KOMPETENSI
:
MENERAPKAN KONSEP GEOMETRI TIGA DIMENSI
KODE
:
X
DURASI PEMB.
: 35 JAM ( @ 45 Menit )
SUB KOMPETENSI : MENGIDENTIFIKASI BANGUN RUANG DAN UNSURUNSURNYA
KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG TERHADAP SATU SAMA LAIN Pembahasan tentang kedudukan titik, garis dan bidang terhadap satu sama lain dikaitkan dengan kedudukan mereka sebagai bagian dari sebuah kubus. G
H
E
F D
A
C B
Gambar 1 Kedudukan Titik Terhadap Garis Perhatikanlah gambar kubus ABCD.EFGH pada gambar 1 1. Titik A dan titik B terletak pada garis AB. 2. Titik E tidak terletak pada (diluar) garis AB. 3. Titik P terletak pada garis AB. Kedudukan Titik Terhadap Bidang Perhatikanlah gambar kubus ABCD.EFGH pada gambar 1 1. Titik F terletak diluar bidang ADHE. 2. Titik D terletak pada bidang DCGH. 3. Titik D terletak pada bidang ABCD. Kedudukan Garis Terhadap Garis Lain Perhatikanlah gambar kubus ABCD.EFGH pada gambar 1 1. Garis AB sejajar garis EF. 2. Garis AB sejajar garis HG. 3. Garis AB berpotongan dengan garis BC di titik B. 4. Garis AB dan garis FH tidak berpotongan tetapi juga tidak sejajar. Dikatakan garis AB dan garis FG bersilangan.
Kedudukan Garis Terhadap Bidang Perhatikanlah gambar kubus ABCD.EFGH pada gambar 1 1. Garis AB terletak pada bidang ABFE. 2. Garis AB terletak pada bidang ABCD. 3. Garis FG memotong (menembus) bidang ABFE di titik F. Titik F disebut titik tembus. 4. Garis F menembus bidang CGHD di titik G. Titik F disebut titik tembus. 5. Garis EF sejajar bidang ABCD. 6. Garis EF sejajar bidang CDHG. Kedudukan Garis Terhadap Garis Lain Perhatikanlah gambar kubus ABCD.EFGH pada gambar 1 1. Bidang ABCD sejajar bidang EFGH. 2. Bidang DCGH berpotongan dengan bidang ABCD menurut garis potong CD. 3. Bidang ABCD berpotongan dengan bidang BCGF menurut garis potong BC. Catatan : Titik tembus garis EA yang terletak di bidang ABCD terletak di garis potong kedua bidang tersebut, yaitu garis AG. Tiga Bidang Berpotongan Perhatikanlah gambar kubus ABCD.EFGH pada gambar 1 Jika ada tiga bidang yang berpotongan, maka terdapat tiga macam kemungkinan : a. Berpotongan menurut tiga garis yang sejajar. b. Berpotongan menurut tiga garis yang melalui satu titik. c. Berpotongan pada sebuah garis. Misalnya : 1.
Tiga bidang ABCD, BCGF, dan CDHG berpotongan menurut tiga buah garis
CB, CG, dan CD yang melalui sebuah titik C. 2.
Tiga bidang ABFE, ABGH, dan EFGH berpotongan menurut tiga buah garis
AB, GH, dan EF yang sejajar. 3.
Tiga bidang ABCD, ABGH, dan ABFE berpotongan menurut sebuah garis AB.
Latihan 1 Perhatikanlah gambar kubus ABCD.EFGH pada gambar 2 H
G
E
F D
A
C B
Gambar 2
Jawablah setiap pertanyaan di bawah ini dengan teliti. 1. Katakanlah titik A terletak pada garis apa 2. Garis mana sajakah yang melalui titik C. 3. Sebutkanlah semua titik yang terletak di luar garis BC. 4. Sebutkanlah semua titik yang terletak pada bidang CDGH. 5. Sebutkanlah semua titik yang terletak diluar bidang EFGH. 6. Sebutkanlah semua rusuk kubus yang sejajar rusuk EF. 7. Sebutkanlah semua rusuk kubus yang bersilangan dengan rusuk CG. 8. Sebutkanlah tiga bidang yang melalui titik H. 9. Sebutkanlah semua rusuk kubus yang tegak lurus bidang ADHE. 10. Sebutkanlah semua rusuk kubus yang sejajar bidang DCGH. Contoh 1 Lihat Gambar 3 Garis a // b. Garis a menembus bidang ABCD di titik p, dan menembus bidang DCEF di titik R. Garis b menembus bidang ABCD di titik Q. Tentukanlah titik tembus garis b dengan bidang DCEF. F
a
b
E
F
a
R C
D
Q
E P
B Gambar 3
E
R
D P A
b
Q
A
B Gambar 4
Lihat Gambar 4 Melalui garis a dan b yang sejajar dapat dibuat bidang PQR. Bidang PQR memotong bidang ABCD menurut garis PQ yang memotong garis DC di Titik S. Jadi Bidang PQR memotong bidang DCEF menurut garis RS. Garis b menembus bidang DCEF di titik potong garis b dengan garis RS.
Contoh 2 Lihat Gambar 5 Pada kubus ABCD .EFGH dibuat bidang ACH dan diagonal ruang DF . Tentukanlah titik tembus ruang dengan bidang ACH. H E
G
H
F
E
D A
G F
C
D
B
A
Gambar 5
C B
Gambar 6
Penyelesaian : Lihat gambar 6 Diagonal ruang DF terletak pada bidang diagonal DBFH. Buatlah bidang diagonal DBFH memotong bidang ACH menurut garis HP. Titik potong garis HP dengan garis DF adalah titik tembus diagonal ruang dengan bidang ACH Latihan 2 1.
Pada kubus ABCD . EFGH dibuat bidang BCHE. Tentukanlah titik tembus diagonal ruang DF dengan bidang BCHE. Jika titik tembus ini disebut titik P, dan panjang rusuk kubus 8 cm, hitunglah panjang ruas garis PF. 2. Dari kubus ABCD,EFGH diketahui titik P, Q, dan R berturut-turut adala itik tengah rusuk
3.
Pada kubus ABCD . EFGH dibuat bidang BDE. dan diagonal ruang AG, titik P adalah titik tembus diagonal ruas AG dengan bidang BDE. Jka rusuk Ab = 8 cm, tentukanlah panjang ruas garis PG.
4.
Garis a//b Garis a menembus bidang ABCD di titik P dan menembus bidang DCEF di titik Q . Garis b menembus bidang ABCD di titik R. Tentukanlah titik tembus garis b dengan bidang DCEF.
a
b
F
E Q
D P A
C R B
Gambar 7
5.
Dari kubus ABCD, EFGH diketahui titik P, dan Q bertutut – turut titik tengah rusuk AB dan rusuk AE buatlah bidang melalui garis PQ yang sejajar rusuk AD. Tentukan juga titik tembus garis AG dengan bidang tersebut. H E
G F
P
D
C
A
Q B Gambar 8
MENGGAMBAR BANGUN RUANG .
H
G
E
F D
A
Gambar 9
C B
Gambar 9 adalah gambar kubus Untuk menggambar kubus di atas ada beberapa pengertian yang harus dipahami . 1. Garis yang digambar mendatar disebut garis horizontal Misalnya : garis AB, DC, HG dan EF 2. Garis yang digambar sejajar dengan didang disebut garis Frontal . Misalnya : garis AB, AE , BF, EF 3. Bidang yang digambar sejajar dengan bidang gambar disebut frontal Misalnya : Bidang ABEF dan bidang DCHG 4. Garis yang digambar sejajar dengan bidang gambar disebut garis ortogonal Misalnya : garis AD, BC, EH, dan FG 5. Sudut yang dibentuk oleh gambar garis ortogonal dengan garis horizontal disebut sudut surut ( sudut menyisi ) Misalnya : < DAB, dan
disebut perbandingan
Catatan : 1. Ukuran gambar garis pada bidang frontal sama dengan ukuran garis yang sebenarnya . 2. Sudut surut dibuat di antara 250 dan 400 3. Perbandinganproyeksi, kurang dari satu 4. Garis yang tidak kelihatan digambar sebagai garis putus
Contoh 3 Gambarlah kubus ABCD, EFGH dengan rusuk AB = 4 cm, rusuk AB digambar hirozontal dan bidang ABFE frontal. Sudut surut 300, dan perbandingan proyeksi ½. Penyelesaian : H
G
E
F Gambar 10 D
A
C B
Contoh 4 Gambarlah kubus ABCD, EFGH dengan rusuk AB = 4 cm . Diagonal AC digambar horizontal. Dan bidang diagonal ruang ACGE frontal. Sudut surut 300 dan perbandingan proyeksi ½. Penyelesaian : Bidang diagonal ruang ACGE frontal, sehingga ukuran gambar AC sama dengan ukuran yang sebenarnya yaitu 4√2 cm. Diagonal BD menjadi garis ortogonal. Sudut DPC adalah sudut surut.
H D
C E
G F D
A
B
A
C
B Gambar 11 Contoh 5 Gambarlah limas segi 4 beraturan T. ABCD dengan ketentuan rusuk Ab = 4 cm, bidang TAC frontal, diagonal bidang alas AC horizontal, dan tinggi limas 5 cm. perbandingan proyeksi ½. D
Gambar 12
Sudut surut 300 dan
T
C C D
A
B
B A
Latihan 3 1. Gambarlah kubus ABCD, EFGH dengan rusuk AB = 6 cm . Bidang ABFE frontal, dan rusuk AB horizontal . Perbandingan proyeksi ½ sudut surut 300 2. Gambarlah kubus ABCD, EFGH dengan rusuk AB = 4 cm . Bidang ACGE frontal, dan rusuk AEB horizontal . Sudut surut 300 Perbandingan proyeksi ½ 3. Gambarlah kubus ABCD, EFGH dengan rusuk AB = 4 cm . Bidang ABFE frontal, dan diagonal AF horizontal . Sudut surut 300 Perbandingan proyeksi ½ 4. Gambarlah limas segi 4 beraturan T. ABCD dengan rusuk alas AB = 4 cm . Tinggi limas 6 cm Titik P dan Q berturut – turut titik tengah rusuk BC dan rusuk AD. Bidang TPQ frontal dan PQ horizontal. 5. Gambarlah limas segitiga beraturan TABCD denganrusuk als 8 cm . titik P adalah titik tengah rusuk BC . Bidang TAB frontal dan AP horizontal .
SUB KOMPETENSI : MENENTUKAN HUBUNGAN UNSUR–UNSUR DENGAN BANGUN RUANG. GARIS DAN BIDANG DI DALAM RUANG H
G
E
F D
A
C B
Gambar 13 Perhatikanlah gambar kubus ABCD, EFGH pada gambar 13 di atas . dengan mengamati kubus ABCD, EFGH akan di dapat beberapa pengertian tentang letak garis dan bidang di dalam ruang. 1. Garis AB // EF Dua garis yang sejajar adalah dua garis yang terletak pada satu bidang dan tidak berpotongan . Misalnya , AB//DC, BC//AD, BC//EH, BC//FG, BC//AD dan lain sebaginya. 2.
Garis AB dan garis FG disebut dua garis yang bersilangan dua garis disebut bersilangan jika tidak dapat dibuat sebuah bidang datar melalui dua garis tersebut. Misalnya : AB dan EF; BC dan EF dll. 3. Garis EF // Bidang ABCD. Garis EF disebut sejajar bidang ABCD, jika garis EF sejajar garis yang terletak di bidang ABCD, garis EF//AB. Garis HG sejajar bidang ABCD, BF sejajar bidang ADHE , dan lain-lainnya. 4. Garis EA tegak lurus bidang ABCD. Garis EA disebut tegak lurus bidang ABCD, Jka garis EA tegak lurus dua garis berpotongan di bidang ABCD. Garis EA tegak lurus garis AB dan AD Garis EA tegak lurus bidang ABCD, garis FG tegak lurus bidang DCGH, dll. 5. Bidang ABCD // bidang EFGH Bidang ABCD disebut sejjar dengan bidang EFGH jika terdapat dua garis berpotong an di bidang ABCD yang sejajar dengan dua garis berpotongan di bidang EFGH. Bidang ABCD sejajar bidang EFGH karena garis AB//HG dan AD//FG Bidang ABFE sejajar bidang DCGH, dan BCGF sejajar bidang ADHE
Latihan 4 Perhatikanlah gambar kubus ABCD.EFGH pada gambar 14. Gambar 14
H
G
E
F D
C
A B Lengkapilah setiap pernyataan di bawah ini sehingga menjadi pernyataan yang benar. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
Garis yang sejajar dengan garis AB adalah garis DC, …..,.dan …… Garis yang bersilangan dengan garis AE adalah garis BC, …….,…..,……..,dan…… Garis EF sejajar bidang ABCD, garis EF sejajar bidang ….. Garis BF sejajar bidang …….., dan bidang …….. Garis DC sejajar bidang ……..., dan bidang ……. Garis HG sejajar bidang ……..., dan bidang ……. Garis BC tegak lurus bidang ABFE, dan bidang ……. Garis CH tegak lurus bidang …….., dan bidang ……. Garis EF tegak lurus bidang …….., dan bidang ……. Bidang ABFE sejajar bidang ………… Bidang EFGH sejajar bidang …………. a C GARIS TEGAK LURUS BIDANG Gambar 15
H
G
E
F T D
C
A P
A
B B
B
Gambar 16 D Perhatikanlah gambar kubus ABCD, EFGH pada gambar 15 Sudah dibicarakan bahwa garis AE tegak lurus bidang ABCD karena garis AE tegak lurus garis AB dan AD yang erpotongan dan terletak di bidang ABCD Sifat 1. Jika sebuah garis tegak lurus sebuah bidang, maka garis tersebuttegak lurus setiap garis pada bidang yang melalui titik tembusnya. Pembuktian : Diketahui : garis a tegak lurus bidang α. Garis a menembus bidang α di titik T garis b di bidang α dan melalui titik T Buktikanlah garis a tegak lurus garis b. Bukti : Perhatikanlah pada gambar 16 , tari garis TA dan TB di bidang α Maka garis a tegak lurus garis TA dan garis TB. Tariklah garis g yang menghubungkan titik A dan B .pilihlah titik C dan D di garis Aa yang berlawanan pihak terhadap titik T dan TC = AB.
Dapat diambil kesimpulan ∆ ABC ≅ ∆ ABD Karena TA adalah sumbu ruas garis DC, maka CA = DA Karena TA adalah sumbu ruas garis DC, maka CB = DB AB = AB Dapat diambil kesimpulan ∆ ABC ≅ ∆ ABD ( sisi, sisi, sisi )
Akibatnya < CAB ≅ < DAB
Garis b di bidang αdan melalui titik T . garis b memotong garis g di titik P Perhatikanlah : ∆ APC ≅ ∆ APD AP = AP < CAP = < DAP CA = DA Dapat diambil kesimpulan ∆ APC ≅ ∆ APD ( sisi, sisi, sisi ) Akibatnya CP = DP yang berarti garis TP adalah sumbu ruas garis CD Jadi a ⊥ TP, berarti garis a ⊥ b . terbukti Sifat 2 Jika garis a tegak lurus bidang α, maka garis a tegak lurus (menyilang tegak lurus ) setiap garis yang terletak di bidang α,, maka garis menembus bidang α, Buktikanlah : garis a ⊥ b
a
Bukti : Gambar 17 b
T
b’
α Garis a tegak lurus bidang α seperti yang terlihat pada gambar 17 . garis a menembus bidang α di titi T . garis b terletak di bidang α . Tariklah garis b’//b melalui titik T karena garis b’ di bidang α dan melalui titik T , maka garis a ⊥ b’ ( sifat 1. ). Yang berarti garis a tegak lurus ( menyilang tegak lurus ) garis b terbukti. Sifat 3. Jika salah satu dari dua garis yang sejajar tegak lurus sebuah bidang, maka garis yang kedua tegak lurus bidang tersebut juga. Pembuktian Diketahui : Garis a//b . garis a ⊥ α . Buktikanlah : garis b tegak lurus bidang α Bukti :
a
b
Gambar 18 T α
c
d
Garis b menembus bidang α di titik T . Tariklah garis c dan d pada bidang α yang melalui titik T Karena garis a tegak lurus bidang α, maka garis a tegak lurus garis c dan d ( sifat 2 ) Karena b//a dan a ⊥ c , maka b ⊥ c Karena b//a dan a ⊥ d , maka b ⊥ d Karena b ⊥ c , b ⊥ d , dan garis c dan c berpotongan di T , maka garis b ⊥α terbukti. Sifat 4 Jika dua garis tegak lurus sebua bidang, maka dua garis tersebut sejajar Sifat 4 merupakan kebalikan sifat 3. Contoh 13. Limas T.ABCD memiliki bidang alas ABCD berbentuk persegi dan rusuk tegak TD tegak lurus bidang alas . Buktikanlah bahwa < TAB, dan TDB adalah sudut siku – siku. Buktikanlah juga bahwa TD menyilang tegak lurus AC. Penyelesaian : Diketahui : Limas T.ABCD alas ABCD berbentuk persegi, Rusuk TD tegak lurus bidang alas. Buktikanlah : ∠ TAB dan ∠ TDB adalah sudut siku – siku Rusuk TD menyilang tegak lurus AC Bukti :
T
Gambar 19
D A
C B
1. Karena TD tegak lurus bidang ABCD, maka TD ⊥ AB Karena ABCD sebuah persegi, maka AB ⊥ AD. Karena AB tegak lurus AD dan TD, maka AB tegak lurus bidang ADT . Jadi : AB tegaklurus TA yang berarti ∠ TAB adalah sudut siku – siku. 2. Karena TD tegak lurus bidang ABCD, maka TD tegaklurus setiap garis Yang terletak di bidang ABCD. Jadi ∠ TBD adalah sudut siku – siku. 3. Karena TD tegak lurus bidang ABCD, maka TD tegak lurus setiap garis Yang terletak di bidang ABCD. Jadi TD menyilang tegak lurus AC Contoh 14. Buktikanlah bahwa diagonal ruang AG dari kubus ABCD,EFGH tegak lurus bidang BDE. Penyelesaian : Diketahui : kubus ABCD,EFGH. Buktikanlah : Diagonal AG tegak lurus bidang BDE
Bukti :
Gambar 20
H E
G F
D
C
A B Karena CG tegak lurus ABCD, maka CG ⊥ BD atau BD ⊥ CG karena BD ⊥ CG dan juga BD ⊥ AC, maka BD ⊥ Bidang ACGE sehingga BD ⊥ AG atau AG ⊥ BD. Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa AG ⊥ BE . Karena AG ⊥ BD dan AG ⊥ BE, maka Ag tegal lurus BDE Terbukti.
JARAK Jarak antara dua bangun ruang adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan dua bangun ruang tersebut. Jarak antara dua Titik. Jarak antara dua titik adalah panjang ruas garis yang menghubungkan dua titik itu. Gambar 21 A B Jarak antara titik A dan B adalah panjang ruas garis AB. Jarak antara Titik dan Garis Jarak antara titik dan garis adalah panjang ruas garis yang dibuat dari titik itu tegak lurus jke garis jarak titik A ke garis g adalah panjang ruas garis AB
A
g gambar 22
A
Jarak antara Titik dan Bidang Jarak antara titik dan bidang adalah Panjang ruas garis yang dibuat dari titik Itu tegak lurus ke bidang. Jarak titik A ke bidang α adalah panjang Ruas garis AB. Jarak antara Dua garis Sejajar Jarak antara dua garis sejajar adalah jarak Antara sebuah titik pada garis pertama Dan garis kedua. Jarak antara garis a dan b adalah panjang Garis PQ
gambar 23 B α
gambar 24
a
b
P Q g P
Jarak antara Garis dan Bidang yang Sejajar Jarak antara garis dan bidang yang sejajar garis Tersebut adalah jarak antara sebuah titik pada garis dan bidang. Jarak antara garis g dan bidang α yang sejajar Garis g adalah panjang ruas garis PQ Jarak Antara Dua Bidang yang Sejajar
Q α gambar 25
Jarak antara dua bidang yang sejajar adalah jarak antara sebuah titik pada bidang pertama dan bidang kedua. Jarak antara bidang α dan bidang β yang sejajar adalah ruas garis PQ. Gambar 26 P
Q
Gambar 26 Latihan 10 Gambar 27 H E
G F K
D A
C B
Perhatikanlah gambar kubus ABCD, EFGH pada gambar 27 Lengkapilah setiap pernyataan di bawah ini sehingga menjadi pernyataan yang benar. 1. Jarak antara titik A dan titik G sama dengan panjang ruas garis … 2. Diagonal GB tegak lurus diagonal FC. Jarak antara titik G dan garis FC sama dengan panjang ruas garis … Jarak antara titik C dan garis BG sama dengan panjang ruas garis … 3. Jarak antara garis AB dan garis EF sama dengan panjang ruas garis … 4. Garis GB tegak lurus garis AB. Jarak antara titik G dan garis AB sama dengan panjang ruas garis … 5. Garis HG sejajar dengan garis AB. Jarak antara garis HG dan garis AB sama dengan panjang ruas garis … 6. Jarak antara garis AE dan garis CG sama dengan panjang ruas garis … 7. Jarak antara garis HD dan garis BF sama dengan panjang ruas garis … 8. Garis GC tegak lurus bidang ABCD. Jarak antara titik G dan bidang ABCD sama dengan panjang ruas garis … 9. Garis GK tegak lurus bidang DCFE. Jarak antara titik G dan bidang DCFE sama dengan panjang ruas garis … 10. Diagonal ruang AG tegak lurus bidang BDE. Jarak antara titik G dan bidang BDE sama dengan panjang ruas garis … 11. Jarak antara titk A dan bidang BDE sama dengan panjang ruas garis … 12. Garis EF sejajar bidang ABCD. Jarak antara garis EF dan bidang ABCD sama dengan panjang ruas garis … 13. Garis HG sejajar bidang CDEF. Jarak antara garis HG dan bidang CDEF sama dengan panjang ruas garis … 14. Bidang ABCD sejajar bidang EFGH. Jarak antara bidang ABCD dan bidang EFGH sama dengan panjang ruas garis … 15. Jarak antara bidang ADHE dan bidang BCGF sama dengan panjang ruas garis …
Contoh 15 Diketahui rusuk kubus ABCD>EFGH sama dengan 6 cm. Gambarlah dan tentukanlah jarak antara : a. Titik C dan titik tengah rusuk EH. b. Titik C dan titik potong diagonal sisi AH dan ED. c. Titik tengah BC dan titik tengah DH. Penyelesaian : Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Titik K titik tengah rusuk EH. Titik M titik potong diagonal sisi AH dan ED. Titik N dan O berturut-turut titik tengah rusuk BC dan DH. Ditanya : a. Jarak antara titik C dan titik K. b. Jarak antara titik C dan titik M. c. Jarak antara titik N dan titik O. Jawab : Gambar 28 H G E
F M D
A
C B
a. Buatlah gambar persegi panjang EBCH. Rusuk BC = 6 cm. Diagonal sisi HC = 6√2 cm. Jarak antara titik C dan K adalah panjang ruas Ruas garis CK. Lihat segitiga CHK. ∠ CHK = 900, HC = 6√2 cm, dan HK = 3 cm. Maka CK = √(3)2 + (6√2)2 CK = √81 = 9 Jarak antara titik C dan K sama dengan 9 cm.
H
C
K
E
B gambar 29
b. Buatlah gambar persegi panjang EDCF. E Rusuk CD = 6 cm. Diagonal sisi ED = 6√2 cm. Jarak antara titik C dan M adalah panjang ruas CM. Lihat segitiga MDC. M 0 ∠ MDC = 90 , CD = 6cm, dan MD = 3√2 cm. Maka CK = √(3)2 + (3√2)2 CK = √27 = 3√3 cm Jarak antara titik C dan K sama dengan 3√3 cm D c. Jarak antara titik N dan O sama dengan panjang ruas garis NO. H G D C O D
N
C A B Gambar 31 gambar 32 Lihat ∆ODC ∠ ODC = 900, DC = 6 cm, dan OD = 3 cm, maka CO = √(3)2 + (6)2 . CD = √45 cm
F
C gambar 30
Lihat ∆OCN Karena garis NC tegak lurus bidang CGHD, maka NC ⊥ CO. ∠ NCO = 900, CO = √45 cm, dan CN = 3 cm, maka NO = √(3)2 + (√45)2 NO = √54 = 3√6 cm Jadi jarak antara titik N dan O sama dengan 3√6 cm. Contoh 16 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 6 cm. Hitunglah jarak antara titik A dengan bidang BDE, dan jarak antara bidang BDE dan CHF. Penyelesaian : Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 6 cm. Ditanya : Jarak antara titik A dan bidang BDE, dan jarak antara BDE dan bidang CHF. Jawab : Gambar 33 H G E
F M D
A
C B
Pada contoh 4 telah dibuktikan bahwa diagonal ruang AG tegak lurus bidang BDE. Untuk menentukan jarak antara titik A dan bidang BDE perlu dicari titik tembus garis AG dengan bidang BDE. Juka diagonal bidang alas AC dan BD berpotongan di L, maka titik potong garis EL dengan garis AG adalah titik tembus garis AG dengan bidang BDE (titik K). Jarak antara titik A dan bidang BDE sama dengan panjang ruas garis AK. Perhatikanlah segitiga sama sisi BDE. Sisi BE = 6√2 cm. Garis EL adalah garis tinggi (garis berat) segitiga sama sisi BDE. ∠ EBL = 600 EL = (BE) sin 600 EL = 6√2 . √3 = 3√6 cm 2 Titik K titik berat segitiga BDE sehingga EK = 2 EL dan KL = 1 EL 3 3 EK= √2 (3√6) = 2√6 cm dan KL = √3 (3√6) = √6 cm Gambar 34 2 3 H G Perhatikanlah persegi panjang ACGE. Karena Garis AG tegak lurus bidang BDE, maka AG Tegak lurus garis EL. Ruas garis AK adalah garis tinggi segitiga sikuKK Siku EAL. Maka menurut garis proyeksi (AK)2 = (EK) . (KL) (AK)2 = (2√6). (√6) A C AK = √12 = 2√3 cm L Jarak antara titik A dan bidang BDE sama dengan 2√3 cm. M Karena BE // CF dan BD // HF, maka bidang BDE dan bidang CHF sama dengan jarak antara titik C dan bidang BDE. Perhatikanlah persegi panjang ACGE. Tarik garis lurus dari titik C sejajar garis AG yang memotong garis di titik M. Karena CM // GA, maka CM tegak lurus bidang BDE (sifat 4). Jadi panjang ruas garis CM sama dengan jarak antara bidang BDE dan CHF.
Perhatikanlah ∆AKL dan ∆CML. ∠ KLA = ∠ MLC (sudut bertolak belakang) AL = CL (titik tengah AC) ∠ KAL = ∠ MCL (dua sudut dalam berseberangan) Dapat disimpulkan ∆KLA ≅ ∆MCL (sisi, sudut, sisi), dan CM = AK CM = 2√3 cm Jarak anatara bidang BDE dan CHF sama dengan 2√3 cm. Latihan 10 1. Buktikanlah bahwa diagonal ruang AG dari kubus ABCD.EFGH menyilang tegak lurus diagonal alas kubus BD. 2. Buktikanlah bahwa pada kubus ABCD.EFGH bidang BDE sejajar bidang CHF. 3. Pada kubus ABCD.EFGH, titik M adalah titik potong diagonal sisi alas. Hitunglah panjang ruas garis EM jika diketahui panjang rusuk kubus sama dengan 6 cm 4. ABC.DEF adalah prisma tegak segitiga. Bidang alas ABC merupakan segitiga siku-siku di titik A dengan AB = AC = 4 cm. Hitunglah jarak anatara garis AD dan bidang BEFC. 5. T.ABC adalah limas segitiga beraturan. Titik P adalah titik potong garis tinggi segitiga ABC. Buktikanlah TP adalah garis tinggi limas. 6. T.ABCD adalah limas segi empat. Alas ABCD berbentuk persegi. Rusuk TD tegak lurus bidang alas. Buktikanlah bahwa AC tegak lurus bidang BDT. 7. ABCD.EFGH adalah kubus dengan panjang rusuknya 8 cm. Hitunglah jarak antara titik G dan bidang BDE. 8. ABCD.EFGH adalah kubus dengan panjang rusuknya 6 cm. Hitunglah volum limas segitiga A.BDE. 9. ABCD.EFGH adalah kubus dengan panjang rusuknya 6 cm. Hitunglah volum benda ruang BDE.FCH. 10. T.ABCD adalah limas segi empat. Alas ABCD berbentuk persegi. Rusuk TD tegak lurus bidang alas. Buktikanlah bahwa AB tegak lurus bidang TAD. KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR 4 SUDUT PADA BANGUN RUANG Proyeksi Titik Pada Bidang Proyeksi titik A pada bidang α, adalah titik kaki A1. Yaitu titik tembus garis melalui titik A yang etgak lurus bidang α. Titik A disebut garis yang diproyeksikan. A1 disebut proyeksi titik A A Gambar 35
A1
Proyeksi Garis Pada Bidang Proyeksi garis pada bidang umumya berupa garis juga. Proyeksi garis g pada bidang α . Garis g 1 adalah proyeksi garis g pada Bidang α. Jika garis g tegak lurus bidang α, maka proyeksi garis g pada bidang α berupa sebuah titik. Sudut Antara Garis dan Bidang Sudut antara garis (yang tidak tegak lurus bidang) dan bidang adalah sudut antara garis dan proyeksinya pada bidang tersebut. G Sudut antara garis AB dan bidang α Adalah ∠ BAB1 tegak lurus bidang Gambar 36 G1 Sudut Bidang Dua Jika bidang α dan β berpotongan menurut garis Ab, maka bagian ruang yang dibatasi oleh bagian bidang α, bagian bidang β dan garis potong AB disebut bidang dua. Gambar 37 F E Gambar 37adalah gambar sudut bidang dua D.AB.E. Memberi nama sudut bidang dua Dilakukan dengan menuliskan sebuah titik Pada bidang α, titik, garis potongnya, titik, A B Sebuah titik pada bidang β. Seperti sudut bidang dua D.AB.E pada Gambar. D C Bidang AEFB dan bidang ADCB disebut sisi-sisi bidang dua D.AB.E. Garis Ab disebut rusuk bidang dua D.AB.E. Bidang Tumpuan dan Sudut Tumpuan Bidang yang dibuat tegak lurus bidang dua disebut bidang tumpuan. F M E Bidang tumpuan sudut bidang dua D.AB.E memotong sisi-sisinya menurut garis KM dan KL. Karena rusuk AB tegak lurus bidang tumpuan, maka AB ⊥ KM dan AB ⊥ A K B KL. ∠ MKL disebut sudut tumpuan sudut bidang D L C dua D.AB.E. Gambar 38 Besar sudut bidang dua sama dengan besar sudut tumpuannya. Suatu sudut bidang dua disebut siku-siku, lancip, dan tumpul. Jika sudut tumpuannya berturut turut siku-siku, lancip, dan tumpul. Misalnya, sudut bidang dua disebut 60O, jika besar sudut tumpuannya 60O. Dua Bidang Saling Tegak Lurus Dua bidang datar yang saling tegak lurus sesamanya adalah dua bidang yang merupakan sisisisi bidang dua siku-siku.
A gambar 39
Jika garis AB tegak lurus bidang α, maka setiap bidang yang dibuat melalui garis AB akan tegak lurus bidang α.
B
Contoh … T.ABCD adalah limas segi empat beraturan dengan rusuk alas 6 cm. Sisi tegak TAD membentuk sudut 60O dengan bidang alas ABCD. Hitunglah volume limas tersebut. Penyelesaian : Diketahui T.ABCD adalah limas segi empat beraturan dengan rusuk alas 6 cm. Sisi tegak TAD membentuk sudut 60O dengan bidang alas ABCD. Ditanya : Volum limas T.ABCD. Jawab : Perhatikanlah gambar 40 T.ABCD adalah limas segi empat beraturan. Ruas garis TP adalah garis tinggi limas. Titik P adalah titik potong diagonal bidang T alas. Titik R titik tengah rusuk AD, sehingga PR tegak lurus AD. Dengan demikian bidang TRP adalah bidang tumpuan, dan ∠ TRP adalah sudut tumpuan pada rusuk AD. ∠ TRP = 45O D C R P A B Gambar 40 Perhatikanlah ∆TRP AB = 6 cm atau RP = 3 cm (diketahui) ∠ TRP = 60O (Sudut antara sisi tegak TAB dan bidang ABCD) ∠ TPR = 90O (TP garis tinggi limas) Volum limas T.ABCD = 1 (6)2 (3√3) cm3 = (36√3) cm3 3 Contoh … ABC.DEF adalah prisma miring dengan bidang alas segitiga sama sisi ABC dan sisi AB = 6 cm. Rusuk tegak AD = 12 cm, dan membentuk sudut 60O dengan bidang alas. Hitunglah volum prisma ABC.DEF. Penyelesaiannya : Diketahui prisma miring ABC.DEF dengan bidang alas segitga sama sisi ABC dan sisi AB = 6 cm. Rusuk tegak AD 12 cm, dan membentuk sudut 60O dengan bidang alas. Ditanya : Volum prisma ABC.DEF D F Jawab : Perhatikanlah gambar 41 Segitiga ABC merupakan segitiga sama sisi. E Ruas garis CN adalah garis tinggi segitiga ABC. Perhatikanlah ∆ABC. AC = 6 cm (diketahui) ∠ CAN = 60O (∆ABC sama sisi) A C ∠ CNA = 90O (CN garis tinggi ∆ABC) p N B gambar 41 Kesimpulan CN = AC sin 60O
= 6. √3 = 3√3 cm 2 Luas ∆ABC = 1 (6). 3√3 = 9√3 cm2 2 Tarik garis DP sebagai garis tinggi prisma. Garis AP adalah proyeksi rusuk AD pada bidang alas ABC, berarti ∠ DAP = 60O . Perhatikanlah ∆DAP. AD = 12 cm (diketahui) ∠ DAP = 60O (diketahui) ∠ DPA = 90O (DP adalah garis tinggi prisma) Kesimpulannya DP = AD sin 60O 3 = 6 3 cm 2 Volum prisma ABC. DEF = [ 9√3 ] . [ 6√3] cm3 = 162 cm3 = 12
Latihan 12 1. T. ABCD adalah limas segi empat beraturan dengan rusuk alas AB = 8 cm dan tinggi limas 12 cm. Jika sudut antara sisi tegak TDA dan bidang alas disebut α, tentukanlah tg α. Hitung juga luas sisi limas. 2. T. ABC adalah limas segitiga beraturan dengan rusuk alas 6 cm dan rusuk tegak 8 cm. Jika sudut antara rusuk tegak TA dan bidang alas disebut α, tentukanlah cos α. 3. Dari limas segitiga beraturan T.ABC diketahui bahwa sudut antara rusuk TA dan bidang alas ABC sama dengan 60O . Titik P pada rusuk TA dan PA = 10 cm. Hitunglah jarak antara titik P dan bidang alas ABC. 4. T. ABCD adalah limas segi empat beraturan dengan rusuk alas AB = 6 cm. Sisi tegak membuat sudut 60O dengan bidang alas. Tentukan juga luas sisi limas. 5. T. ABC adalah limas segitiga beraturan dengan rusuk alas 12 cm. Jika sudut antara rusuk tegak dan bidang alas 45O , hitunglah volume limas segitiga beraturan tersebut. 6. ABC.DEF adalah prisma segitiga dengan panjang rusuk AB = AC = 5cm dan panjang rusuk BC = 6 cm. Titik P adalah titik tengah rusuk BC. Titik P adalah proyeksi titik D pada bidang alas ABC. Jika sudut antara rusuk AD dan bidang alas ABC sama dengan 45o, hitunglah volum prisma tersebut. 7. Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Gambar dan hitunglah jarak antara titik A dan bidang DBG. 8. Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Titik K adalah titik potong diagobnal sisi EFGH. Jika sudut antara bidang BCK dan bidang alas ABCD disebut α, hitunglah cos α. 9. T.ABCD adalah limas segi empat beraturan. Titik-tik P, Q, R, dan S berturut-turut adalah titik tengah rusuk tegak TA, TB, TC, dan TD. Buktikanlah bahwa perbandingan Volum limas T.PQRS dan Volum limas T.ABCD 1 banding 8. 10. T. ABCD adalah limas segi empat beraturan dengan panjang rusuk alas 8 cm. Sudut antara rusuk tegak dan bidang alas sama dengan 60o. Hitunglah luas dan volum limas beraturan T.ABCD.
LUAS PERMUKAAN BANGUN RUANG Jika suatu persegi panjang diputar mengelilingi salah satu sisinya maka bangun ruang yang terjadi disebut silinder atau tabung . Sedangkan jika suatu segitiga siku – siku diputar mengelilingi sisi siku – sikunya. Maka bangun ruang yang terjadi disebut kerucut
Gambar 1
gambar 2
Contoh Tentukan luas seluruh permukaan benda – benda berikut . 1. Tabung yang tingginya 10 cm dan jari – jarinya 5 cm 2. Limas ( piramida ) persegi dengan panjang sisi alas 20 cm dan tingginya 24 cm Jawab : 1.
Gambar 3 •
Jaring – jaring tabung ( silinder ) menunjukkan 2 tutup ( lingkaran ) dan selimut ( persegi panjang ) • Panjang selimut adalah keliling tutupnya • Luas permukaan tabung = luas selimut + luas tutup = 2 πrt + 2 πr2 = 2 πr ( t + r ) = 2 π x 5 x ( 10 + 5 ) = 150 π Jadi Luas permukaan tabung itu adalah 150 π cm2 T 20 cm
D P A
C
D
O B
A
C P P
T
B
Limas T.ABCD beraturan, dengnan bidang alas persegi ABCD dan sisi tegak ( permukaan miring ) empat segi tiga sama kaki Jaring – jaring limas menunjukkan alas ( persegi ) dan 4 segitiga yang kongruen Luas permukaan limas = luas persegi + luas permukaan miring
Gunakan ∆ TOP untuk menentukan tinggi segitiga TBC yaitu : TP ( P titik tengah BC ) TP2 = TO2 + OP2 = 242 + 102 = 676 ∴ TP = √ 676 = 26
Luaspermukaan miring = 4 x luas ∆ TBC = 4 x ½ x 20 x 26 = 1040 cm2 Luas persegi ABCD = 202 = 400 cm2 Luas permukaan limas = 1040 + 400 = 1440 cm2 Jadi Luas permukaan limas adalah 1440 cm2
LATIHAN SOAL 1. Tentukan luas permukaan kubus dengan panjang rusuk a. 1,5 m b. 6 cm c. 9 cm
d. 18,25 m
2. Diketahui kubus dengan panjang rusuk 20 cm, dan kubus lain yang panjang rsuknya dua kali panjang rusuk tersebut. Tentukan : a. Luas permukaan kubus kecil b. Luas permukaan kubus yang besar c. Dengan memperbesar ukuran rusuk kubus besar, berapa kali luas permukaan kubus kecil akan meningkat ? 3. Tentukan luas permukaan pipa plastik dengan panjang 10 m dan diameter 10 cm, yang terbuka di kedua ujungnya ? 4. Panjang diagonal ruang suatu kubus adalah 8√2 cm. Hitunglah : a. panjang rusuknya b. panjang diagonal sisinya c. luas permukaannya. 5. Prisma segi 12 beraturan mempunyai rusuk alas 6 cm dan tingginya 10 cm , Hitunglah : a. luas alas b. luas alas selimut c. luas permukaannya 6. Pada paralel epibedum ABCD. EFGH pada gambar di samping ABCD adalah persegi. AB = 6 cm , ∠ ABF = 600, BCGF adalah persegi panjang, dan BF = 10 cm. Hitunglah luas permukaannya. 7. Gambarlah kubus PQRS , EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. a. Berapakah banyaknya diagonal sisi kubus PQRS, EFGH ? b. Tulislah nama –nama diagonal tersebut 8. Panjang suatu balok 6 kali tingginya dan lebar balok itu 3 kali tingginya. a. Hitunglah panjang diagonalnya balok terbut b. Hitunglah luas permukaan balok ( jumlah luas sisi – sisi balok ) terebut c. Hitunglah luas semua bidang diagonalnya
9. Luas bidang diagonal suatu kubus adalah 8 cm. Hitunglah panjang rusuk dan panjang diagonal ruangnya. 10. Panjang diagonal ruang suatu kubus adalah 12 cm. Hitunglah panjang diagonal sisinya 11. Panjang, lebar, dan tinggi suatu balok berurutan turun sepanjang 1 cm, Jika luas permukaanya 94 cm2, maka tentukan panjang, lebar dan tinggi balok terebut.
