Introducción En la práctica de la ingeniería y ciencias es frecuente tener la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solución completa de un problema ó al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente. Las ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas o métodos numéricos son la parte de análisis numérico la cuál estudia la solución numérica a ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Este campo también es conocido como Integración Numérica, pero alguna gente reserva este término para el cómputo de integrales. Muchas ecuaciones diferenciales no se pueden solucionar analíticamente, en este caso tenemos que satisfacerlas con una aproximación a la solución, usando algoritmos que pueden ser utilizados en computadoras para encontrar tal aproximación. Un método alternativo es utilizar técnicas de cálculo para obtener una serie de la extensión de la solución. Las ecuaciones diferenciales ordinarias ocurren en muchas disciplinas científicas, por ejemplo en la mecánica, química, biología, y economía. Además, algunos métodos de ecuaciones diferenciales parciales numéricas convierte la ecuación diferencial parcial en una ecuación diferencial ordinaria, que entonces puede ser solucionada. De hecho existe una materia que se dedica al estudio de las soluciones a este tipo de problemas, la Matemática Aplicada (Curso posterior a la Matemática Intermedia) La matemática aplicada es la rama de las matemáticas que se dedica a buscar y aplicar las herramientas más adecuadas a los problemas basados en estos modelos. Desafortunadamente, no siempre es posible aplicar métodos analíticos clásicos por diferentes razones: y y y
y
No se adecúan al modelo concreto. Su aplicación resulta excesivamente compleja. La solución formal es tan complicada que hace imposible cualquier interpretación posterior. Simplemente no existen métodos analíticos capaces de proporcionar soluciones al problema.
En estos casos son útiles las técnicas numéricas, que mediante una labor de cálculo más o menos intensa, conducen a soluciones aproximadas que son siempre numéricos. El importante esfuerzo de cálculo que implica la mayoría mayoría de estos métodos hace que su uso esté íntimamente ligado al empleo de computadores. De hecho, sin el desarrollo que se ha producido en el campo de la informática resultaría difícilmente imaginable el nivel actual de utilización de las técnicas numéricas en ámbitos cada día más diversos.
Objetivos y
y
y
y
Hacer uso de sistemas de cómputo y herramientas electrónicas para solucionar los problemas propuestos utilizando métodos numéricos. Ofrecer una presentación sistemática de algunos de los métodos y técnicas más importantes del Análisis Numérico. Resolución numérica de ecuaciones no lineales, de sistemas lineales e introducción a los sistemas no lineales. Aprender sobre la teoría del los tres métodos numéricos requeridos para diferenciar entre cada método y su utilidad.
Método de Euler Se llama método de Euler o de las rectas tangentes, al método numérico consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada. Una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de una ecuación diferencial. Suponga que se desea aproximar la solución del problema de valor inicial
Figura
1
1.1
Observe en la figura 1 que la pendiente de la recta tangente a la curva está dada por y es aproximadamente igual a la pendiente de la recta secante
Siempre y cuando
1.2
sea pequeño. De aquí obtenemos que
1.3
Con lo cual podemos usar el punto para construir el siguiente punto y así sucesivamente. De esta forma generamos la sucesión de puntos:
Los cuales son de esperar que se encuentren c er canos a los puntos
Al sustituir el valor aproximado de la derivada 1.2 en la ecuación diferencial del problema de valor inicial 1.1 obtenemos el método de Euler
1.4 1.5
Método de Euler Mejorado El
método de
Euler
modificado consta de dos pasos básicos:
1. Se parte de y se utiliza el método de Euler a fin de calcular el valor de correspondiente a , este valor de se denotará aquí como ya que sólo es un valor transitorio para , esta parte del proceso se conoce como paso predictivo.
2. El segundo paso se llama corrector, pues trata de corregir la predicción. En el nuevo punto obtenido se evalúa la derivada usando la ecuación diferencial ordinaria del PVI (problema con valor inicial) que se esté resolviendo; se obtiene la media aritmética de esta derivada y la derivada en el punto inicial .
Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. La fórmula es la siguiente:
2.1
Donde
2.2
Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:
Figura 2
En la figura 2, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto donde es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto como la aproximación de Euler mejorada.
Errores en los Métodos Numéricos También es conocido como dígitos significativos y se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. Él numero de cifras significativas es él numero de dígitos más un dígito estimado que se pueda usar con confianza. Por ejemplo: 0.00001845 0.0001845 0.00845 Los ceros no son siempre cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar el punto decimal. Los números antes mencionados tienen cuatro cifras significativas. Cuando se incluyen ceros en números muy grandes, no se ve claro cuántos ceros son significativos si es que los hay. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos. Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados, se deben desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos. Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas. A la omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo. Exactitud
y precisión
La precisión se refiere 1) al número de cifras significativas que representan una cantidad 2) la extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física. Por ejemplo: y
y
y
Cuando se hacen algunos disparos en un lugar de tiro al blanco la precisión se refiere a la magnitud del esparcimiento de las balas. La exactitud se refiere a la aproximación de un numero o de una medida al valor verdadero que se supone representa. La inexactitud (conocida como sesgo) se define como un alejamiento sistemático de la verdad.
Definiciones
de error
Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos.
Para los dos tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dada por:
Error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, esto es:
Errores
de redondeo
Este tipo de errores se deben a que las computadoras solo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Por ejemplo: si solo se guardan siete cifras significativas, la computadora puede almacenar y usar como y generando un error de redondeo.
Esta técnica de retener solo los primeros números se le llamo "Truncamiento" en el ambiente de computación de preferencia se le llamara de corte para distinguirlo de los errores de truncamiento discutidos. Un corte ignora los términos restantes de la representación decimal completa. Por ejemplo: el octavo número significativo en este caso es 6. Por lo tanto se representa de manera exacta como 3.141593 que como 3.141592 obtenido mediante un corte, ya que el valor está más cercano del valor verdadero. Esto se puede visualizar de la siguiente forma: si p se aproxima por , el error de redondeo se reduce a; «
Errores
de truncamiento
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto.
3.1 3.2
Se introdujo un error de truncamiento en la solución numérica ya que la ecuación de diferencias solo se aproxima el valor verdadero de la derivada. Error
numérico total
El error numérico total es la suma de los errores de redondeo y de truncamiento. (Los errores de truncamiento decrecen conforme él numero de cálculos aumenta, por lo que se encara el siguiente problema: la estrategia de disminuir un componente del error total lleva al incremento del otro).
Errores
por equivocación, de planteamiento o incertidumbre en los datos En los primeros años de la computación, los resultados numéricos erróneos fueron atribuidos algunas veces al mal funcionamiento de la computadora misma. Hoy en día, esta fuente de error es muy improbable y la mayor parte de las equivocaciones se pueden atribuir a errores humanos. Errores
de formulación
Los errores de formulación o de modelación degeneran en lo que se podría considerar como un modelo matemático incompleto. Un ejemplo de un error de formulación imperceptible es el hecho que la segunda Ley de Newton no explica los efectos de la relatividad.
Incertidumbre en los datos Algunas veces se introducen errores en un análisis debido a la incertidumbre (sin certeza) de los datos físicos sobre los que se basa el modelo.
Métodos de Runge-Kutta El objetivo de los métodos numéricos de Runge-Kutta, es el análisis y solución de los problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), estos son una extensión del método de Euler para resolver las (EDO¶S), pero con un orden de exactitud más alto que este. La convergencia lenta del método de Euler y lo restringido de su región de estabilidad absoluta nos lleva a considerar métodos de orden de convergencia mayor. El método de Euler se mueve a lo largo de la tangente de una cierta curva que esta "cerca" a la curva desconocida o buscada. Los métodos Runge-Kutta extienden esta idea geométrica al utilizar varias derivadas o tangentes intermedias, en lugar de solo una, para aproximar la función desconocida. Los métodos Runge-Kutta más simples se obtienen usando dos de estas derivadas intermedias. Métodos Runge-Kutta de dos Evaluaciones: Aquí buscamos métodos o fórmulas numéricas de la forma:
4.1
Note que a pesar de que en la fórmula se perciben tres , el método envuelve solo dos evaluaciones ya que dos de estas tienen los mismos argumentos. La idea ahora es determinar los parámetros de modo que el método tenga orden de convergencia lo más alto posible. Un análisis del error local de esta fórmula basado en el Teorema de Taylor muestra que el orden más alto que puede tener esta fórmula es dos y que esto puede ocurrir si y solo si:
4.2
Es decir si cumplen con estas condiciones, entonces para toda . Algunos casos especiales de estas fórmulas son:
Método
de Heun: Aquí se toma
de modo que el método reduce a: 4.3
Para propósitos de hacer cálculos es mejor escribir esta fórmula como:
Método
del Punto Medio: Aquí se toma
4.4
de modo que el método reduce a:
4.5
La ventaja de los mét odos de R ung e-Kutt a con respecto al uso de la serie de Taylor, que es también un método de un paso; es decir, los métodos de Runge-Kutta requieren sólo de la función f(X , Y) y de ninguna derivada, mientras que la serie de Taylor sí requiere de la evaluación de derivadas. Esto hace que, en la práctica, la aplicación de los métodos de Runge-Kutta sea más simple que el uso de la serie de Taylor. Un método de Runge-Kutta para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con error del orden de , de uso tan frecuente que en la literatura sobre métodos numéricos se le llama simplemente el Método de Runge-Kutta, se dará a conocer sin demostrar y consiste en aplicar la ecuación de recurrencia en donde la función está dada por la expresión:
4.6
En el cual
4.7 4.8 4.9 4.10
Esto se refiere a Runge-Kutta para el cuarto orden. La ecuación (4.6) se obtiene haciendo un promedio de las cuatro pendientes, k 1, k 2, k 3 y k 4 a la curva integral, en forma semejante a como se procedió con las pendientes de las tangentes T 1 y T 2 que dieron lugar a el método de Euler Mejorado. De esta forma se obtiene un valor con una mejor aproximación, de tal forma que el error acumulado con las sucesivas iteraciones para calcular el valor de la función a lo largo del tiempo disminuye respecto al método de Euler. Además se puede hacer que controle el tamaño del paso calculando el error en cada paso, y exigiendo que no se exceda ese error, se puede aumentar o disminuir ese paso, haciendo de Runge-Kutta, un método muy eficiente para la resolución de ecuaciones diferenciales.
Problemas a) Aplique el método de Euler mejorado para hallar una aproximación al valor indicado con cuatro decimales de precisión. Primero use h=0.1 y después h=0.05. a.1)
Para h=0.05
h=0.05
X
U(n+1) Y(n+1)
1.20
2.9190
2.9452
1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50
2.6784 2.4758 2.3059 2.1642 2.0468
2.7009 2.4952 2.3226 2.1786 2.0592
1.9503
1.9610
Para h=0.1
h=0.1
X
U(n+1) Y(n+1)
1.40 1.50
2.0216 1.8561
a.2)
2.0801 1.8997
Para h=0.05
Para X
h=0.05
0.40 0.50
Y(n+1) U(n+1) 0.1857 0.2270
0.1519 0.1971
Para h=0.1
Para h=0.1 X Y(n+1) U(n+1) 0.4 0.5
0.2622 0.3363
0.2655 0.3392
b) Use el método de Runge-Kutta de cuarto orden con h=0.1 para obtener una aproximación, con cuatro decimales a los siguientes problemas: b.1)
h=0.1
X
K1
K2
K3
K4
Y(n+1)
1.3000 1.4000 1.5000
-4.2731 -2.9108 -1.9194
-4.4731 -3.1108 -2.1194
-3.5021 -2.3442 -1.5015
-3.0225 -2.0075 -1.2689
2.2369 1.9731 1.7993
b.2)
h=0.1
X
K1
K2
K3
K4
Y(n+1)
0.4000 0.5000
0.7519 0.6954
0.7807 0.7200
0.7819 0.7209
0.8131 0.7474
0.3633 0.4354
c) En el siguiente problema elabore una tabla donde se comparen los valores indicados obtenidos con los métodos de Euler, de Euler mejorado y de Runge-Kutta de cuarto orden. Redondee sus cálculos a cuatro decimales y use h=0.1 y h=0.05
Para h=0.1 Euler Y(0.6)
Y(0.9)
X
(Yn+1)
X
(Yn+1)
0.5000
0.6000
0.5000
0.6000
0.6000
0.7095
0.7000
0.8283
0.8000
0.9559
Y(0.8) X
(Yn+1)
0.5000
0.6000
0.6000
0.7095
X
Y(n+1)
0.7000
0.8283
0.5000
0.6000
0.6000
0.7095
0.7000
0.8283
0.8000
0.9559
0.9000
1.0921
Y(1)
Para h=0.05 Euler Y(0.6)
Y(0.9)
X
Yn+1
X
Yn+1
0.5000
0.5500
0.5000
0.5500
0.5500
0.6024
0.5500
0.6024
0.6000
0.6573
0.6500
0.7144
0.7000
0.7739
Y(0.8) X
Yn+1
0.7500
0.8356
0.5000
0.5500
0.8000
0.8996
0.5500
0.6024
0.8500
0.9657
0.6000
0.6573
0.6500
0.7144
0.7000
0.7739
0.7500
0.8356
Y(1) X
Yn+1
0.5000
0.5500
0.5500
0.6024
0.6000
0.6573
0.6500
0.7144
0.7000
0.7739
0.7500
0.8356
0.8000
0.8996
0.8500
0.9657
0.9000
1.0340
0.9500
1.1044
Para h=0.1 Euler Mejorado Y(0.9) Y(0.6) X
Y(n+1)
U(n+1)
0.5000
0.5000
0.0000
0.6000
0.6048
0.6000
X
Y(n+1)
U(n+1)
0.5000
0.5000
0.0000
0.6000
0.6048
0.6000
0.7000
0.7143
0.7145
0.8000
0.8234
0.8333
0.9000
0.9317
0.9508
Y(0.8) X
Y(n+1)
U(n+1)
0.5000
0.5000
0.0000
0.6000
0.6048
0.6000
0.7000
0.7143
0.7145
0.8000
0.8234
0.8333
Y(1) Y(n+1)
U(n+1)
0.5000
0.5000
0.0000
0.6000
0.6048
0.6000
0.7000
0.7143
0.7145
0.8000
0.8234
0.8333
0.9000
0.9317
0.9508
1.0000
1.0396
1.0671
Para h=0.05 Euler Mejorado Y(0.6)
0.6500
0.6609
0.6598
X
Y(n+1)
Un+1
0.7000
0.7193
0.7182
0.5000
0.5000
0.0000
0.7500
0.7800
0.7789
0.5500
0.5512
0.5500
0.8000
0.8430
0.8419
0.6000
0.6049
0.6037
0.8500
0.9082
0.9071
0.9000
0.9755
0.9745
Y(0.8) Y(1)
X
Y(n+1)
Un+1
0.5000
0.5000
0.0000
X
Y(n+1)
Un+1
0.5500
0.5512
0.5500
0.5000
0.5000
0.0000
0.6000
0.6049
0.6037
0.5500
0.5512
0.5500
0.6500
0.6609
0.6598
0.6000
0.6049
0.6037
0.7000
0.7193
0.7182
0.6500
0.6609
0.6598
0.7500
0.7800
0.7789
0.7000
0.7193
0.7182
0.8000
0.8430
0.8419
0.7500
0.7800
0.7789
0.8000
0.8430
0.8419
0.8500
0.9082
0.9071
0.9000
0.9755
0.9745
Y(0.9) X
Y(n+1)
Un+1
0.9500
1.0451
1.0440
0.5000
0.5000
0.0000
1.0000
1.1168
1.1157
0.5500
0.5512
0.5500
0.6000
0.6049
0.6037
Para h=0.05 Runge-Kutta 4to Orden Y(0.6)
Y(0.9)
X
K1
K2
K3
K4
Y(n+1)
X
K1
K2
K3
K4
Y(n+1)
0.5000
1.0000
1.0247
1.0250
1.0494
0.5512
0.5000
1.0000
1.0247
1.0250
1.0730
0.5514
0.5500
1.0494
1.0735
1.0738
1.0977
0.6049
0.5500
1.0495
1.0736
1.0739
1.0978
0.6051
0.6000
1.0977
1.1213
1.1216
1.1450
0.6610
0.6000
1.0978
1.1214
1.1217
1.1451
0.6612
0.6500
1.1451
1.1683
1.1685
1.1915
0.7196
0.7000
1.1915
1.2142
1.2145
1.2371
0.7803
0.7500
1.2371
1.2595
1.2597
1.2819
0.8433
0.8000
1.2819
1.3040
1.3042
1.3261
0.9085
Y(0.8) X
K1
K2
K3
K4
Y(n+1)
0.8500
1.3261
1.3478
1.3480
1.3696
0.9759
0.5000
1.0000
1.0247
1.0250
1.0730
0.5514
0.9000
1.3696
1.3911
1.3913
1.4126
1.0455
0.5500
1.0495
1.0736
1.0739
1.0978
0.6051
0.6000
1.0978
1.1214
1.1217
1.1451
0.6612
0.6500
1.1451
1.1683
1.1685
1.1915
0.7196
0.7000
1.1915
1.2142
1.2145
1.2371
0.7803
0.7500
1.2371
1.2595
1.2597
1.2819
0.8433
X
K1
K2
K3
K4
Y(n+1)
0.8000
1.2819
1.3040
1.3042
1.3261
0.9085
0.5000
1.0000
1.0247
1.0250
1.0730
0.5514
0.5500
1.0495
1.0736
1.0739
1.0978
0.6051
0.6000
1.0978
1.1214
1.1217
1.1451
0.6612
0.6500
1.1451
1.1683
1.1685
1.1915
0.7196
0.7000
1.1915
1.2142
1.2145
1.2371
0.7803
0.7500
1.2371
1.2595
1.2597
1.2819
0.8433
0.8000
1.2819
1.3040
1.3042
1.3261
0.9085
0.8500
1.3261
1.3478
1.3480
1.3696
0.9759
0.9000
1.3696
1.3911
1.3913
1.4126
1.0455
0.9500
1.4126
1.4338
1.4340
1.4550
1.1172
1.0000
1.4550
1.4760
1.4762
1.4970
1.1910
Y(1)
Para h=0.1 Runge-Kutta 4to Orden Y(0.6)
Y(0.9)
X
K1
K2
K3
K4
Y(n+1)
X
K1
K2
K3
K4
Y(n+1)
0.5000
1.0000
1.0488
1.0500
1.0977
0.6049
0.5000
1.0000
1.0488
1.0500
1.0977
0.6049
0.6000
1.0977
1.1445
1.1455
1.1914
0.7194
0.6000
1.0977
1.1445
1.1455
1.1914
0.7194
0.7000
1.1914
1.2365
1.2374
1.2819
0.8431
0.8000
1.2818
1.3256
1.3264
1.3696
0.9757
0.9000
1.3696
1.4121
1.4129
1.4550
1.1169
Y(0.8) X
K1
K2
K3
K4
Y(n+1)
0.5000
1.0000
1.0488
1.0500
1.0977
0.6049
0.6000
1.0977
1.1445
1.1455
1.1914
0.7194
0.7000
1.1914
1.2365
1.2374
1.2819
0.8431
X
K1
K2
K3
K4
Y(n+1)
0.8000
1.2818
1.3256
1.3264
1.3696
0.9757
0.5000
1.0000
1.0488
1.0500
1.0977
0.6049
0.6000
1.0977
1.1445
1.1455
1.1914
0.7194
0.7000
1.1914
1.2365
1.2374
1.2819
0.8431
0.8000
1.2818
1.3256
1.3264
1.3696
0.9757
0.9000
1.3696
1.4121
1.4129
1.4550
1.1169
1.0000
1.4550
1.4966
1.4972
1.5384
1.2666
Y(1)
, utilice el método de Runge-Kutta de d) Dada la ecuación diferencial cuarto orden para determinar el porcentaje de error que se produce para la aproximación , sabiendo que y h=0.1. Utilice una aproximación de 5 decimales. Tabule los datos calculados en una tabla e indique cual es la solución. Si se utilizara el método aproximación de Euler ¿Cuál sería la diferencia de error entre Euler y Runge-Kutta en ?
h=0.1 Y(1.5)
X
K1
K2
K3
K4
Y(n+1)
1.00000
6.71828
8.73636
9.12076
11.79124
1.90373
1.10000
1.10000
13.16523
15.26353
24.17794
3.27265
1.20000
1.20000
21.31617
24.53476
49.30251
5.64273
1.30000
1.30000
34.20861
39.08396
100.19545
9.77740
1.40000
1.40000
54.49068
61.81353
199.14675
16.99666
1.50000
1.50000
86.20757
97.13758
105.26060
24.88750
e) El desplazamiento de cierta partícula esta descrito por la ecuación diferencial , donde se mide en metros y para cierto tiempo en segundos. Utilice el método de Euler Mejorado para aproximar el número de metros durante el primer segundo de movimiento. Suponga que en el tiempo igual a cero hay 0.47 metros, es decir y el tiempo esta en el intervalo con h=0.1
h=0.1
Usando:
Para
h=0.1
X(n)
Y(n+1)
U(n+1)
0.4
0.5378
0.5201
0.5
0.5528
0.5345
0.6
0.5669
0.5481
0.7
0.5801
0.5608
0.8
0.5922
0.5725
0.9
0.6034
0.5834
1
0.6137
0.5933
Se mueve 0.6137m en 1 segundo.
Conclusiones El estudio de los métodos numéricos, es muy útil e importante como herramientas en la resolución de operaciones, en algunos casos muy complicadas y casi imposibles de resolver, ya que por más que se dominen los métodos tradicionales, estas muchas veces pueden no ser suficientes. Son métodos más eficientes que las herramientas básicas de solución de Ecuaciones de Orden Superior (EDOS). Su programación en un sistema de computo (Microsoft Excel) es mucho más sencillo y sistemático. Puede aprovecharse una aproximación a la solución, si tal aproximación existe. Son menos sensibles a los errores de redondeo ya que esto puede ser ajustado usando aproximaciones con más decimales.
Bibliografías Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, Ing. M. A. Oscar Montes Estrada, (No tiene más información)
Referencias Electrónicas http://www.monografias.com/trabajos73/metodos-numericos-metodo-eulermejorado/metodos-numericos-metodo-euler-mejorado.shtml Por: Paula Fernigrini http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/Euler_mejorado.htm http://www.monografias.com/trabajos10/menu/menu.shtml Por: Sergio Ramírez
http://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/kungeruta/index.html http://mate.uprh.edu/~pnm/notas4061/rungek/rungek.htm http://www.itmorelia.edu.mx/electrica/Notas/Lino_Coria/Metodos_Numericos/MET ODOS_DE_RUNGE_KUTTA.pdf Videos de la Universidad Veracruzana, Facultad de Ingeniería Química, elaborados por Roselia Galmiche Santos, Elizeth Rocha Garcia, Sandra Maria Perez Sanchez supervisado por el Ing. Candelario Trejo Flores http://www.youtube.com/watch?v=HPTEdI4aZwU Método de Euler http://www.youtube.com/watch?v=aB8_x7szgMA&feature=mfu_in_order&playnext=1&vide os=R5IJwCTpFNI Método de Euler Modificado o Mejorado
http://www.youtube.com/watch?v=Tsg7wTdvtLs Método de Runge-Kutta (Parte 1) http://www.youtube.com/v/H5ssEUEweTg?fs Método de Runge-Kutta (Parte 2)
