“AÑO DE LA CONSOLIDACION DEL MAR DE GRAU” ELECTRÓ ELECTRÓNICA NICA Y AUTOMAT AUTOMATIZACIÓN IZACIÓN INDUSTRIAL LABORATORIO LABORATORIO N°11
“Análisis de Ecuacines Di!e"enciales O"dina"ias de O"den Su#e"i"” Cu"s$ Ma%e&á%ica A#licada A#licada a
Elec%"'nica Docente:
(uli Ma"%in R&e" M"an%e Integrantes:
)ua&an C*i#ana Eli
2016- II Índice general
la
1. Introducción...................................................................................................ii 2. Objetivos generales......................................................................................ii 3. Objetivos específicos....................................................................................ii 4. Fundamento teórico:.....................................................................................1 4
cuaciones !iferenciales Ordinarias lineales de Orden "uperior ……… .1
41 cuación de #auc$%&uler'''''''''''''''''''''1 42 cuaciones (u)iliares'''''''''''''''''''''''1 4! )istencia de una
solución *nica +#ondición "uficiente, ''''''...1
44 Operadores diferenciales'''''''''''''''''''''...1
-rincipio de superposición +ecuaciones $omogneas, ...''''''...1 /. -roblemas propuestos..................................................................................4 4"
0. #O#"IO"..........................................................................................13 . 5I5IO67(F8(.............................................................................................13
Introducción:
+
Ahora pasaremos a resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden o mayor. En las siete primeras secciones del capítulo examinaremos algo de la teoría y métodos para resolver ciertos tipos de ecuaciones lineales. En la sección 4.8 presentamos el método de eliminación, para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, porue es un método !"sico, ue simplemente desacopla un sistema para llegar a ecuaciones lineales individuales, de orden superior, en cada varia!le dependiente. El capítulo termina con un !reve estudio de ecuaciones no lineales de orden superior.
9arco teórico ,
cuaciones de orden superior #ara las E$%&s de n'ésimo orden de la forma y . n - + P n−+ . x- y . n −+-
+ 11111 + P + . x- y/0+ P 2 . x- y = f . x-
= u+ y+ + u , y, + 1111111 + u n yn 0 ,
donde yi3 i = +3,111111113 n3 son la familia de y soluciones independientes ue forman c 0 . Así( tomamos
y p
y+u+ 0+ y,u , 0+11111 + yn un 0 = 2 y u 0+ y u 0+11111 + y u 0 = 2 n n + + , , 1 1 1 )uposiciones para simplificar la E$% y+
. n −+-
u 0+ + y ,
. n −+-
u 0 , +11111 + y n u k
=
. n−+-
u 0n = f . x -
W k
W con + -, , …, n. *ue nos lleva a las ecuaciones solución $onde / es el 0rons+iano de la y1s y /+ es el determinante ue se o!tiene de sustituir en / la +'ésima columna por 23, 3,..., f2x.
cuación de #auc$%&uler Forma de ecuación de #auc$%&uler a n x
n
d n y dx
n
+
a n + x n −
+
−
d n dx
−+ + n −+
11111 + a+ x
dy dx
+
a2 y = g . x-
9todo de solución #ro!amos y . x- = x , donde de!emos determinar m, para resolver la ecuación homogénea asociada( %!serva ue m
a k x k
d k y dx
k
=
=
a k x k m .m − +-.m − ,-111111. m − k + +- x m
−
k
a k m.m − +-. m − ,-111111. m − k + +- x m
. a n m.m − +-.m − ,-111111. m − n + +- + 11111 + a+m + a2 - x m
4
=
2
cuación au)iliar ax
,
d , y dx ,
+
bx
dy dx
+
cy = g . x-
#ara n = ,3 y = x 3 tenemos m
. am.m − +- + bm + c- x m am ,
+
=
23 o
.b − a - m + c = 2
#aso 1: 7aíces reales % distintas y ,
Re solver
d y
,
x
dx
,
+ , x
dy dx
= c+ x m + c, x m +
− 5 y = 2
Solucion Tenemos a = +3 b = −,3 c = −5
− 4m − 5 = 23 m = −+353 y = c+ x + + c , x 5 m,
−
#aso 2: 7aíces reales repetidas Dedujimos y ,
=
5 y
luego
Re solver
x m+ ln x c+ x m+
=
5 x
,
d , y dx
,
+
c , x m+ ln x
+ 6 x
dy dx
+ y = 2
Solucion $ Tenemos a = 53 b = 63 c = + 5m , y
+ 5m + + = 23 m = − + , 3− + ,
= c+ x
−+
,
+ c, x
−+
,
ln x
#aso 3: 7aíces complejas conjugadas x m+ 3 x m+ ln x3 x m+ .ln x - , 31111113 x m+ .ln x - k + −
#aso 3: raíces complejas conjugadas 5
,
m+ y
=
=
α + iβ 1m ,
c+ x .α
+
iβ -
+
=
α − iβ 3
c , x .α
−
iβ -
como x iβ x
−
=
iβ
.e ln x - iβ
=
=
e iβ ln x
cs. β ln x - + isen . β ln x -
=
cs. β ln x- − isen . β ln x-
luego c+ x α cs. β ln x - + c , x α isen . β ln x -
y
=
=
x α c+ cs. β ln x - + c , isen . β ln x-
cuaciones lineales: teoría bsica 5n pro!lema de valor inicial de n'ésimo orden consiste en resolver la E$% lineal( an . x -
d n y dx n
+
a n + . x −
d n
+
−
dx n
+
−
+
111111111a+ . x -
dy dx
+
a2 . x - y = g . x-
su6eta a las n condiciones iniciales( y . x2 - = y 2 3 y 0 . x2 - = y+ 111111 y
. n −+-
. x2 - = y n−+
7esolverlo consiste en encontrar una función y2x en definida en un intervalo y ue contiene a x3, donde se cumplen la ecuación y las condiciones iniciales.
)istencia de una solución *nica +#ondición suficiente, a . x -3 an + . x-11113 a2 . x-3 yg . xa . x - ≠ 2 )ea n continuas en , con n para todo x de . )i x x3 es cualuier punto de este intervalo, entonces existe una solución y2x del pro!lema anterior en y es 9nica. −
4 y m
+
E6emplo( 8 y n
+
y 0+7 y
=
23 y .+- = 23 y 0 .+- = 23 y n .+- = 2
posee la solución trivial y 2x 3. :omo es una E$ de tercer orden lineal con coeficientes constantes, y2x 3 es la 9nica solución en cualuier intervalo ue contenga a x -.
8
, x E6emplo( :omprue!a ue y = 4e
y 0 0−5 y
+
e
,x
−
−
4 x es la 9nica solución de solución de(
= +, x3 y.2- = 53 y 0 .2- = +
;a E$ es lineal, los coeficientes y g2x son todos funciones continuas, y a2x es distinto de 3 en cualuier intervalo ue contenga x 3. ;a solución propuesta cumple la E$% y es 9nica en . :omprue!a ue y cx < x < = es solución del #>( x , y n − , y 0+, y = 93 y .2- = 43 y 0 .2- = + en toda la recta real. Este #> tiene infinitas soluciones. %!serva ue el coeficiente de la derivada a 2x x m"s alta se hace cero en x 3 y ese punto necesariamente tiene ue estar incluido en porue lo imponen las condiciones iniciales
-roblemas de valores en la frontera:
7esolver( )u6eta a(
a, . x -
d , y dx
,
+
a . x -
dy dx
+
a2 . x- y
=
g . x-
y . a - = y2 3 y .b- = y+
se llama pro!lema de valor en la frontera 2#>? y a las restricciones se conocen como condiciones de contorno o condiciones en la frontera.
ota: ;as condiciones de contorno pueden ser tam!ién so!re las derivadas. >imos ue x = c+ cs 5t + c , sin 5t era solución de x0 0++9 x = 2
a, )upongamos el #>?
x0 0++9 x
π = 21 x.2- = 23 x = 2 ,
)i x 23 3, entonces c- 3, y x2t c sen4t. )i x2@ 3, o!tenemos 3 3 independientemente de c, . $e modo ue tenemos
infinitas soluciones b, )i
2 x2t3, solución 9nica. π x0 0++9 x = 21 x.2- = 23 x = + , )i Benemos ue c, = 23+ = 2 2contradicción. o $a% solución.
Benemos ue c,
c,
π = 2 6 .
x0 0++9 x = 21 x.2- = 23 x =
23 c,
=
9
a siguiente !O lineal de orden n: an . x -
d n y dx
n
d n + y −
+
a n + . x−
dx
n −+
+
1111111 + a+ . x -
dy dx
+
a2 . x- y
=
g . x-
se dice ;ue es no $omognea. an . x-
d n y
d n + y −
+
an + . x -
+
1111111 + a+ . x -
dy
dx n dx n + dx si g2x 3 la ecuación es homogénea. −
−
+
a2 . x - y = g . x-
>eremos ue para resolver una ecuación no homogénea tendremos ue resolver tam!ién la ecuación homogénea asociada.
Operadores diferenciales
dy Dy = dx . Al sím!olo $ se le llama operador diferencial. $efinimos a )ea un operador diferencial de n'ésimo orden u operador polinominal como L
= an . x- D n + an−+ . x- D n −+ + 1111111 + a+ . x- D + a2 . x-
El operador diferencial ; es un operador lineal( L{α f . x - + β G . x -} = α L. f . x -- + β L. g . x --
#odemos escri!ir las E$%&s anteriores simplemente como ;2y 3 y ;2y g2x
-rincipio de superposición +ecuaciones $omogneas,
y 3 y 311111 y k )ean + , soluciones de una ecuación diferencial homogénea de n'ésimo orden en un intervalo . Entonces la com!inación lineal
y = c+ y+ . x- + c, y , . x- + 111111 + ck y k . x c I = +3,1111113 k 3 donde p son constantes ar!itrarias, tam!ién es una solución en el intervalo.
E6emplo( ;as funciones y+ x 4 y m − , xy 0+5 y = o
= x , 3 y, = x , = x , ln x son am!as soluciones en 23, C de 7
,
,
;uego y = x + x ln x tam!ién es una solución en 23, C. Dota( 2A y2x cy- 2x tam!ién es solución si y- 2x es una solución. 2 5na E$ lineal homogénea siempre posee la solución trivial y2x 3
-roblemas propuestos: ,
d , y dx ,
d , y dx , d , y dx , d 4 y dx ,
4
−
+2
+
,
+
4
+
dy
dx
+
dy dx
d , y dx 5
dy dx
−
dx
dy
4
dx ,
dx ,
8
−
d , y
d y
−
,
dy dx
4y
,y
,8 y
+
4
dy dx
7y
2
2
=
+
−
=
=
2
+
y
=
=
2
2
+y=2
#onclusiones:
6
