Model Log 3 dimensi Dalam kehidupan sehari-hari, sering dijumpai data yang dikelompokkan ke dalam suatu kategori tertentu. Data yang memuat beberapa kategori tersebut disebut data kategorik. Data kategorik lebih mudah dianalisis jika data tersebut disajikan dalam bentuk tabel kontingensi. Berikut akan dijelaskan mengenai model log tiga dimensi beserta tabel kontingensi tiga dimensi. 1.
Tabel kontingensi tiga dimensi
Tabel kontingensi merupakan suatu tabel yang memperlihatkan tingkat dari masingmasing variabel kategorik berdasarkan frekuensi pengamatannya. Uji independensi dan uji homogenitas juga berlaku pada tabel kontingensi tiga dimensi. a. Uji independensi / kebebasan Hipotesis:
Statistik uji:
( ) Keterangan :
frekuensi pengamatan sel ke frekuensi harapan sel ke-
Frekuensi harapan dalam tabel kontingensi 3 dimensi dihitung dengan menggunakan rumus
Taraf signifikansi : umumnya digunakan =0,05 Kesimpulan: Tolak
pada taraf signifikansi , jika
dengan 2.
.
Model Log Linear Untuk Tabel 3 Dimensi
Model log linear merupakan salah satu cara menganalisis data kategorik jika variabel yang diperhatikan dalam suatu data kategorik tersebut berbentuk variabel kategorik. Ada dua model log linear untuk tabel kontingensi yaitu model bebas dan model lengkap.
1
2.1
Model Bebas (Independen)
Diketahui probabilitas dari sel kategori 3 dimensi yang saling bebas sehingga
( )
dalam bentuk logaritma diperoleh persamaan
dan jika diketahui
maka
sehingga
[( )]
dan bila variabel baris dilambangkan dengan A, variabel kolom dengan B dan variabel layer dengan C, maka
() Keterangan :
frekuensi harapan dalam sel-ij
parameter rata-rata keseluruhan parameter pengaruh tingkat i faktor A parameter pengaruh tingkat j faktor B
parameter pengaruh tingkat k faktor C
Untuk mencari nilai parameter dari
∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) ∑ 2
∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ∑
Dengan syarat
2.2
Model Lengkap ( saturated ) Apabila terdapat interaksi pada setiap variabelnya, maka Model Log Linear lengkapnya
adalah
() keterangan :
frekuensi harapan dalam sel-ij
parameter rata-rata keseluruhan parameter pengaruh tingkat i faktor A parameter pengaruh tingkat j faktor B
parameter pengaruh tingkat k faktor C
parameter pengaruh faktor interaksi sel – ij
parameter pengaruh faktor interaksi sel – ik
parameter pengaruh faktor interaksi sel – jk
parameter pengaruh faktor interaksi sel – ijk dimana,
∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) 3
( ) ∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) () ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ( ) ∑ Dengan syarat
3.
Analisis Model Log Linear
Model Log Linear merupakan suatu model khusus yang dipergunakan untuk melakukan analisis data kategorik berskala nominal. Model Log Linear pada dasarnya merupakan model linier univariat yang dipergunakan untuk melakukan analisis varians dengan variabel tak bebas atau respons adalah logaritma dari frekuensi yang diharapkan dalam tiap -tiap sel tabel silang yang diperhatikan. Jika
menyatakan frekuensi ekspektasi dalam sel-(i,j,k) dari tabel silang
berdimensi tiga, maka model Log Linear yang diperhatikan mempunyai variabel respons
() Analisis Log Linear dapat digunakan untuk menganalisis pola hubungan antar sekelompok variabel kategori yang mencakup asosiasi dua variabel, asosiasi tiga variabel atau lebih. Pola hubungan antar variabel dapat dilihat dari interaksi antar variabel itu sendiri. Analisis Log Linear tidak membedakan antara variabel penjelas dan variabel respons. Pada analisis data kategorik, untuk mencari model yang paling sesuai terlebih dahulu harus diketahui statistik cukup dan statistik cukup minimal. Definisi 3.1
Misalkan
sampel random dari fungsi probabilitas
dikatakan cukup (sufficient) untuk
mungkin, fungsi probabilitas
apabila semua
. Statistik
dan semua hasil yang
jika diketahui w tidak tergantung pada
, baik
dalam fungsi itu sendiri atau dalam wilayah fungsi itu. (Soejoeti, 1990). Menurut Bain dan Engelhardt (1991:337), suatu himpunan statistik dikatakan sebagai himpunan statistik cukup minimal jika anggota-anggotanya adalah statistik cukup gabungan untuk parameter dan jika statistik-statistik tersebut merupakan fungsi dari himpunan statistik cukup gabungan yang lain. 4
5
Langkah-langkah mencari model yang sesuai: 1. Kecukupan dan Likelihood
a. Statistik Cukup Minimal Diasumsikan sebuah sampel
()
untuk klasifikasi silang dari variabel-variabel A, B dan C.
Diasumsikan variabel A, B dan C adalah variabel random Poisson dengan nilai harapan
()
Fungsi kepadatan probabilitas Poisson bersama dari
.
adalah
Dengan
: frekuensi harapan : hasil kali seluruh frekuensi sel dalam tabel : frekuensi pengamatan pada baris ke-i, kolom ke- j dan layer ke-k
Dalam bentuk logaritma, persamaan tersebut dapat ditulis
()
Model log linear untuk tabel 3 dimensi secara umum dapat disajikan dalam persamaan yaitu
Kemudian diperoleh Log Likekihood sebagai berikut
Dengan adalah parameter dalam model. Tabel 4 Tabel Statistik Cukup Minimal
MODEL (A,B,C) (AB,C) (AC,B) (BC,A) (AB, BC) (AC,BC) (AB,AC) (AB,AC,BC) (ABC)
Statistik cukup minimal
{} {} {} {} {}{} {} {} {} {} {}
6
Keterangan: • Model (A,B,C) yaitu model yang ketiga faktornya tidak ada interaksi. • Model (AB,C) yaitu model yang hanya terdapat satu interaksi (interaksi antar faktor A dan faktor B). Begitu juga dengan model-model yang lainnya. b.
Persamaan Likelihood
Estimasi maksimum Likelihood diperoleh dari derivatif persamaan Log Likelihood
Derivatif terhadap parameter-parameternya diperoleh estimasi maksimum Likelihood berikut:
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
1) Derivatif terhadap diperoleh
(frekuensi harapan total = frekuensi pengamatan total)
2) Derivatif terhadap
diperoleh
=
3) Derivatif terhadap
+j+ dengan j= 1,2,3,...,J
diperoleh
=
5) Derivatif terhadap
++k dengan
k = 1,2,3,...,K
diperoleh
=
6) Derivatif terhadap
dengan i = 1,2,3,...,I ; j = 1,2,3,...,J
diperoleh
=
7) Derivatif terhadap
i+k dengan
i = 1,2,3,...,I ; k = 1,2,3,...,K
diperoleh
=
Penyelesaian tunggal untuk
i = 1,2,3,...,I
diperoleh
=
4) Derivatif terhadap
++ dengan
+jk dengan j
= 1,2,3,...,J ; k = 1,2,3,...,K
pada model sesuai dengan data sampel dalam statistik cukup
minimalnya, sehingga merupakan penyelesaian maksimum Likelihood nya.
2. Estimasi frekuensi harapan Misal diasumsikan sebuah model (AC, BC) dengan A dan B adalah variabel bebas dan C adalah variabel terikat memenuhi:
,untuk semua i, j dan k
7
Menurut Bishop (2007), untuk sampel berdistribusi Poisson digunakan rumus yang berkaitan dengan frekuensi harapan
̂
dari persamaan tersebut kemudian diperoleh estimasi
Keterangan
yaitu
3.
Uji Godness of Fit
Menurut Suryanto (1988:274), setelah diperoleh estimasi frekuensi harapan, perlu membandingkan frekuensi-frekuensi hasil pengamatan dengan estimasi frekuensi harapan untuk mengetahui apakah model log linear yang digunakan cocok dengan keadaan sebenarnya. Rumusan hipotesisnya adalah sebagai berikut:
: model Log Linear yang digunakan cocok dengan keadaan sebenarnya :
model Log Linear yang digunakan tidak cocok dengan keadaan sebenarnya
Untuk menguji hipotesis bahwa estimasi frekuensi harapan populasi memenuhi model yang diberikan dengan menggunakan statistik chi square
( )
menunjukkan bahwa sel yang digunakan hanya sel yang terisi saja (Bishop, 2007), Apabila dengan taraf signifikansi =0,05 maka gagal tolak
yang berarti model Log
Linear yang digunakan sesuai dengan keadaan sebenarnya. Selain statistik chi square, dapat juga menggunakan statistik rasio Likelihood dengan rumus sebagai berikut:
()
Derajat bebas dalam uji Goodness of Fit ini adalah selisih antara jumlah sel yang bebas dengan model yang ditentukan. Perhitungan derajat bebas pada tabel kontingensi tak sempurna yaitu derajat bebas pada tabel kontingensi sempurna dikurangi banyaknya sel kosong. Jika dihitung secara manual, maka derajat bebas pada tabel sempurna dapat dihitung sebagai berikut:
8
Tabel 5 Tabel Derajat Bebas
Model Log Linear (A,B,C) (AB,C) (AC,B) (BC,A) (AB,BC) (AC,BC) (AB,AC) (AB,AC,BC) (ABC)
4.
Derajat bebas IJK – I – J – K + 2 (IJ - 1) (K - 1) (IK - 1) (J - 1) (JK - 1) (I - 1) J (I - 1) (K - 1) K (I - 1) (J - 1) I (J -1) (K - 1) (I - 1) (J - 1) (K - 1) 0
Pemilihan Model
Model dalam hal ini dipilih menurut nilai statistik rasio Likelihood dan derajat bebasnya. Urutan pertama dipilih model yang mempunyai nilai statistik rasio Likelihood paling besar dan derajat bebasnya juga yang paling besar. Langkah selanjutnya analog dengan langkah sebelumnya. Apabila ada dua model atau lebih yang mempunyai derajat sama, maka dipilih salahsatu saja yaitu model yang mempunyai nilai statistik rasio Likelihood paling kecil.
5.
Partisi Chi Squared untuk Membandingkan Model
Diberikan dua model parametrik Karena
lebih sederhana dari
Secara teoretis,
dan
maka model
dengan
dikatakan bersusun dengan
tidak akan pernah melampaui
ditentukan, pendekatan rasio Likelihood untuk menguji
mendekati distribusi chi square dengan derajat bebas
square dengan derajat bebas square dengan derajat bebas 6.
merupakan kasus khusus dari
,. Oleh sebab itu, diperoleh
.
.
diasumsikan model
dapat dihitung dengan uji statistik
,
(
mendekati distribusi chi
|
) mendekati distribusi chi
.
Analisis Residual
Pada dasarnya, uji Goodness of fit hanya memberikan kesimpulan yang umum tentang bagaimana sebuah model sesuai dengan data. Untuklebih jauhnya, dapat dilihat pada analisis residu yang dilakukan dalam memilih sebuah model.
̂
̂
Residu adalah frekuensi pengamatan ( ) dikurangi dengan frekuensi harapan ( bentuk persamaan diperoleh:
) dalam
9
Tujuan daripada analisis residual ini adalah untuk mengukur sisa variabilitas data pengamatan yang tidak dapat dijelaskan baik oleh masing-masing variabelnya maupun interaksi antar variabelnya. Analisis residual juga sering digunakan pada pendeteksian dan penaksiran derajat perbedaan antara model yang diasumsikan dengan data hasil pengamatan. Plot yang sederhana antara nilai residual versus nilai estimasi frekuensi harapan sangat bermanfaat dalam mendeteksi apakah model telah sesuai dengan spesifikasi ataukah ada penyimpangan terhadap asumsi. Plot residual yang ideal adalah yang menggambarkan titik-titik yang menyebar di sekitar nol dengan penyimpangan tidak terlalu besar dari titik nol dan tidak memberikan suatu kecenderungan pola tertentu / berpola acak.
10
MODEL LOG LINEAR UNTUK TABEL KONTINGENSI TAK SEMPURNA BERDIMENSI TIGA (Studi Kasus Jumlah Penduduk Kabupaten Sleman Tahun 2008 Menurut Umur, Pendidikan dan Jenis Kelamin)
Berdasarkan dari data BPS Kabupaten Sleman diperoleh tabel yang memuat data 238.275 orang yang diklasifikasikan berdasarkan tiga kategori yaitu pendidikan, jenis kelamin dan umur sebagai berikut: Tabel 1. Data Jumlah Penduduk
Umur (Tahun)
Pendidikan tertinggi
SD Anak-anak SMP
SD Muda SMP
Jenis Kelamin
Jumlah
Laki-laki
38587
Perempuan
34365
Laki-laki
2797
Perempuan
3298
Laki-laki
3006
Perempuan
1503
Laki-laki
20201
Perempuan
18750
Sumber : Susenas BPS Kabupaten Sleman Tahun 2008
Keterangan: Kategori anak-anak umur 7-12 tahun Kategori muda umur 13-15 tahun
Kategori
Variabel 1:
1 (Anak-Anak) 2 (Muda)
Variabel 2:
1 (SD) 2 (SMP)
Variabel 3:
1 (Laki-laki) 2 (Perempuan)
11
PEMBAHASAN
1. Dengan Software SPSS Dengan menggunakan software SPSS, didapatkan output untuk estimasi parameter dan uji efek.
Estimasi parameter Parameter Estimates
95% Confidence Interval
Parame Effect
ter
VAR00001*VAR00002*VAR0 1 0003
Estimate
Std. Error
Z
Sig.
Lower Bound
Upper Bound
-.042
.005
-7.927
.000
-.053
-.032
VAR00001*VAR00002
1
1.175
.005
220.480
.000
1.164
1.185
VAR00001*VAR00003
1
-.102
.005
-19.156
.000
-.112
-.092
VAR00002*VAR00003
1
.112
.005
21.096
.000
.102
.123
VAR00001
1
.246
.005
46.147
.000
.235
.256
VAR00002
1
.067
.005
12.657
.000
.057
.078
VAR00003
1
.090
.005
16.863
.000
.079
.100
Dari tabel diperoleh bahwa:
= 0.246
= 0.067
= 0.090 = 1.175
= -0.102
= 0.112 = -0.042
= -0.246
= -0.067
= -0.090 = -1.175 = 0.102
= -0.112
12
Pengujian Efek
K-Way and Higher-Order Effects
Likelihood Ratio K K-way and Higher Order
df
Chi-Square
Pearson
Sig.
Chi-Square
Number of Sig.
Iterations
1
7
1.093E5
.000
1.034E5
.000
0
2
4
89726.430
.000
81042.468
.000
1
3
1
335.666
.000
328.685
.000
1
1
3
19531.964
.000
22367.272
.000
0
2
3
89390.764
.000
80713.783
.000
0
3
1
335.666
.000
328.685
.000
0
a
Effects
b
K-way Effects
a. Tests that k-way and higher o rder effects are zero. b. Tests that k-way effects are zero.
K-way and Higher Order Effect 1. Untuk k = 3 H0 : Efek order ke-3 = 0 (log (eijk ) = λ + λ i A + λ j B + λ k C + λ ij AB + λ ik AC + λ jk BC) H1 : Efek order ke-3 ≠ 0 (log (e ijk ) = λ +λ i A + λ j B + λ k C + λ ij AB + λ ik AC + λ jk BC + λ ABC ) ijk P-value = 0.000 (baik dengan metode likelihood maupun pearson) α = 0.05 P-value < α (0.000 < 0.05) Tolak H0 Kesimpulan: Efek order ke-3 ≠ 0 (log (eijk ) = λ +λ i A + λ j B + λ k C + λ ij AB + λ ik AC + λ BC ABC ) jk + λ ijk 2. Untuk k = 2 H0 : Efek order ke-3 = 0 (log (eijk ) = λ + λ i A + λ j B + λ k C) H1 : Efek order ke-3 ≠ 0 (log (e ijk ) = λ +λ i A + λ j B + λ k C + λ ij AB + λ ik AC + λ jk BC + λ ABC ) ijk P-value = 0.000 (baik dengan metode likelihood maupun pearson) α = 0.05 P-value < α (0.000 < 0.05) Tolak H0 Kesimpulan: Efek order ke-3 ≠ 0 (log (eijk ) = λ +λ i A + λ j B + λ k C + λ ij AB + λ ik AC + λ BC ABC ) jk + λ ijk 3. Untuk k = 1 H0 : Efek order ke-3 = 0 (log (eijk ) = λ ) H1 : Efek order ke-3 ≠ 0 (log (e ijk ) = λ +λ i A + λ j B + λ k C + λ ij AB + λ ik AC + λ jk BC + λ ABC ) ijk P-value = 0.000 (baik dengan metode likelihood maupun pearson) 13
α = 0.05 P-value < α (0.000 < 0.05) Tolak H0 Kesimpulan: Efek order ke-3 ≠ 0 (log (eijk ) = λ +λ i A + λ j B + λ k C + λ ij AB + λ ik AC + λ BC ABC ) jk + λ ijk
K-way Effect 1. Untuk k = 3 H0 : Efek order ke-3 = 0 (λ ijk ABC = 0) H1 : Efek order ke-3 ≠ 0 (λ ijk ABC ≠ 0) P-value = 0.000 (baik dengan metode likelihood maupun pearson) α = 0.05 P-value < α (0.000 < 0.05) Tolak H0 Kesimpulan: Efek order ke-3 ≠ 0 (λ ijk ABC ≠ 0) 2. Untuk k = 2 H0 : Efek order ke-2 = 0 (λ ij AB = λ ik AC = λ jk BC = 0 ) H1 : Efek order ke-2 ≠ 0 (min terdapat 1 : λ ij AB, λ ik AC, λ jk BC ≠ 0 ) P-value = 0.000 (baik dengan metode likelihood maupun pearson) α = 0.05 P-value < α (0.000 < 0.05) Tolak H0 Kesimpulan: Efek order ke-2 ≠ 0 (min terdapat 1 : λ ij AB, λ ik AC, λ jk BC ≠ 0 ) 3. Untuk k = 1 H0 : Efek order ke-1 = 0 (λ i A = λ j B = λ k C = 0) H1 : Efek order ke-1≠ 0 (min terdapat 1 : λ i A, λ j B, λ k C ≠ 0 P-value = 0.000 (baik dengan metode likelihood maupun pearson) α = 0.05 P-value < α (0.000 < 0.05) Tolak H0 Kesimpulan: Efek order ke-1≠ 0 (min terdapat 1 : λ i A, λ j B, λ k C ≠ 0
14
2. Secara Manual
i 1 1
j 1 1
k 1 2
frekuensi 38587 34365
ln frek 10.5607 10.4448
1 1 2 2 2 2
2 2 1 1 2 2
1 2 1 2 1 2
2797 3298 3006 1503 20201 18750
7.9363 8.10107 8.00837 7.31522 9.91349 9.83895
Estimasi parameter
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = 9.260 – 9.014 = 0.2458 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = 8.769 – 9.014 = -0.2458 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = 9.082 – 9.014 = 0.0674 = ∑ ∑ ∑ ∑∑ = 8.974 – 9.014 = -0.0674 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = 9.104 – 9.014 = 0.0898 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = 8.974 – 9.014 = -0.0898 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = 10.189 – 9.014 = 1.1746 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = 7.840 – 9.014 = -1.1746 = ∑ ∑ ∑ ∑∑ = 9.127 – 9.014 = 0.112 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = 8.902-9.014 = -0.112 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = 8.912 – 9.014 = -0.1020 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = 9.116 – 9.014 = 0.1020 ∑ ∑ ∑ = = 8.972 – 9.014 = -0.442
15
Estimasi parameter
K-way and Higher Order Effect 1. Untuk k = 3 H0 : Efek order ke-3 = 0 (log (eijk ) = λ + λ i A + λ j B + λ k C + λ ij AB + λ ik AC + λ jk BC) H1 : Efek order ke-3 ≠ 0 (log (e ijk ) = λ +λ i A + λ j B + λ k C + λ ij AB + λ ik AC + λ jk BC + λ ABC ) ijk Dengan menggunakan iterasi Newton Rhapson dicapai kondisi steady state pada iterasi ke-4 dengan nilai ekspektasi:
iterasi 1 2
e111 36476 38193
e112 36476 34759
3 4
39126.4 39127.6
33823.3 33824.4
e121 e122 3047.5 3047.5 3190.96 2904.04
e211 2254.5 2407.74
e212 2254.5 2101.26
e221 19475.5 20799.3
3058.98 3056.54
2466.58 2465.33
2044.7 2043.67
19939 19007.1 19941.5 19009.5
3040.89 3038.46
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
e222 19475.5 18151.7
= 335.66
= 328.845
P-value = 0.000 (baik dengan metode likelihood maupun pearson) α = 0.05 P-value < α (0.000 < 0.05) Tolak H0 Kesimpulan: Efek order ke-3 ≠ 0 (log (eijk ) = λ +λ i A + λ j B + λ k C + λ ij AB + λ ik AC + λ BC ABC ) jk + λ ijk
2. Untuk k = 2 H0 : Efek order ke-3 = 0 (log (eijk ) = λ + λ i A + λ j B + λ k C) H1 : Efek order ke-3 ≠ 0 (log (e ijk ) = λ +λ i A + λ j B + λ k C + λ ij AB + λ ik AC + λ jk BC + λ ABC ) ijk Dengan menggunakan rumus ekspektasi ekspektasi: e111 26352.3
e112 23629
e121 15324.694
e122 13741
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
diperolehnilai
e211 e212 e221 14488.5 12991.2 8425.51
e222 7554.8
= 89726.43
= 81042.47
16
P-value = 0.000 (baik dengan metode likelihood maupun pearson) α = 0.05 P-value < α (0.000 < 0.05) Tolak H0 Kesimpulan: Efek order ke-3 ≠ 0 (log (eijk ) = λ +λ i A + λ j B + λ k C + λ ij AB + λ ik AC + λ BC ABC ) jk + λ ijk 3. Untuk k = 1 H0 : Efek order ke-3 = 0 (log (eijk ) = λ ) H1 : Efek order ke-3 ≠ 0 (log (e ijk ) = λ +λ i A + λ j B + λ k C + λ ij AB + λ ik AC + λ jk BC + λ ABC ) ijk
∑ ∑ ∑ Dengan rumus ekspektasi = 15313.38 ∑ ∑ ∑ = 109258.4 ∑ ∑ ∑ = 103409.7 P-value = 0.000 (baik dengan metode likelihood maupun pearson) α = 0.05 P-value < α (0.000 < 0.05) Tolak H0 Kesimpulan: Efek order ke-3 ≠ 0 (log (eijk ) = λ +λ i A + λ j B + λ k C + λ ij AB + λ ik AC + λ BC ABC ) jk + λ ijk
17
