1 CONTOH SOAL BERIKUT KUNCI JAWABNYA
Dimensi Tiga Tiga 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a . Melalui diagonal DF dan titik tengah rusuk AE dibuat bidang datar. Tentukan luas bagian bidang di dalam kubus ! Jawab : H
G
E
F Q
P D
C a
A
B a
L PQDF
1 2
PQ. . PQ DF . DF
1 2
.a 2.a 2.a 3
1 2
a
2
6
2. Kubus ABCD.EFGH berusuk a cm. Titik P, Q dan R adalah titik-titik tengah dari AD, AB dan BF. BF. Berupa apakah apakah penampang penampang bidang bidang PQR ! Jawab : H
T
G
Garis bantu
S E
F U R D
C
P A
B Q
Sumbu afinitas Jadi berupa segienam beraturan PQR.STU
2
3. Kubus ABCD.EFGH panjang rusuknya 4 cm. Titik P tengah-tengah EH. Tentukan jarak titik P ke garis BG ! Jawab :
H
G
G
20
P
P
E
F
4 2 x
6 D
P’
C
A
x
B
B
P’ adalah proyeksi titik P pada garis BG. 2
PG
4
BG
4 2
BP
4 2
PP ' 20
2
2
( PP ' )
2
2
20
2
PP '
2
6
2
(4 2 x) x) 2
2
36 x
2
2
6
2
x
2
x
36 (3 2 )
2
18
3 2 PP ' 3 2
4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk-rusuknya 10 cm. Tentukan jarak titik F ke garis AC ! Jawab : H
G
E
F
F 10 2 10 2
D
C
C 5 2
A
B FF '
(10 2 )
2
(5 2 )
A 2
5 6
F’
3
5. Panjang setiap rusuk kubus ABCD.EFGH ialah 3 , sedangkan titik Q pada AD dan AQ = 1. Tentukan jarak A ke bidang QBF QBF ! Jawab : H
G
E
F Q
x A’
1 D
2–x
C A
A
B
B BQ
1 3
( AA' AA' )
2
( AA') AA')
3
2 2
3 (2 x) x) 2
1 x 2 AA' AA'
1 x
2
1 2
x 1 4
1
1 2
3
Cara lain : L
1 2
QAB
1 2
AB. AB. AQ AQ
BQ. BQ. AA' AA'
AB. AB. AQ AQ BQ. BQ. AA' AA' 2. AA' AA'
3.1
1
AA' AA'
2
3
6. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan jarak antara titik C dengan bidang BDG yang panjang rusuknya rusuknya 6 cm ! Jawab : H
G
E
G
F 6 C’ D
C T
A
B GT CT .CG
36 18 GT .CC '
T
3 2
3 6 CC '
CT .CG
3 2.6
GT
3 6
2 3
C
4
7. Jika BE dan AH masing-masing masing-masi ng diagonal bidang sisi ABFE dan ADHE pada kubus ABCD.EFGH, ABCD.EFGH, maka tentukan besar sudut sudut antara BE BE dan AH ! Jawab : H
G
E
F
D
C
A
B
BG sejajar AH. BE , AH
BE , BG
60
o
8. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan sudut antara garis AF dan BH ! Jawab : H
G Q
E
F a P
D
C a
A
a
B
PQ sejajar AF BH , BH , AF PR
2
PQ
2
1
a
BH , BH , PQ
1
1 2
a 2
BR
1 2
a 3
BH BP ( 12 a) 2 2
cos x cos x
2
( BR) BR)
1 2
x
a 5
2
( PR) PR) 2. BR. BR PR . PR
2
( BP )
3
2
2
4
a2
4
1
2
a2 1
2
5
4
a
2. a 3. a 2
0
x
90
o
5
9. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan sudut antara garis AH dan bidang BFHD BFHD ! Jawab : H
G
E
F
D
C A’
A
B AH , AH , BFHD AA' AA'
sin
AH , AH , A' A' H H 1 2
AH
a 2
a 2
1
30
2
o
10. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan tangen sudut antara CG dan bidang BDG ! Jawab : H
G
E
F
D
C T
A
B CG, CG, BDG C
tan
CG
CG, CG, GT 1 2
a 2 a
1 2
2
11. Pada kubus ABCD.EFGH. P adalah titik tengah FG dan Q adalah titik tengah EH. Jika adalah sudut antara bidang ABGH dan ABPQ, maka tentukan tan ! Jawab : H
G
Q
P
E
F
D A
C B
6
PB AB
ABPQ, ABPQ, ABGH
GB AB AB
BP
a
5, BG
2
a
a 2
2
( PB) PB)
cos
2
2
( BG) BG)
PB, PB, GB
( PG) PG )
4
2
2
5
a
2a
2
1
a
4
2. 2a 5.a 5.a 2
2. PB. PB BG . BG
2
a
3a
3
2
10
10
1
tan
3
12. Pada bangun D.ABC diketahui bahwa bidang ABC sama sisi. DC tegak lurus ABC. Panjang DC = 1 dan sudut DBC = 30 . Bila menyatakan sudut antara bidang DAB dengan CAB maka tentukan tan ! o
Jawab : D
A T C 30
o
B sin 30
1
o
BD
BD
BC
2 1 2
BT
2
2
1
CT
3
tan
3 1
BA
2
2 2
3 1 2
CD
1
CT
2
3
2
3 2
2 3
3
13. Pada kubus ABCD.EFGH, titik S adalah titik tengah sisi CD dan P adalah titik tengah diagonal BH. Tentukan perbandingan antara volume limas P.BCS dan volume kubus ABCD.EFGH ABCD.EFGH ! Jawab : H
G
E
V P . BCS BCS : V ABCD. ABCD. EFGH EFGH
F P S D
A
C B
1 : 24
7
14. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a. T adalah suatu titik pada perpanjangan AE sehingga TE TE = ½ a. Jika Jika bidang TBD TBD memotong memotong bidang atas atas EFGH sepanjang PQ, PQ, maka tentukan panjang PQ ! Jawab : T H EP
G
Q
F
D
C
A
B TE
PQ
EA
BD
1 2 3 2
a
PQ
a
a 2
PQ
1 3
a 2
15. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Tentukan panjang proyeksi DE pada bidang BDHF ! Jawab : H
G E’
E
F
D
C
A
B Proyeksi DE pada BDHF adalah DE’. DE ' DE '
8
2
(4 2 )
2
4 6 cm.
8
16. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik P adalah titik tengah rusuk AE. Tentukan bentuk irisan bidang yang melalui titik-titik P, D dan F dengan kubus ! Jawab : H
G
E
F
Sumbu afinitas
P D
C
A
B
Jadi berupa belah ketupat. k etupat.
17. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan panjang proyeksi AH pada bidang BDHF BDHF ! Jawab : H
G
E
F
D
C A’
A
B Proyeksi AH pada BDHF adalah A’H 8
A' A' H H
2
(4 2 )
2
4 6
18. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. K adalah titik tengah rusuk AB. Tentukan jarak antara titik titik K ke garis HC ! Jawab : H
G
E
H
F
12 2 x
K’ x D A
C K
B
C K
9
KC
122
KH
12 2
KK ' KK ' 180
6
2
x
180
180
KK ' KK '
2
2 2
2
2
324
2
180 (3 2 )
KK ' KK '
324
(12 2 x) x)
2
2
x
3 2
9 2
19. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a. Tentukan jarak titik A ke diagonal BH ! Jawab : H
G
E
H
F a 3 x a 2
A’ D
C
A
B ( AA' AA' ) a
2
AA' AA'
2
x
( AA') AA')
2
2
(
a
2
(a 2 ) a
A
x B
2
a 3
)2
x) (a 3 x) a 3
2
x
a 3
6
20. Pada limas T.ABC diketahui AT, AB dan AC saling tegak lurus. Panjang AT = AB = AC = 5 cm. Tentukan jarak titik A ke bidang TBC ! Jawab :
T
T x A’ 5 2
6
C A
A D B
D
10
MAN Nglawak Kertosono
AD
5
TD
5
( AA' AA' ) 5
2
2
2
( 52 2 ) ( 25 2 )
2
( AA') AA')
2
2 ( 52 2 )
x
5 2
2
2
5 2
6
2
x)2 ( 25 6 x)
25 (53 6 )
AA' AA'
2
2
5 3
5 3
6
3
21. Diketahui limas beraturan T.ABCD. Panjang rusuk alas 12 cm dan panjang rusuk tegaknya 12 2 cm. Tentukan jarak A ke TC ! Jawab :
T T A’
D
C
A
C
B (12 2 )
AA' AA'
2
(6 2 )
A 2
6 6
22. Prisma segi-4 beraturan ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm dan tinggi prisma 8 cm. Titik potong diagonal diagonal AC dan dan BD adalah adalah T. Tentukan jarak titik D ke TH ! Jawab : H
G
E
H
F x 8 D’ D
C
82 x
D T A
3 2
B HT 82 x 2 DD' DD'
64 18 (3 2 ) 2 82
T
82 ( 82 x) x) 2
82 ) ( 32 41
2
24 41
41
x
32 41
82
11
MAN Nglawak Kertosono
23. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan jarak titik H ke DF ! Jawab : H
G
E
H
F
F
6 3 x
H’ x D
C
A
D
B 36 x
2
HH ' HH '
72
(6 3 x) x) (2 3)
36
2
2
x
2 3
2 6
24. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Jika S merupakan proyeksi titik C pada bidang bidang AFH, maka maka tentukan jarak jarak titik A ke ke titik S ! Jawab : H
G P
P
E
F S’
D
C
A
B
AP
CP
(a 2 )2
a
2
( AS )2
(
A
a 2
(a 2
2
)
2
3
2
)
a
3 2
(a
2
3
AS ) 2
C
AS
1 3
a 6
25. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan jarak titik C ke bidang AFH ! Jawab : P H
G P
E
x C’
F 54 x
D A
C B
A
C
12
MAN Nglawak Kertosono
AP
CP
54
2
x
CC '
6
2
2
(3 2 )
(6 2 )
54 6
2
2
54
( 54 x) x)
2
x
6
4 3
26. Bidang empat (tetrahedron) T.ABC mempunyai alas segitiga siku-siku ABC, dengan sisi AB = AC, TA = 5 3 dan tegak lurus pada alas. Jika BC = 10, maka tentukan sudut antara TBC dan bidang alas ! Jawab : T
T
5 3
C A
A
D
D
5
B AB
2
2
AC
10
AC maka 2 AB
Karena AB AD
50
25
5 3
tan
2
100
AB
50
5 60
3
5
2
o
27. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika sudut antara BF dan bidang BEG adalah maka tentukan sin ! Jawab : H
G
P
2 2
F
P E
F 4 D
A
C B
B
13
MAN Nglawak Kertosono
BP
16 8
sin
2 6
2 2
1
2 6
3
3
28. Pada kubus ABCD.EFGH, nilai sin !
adalah sudut antara bidang ACF dan ABCD. Tentukan
Jawab : H
G
E
F
F a
D
P B a
1 3
3 2
a
a
C
A
sin
3 2
P
2
B
6
29. Pada limas segiempat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya sama panjang, tentukan besar sudut antara TA dan bidang ABCD ! Jawab :
T T a
D
C P a
A
a cos
a 2 2
a
A
B 1 2
2
45
o
a 2 2
P
14
MAN Nglawak Kertosono
30. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 Titik T pada perpanjangan CG, sehingga CG = GT. Jika sudut antara TC dan bidang BDT adalah maka tentukan tan ! Jawab :
T
H
T
G
E
8
F
D
C
P
C
P
2 2
A
B tan
2 2
1
8
4
2
31. Pada kubus ABCD.EFGH, nilai cos !
adalah sudut antara bidang ADHE dan ACH. Tentukan
Jawab : H
G
E
P
F a 2 2
a
3 2
P D
C
A
B
CP
cos
a 2
2
a2
2 a 2 2
a
3 2
1 3
3
a
3 2
D
a
C
15
MAN Nglawak Kertosono
32. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan rusuk 4 cm. Titik P pada pertengahan AB. Sudut antara antara TP dengan dengan bidang alas alas adalah . Tentukan nilai nilai tan ! Jawab : T
T
4
4
2 3
B
4
P A
P 4
CP
42
PT
(2 3) 2
cos
C
2 3
C 22
2 3
(2 3) 2
42
1 3
2.2 3.2 3
tan
8 1
2 2
33. Bidang empat A.BCD dengan AD siku-siku dengan alas dan segitiga BCD siku-siku di D. Sudut antara bidang BCD dan BCA adalah . Tentukan nilai tan ! Jawab :
A A C 4
E
4
2 D
2
BC 2 2 DE tan
4
2
4 2
2 2 2
B
D
2
E
16
MAN Nglawak Kertosono
34. Pada limas tegak T.ABCD alasnya berbentuk persegi panjang. Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah . Tentukan nilai tan ! Jawab :
T
T
13 3 17
3 17
D
C
P
Q8 P
A
6 TP
Q
B 2
13
TQ
4
(3 17 ) 2
cos
6
2
3 17
(3 17 )2
62
15 17
2.3 17.3 17
tan
8 15
35. Pada limas beraturan T.ABCD dengan rusuk tegak 2 5 cm dan rusuk alas 4 cm, tentukan tangen sudut antara bidang TBC dengan bidang ABCD ! Jawab :
T T 2 5
4 D
C 2 P
Q Q
A
4
B
TP
(2 5 )
TQ
16
tan
4
2 3 2
2
2
2
2 3 3
4
2
P
17
MAN Nglawak Kertosono
36. ABCD adalah empat persegi panjang pada bidang horizontal dan ADEF empat persegi panjang pula pula pada bidang bidang vertikal. vertikal. Panjang AF = 3 m, BC = 4 m dan CE CE = 7 m. Jika dan berturut-turut berturut- turut sudut antara BE dengan bidang ABCD dan bidang ADEF, maka tentukan tan . tan ! Jawab :
E
7 F D
C
3 4 A
B
CD
AB
BD
16
AE
3
2
7
2
2
3
40 4
2 14
2
5 3
tan . tan
2 10
2 14
.
3
2 10 5
35
37. Dari limas beraturan beratur an T.PQRS diketahui TP=TQ=TR=TS=2 dan PQ=QR=RS=SP=2. Jika adalah sudut antara bidang TPQ dan TRS, maka tentukan nilai cos ! Jawab :
T
T
2
3
Q
3
R
A
B2
A
B 2
P
S 2 TA cos
TB ( 3)
22 2
12 ( 3)
3 2
2. 3. 3
2
2
1 3
18
MAN Nglawak Kertosono
38. Pada bidang empat T.ABC, bidang alas ABC merupakan segitiga sama sisi, TA tegak lurus pada bidang bidang alas, panjang panjang TA sama sama dengan 1 dan dan besar sudut TBA adalah adalah 30 . Jika adalah sudut antara bidang TBC dan bidang alas, maka tentukan nilai tan ! o
Jawab : T
1 C A
D 30
o
B AB AD tan
1
AC BC ( 3)
2
(
TA
1
AD
2
tan 30
o
3
3
3 2 2
)
2
2 3
3
39. Limas beraturan T.ABC dengan panjang rusuk alas 6 cm dan panjang rusuk tegak 9 cm. Tentukan nilai sinus sudut antara bidang TAB dan bidang ABC ! Jawab :
T
9 C 6 A 3 D B TD
9
CD cos
2
2
3
72
62
32
27
72
27 81
2. 72. 27
6 12
sin
138 12
19
MAN Nglawak Kertosono
40. Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegak 11 cm dan panjang rusuk alas 2 2 cm. Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah , maka tentukan nilai cos ! Jawab :
T T 11
3 D
3
C
P
Q
P
Q 2
A TP cos
B TQ 9
( 11) 9 8 2.3.3
2
5 9
( 2)
2
3
2
