ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 1) ECUACIONES LINEALES DE ORDEN N Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:
En donde si , la ecuación diferencial se denomina homogénea, pero si ecuación diferencial se denomina no homogénea. homogénea.
, entonces la
Pri ncipio nci pio de Superposici uperposici ón o li neali dad
Sean soluciones de una ecuación diferencial homogénea de orden n, entonces la combinación lineal de estas es: También es solución de dicha ecuación diferencial Dependencia Dependencia e I ndepe ndependencia l i neal
Se dice que las funciones ecuación
Donde
son linealmente independientes si la única solución de la
.
En caso contrario, contrario, es decir, si alguna de de las constantes no es nula, las funciones son linealmente dependientes. Wronskiano
Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene-Wronski, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales. El Wronskiano se obtiene al resolver el determinante que está conformado por un conjunto de funciones y sus derivadas. Supongamos que las funciones poseen al menos derivadas, entonces el Wronskiano está dado por:
Para el caso de tres funciones
Uno de los usos más importantes del Wronskiano en las ecuaciones diferenciales es el de verificar si un conjunto de soluciones es linealmente li nealmente independiente o no. Dado un conjunto de soluciones de una ecuación diferencial homogénea de orden n, dicho conjunto de soluciones es linealmente independiente si y solo si, en algún punto de un intervalo se cumple que
Ejemplo ilustrativo Determine, mediante el Wronskiano, si las funciones dadas son linealmente independientes o linealmente dependientes en el intervalo
| |
Remplazando valores en
Se tiene
Resolviendo el determinante de orden 3 por el método de Sarrrus
Como
, entonces, las funciones son linealmente independientes
2) ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES Una ecuación diferencial homogénea de orden superior tiene la forma:
Y tiene como solución general la función
, por lo tanto su ecuación auxiliar viene dada por:
Estas ecuaciones puede generar muchas combinaciones, sin embargo, se presentan tres casos que ayudarán en la resolución de las mismas.
1) Primer Caso: Múltiples raíces diferentes Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales diferentes, es decir , entonces la solución general tiene la forma
2) Segundo Caso: Múltiples raíces iguales Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales e iguales, es decir , entonces la solución general tiene la forma
3) Tercer Caso: Múltiples raíces iguales
Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son conjugadas complejas, complejas, es decir,
es una raíz compleja de multiplicidad k, y sus raíz conjugada también es una raíz compleja de multiplicidad k, entonces con base en 2k soluciones complejas se tiene como solución general
( ) ) ( )
Ejemplos ilustrativos
1) Resolver
Solución: La ecuación auxiliar es: Factorando se tiene Las raíces son
Entonces la solución general es
Graficando para valores arbitrarios
2) Comprobar que
Solución
se obtiene:
Calculando la primera derivada de
es la solución de
Calculando la segunda derivada
Calculando la tercera derivada
Remplazando valores en
Como se quería comprobar
3) Encontrar la ecuación diferencial cuya solución es:
Solución:
Se observa que
Entonces
Por lo tanto al eliminar los paréntesis se obtiene la ecuación auxiliar
Entonces la ecuación pedida es
3) ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:
En donde si
, la ecuación diferencial se denomina no homogénea. homogénea.
La solución general es una combinación lineal de dos tipos de soluciones, una solución complementaria y una solución particular La solución complementaria
satisface la ecuación homogénea
Esta ecuación se la puede resolver empleando los procesos antes mencionados para la ecuación homogénea de coeficientes constantes
La solución particular
satisface la ecuación no homogénea
Esta ecuación se la puede determinar empleando el llamado método de los coeficientes indeterminados para determinar En estas condiciones, de acuerdo a la forma de
1) Si
, entonces,
Ejemplos Si Si Si Si
2) Si
, entonces,
Ejemplos Si Si Si Si
3) Si
, la solución particular
, entonces
tiene los siguientes casos
Ejemplos Si Si Si Si Si Si
Si Si Si
Casos especiales tomando en cuenta las raíces de la ecuación auxiliar Ejemplos ilustrativos
1) Dado
, entonces
La ecuación auxiliar es
con raíces
La parte expoencial de
y
; por lo tanto
2) Dado
La ecuación auxiliar es
La parte exponencial de Como
con raíces
; por lo tanto
3) Dado
La ecuación auxiliar es
con raíces
La parte exponencial de
Puesto que hay dos raíces iguales a la l a parte exponencial de
, por lo tanto
4) Dado
La ecuación auxiliar es
La parte exponencial de
con raíces
Puesto que hay tres raíces iguales a la parte exponencial de
, por lo tanto
5) Dado
La ecuación auxiliar es
con raíces
El coeficiente del ángulo de
Como
y
; por lo tanto
6) Dado
La ecuación auxiliar es
con raíces
, de donde
El coeficiente del ángulo de
Como
; por lo tanto
Nota: Las letras A, B, C, D, E y F de letras, así por ejemplo
pueden remplazarse entre si o ser remplazandas por otras
Casos especiales tomando en cuenta la multiplicidad Ejemplos ilustrativos
1) Dado
, entonces
La ecuación auxiliar es
con raíces
La solución complementaria es
Se asume que la solución particular es
Se verifica que entre de , por lo tanto
2) Dado
con
no hay multiplicidad, ya que
, entonces
La ecuación auxiliar es
La solución complementaria es
con raíces
no es múltiplo
Se asume que la solución particular es Se verifica que entre
con
si hay multiplicidad, ya que
Por lo tanto se debe multiplicar
por x, quedando
Nuevamente se verifica entre con
con
es múltiplo de
sigue existiendo multiplicidad entre
Por lo tanto la solución particular se multiplica nuevamente por x para que no exista multiplicidad, quedando
3) Dado
, entonces
La ecuación auxiliar es
con raíces
La solución complementaria es
Se asume que la solución particular es
Se verifica que entre con lo tanto se multiplica la solución particular por x
4) Dado
si hay multiplicidad, por
, entonces
La ecuación auxiliar es
con raíces
La solución complementaria es
Se asume que la solución particular es
Se debe vericar la multiplicidad multipli cidad en forma individual Se verifica que entre debe multiplicar
con por x, quedando
Se verifica que entre con multiplicar por x, quedando quedando
Se verifica de nuevo que entre con debe multiplicar por x, quedando quedando Por lo tanto la solución particular queda
si hay multiplicidad, por lo tanto se
si hay multiplicidad, por lo tanto se debe si hay multiplicidad, por lo tanto se
Notas: Una vez obtenida la complementaria y la ecuación particular se procede a resolver como en casos anteriores. Próximamente se publicará las respectivas de tareas de cada uno de los temas. Se recomienda visitar las siguientes direcciones en donde se encontrará artículos sobre Aritmética, Álgebra, Geometría, Probabilidades, Probabilidades, Estadística Descriptiva, Descriptiva, Estadística Inferencial y planificaciones planificaciones por módulos curriculares curriculares http://repositorio.utn.edu.ec/handle/123456789/24 http://www.monografias.com/usuario/perfiles/mario_suarez_7/monografias http://es.scribd.com/mariosuarezibujes https://docentesinnovadores.net/Usuarios/Ver/29591 http://articulosmatematica.blogspot.com
Cordialmente Mgs. Mario Suárez
