BAB 4 LOG LINEAR 2 DIMENSI 4.1 Pendahuluan Diketahui Persamaan Regresi sebagai berikut ˆ i = βˆ0 + βˆ1 X 1i +... + βˆk X ki µ
( 4.1)
Dalam Modul 2, Tabel 2.1 (b) tidak terlihat secara jelas bagaimana peran A dan B dalam menentukan Pij. Jika info ini diperlukan, maka kita harus memodelkan Pij. Melihat pada kasus Tabel kontingensi 2 x 2 diketahui besarnya Pij sebagai berikut : Tabel 4.1 Tabel kontingensi 2x2 B1
B2
A1
P11
P12
A2
P21
P22
P2.
Ar
Total P1.
Pr1
P..=1
Pr2
Sebut Vij = ln Pij , dengan Pij tergantung pada A, B dan interaksi antara A dan B A
B
AB Model : Vij = µ + λ i + λ j + λ ij
µ
A
(i = 1,2 ; j = 1,2)
= rataan umum Ada 4 Pij akan digunakan untuk
λi A = kontribusi dari baris
menduga 4 parameter,
λi = kontribusi dari lajur B
Db sisa= 0 (jenuh)
λijAB = interaksi antara baris dan lajur
Model ini disebut
Loglinear. Model log linier adalah suatu model untuk
memperoleh model statistika yang menyatakan hubungan antara variabel dengan data yang bersifat kualitatif (skala nominal atau ordinal). Dengan menggunakan pendekatan log linier bisa diketahui model matematikanya secara pasti serta level atau kelas mana yang cenderung menimbulkan adanya hubungan atau dependensi. A B AB Agar µ , λi , λi , λij dapat diduga , maka
∑λ
i
i
A
= ∑λj = ∑λijAB = ∑λijAB = 0 B
j
i
( 4.2)
j
4-4
Sehingga:
∑λ ∑λ
A
= 0 → λ1 = − λ 2
B
= 0 → λ1 = −λ 2
i j
A
A
B
B
Berapa besarnya ke-4 parameter tadi?
∑v
= ∑µ + ∑λi + ∑λ j + ∑λij A
ij
i
i
i
B
i
i
Sehingga : B 1. vij = rµ + 0 + rλ j + 0
∑v
= cµ + cλi + 0 + A
ij
j
2. vi . = cµ + cλi
∑∑v
ij
i
A
= rcµ + 0 + 0 + 0
j
3. v.. = rc µ Didapat: 1. µ =
v.. = v.. rc
2. λi = vi . − v.. A
B 3. λ j = v. j − v..
4. λijAB = vij −v i. −v. j +v.. 5. v.. = ∑∑vij / rc vij / c 6. vi. = ∑ j
vij / r 7. v. j = ∑ i A B AB Jadi, jika Pij diketahui maka parameter µ , λi , λi , λij dapat ditentukan.
Dalam praktek, Pij tidak diketahui yang kita amati adalah nij, sehingga 4 parameter tadi hanya dapat diduga. Bagaimana menduga 4 parameter ini ?
4-4
Pada Tabel 2 x 2 :
λ1 = A
v11 + v12 − v 21 − v 22 4 B
λ1 =
λ11AB =
(4.3)
v11 − v12 + v 21 − v22 4
(4.4)
v11 − v12 − v21 + v22 4
µˆ =
(4.5)
v11 + v12 + v 21 + v 22 4
(4.6)
dimana : v1. =
v11 + v12 2v11 + 2v12 v + v + v 21 + v 22 = , v.. = 11 12 2 4 4
λ1A = v1. − v.. sehingga λ2A = v 2. − v..
(4.7) λ1B = v.1 − v.. sehingga λ2B = v.2 − v..
(4.8) misal yij = ln nij maka y ij = ln nij − ln n.. + ln n..
nij , dimana ni. = ∑∑ i j
Sehingga : nij y ij = ln + ln n.. n.. = ln Pˆ + kons tan ta ij
ingat vij = ln Pij →ada hubungan antara yij dengan vij sehingga
yij bisa digunakan untuk menduga vij. Jadi untuk model : Vij = µ + λi A + λ j B + λijAB jika kita memperoleh pengamatan nij maka
( y + y − y 21 − y 22 ) A A λˆi = y i. − y.. → λˆ1 = 11 12 4
(4.9)
( y − y + y 21 − y 22 ) B B λˆ j = y. j − y.. → λˆ1 = 11 12 4
(4.10)
( y − y − y 21 + y 22 ) λˆijAB = y ij − y i. − y. j + y.. → λˆ11AB = 11 12 4
(4.11)
4-4
Contoh: Tabel 4.2 Hubungan Partai dengan Jenis kelamin Jenis Kelamin
buruh 222 240 462
Laki Perempuan Total
Partai konservatif 115 185 300
Total 337 425 762
Penyelesaian: Model log linear : A
B
vij = µ + λ i + λ j + λ ijAB (i = 1,2 ; j = 1,2) Keterangan: vij
= logaritma natural dari peluang sel (i, j)
µ
= rataan umum
λi A
= kontribusi jenis kelamin
λj B
= kontribusi partai
λijAB
= interaksi
(menunjukkan bebas tidaknya A dan B dalam membentuk Pij)
ln nij : Tabel 4.2 ln nij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin Jenis Kelamin Laki Perempuan
buruh 5.4 5.48
Partai konservatif 4.74 5.22
Sehingga:
4-4
5.4 + 4.74 − 5.48 − 5.22 λˆ1 A = = −0.14 → λˆ2A = 0.14 4 5.4 − 4.74 + 5.48 − 5.22 B B λˆ1 = = 0.23 → λˆ2 = −0.23 4 5 . 4 − 4 . 74 + −5.48 + 5.22 AB AB λˆ11 = = 0.10 → λˆ12 = −0.1 4 λˆ21 AB = −0.1 λˆ AB = 0.1 22
µˆ = 5.21 AB ˆ + λˆ1 A + λˆ1B + λˆ11 vˆ11 = µ
5.40 = 5.21 − 0.14 + 0.23 + 0.1 ← jenuh A B vˆ = µˆ + λˆ + λˆ + λˆAB 21
2
1
21
5.48 = 5.21 + 0.14 + 0.23 − 0.1
Jika diinginkan menilai bebas / tidaknya A dan B, maka ujilah λijAB Hipotesis: H0 : A dan B bebas ( Pij = Pi . P. j
, ∀ij )
Kalau H0 benar maka : A B (1) vij = µ + λi + λ j
(i = 1,2 ; j = 1,2)
(2) Frekuensi harapan sel (i, j) adalah eij = ( Pi . P. j ) ∗ f ..
=
ni . n. j n..
Sehingga apabila H0 benar maka isi sel (i, j) : Tabel 4.3 (a) eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin, A dan B bebas (b) ln eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin, A dan B bebas Jenis Kelamin Laki
buruh 204.32
Partai konservatif 132.68
Perempuan Jenis Kelamin
257.68 (a)
167.32 Partai
4-4
buruh 5.32
Laki
konservatif 4.89
Perempuan
5.55 (b)
5.12
5.32 + 4.89 − 5.55 − 5.12 A = −0.116 → λˆ2 = 0.116 4 5.32 − 4.89 + 5.55 − 5.12 B λˆ1 B = = 0.216 → λˆ2 = −0.216 4 5.32 + 4.82 + 5.55 + 5.12 µˆ = = 5.22 4
λˆ1 A =
AB Evaluasi λˆij dilakukan dengan cara membandingkan model A B vij = µ + λ i + λ j + λ ijAB dengan model vij = µ + λi A + λ j B
Dengan kriteria pembandingan nisbah kemungkinan (likelihood ratio). nij G 2 = 2∑nij ln e ij = 2[ 222 ( 5.40 − 5.32 ) + ... + 185 ( 5.22 − 5.12 ) ] = 6.9
χ 2 (1) 0.05 = 3.841 AB H0 : A dan B bebas ditolak karena penghapusan λˆij dalam model
A
B
vij = µ + λ i + λ j + λ ijAB signifikan menurunkan kecocokan model. Sehingga, Pemilihan partai berkaitan dengan jenis kelamin Hipotesis lainnya •
Peluang kategori B sama H0 : Peluang kategori B sama (Model vij = µ + λi A ) H1 : Peluang kategori B tidak sama (Model vij = µ + λi A + λ j B ) dengan frekuensi harapan : e11 = e12 = e1. e21 = e22 = e2.
4-4
Tabel 4.4 (a) eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin, Peluang kategori B sama (b) ln eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin Peluang kategori B sama Jenis Kelamin Laki Perempuan
λ1 A =
buruh 168.5 212.5 (a)
Partai konservatif 168.5 212.5
Jenis Kelamin Laki Perempuan
buruh 5.12 5.36 (b)
Partai konservatif 5.12 5.36
1 ( 5.12 + 5.12 − 5.36 − 5.36 ) = −0.12 4
4-4
•
Peluang kategori A sama B H0 : peluang kategori A sama (Model vij = µ + λi ) A B H0 : peluang kategori A tidak sama (Model vij = µ + λi + λ j )
dengan frekuensi harapan : e11 = e12 = e.1 e 21 = e 22 = e.2
Tabel 4.5 (a) eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin, Peluang kategori A sama (b) ln eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin Peluang kategori A sama Jenis Kelamin Laki Perempuan
λ1 = B
•
Partai buruh 231.0 231.0 (a)
konservatif 150.0 150.0
( 5.36( 2) − 5.01( 2) ) 4
Jenis Kelamin Laki Perempuan
Partai buruh 5.36 5.36 (b)
konservatif 5.01 5.01
= 0.215
Peluang kategori (i,j) sama H0 : peluang kategori A sama (Model vij = µ) dengan frekuensi harapan : e11 = e12 = e21 = e.. Tabel 4.6 (a) eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin, Peluang kategori A sama (b) ln eij Hubungan Partai dengan Jenis kelamin Peluang kategori A sama
Jenis Kelamin Laki Perempuan
buruh 190.5 190.5 (a)
Partai konservatif 190.5 190.5
Jenis Kelamin Laki Perempuan
buruh 5.25 5.25 (b)
Partai konservatif 5.25 5.25
G 2 = 2∑ nij ( ln nij − ln eij ) = 51 .4
8
Rekapitulasi : Tabel 4.7 (a), (b) Rekapitulasi untuk model log linear Model
Parameter
Jenuh
µ , λ A, λ B , λ
A, B bebas
µ , λ A, λ
Peluang B sama Peluang A sama Peluang A, B sama
µ ,λ µ ,λ µ
db sisa
AB
B
A B
y2
0
0
1
6.9
2 2 3
42.72 17.04 51.4
(a) Model
Parameter
A, B bebas
µ , λ A, λ
Peluang B sama
µ ,λ
y2
db sisa
B
A
Perubahan y2
1
6.9
35.82
2
42.72
35.82
(b)
Jika didalam model ada µ dan λ
A
maka penambahan λ
B
menurunkan y2 = 35.82
G 2 ~ χ 2 ( 2−1) 0.05 = 3.841, λ
B
nyata
→ H0 : peluang kategori B sama, ditolak Tabel 4.8 Rekapitulasi untuk model log linear untuk Penurunan y2 Parameter µ µ ,λ
A
µ , λ A, λ B µ , λ A, λ B , λ
AB
y2
db
Penurunan y2
χ 2 ( 1) 0.05
3
51.4
2
42.72
8.68*
3.841
1 0
6.9 0
35.82*
3.841
6.9*
3.841
Model loglinear yang dibahas tadi adalah jenis hierarkhi, yaitu model jika komponen AB ada dalam model maka semua komponen penyusun AB adapula didalam model. Maksudnya jika λ
AB
ada, maka λ
A
,λ
B
juga ada. Secara umum
jika λx1 ... xk ada didalam model maka λx1 , λx2 , , λxk , λx1x2 , , λx1 xk ada pula dalam model. •
Kategori Non Hierarki
9
vij = µ + λijAB ← bukan hierarki vijk = µ + λiA + λBj + λCk + ↓
ABC λijk
← bukan hierarki
↓
↓ λAC λBC
λAB
Tabel 4.9 Rekapitulasi untuk model log linear non hierarki Model
Lambang
vij = µ + λiA
(A)
vij = µ + λ + λ A i
B j
(A,B)
vij = µ + λ + λ + λ
(AB)
vij = µ + λ
(B)
A i
B j
AB ij
B j
Model loglinear untuk tabel 2 arah/dimensi dapat dikembangkan untuk Tabel berdimensi lebih tinggi, misal Tabel 3 arah, 4 arah dan seterusnya. Hanya saja, semakin tinggi dimensi dari Tabel, semakin banyak kemungkinan model selain model jenuhnya. 4.2 Latihan Soal 1. Dalam suatu penelitian perusahaan, sejumlah data dikumpulkan untuk menentukan apakah proporsi barang yang cacat (A) yang dhasilkan oleh karyawan sama untuk giliran shift pagi, sore atau malam (B). data berikut menggambarkan barang yang diproduksi yang cacat untuk shift pagi, sore atau malam. Tabel 4.10 Hubungan antara Shift dengan Proporsi cacat shift cacat tidak cacat
pagi 45 905
sore 55 890
malam 70 870
AB Tentukan dugaan parameter log linear λij untuk i =1,2 dan j =1,2,3
2. Pada data nomer 1 buat model log linearnya kemudian isikan Tabel di bawah ini Tabel 4.11 Rekapitualasi Model 1
Peluang A, B sama
2
Peluang A sama
Parameter
µ µ , λA
db
y2
Penurunan y 2
10
3
Peluang B sama
4
A, B bebas
5
Jenuh
µ , λB µ , λA , λB µ , λA , λB ,
λAB
11
