Índice Introducción ................................................. ........................................................................... .................................................... .......................................... ................ iii Desarrollo: Ecuaciones diferenciales d iferenciales ordinarias ................................................. .............................................................. ............. 4 1.- Fundamentos de ecuaciones ecu aciones diferenciales ................................................ ............................................................. ............. 4 1.1.- ¿Qué es una ecuación diferencial? ................................................. .................................................................. ................. 4 1.2- La Solución de una Ecuación Diferencial ................................................. .......................................................... ......... 6 2.- Métodos de un paso .................................................... .............................................................................. ........................................... ................. 8 2.1.-Método de Euler ............................ ..................................................... ................................................... ........................................... ................. 8 2.2.- Método de Euler mejorado ............................ ..................................................... ................................................... .......................... 9 2.3.- Métodos de Runge-Kutta ................................................................. ............................................................................... .............. 10 Conclusión........................................................................ .................................................................................................. ............................................. ................... 14
ii
Introducción
En este trabajo se hablara sobre los métodos numéricos aplicados a resolver ecuaciones diferenciales, que en muchos de los casos nos facilitara la tarea que a veces nos cuesta resolver las mismas por los métodos enseñados en el curso de matemáticas 5: ecuaciones diferenciales. La finalidad de saber utilizar estos métodos es poderlos programar y poder reducir tiempo para encontrar la respuesta, ya que si aplicas ecuaciones diferenciales para un caso específico, ya sea en tu trabajo o para resolver algún problema en concreto, estos métodos nos dan las ventajas de poder utilizar la tecnología actual y ahorrar un tiempo que puede ser utilizado en otras actividades.
iii
Desarrollo: Ecuaciones diferenciales ordinarias 1.- Fundamentos de ecuaciones diferenciales 1.1.- ¿Qué es una ecuación diferencial? Las ecuaciones diferenciales son algo nuevo para nosotros. Sin embargo ya estamos familiarizados con el problema de resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones algebraicas, y también tenemos una idea clara de lo que es una solución aun cuando en muchos casos no podemos encontrarla, como es el caso de las ecuaciones de alto grado o que involucran funciones trascendentes. En las ecuaciones que ya conocemos pueden aparecer una o más variables. Las primeras pueden definirse como expresiones del tipo F ( x ) = 0
donde x representa la variable en cuestión y F una función real de variable real cuya regla de correspondencia está dada en términos de sumas, productos, o potencias de funciones familiares como la idéntica, el logaritmo, las funciones trigonométricas o las inversas de éstas. Si la ecuación tiene más de una variable, digamos x 1, x 2,..., x n entonces quedaría definida como una expresión del tipo F ( x 1 , x 2 ,..., x n) = 0
siendo F una función de R n en R m. En este caso la ecuación es vectorial y constituye lo que conocemos como un sistema de ecuaciones. Si el sistema tiene tantas ecuaciones como incógnitas es de la forma siguiente:
Aquí el problema consiste en resolver simultáneamente varias ecuaciones y conocemos métodos aplicables cuando F es una función lineal.
Ejemplos de los tipos de ecuaciones mencionadas anteriormente son: i) x + 2 = 0 ii) x 2 + 3 x + 2 = 0 4
iii)
sen2 x + cos2 x − 1 = 0
iv) 2 x + y + 3 = 0
v) Utilizando el lenguaje del cálculo diferencial podemos escribir ecuaciones donde aparezca una función f : R →R , su variable x , y derivadas de diferentes órdenes de f como por ejemplo: i)
f '( x ) − 5 = 0
ii)
8 f ’’ ( x ) + 6 f 0( x ) + 3 f ( x ) + 2 =0
iii)
f (vi)( x ) + f ( x ) = 0
iv)
( f ’’( x )) 3 + 2 xf ( x ) + sen x = 0
que son ecuaciones del tipo F ( x, f ( x ) , f ’( x ) ,..., f (n)( x )) = 0
y son llamadas ecuaciones diferenciales ordinarias. El orden de la mayor derivada que aparezca es entendido como el orden de la ecuación diferencial . Podemos también escribir sistemas de ecuaciones deferenciales donde aparezcan dos o más funciones de una misma variable como por ejemplo:
Constituye un sistema de ecuaciones ordinarias, los cuales en general son de la
forma: el orden de la mayor derivada que aparece se define como el orden del sistema de ecuaciones diferenciales. El sistema que se dio en el ejemplo anterior es entonces uno de primer orden. Hay otros tipos de ecuaciones que pueden ser considerados como por ejemplo aquel donde aparece una función f de Rn en R, sus variables y derivadas parciales de diferentes órdenes: i)
Si f : R 3 →R , f = f ( x, y, z )
5
ii)
Si f : R 2 →R , f = f ( x, y )
iii)
Si f : R 4 →R , f = f ( x, y, z, t )
Estas ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales parciales y también en este caso el orden de la ecuación se define como el orden de la mayor derivada que aparezca. Todas estas son ecuaciones funcionales pues las incógnitas no son números sino funciones. Existen otros tipos de ecuaciones funcionales como las ecuaciones integrales y las integro-diferenciales pero por el momento estamos interesados en las ecuaciones diferenciales y de estas especialmente en las ordinarias.
1.2- La Solución de una Ecuación Diferencial Hemos visto que es posible, utilizando el lenguaje del Cálculo, escribir un nuevo tipo de ecuaciones: Las ecuaciones diferenciales. Junto con ellas surge también un problema, el de resolverlas. Pero, ¿qué significa resolver una ecuación diferencial? Antes de responder a esta pregunta regresemos a aquellas ecuaciones para las cuales estamos familiarizados con el problema de obtener soluciones. Consideremos el caso de una ecuación del tipo F ( x ) = 0
por ejemplo x 2 − 4 x + 3 = 0
(1)
Cuando nos planteamos el problema de encontrar soluciones de esta ecuación estamos suponiendo que existe un conjunto X donde la variable x puede tomar valores. En general la ecuación no es válida para toda x ∈ X y el problema de resolver la ecuación consiste en encontrar S ⊂ X tal que F ( x ) = 0 si y sólo si x ∈ S . S conforma el conjunto de soluciones y los elementos de S son llamados soluciones de la ecuación. Para la ecuación (1), sabemos que S = {1 , 3}
y por lo tanto decimos que 1 , 3 son soluciones. Ejemplos:
6
i) ii) iii) iv) v) vi)
x + 2 =0 , en R tiene como solución al número -2. x + 2 = 0 , en R+ = { x ∈R | x > 0} no tiene solución. x 2 −3 x + 2 = 0 , en [0, 1] tiene una única solución, x =1. x 2 −12 x + 35 = 0 , en R tiene a 7 y 5 como únicas soluciones. x 2 +x + 1 = 0 , en R no tiene solución alguna. 1+ sen x = 0 , en R tiene una infinidad de soluciones.
De forma análoga a los ejemplos anteriormente considerados, al escribir una ecuación del tipo F ( x, f ( x ) , f’ ( x ) ,• • • ,f (n)( x )) = 0
se está pensando que existe un cierto conjunto de funciones X donde la ecuación (1) está bien definida. En este caso X necesariamente tendrá que ser un subconjunto del conjunto de funciones que tienen derivadas hasta de orden n en algún subconjunto de R, que para simplificar vamos a considerar que es un intervalo I X = n f : I →R |∀i = 1 ,• • • ,n ∃ f (i)( x ) ∀ x ∈ I.
La ecuación no es válida para toda f ∈ X y resolverla es encontrar el subconjunto .
Los elementos de S son llamados soluciones de la ecuación diferencial. Ejemplo: La función φ( x ) = senkx ∀ x ∈R elemento de X = { f : R →R |∃ f 0( x ) ,f 00( x )∀ x ∈R }
es una solución de la ecuación diferencial: y ’’( x ) + k 2 y ( x ) = 0
ya que φ’( x ) = k coskx φ’’( x ) = −k 2senkx = −k 2φ( x )
o lo que es lo mismo φ’’( x ) + k 2φ( x ) = 0 ∀ x ∈ R .
Ejemplo:
f : (0 ,∞) →R tal que
es una solución de la ecuación
7
en (0 ,∞) pues
2.- Métodos de un paso 2.1.-Método de Euler El Método de Euler o de las Tangentes constituye el primer y más sencillo ejemplo de método numérico para la resolución de un problema de valor inicial: y „= f ( x, y ) ,
y ( x 0) = y 0
donde suponemos además que se verifican las hipótesis del Teorema de Picard 1, y en consecuencia existe solución única para el problema. Interpretando la e.d.o. y ‟ = f ( x, y ) como un campo de direcciones en el plano x − y y la condición inicial y ( x 0) = y 0 como un punto ( x 0 , y 0) de dicho plano, podemos aproximar la función solución y ( x ) por medio de la recta tangente a la misma que pasa por ese punto: y ( x ) y0 f x0 , y0 ( x x0 )
donde se ha utilizado que la pendiente de dicha tangente es: m = y ’( x 0) y, en consecuencia: m = f ( x 0 , y 0). Calculamos así de manera aproximada el valor de la solución y en el punto de abscisa x 1 como: y ( x1 ) y1
y0 f ( x0 , y0 )( x1 x0 )
y con este punto (aproximado) ya calculado, podemos repetir el método para obtener otro punto aproximado ( x 2 ,y 2) de la forma: y ( x2 ) y2
y1 f ( x1 , y1 )( x2
x1 )
y así sucesivamente. Es habitual en este método tomar abscisas equiespaciadas, es decir, calcular la solución aproximada en puntos de la forma: x n = x n−1 + h = x 0 + nh, siendo h el paso del método. De esta forma se obtienen las fórmulas que nos determinan la solución aproximada en la forma:
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x n = x n−1 + h; y n = y n−1 + f ( x n−1 ,y n−1)h
Desde el punto de vista geométrico, tenemos en definitiva que el Método de Euler aproxima a la función solución por medio de una línea poligonal, la aproximación será tanto peor cuanto mayor sea en número de pasos, es decir, cuanto más “lejos” nos encontremos del punto inicial ( x 0 , y 0). Por otro lado, el error será evidentemente tanto mayor cuanto más grande sea el “paso” del método, h. Ejemplo: Resolveremos el problema de valor inicial
por el método de Euler con h = 0.1 para los puntos x = 1.1 ,1.2 , 1.3 , 1.4 y 1.5. En este problema tenemos h = 0.1, ( x 0 , y 0) = (1 ,4) y la función f ( x, y ) es: f ( x, y ) = x √y. Por tanto:
yn
yn
1
xn
yn 1 h
1
Dado que el problema se puede resolver también de forma exacta, presentamos en la tabla y grafica siguientes los resultados: i
x i
0 1 2 3 4 5
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
y i
4 4.2 4.42543 4.67787 4.95904 5.27081
Sol. Exacta 4 4.21276 4.45210 4.71976 5.01760 5.34766
5.2 5 4.8 4.6 4.4 4.2
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2.2.- Método de Euler mejorado Veremos a continuación una variante del Método de Euler, llamado habitualmente Método de Euler Modificado. Se trata de un método más preciso que el de Euler y además más estable. La idea fundamental del método modificado es usar el método de los trapecios para integrar la ecuación y ’ = f ( x,y ). Tomaremos así, en el intervalo [ x 0 , x − 1]:
Repitiendo el razonamiento, tendremos
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si la función f es lineal en la variable y , entonces es posible despejar fácilmente y n+1 en la ecuación anterior. Si no es lineal, entonces necesitamos un método numérico para calcular la correspondiente y n+1, típicamente se utiliza el método de las sustituciones sucesivas. Veamos un par de ejemplos para aclarar estas ideas: Ejemplo 1: Si consideramos la ecuación lineal: y ' = ay + cos x
Entonces:
Ejemplo 2: Tomemos ahora el siguiente problema de valor inicial basado en una ecuación no lineal: y (0) = 10 +1 ;
El método requerirá ahora la resolución de:
2.3.- Métodos de Runge-Kutta La idea general de los Métodos de Runge-Kutta es sustituir el Problema de Valor Inicial:
Por la ecuación integral equivalente:
para proceder a aproximar esta última integral mediante un método numérico adecuado (recordemos que y ( x ) es desconocida). Si nuevamente planteamos el problema “paso a paso” tendremos:
2.3.1 Método de Runge-Kutta de segundo orden La primera opción que podemos aplicar es integrar mediante el método de los trapecios, es decir tomando:
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al ser desconocida y n+1 en la expresión anterior, lo aproximaremos por y ¯ n+1, donde y ¯ n+1 es la estimación de y n+1 que resultaría aplicando el método de Euler. Tendremos así: con y n
1
y n
hf ( xn , y n )
y llegaremos a la expresión del método:
lo normal es presentar el método con las expresiones siguientes: k 1
hf ( xn , yn ) ;
k 2
hf ( xn 1 , y n
k 1 )
Comparando este método con el método de Taylor de segundo orden, es posible demostrar que el error local es también proporcional a h3 y, por tanto, el global lo es a h2. 2.3.2 Método de Runge-Kutta de tercer orden Se trata de la misma idea pero integrando por el Método de Simpson, entonces:
donde y e n 1
y n
1
son estimaciones, puesto que
no son conocidos.
2
La estimación de y n
1
se hace por el método de Euler:
2
mientras que la estimación de ejemplo:
y n 1
yn
se pueden considerar varias opciones, por
1
yn
hf ( xn , yn )
es decir el Método de Euler de nuevo, o por ejemplo:
11
que consiste en variar el Método de Euler tomando la pendiente de la recta tangente en el punto medio en vez de la tangente en el punto propiamente dicha. Finalmente, lo más usual es tomar una combinación de las dos opciones 2:
podemos entonces resumir el Método de Runge-Kutta de tercer orden en la forma:
Finalmente, añadir que el error local en el Método de tercer orden es proporcional a h4 y en consecuencia el global lo es a h3. 2.3.3 Método de Runge-Kutta de cuarto orden Los Métodos de Runge-Kutta de cuarto orden se deducen de una manera similar a la expuesta en la sección anterior para el caso de tercer orden. Ahora se introduce un nuevo paso intermedio en la evaluación de la derivada. Una vez más se presentan varias opciones en la evaluación y es posible ajustar de tal manera que se garantice el error local de manera proporcional a h5 (es decir garantizando exactitud en el cuarto orden en el polinomio de Taylor), lo cual lleva a un error global proporcional a h4. El Método de cuarto orden más habitual es el determinado por las formulas siguientes:
que al igual que el método de tercer orden está basado en el método de interacción de Simpson. Los errores local y global son en este caso proporcionales a h5 y h4 respectivamente.
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Ejemplo: Resolver por un método de Runge-Kutta de cuarto orden el problema de valor inicial: '
2
y = x − 3y
;
y (0) = 1
en el intervalo 0 ≤ x ≤ 0.4, con h = 0.1. Tenemos que x 0 = 0, y 0 = 1, y f ( x,y ) = x 2− 3y . Para x 1 = 0.1 l ordenada correspondiente será: con
y así:
y 1 = 0.741148
de manera análoga se determinan los puntos: ( x 2, y 2) = (0.2, 0.551151); ( x 3, y 3) = (0.3, 0.413894); ( x 4, y 4) = (0.4, 0.317435) La solución exacta es:
De manera que: y (0.1) = 0.741127; y (0.2) = 0.551121; y (0.3) = 0.413860; y (0.4) = 0.317402
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Conclusión
Podemos ver que gracias a la tecnología actual y a algunos conocimientos que nos dejaron nuestros antecesores conjuntamente tenemos herramientas muy poderosas que nos permiten resolver situaciones de una manera rápida y sencilla, utilizando alguno de los métodos que en este trabajo se vieron. Los métodos numéricos aquí descritos si nos facilitan la resolución de ecuaciones diferenciales pero el verdadero potenciales en estos es utilizar las computadoras para programar estos métodos y de esta forma minimizar al máximo el tiempo para la resolución de los mismos.
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