolución (6.82) puede escribirse en la forma8 ⎛ 2γ P12v − τ 2−1P11v ⎜ ⎜ d v ⎜ P = ⎜ γ P22v − τ 2−1P12v − ητ 2−1γ dt ⎜ ⎜ ⎜⎝ γ P23v − τ 2−1P13v

γ P22v − τ 2−1P12v − ητ 2−1γ γ P23v − τ 2−1P13v ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ −1 v −1 v −τ 2 P22 −τ 2 P23 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠ −τ 2−1P23v −τ 2−1P33v

(6.84)

Cuando se considera estado estacionario, se anula el término de la izquierda de la igualdad anterior y resulta un sencillo ejercicio algebraico llegar al resultado

7 El modelo que se estudia en este apartado se denomina upper-convected Maxwell model en la bibliografía en lengua inglesa. 8 Se sigue manteniendo la hipótesis de que el tensor presión es simétrico.

141

HERRAMIENTAS


⎛ −2τ ηγ 2 2 ⎜ v P =⎜ −ηγ ⎜ 0 ⎝

−ηγ 0 0

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎠

(6.85)

que pone de manifiesto que en el caso que se está considerando las funciones materiales introducidas en (3.96) vienen dadas por ⎧ P12v = −ηγ ⎪⎪ v v 2 2 ⎨ P11 − P22 = −Ψ 1 (γ )γ = −2τ 2ηγ ⎪ v v 2 ⎪⎩ P22 − P33 = −Ψ 2 (γ )γ = 0

(6.86)

De esto último se colige que la viscosidad es independiente de γ· y el primer coeficiente de presión normal Ψ1 = 2τ2 η es diferente cero (aunque independiente de γ· ); sin embargo, Ψ2 es siempre nulo en este modelo.

142

REFERENCIAS

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HERRAMIENTAS


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Herramientas y Modelos de La Termodinámica de Sistemas Continuo

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