Apuntes Metodos Numericos Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (1)

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 3. 1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE VALOR INICIAL 3.2. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UN PVI 3.2.1. MÉTODO DE EULER 3.2.2. METODO DE TAYLOR TAYLOR 3.2.3. METODO DE EULER MODFCADO 3.2.4. MÉTODO DE RUNGE-KUTTA 3.2.5. MÉTODO DE PREDICCIÓN Y CORRECCIÓN 3.3. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN.

Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Ordinarias

Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería 3.

SOLUCIÓN NUMÉRICA NUMÉRICA DE ECUACIONES ECUACIONES DIFRENCIALES DIFRENCIALES ORDINARIAS

3.1.. 3.1

FORMU FORMULA LACIÓN CIÓN DEL PROBLE PROBLEMA MA DE VALOR VALOR INI INICIA CIAL L PVI Co!"#$%&o' En esta oportunidad formularemos el el Problema de Valor Valor Inicial “PVI” y analizamos e interpretamos gráficamente su solución numérica, debemos destacar destacar que mucas de leyes leyes generales de la naturaleza naturaleza se e!presan con el lengua"e de las ecuaciones diferenciales ordinarias que es aplicado en una di#ersidad de campos del conocimiento$ En donde una ecuación diferencial se debe considerar como la razón de cambio de y con respecto a !$

1.

En general una E%& de primer orden esta dado por'

dy dx

2.

= f ( x, y ) ((((((((((((((((((((..)1*

(eóricamente se dice que la solución de una E%& debe contener

una constante arbitraria “C+, consecuentemente consecuentemente la solución general de )*+ es' F ( x , y , c )

=0

)-+

O'!%$/&o"!'0 1.

.a relación )-+ representa una familia de cur#as en el plano !y, en

donde cada cur#a se obtiene para un #alor particular de C+.

2.

/ada cur#a representa a una solución particular de E%&$

3.

.as constantes “ C+ son obtenidos anal0ticamente, e!igiendo que la

solución de esa ecuación pase por alg1n punto )! 2, y2+ esto es'

y ( x 0 )

=

y0

 $$)3+

i$e$' que “y” “y” #ale #ale “y “y 0 ” cuando cuando “ x” x” es es “ x x 0 ” 0 ” 0”


Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería 3.

SOLUCIÓN NUMÉRICA NUMÉRICA DE ECUACIONES ECUACIONES DIFRENCIALES DIFRENCIALES ORDINARIAS

3.1.. 3.1

FORMU FORMULA LACIÓN CIÓN DEL PROBLE PROBLEMA MA DE VALOR VALOR INI INICIA CIAL L PVI Co!"#$%&o' En esta oportunidad formularemos el el Problema de Valor Valor Inicial “PVI” y analizamos e interpretamos gráficamente su solución numérica, debemos destacar destacar que mucas de leyes leyes generales de la naturaleza naturaleza se e!presan con el lengua"e de las ecuaciones diferenciales ordinarias que es aplicado en una di#ersidad de campos del conocimiento$ En donde una ecuación diferencial se debe considerar como la razón de cambio de y con respecto a !$

1.

En general una E%& de primer orden esta dado por'

dy dx

2.

= f ( x, y ) ((((((((((((((((((((..)1*

(eóricamente se dice que la solución de una E%& debe contener

una constante arbitraria “C+, consecuentemente consecuentemente la solución general de )*+ es' F ( x , y , c )

=0

)-+

O'!%$/&o"!'0 1.

.a relación )-+ representa una familia de cur#as en el plano !y, en

donde cada cur#a se obtiene para un #alor particular de C+.

2.

/ada cur#a representa a una solución particular de E%&$

3.

.as constantes “ C+ son obtenidos anal0ticamente, e!igiendo que la

solución de esa ecuación pase por alg1n punto )! 2, y2+ esto es'

y ( x 0 )

=

y0

 $$)3+

i$e$' que “y” “y” #ale #ale “y “y 0 ” cuando cuando “ x” x” es es “ x x 0 ” 0 ” 0”


Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería I"#!%%!#$/&" G%&/$!"#!0 "# $  ! "% $ & con !'X ( $ !

X

4.

") $ 

/omo se mencionó al inicio la gran mayor0a de las ecuaciones no

puede pueden n resol# resol#ers erse e utiliz utilizand ando o técnic técnicas as anal0 anal0tic ticas, as, lo que obliga obligan n a estud estudiar iar métodos numéricos$

%ebe %ebemo mos s resa resalt ltar ar que que cuan cuando do usam usamos os los los méto método dos s numé numéri rico cos s no encontramos soluciones de la forma 4)!,y,c+ 4)!,y,c+ 5 2 pues se traba"an con n1meros y se tiene resultados numéricos$ Pero el propósito es determinar #alores de “ y” que correspondan a #alores espec0ficos de “ x” “ x” los los cual es factible con métodos numéricos$

5.

El problema de #alor inicial )P$V$I$+ queda formulado as0'

i+

6na ecuación ión diferencial de de primer orden'

dy dx

= f ( x, y )

i i+ y ( x 0 )

ii i +

6n #alor de “y ” en un punto conocido “ x 0 0” )condición inicial+

=

y0

El #alor “ x x f f ” es donde se quiere quiere conocer conocer el #alor de “y(x f )” )”

y (x  ) 6 y  

M$#!#&/$!"#!. Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Ordinarias

Página


dy

',(

= f ( x, y )

dx y ( x 0 )

P*+*I*

= y 0 y ( x f ) = ? 3.2.1. MÉTODO DE EULER Este método consiste en di#idir el inter#alo 7!2,!f 8 en “n” subinter#alos de anco  esto es' h=

X f − X 0 n

.o que permite determinar un con"unto de n9*puntos discretos, i$e$' :2, :*, :-,$$$, :n;*, :n -) --n/)

-%

-#

***

-i

-i.) ***

-n

-f

O'!%$"7o 89!0 Para cualquier punto se tiene$ x1 − x0

= h ⇒ x1 = x0 + h x 2 − x1 = h ⇒ x2 = x1 + h ⇒ x 2 = x0 + 2h x3 − x2 = h ⇒ x3 = x 2 + h ⇒ x3 = x0 + 3h En general xi

= x 0 + ih , i = 0, 1,2,3,..., n

Paso muy similar al paso de integración numérica$

CONDICIÓN INICIAL *$

y ( x 0 )

=

y 0 repr repres esen enta ta el punt punto o P 0

= ( x0 , y 0 ) , por por dond donde e pasa pasa la

cur#a solución de la ecuación PVI$ lo que será denotado por 4)!+ 5 y, en lugar de 4)!,y, 4)!, y,c c*+ 5 2$ -$

Co"'!/9!"#!!"#!0 teni tenien endo do el punt punto o P2 podemo podemos s e#alua e#aluarr la

primera deri#ada de 4)!+ en ese punto P2$ Esto es' Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Ordinarias

Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería F ' ( x)

=$

=

dy dx

= f ( x0 , y 0 )

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$)<+

P 0

(eniendo esta información )<+ trazamos una recta la que pasa por P2

y de pendiente f ( x0 , y 0 ) :

y − y 0 x − x 0

= f ( x0 , y 0 ) : .......L3 que

apro!ima 4)!+ en una

#ecindad de : 2$

3$

(omamos la recta .= en lugar de 4)!+ y localizamos en esta recta el

#alor de y* que corresponde a ! *$ Esto es'

− y 0 = f ( x0 , y 0 ) x1 − x 0 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$)>+

x1

− y 0 = f ( x0 , y 0 ) ⇒ y1 = y 0 + f ( x0 , y 0 )h x1 − x0 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$)?+

x1

= y 0 + hf ( x0 , y0 ) y 2 = y1 + hf ( x1 , y1 ) y1 . .

y i +1

= yi + hf ( xi , yi )

. .

y n 0a ordenada y1 error

= y n−1 + hf ( x n−1 , y n−1 )

≠ F ( x1 ) pues e-iste un

"'-f (

G%&/$ f'-)( 1)

error

f'-&1(

Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1 

P'-&1( -

-)

-i

-i.)

Página


- - )

-#

-2

-i

-n

)*+ En esencia se trata de apro!imar la cur#a y 5 4)!+ por medio de una serie de segmentos de l0neas rectas$ )-+ El método comete un error de truncamiento que es propio del método$ )=+ El error de )-+ se puede anular tanto como se quiera, reduciendo la longitud de “”

teóricamente$

)3+ %ebido a )=+ se comete un error de redondeo más alto$

E:!;o' 7! A;&/$/&o"!' R!'9!;#o' R!'o;!% PVI 9'$"7o E9;!%

E:!;o 1

 dy  dx = x − y   y(0) = 2  y(1) = ?  

f ( x, y )

≅

= x − y

= y 0 y ( x f ) = ? y ( x 0 )

Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería So;9/&" *+ El inter#alo de interés 7!2,!f 8 5 72,*8 -+ %eterminando h

'

di#idimos

el

inter#alo

72,*8

en

@

subinter#alos

= 1 − 0 = 0 .2 5

=+ %eterminar los argumentos'

= x0 + ih x 0 = 0 x1 = x0 + 1h ⇒ x1 = 0 + 1(0.2) = 0.2 x 2 = x 0 + 2h ⇒ x 2 = 0 + 2(0.2) = 0.4 x3 = x 0 + 3h ⇒ x3 = 0 + 3(0.2) = 0.6 x 4 = x 0 + 4h ⇒ x 4 = 0 + 4(0.2) = 0.8 x5 = x 0 + 5h ⇒ x5 = 0 + 5(0.2) = 1 xi

3+ %eterminando los #alores de yi

= y1 + hf ( xi , y i ) y1 = y 0 + hf ( x 0 , y 0 ) ⇒ y1 = 2 + 0.2 f ( 0.2) = 2 + 0.2(0 − 2) = 1.6 y 2 = y1 + hf ( x1 , y1 ) ⇒ y 2 = 1.6 + 0.2 f (0.2,1.6) = 1.6 + 0.2(0.2 − 1.6) = 1.32 y 3 = y 2 + hf ( x 2 , y 2 ) ⇒ y 3 = 1.32 + 0.2 f (0.4,1.32) = 1.32 + 0.2(0.4 − 1.32) = 1.136 y 4 = y 3 + hf ( x 3 , y 3 ) ⇒ y 4 = 1.136 + 0.2( 0.6 − 1.136 ) = 1.0288 y 5 = y 4 + hf ( x 4 , y 4 ) ⇒ y 5 = 1.0288 + 0.2(0.8 − 1.0288) = 0.98304 y i +1

Co$%$"7o /o" ;$ 'o;9/&" $"$;<#&/$ .a solución anal0tica es' *$*2=<3 El error absoluto

E A

=

El error relati#o

E R

=

E A

E R

=

0.12060 1.10364

El error porcentual

E %

y 5*

−

y5

=

0.98304 − 1.10364

= 0.12060

y 5

= 0.1092

= 10.92%

So;9/&" A"$;<#&/$ En general la forma de una Ecuación diferencial lineal de orden “A” es'


Página


a n ( x )

d n y dx n

+ a n −1 ( x )

d n −1 y dx n −1

+ .... + a1 ( x)

dy dx

+ a 0 ( x ) y = 0

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$)*+

.a solución de )*+ son soluciones e!ponenciales, o se construyen a partir de funciones e!ponenciales$ En donde su solución general es' y ( x )

= y1 ( x ) + y p ( x ) Solución particular

i$e$' y p ( x) = a x + b , allar )( y ' = x − y ⇒ y '+ y = x , %(

y ' p = a

entonces

Entonces

a

=1 ∧

y ' p = a

y p

= ax + b

a + ax + b = x

b

en nuestro caso' luego

, i$e$ ,

ax + (a + b) = x

= −1

∴ y p = x − 1 #( %eterminando y* )!+ y '+ y

= 0 i$e$

Dy + y

= 0 ⇒ y ( D + 1) = 0 ⇒ D = −1

.uego y1 ( x)

= C 1e −1 x

3+ .a solución Beneral y ( x ) = C 1e − x y (0) = C 1e

−0

+ x − 1

Aplicando /$I$ :2 5 2

+ 0 −1 ⇒ 2 =

C 1 e

0

− 1 ⇒ C 1 = 3

∴ y ( x) = 3e − x + x − 1 El #alor de ! 5 * y (1)

= 3e −1 + 1 − 1 ⇒ y (1) = 3e −1 = 1.10364

E:!;o 2 %ada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial'


Página


Apro!imar

$

NOTA Primero obser#amos que esta ecuación s0 puede resol#erse por métodos tradicionales de ecuaciones diferenciales$ Por e"emplo, podemos aplicar el método de separación de #ariables$ Veamos las dos soluciones$ Solución Analítica.

Custituyendo la condición inicial'

Por lo tanto, tenemos que la cur#a solución real está dada'


Página


D por lo tanto, el #alor real que se pide es'

Solución Numérica Aplicamos el método de Euler y para ello, obser#amos que la distancia entre y

no es lo suficientemente pequea$ Ci di#idimos esta distancia

entre cinco obtenemos un #alor de

y por lo tanto, obtendremos la

apro!imación deseada en cinco pasos$ %e esta forma, tenemos los siguientes datos'

Custituyendo estos datos en la formula de Euler, tenemos, en un primer paso'

Aplicando nue#amente la formula de Euler, tenemos, en un segundo paso'

D as0 sucesi#amente asta obtener

$ Fesumimos los resultados en la siguiente

tabla' n 2 * =

2 2$* 2$2$=

* * *$2*$2<2?


Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería 3 @

2$3 2$@

*$*-33@ *$-*33

/oncluimos que el #alor apro!imado, usando el método de Euler es'

Puesto que en este caso, conocemos el #alor #erdadero, podemos usarlo para calcular el error relati#o porcentual que se cometió al aplicar la formula de Euler$ (enemos que'

E:!;o 3 Aplicar el método de Euler para apro!imar

, dada la ecuación diferencial$

Solución Gue#amente #emos que nos con#iene di#idir en pasos la apro!imación$ As0, elegimos nue#amente

para obtener el resultado final en tres pasos$ Por lo

tanto, aplicamos el método de Euler con los siguientes datos'

En un primer paso, tenemos que'

Fesumimos los resultados en la siguiente tabla' Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería n 2 * =

* *$* *$*$=

-$= -$
%e lo cual, concluimos que la apro!imación buscada es'

3.2.2. MÉTODO DE TAYLOR Podemos obser#ar que el método anterior usa los dos primeros términos de la serie de (aylor para su primera iteración, i$e$ F ( x1 )

≈ y1 = F ( x 0 ) + F ' ( x 0 )( x1 − x 0 ) $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$)*+

%e manera natural se puede pensar que para determinar y - se e!pandió de nue#o 4)!+ en la serie de (aylor$ As0' F ( x 2 ) ≈ y 2

= F ( x1 ) + F ' ( x1 )( x 2 − x1 ) $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$)-+

Pero se debe resaltar que no disponemos de los #alores e!actos de 4)! *+ y 4J)!*+, los que se usan en la e!pansión de (aylor de 4)!+ alrededor de ! * lo que permite no e#aluar la parte dereca )-+ consecuentemente para los otros #alores de ! se usa'

= y i + f ( x i , y i )( xi +1 − xi ) y i +1 = F ( x i ) + F ' ( x i )( x i +1 − x i ) ,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ y i +1

)=+

.a relación )=+ tiene muca similitud con la e!pansión en serie (aylor$ Ci aplicamos la información acerca de las series de (aylor con la finalidad de me"orar la e!actitud del método de Euler, obtendremos los llamados Algoritmos de (aylor$ 6semos tres términos en lugar de dos en la e!presión de 4)! *+, i$e$ F ( x1 ) ≈ y1

= F ( x 0 ) + F ' ( x0 )( x1 − x 0 ) + F ' ' ( x 0 )

( x1 − x0 ) 2 2!

,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ )3+


Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Pero F ' ' ( x )

=

dF ' ( x ) dx

=

df ( x, y ) dx

h

y,

= x1 − x0

.uego

= y 0 + hf ( x 0 , y 0 ) +

y1

h 2 df ( x, y ) 2!

dx

x 0 , y 0

,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ )@+

Entonces se sugiere considerar )@+ para obtener y -, y =,$$$, yn me"orar0a la e!actitud obtenida con )*+ consecuentemente se propone la formula'

y i +1

2

df ( x, y ) x i , y i 2! dx

= y i + hf ( x, y ) + h

,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ )<+

.a utilidad de la relación )<+ depende de cuan fácil sea la diferenciación de f)!,y+ Ci f)!,y+ es una función solo de !, la diferenciación con respecto a ! es relati#amente fácil y la formula propuesta es muy práctica$ En general f)!,y+ es una función de ! , y, abrá que usar deri#adas totales .a

deri#ada

df ( x, y ) dx

total

de

= ∂ f ( x, y ) + ∂ f ( x, y ) ∂ x ∂ y

f)!,y+

con

respecto

a

!

esta

dada

por

dy dx

A;&/$/&" 7!; =#o7o 7! T$>;o% R!'o;!% o% !; =#o7o 7! T$>;o%

 dy  dx = x − y   y(0) = 2  y(1) = ?   *+ /álculo de'  5 2$-+ /álculo de xi = x0 + ih ⇒ x0 = 0 , x1 =+ Aplicando' y i +1 = y i + hf ( x , y ) +

= 0.2 , x 2 = 0.4 , x3 = 0.6 , x 4 = 0.8 , x5 = 1

h 2 df ( x, y ) 2!

dx

( x i , y i )


Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería y1

= y (0.2) = y 0 + h( x0 , y 0 ) +

h 2 df ( x 0 , y 0 ) dx

2!

En donde df ( x, y ) dx y1

=

∂ f ( x, y ) ∂ f ( x, y ) + ( x − y ) = 1 − 1( x − y ) = 1 − x + y ( x 0 , y 0 ) ∂ x ∂ y

= y 0 + h( x 0 − y 0 ) +

= 2 + 0 .2 ( 0 − 2 ) + y 2

h2 2!

(1 − x 0

( 0.2 ) 2 2

= y (0.4) = y1 h( x1 − y1 ) +

+ y 0 )

(1 − 0 + 2)

= 1.66

h2 (1 − x1 2

+ y1 )

= 1.66 + 0.2(0.2 − 1.66) +

0.2 2 2

(1 − 0.2 + 1.66)

0.2 2

y 3

= 1.4172 + 0.2(0.4 − 1.4172) +

y 4

= 1.254104 + 0.2(0.6 − 1.254104 +

y 5

= 1.269184 + 0.2(0.8 − 1.269184) +

= 1.4172

(1 − 0.4 + 1.4172)

2

0 .2 2 2 0 .2 2 2

= 1.254104

(1 − 0.6 + 1.254104)

= 1.269184

(1 − 0.8 + 1.269184)

= 1.2047308

= 1.010908 E R = 0.915976 E % = 9.15% E A

3.2.3. M=#o7o 7! E9;!% Mo7&&/$7o En el método de Euler se tomó como #álida para todo el inter#alo la deri#ada encontrada en un e!tremo$

"'-&1( ! $ "'-(

!

X X)

3


Página


Ci queremos obtener una e!actitud razonable se toma  muy pequea, a cambio de un mayor error de redondeo El método presente trata de e#itar tal problema utilizando un #alor promedio de la deri#ada tomada en los e!tremos del inter#alo$ /onstado de - pasos' *K Ce inicia de )!2,y2+, usar el método de Euler para determinar “y” correspondiente a !*, #alor que será denotado por y1 , puesto que se trata de un #alor transitorio de y*$ Este paso se le llama paso %!7&/#o%. -K Este paso se llama /o%%!/#o% , pues trata de corregir la predicción en el nue#o punto ( x1 , y1 ) se e#al1a la deri#ada f ( x1 , y1 ) usando la ecuación diferencial ordinaria P$V$I$ que se está resol#iendo, se obtiene la media aritmética de esta deri#ada y la deri#ada en el punto inicial )!2,y2+ %eri#ada Promedio 5

1 [ f ( x 0 , y 0 ) + f ( x1 , y1 )] 2

6samos la deri#ada promedio para calcular el nue#o #alor y * con la ecuación de Euler, que será mas e!acto que y1

y1

= y0 +

x1 − x0 2

[ f ( x0 , y 0 + f ( x1 , y1 )]

Lue será el #alor definiti#o de y*$

El proceso se repite asta llegar a yn$ Primero: Paso de Predicción y i +1

= yi + hf ( xi , yi )

S!?9"7o0 6na #ez obtenida

y i +1 se calcula f ( x i +1 , y i +1 ) , la deri#ada en el punto

( x i +1 , y i +1 ) y se promedia con la deri#ada pre#ia f ( xi , xi ) para encontrar la

deri#ada promedio %eri#ada Promedio'

1 2

[ f ( xi , y i ) + f ( xi +1 , y i +1 ) ]


Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería T!%/!%o0 se sustituye f ( x i , xi ) con este #alor promedio en la ecuación de Euler obtenemos' y i +1

= y i + h [ f ( x i , y i ) + f ( x i +1 , y i +1 ) ] 2

R!'o;!% ;o' !:!;o' $"#!%&o%!' 9'$"7o !; M=#o7o 7! E9;!% o7&&/$7o E:!;o 1, R!'o;!%

 dy  dx = x − y   y(0) = 2  y(1) = ?   So;9/&" Co"'&7!%$"7o ;$' &'$' /o"7&/&o"!' 7!; !:!%/&/&o #!"!o'0 52$- y25- f)!2,y2+5f)2,-+52;-5;-

P%&!%$ &#!%$/&"

= y 0 + hf ( x 0 , y 0 ) = 2 + 0.2(0 − 2) = 1.6

*K

y 1

-K

1 f ( x 0 , y 0 ) + f ( x1 , y1 ) 2

[

] = 1 [ (0 − 2) + (0.2 − 1.6)] = −1.7 2

deri#ada promedio

.uego y1

=

y0

+ 0.2( −1.7) = 2 + 0.2(−1.7) = 1.66

S!?9"7$ &"#!?%$/&" *K

y 2 1

-K

= y1 + hf ( x1 , y1 ) = 1.66 + 0.2(0.2 − 1.66) = 1.368

1 [ f ( x1 , y1 ) + f ( x 2 , y 2 )] = [ (0.2 − 1.66) + (0.4 − 1.368)] = −1.214

2 y ( x 2 )

2 = y 2 = 1.66 + 0.2(−1.214)

= 1.4172


Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería T!%/!%$ &"#!?%$/&" = y 2 + hf ( x 2 , y 2 ) = 1 .4172 + 0.2(0.4 − 1.4172) = 1.21376

*K

y 3

-K

1 [ f ( x 2 , y 2 ) + f ( x3 , y 3 ) ] = 1 [ (0.4 − 1.4172) + (0.6 − 1.21376) ] = 2 2

E:!;o 2 Aplicar el método de Euler me"orado, para apro!imar

si'

Solución Vemos que este es el mismo e"emplo * del método anterior$ As0 que definimos y encontraremos la apro!imación después de cinco iteraciones$ A diferencia del método de Euler *, en cada iteración requerimos de dos cálculos en #ez de uno solo' el de

primero y posteriormente el de

$

Para aclarar el método #eamos con detalle las primeras dos iteraciones$ Primero que nada, aclaramos que tenemos los siguientes datos iniciales'

En nuestra primera iteración tenemos4


Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Gótese que el #alor de

coincide con el

a coincidir, pues para calcular

se usará

)Euler *+, y es el 1nico #alor que #a y no

$

Esto lo 5eremos claramente en la siguiente iteración4

Gótese que ya no coinciden los #alores de

)Euler *+ y el de

$ El proceso

debe seguirse asta la quinta iteración$ Fesumimos los resultados en la siguiente tabla' n 2 * = 3 @

2 2$* 2$2$= 2$3 2$@

* *$2* *$232>23 *$2H=H?? *$*>=*H*$-?==<

/oncluimos entonces que la apro!imación obtenida con el método de Euler me"orado es'

/on fines de comparación, calculamos el error relati#o #erdadero'

Vemos que efecti#amente se a obtenido una me"or apro!imación con este método, reduciendo el error relati#o #erdadero de un @$3M asta un 2$2@M$ En nuestro tercer método #eremos cómo se reduce a1n más este error prácticamente a un 2MN Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Veamos un segundo e"emplo$

E:!;o 2 Aplicar el método de Euler me"orado para apro!imar

y )*$=+ si tenemos '

Solución (enemos los siguientes datos'

En una primera iteración& tenemos lo siguiente4

Fesumimos los resultados en la siguiente tabla' n 2 * =

* *$* *$*$=

-$=?@ -$>3-H-@ =$2><=@

/oncluimos entonces que la apro!imación buscada es'

3.2.4. METODO DE RUNGE-KUTTA Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería METODO DE RUNGE-KUTTA DE SEGUNDO ORDEN Estos métodos que se encuentran relacionados a los nombres de Funge )*??@+, Outta )*H2*+, eun )*H22+ y otros, para solucionar P$V$I $/onsiste en obtener un resultado que se obtendrá al utilizar un n1mero finito de términos de una serie de (aylor de la forma' y i +1

= y i + h. f ( xi , y i ) + h

2

2!

f ' ( xi , y i ) +

h3 f ' ' ( xi , y i ) + ... 3!

/on una apro!imación en la cual se calcula yi

+1

)*+

de una formula del tipo'

α f0 x ( y, ) +α f1 x ( i + u1h y, i + b1h) +α f2 x ( i + u2h y, i + b2h) + . .+ yi+1 = yi + h  + α p f x ( i + u ph y, i + b ph) 

)-+

En donde' α, u, b son determinados de modo que si se e!pandiera f ( xi + u j h, y i + b j h) con 1 ≤ j ≤ p , en serie de (aylor alrededor de ) ! i ,yi + debemos obser#ar que los

coeficientes de , -, =, etc$, coincidir0an con los coeficientes de la ecuación )*+$ Cupongamos p5* tendremos

yi +1 = yi

+ h[α 0 + ( xi ; y i ) + α 1. f ( xi + uhi ; yi + bh)] $ )=+

O'!%$/&o"!'0 *$ En esta relación se e#al1a f en ( xi ; y i ) ∧ ( xi

+ uhi ; yi + bh) , en donde x + uh i

i

es tal que ' xi < xi + uh ≤ xi +1 , para mantener la abscisa del segundo punto dentro del inter#alo de interés, con lo que 0 < u ≤ 1 $Bráficamente


Página


y i+1

(x i+uh , y i+λk 0 )

(x i,y

y i+1+h f( x i , y i )

) i

x i+1

x i

-$ b puede ser mane"ado más libremente y e!presarse

y se puede

usar como ordenada arriba o deba"o de la ordenada que da el método de Euler simple , yi

+ bh = yi + λ hf ( xi ; yi ) = yi + λ k 0 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$)3+

/on k 0 = h f(x i ,y )i =$ Lueda

por determinar

Q2, Q*, R, S tal que la ecuación )=+ tenga una

apro!imación en potencias de , cuyos primeros términos coinciden con los primeros términos de ecuación )*+$ 3$ Para cumplir con )=+ e!pandimos primero f ( xi + uh, yi + λ k 0 ) en serie de (aylor$

+ uh, yi + λ k 0 ) = ∂ f ∂ f u 2 h 2 ∂ 2 f ∂ 2 f λ 2 k 02 ∂ 2 f 3 )@+ + λ k 0 + + + + f ( xi + yi ) + uh u hk h λ 0 ( ) 0 ∂ x ∂ y 2! ∂ x 2 ∂ x∂ y 2!∂ y 2 f ( xi

(odas las deri#aciones son e#aluadas en ( xi , yi ) Custituyendo en la ecuación )=+ yi +1

=

 ∂ f ∂ f u 2 h 2 ∂ 2 f ∂ 2 λ 2 k 02 ∂ 2 f 3  yi + α 0 hf ( xi , yi ) + α 1h  f ( xi , yi ) + uh uh k h λ + λ k 0 + + + + 0 ( ) 0 2 2 x y y x y y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 ! 2 !   Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Arreglando en potencias de , tenemos

  + α 1 ) f ( xi , yi ) + h 2α 1  u ∂ f + λ f ( xi , yi ) ∂ f  + ∂ y   ∂ x  $)<+ 2 2  2 ∂ 2 f ∂ ∂ h3 f f  2 2 4 + α 3 u + 2uλ f ( xi , yi ) + λ f ( xi , yi ) 2  + 0( h ) 2 2 ∂ x∂ y ∂ y   ∂ x

yi +1 = y i + h ( α 0

Para que los coeficientes correspondientes de h, h2 coincidan en las ecuaciones )*+ y )<+ se requiere que' α 0

+ α 1 = 1

uα 1

=1

2

λα 1

,

= 1 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ )>+ 2

@$ &bser#amos que e!isten 3 incógnitas para solo tres ecuaciones y, por tanto se tiene un grado de libertad en la solución de la ecuación )>+$ Podr0amos pensar en usar este grado de libertad para acer coincidir los coeficientes de h3$ Cin embargo, es ob#io que esto es imposible para cualquier forma que tenga la función

f(x,y)$ E!iste entonces un n1mero de infinito de

soluciones de la ecuación )>+, pero quizás la más simple sea ' α 0

= α 1 =

1 2

;

u

= λ = 1

<$ .a relación de )@+ conduce a la formula y i +1

= y i + h [ f ( xi , y i ) + f ( xi + h, yi + hf ( xi , y i ))] 2

o bien y i +1

h

= y + ( k 0 + k 1 ) , con : 2

k 0

= f ( xi , yi )

; k 1

= f ( xi + h, yi + hk 0 ) $ )?+

>$ .a relación )?+ es conocida como algoritmo de Funge;Outta de segundo orden$ .o de segundo orden por coincidir con los tres primeros términos de la serie de (aylor que es la formula de Euler Todificado$ •

Este método proporciona mayor e!actitud que la de Euler$


Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería •

Ce puede usar un #alor de  no tan pequeo como el primero $El precio de es la e#aluación f(x,y) dos #eces en cada subinter#alo contra uno en el método de Euler$

?$ .as formulas de Funge;Outta de cualquier orden se puede deri#ar de manera análoga que la de segundo orden$

METODO DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN y I +1

= yi + h ( k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) 6

k 1

= f ( xi , yi )

k 2

= f ( xi +

+

hk 1

k 3

= f ( xi + h , yi +

hk 2

k 4

= f ( xi + h, yi + hk 3 ) $

h 2

, yi

2

2

2

,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ )H+

)

)

H$ .a ecuación )H+ tiene muca coincidencia con los @ primeros términos de la serie de (aylor lo que significa gran e!actitud sin calculo de deri#adas, pero a cambio, se tiene que e#aluar la función f(x,y)cuatro #eces en cada subinter#alo$

E@EMPLOS Y APLICACIÓN E:!;o 1

 dy = x − y  dx  P .V . I =  y ( 0) = 2  y (1) = ?  6sando Funge;Outta de cuarto orden$ Solución:


Página


Primera Iteración: Calculo de constantes k 1, k 2, k 3, k 4 k 1

= f ( x 0 , y 0 ) = x0 − y 0 = 0 − 2 = −2

k 2

= f ( xi + h , yi + hk 1 ) = f ( x0 + h , y0 + hk 1 ) = 2

2

2

=

0.2 2

2

0.2 2

,2 − 0.2)

− 2 + 0.2 = −1.7

hk 2 hk 2 h 0. 2 0 . 2 ( −1 . 7 ) ) = f ( x 0 + , y 0 + ) = f (0 + ,2 + ) 2 2 2 2 2 − = 0.2 − 2 + 0.2( 1.7) = 10 − 200 + 17 = −1.73 2 2 100 100 100

k 3

= f ( xi + h , yi +

k 4

= f ( xi + h, y i + hk 3 ) = f ( x0 + h, y 0 + hk 3 ) =

2

f (0 +

= 0.2 − 2 +

173 1000

f (0 + 0.2,2 + 0.2( −1.73))

= −1.454

Clculo !e y 1" y1

•

= y 0 + h ( k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) = 2 + 0.2 ( − 2 − 3.4 − 3.46 − 1.454 ) = 1.6562 6

6

Segunda Iteración: Calculo de constantes k 1 k ! k " k # k 1

= f ( x1 , y1 ) =

k 2

= f ( x1 + h , y1 + hk 1 ) = 2

f (0.2,1.6562) = 0.2 − 1.6562 = −1.4562

2

f (0.2 +

0. 2 2

,1.6562 +

= 0.2 + 0.2 − 1.6562 +

2 0.2(1.7)

2

0.2

0 .2 ( − 1 .7 )

2

)

= −1.21058

0.2(1.21058)

k 3

= f ( x1 + h , y1 + hk 2 ) = 0.2 +

k 4

= f ( xi + h, yi + hk 3 ) = 0.2 + 0.2 − 1.6562 + 0.2(1.235142) = −10091716

2

2

2

− 1.6562 +

2

= −1.235142

Clculo !e y 2 " y 2

•

= y1 + h ( k 1 + 2 k 2 + 2k 3 + k 4 ) = 1.6562 + 0.2 ( − 1.4562 + 2( −1.2128)...) = 1.4109 6

6

Continuando lle#a$os a"


Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería = 1.246450474 y4 = 1.148003885 y5 = 1.103655714 y3

%bse&'acin" o

os $*todos desc&itos se lla$an ta$bi*n $*todos de un solo paso po&+ue se apoyan y usan (x i ,y )i pa&a el clculo de y i1-

o

.stos /*todos ade$s se apoyan en puntos x i y x i1 pe&o nunca en puntos ante&io&es a x i -

E:!;o 2 6sar el método de Funge;Outta para apro!imar

dada la siguiente

ecuación diferencial'

Solución Primero, identificamos el mismo e"emplo * de los dos métodos anteriores$ Cegundo, procedemos con los mismos datos'

Para poder calcular el #alor de y*

debemos calcular primeros los

#alores de U*, U- ,U=, y U3$ (enemos entonces que'


Página


/on el fin de un mayor entendimiento de las fórmulas, #eamos la siguiente iteración'

El proceso debe repetirse asta obtener

$ Fesumimos los resultados

en la siguiente tabla' n 2 * = 3 @

2 2$* 2$2$= 2$3 2$@

* *$2*22@ *$232?* *$2H3*> *$*>=@* *$-?32=

/oncluimos que el #alor obtenido con el método de Funge;Outta es'

4inalmente, calculamos el error relati#o #erdadero'


Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería /on lo cual #emos que efecti#amente se a reducido muc0simo el error relati#o$ %e eco obser#amos que tenemos < cifras significati#as en la apro!imación

E:!;o 3 6sar el método de Funge;Outta para apro!imar

dada la

ecuación diferencial'

Solución Igual que siempre, tomamos

y llegaremos a la apro!imación en

dos pasos$ /on esta aclaración, tenemos los siguientes datos'

P%&!%$ I#!%$/&"0


Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería S!?9"7$ I#!%$/&"0

/oncluimos entonces que el #alor buscado es'

3.2.5 MÉTODOS DE PREDICCIÓN Y CORRECCIÓN 1 Fecordemos que en el método de Euler modificado se utili za la siguiente relación

y i +1

= y i + h [ f ( xi , y i ) + f ( x i +1 , y i +1 ) ] 2

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$)*+

&bsér#ese, que el segundo término

del miembro de la dereca

recuerda el método de integración trapezoidal compuesta, en donde  i9*

i

es el anco del trapezoide 5! ! , y podemos decir que,

,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ )-+

1

Ver Métoo! "#$er%co! &'%c&o! & & n*en%er%& e +nton%o "%ee! - eer%co c. /o$0n*#e


Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Equi#alentemente

,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ )=+

Lue es la ecuación de corrección del método de Euler modificado, esto sugiere la obtención de un esquema iterati#o para la solución del PVI por medio de la regla de Cimpson

u otro método de integración

numérica que usan mayor numero de puntos$ /onsiderando esta refle!ión se deri#a un método corrector basado en el método de Cimpson *W=

,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ )3+

/onsiderando la relación

,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ )@+

(enemos

,$$$$$$$$$$$$ )<+

Entonces se llega a la relación de corrección,

,$$$$$$$$$$$$$$$$$$ )>+

En donde se debe de obtener

con un predictor, a partir de )!2,y2 + la

ultima relación tomara la forma de,

,$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ )?+


Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería Para la primera predicción requiere de

es calculada con un predictor que

y* y f)!*,y* + en consecuencia se requiere de un paso de

inicialización que muy ben puede ser usado el método de Funge;Outta por una sola #ez en el proceso iterati#o$

E:!;o0 Fesol#er el PVI

 dy = x − y  dx  P .V . I =  y (0) = 2  y (1) = ?  6sar el método de predicción y corrección

So;9/&" 5)*;2+W@52$-,

P%&!%$ &#!%$/&" I"&/&$;&$/&". )6sando Euler modificado obtenemos y* + *K

y 1

= y 0 + hf ( x 0 , y 0 ) = 2 + 0.2(0 − 2) = 1.6

1 f ( x 0 , y 0 ) + f ( x1 , y1 ) 2

[

-K

] = 1 [ (0 − 2) + (0.2 − 1.6)] = −1.7 2

deri#ada

promedio

.uego y1

=

y0

+ 0.2( −1.7) = 2 + 0.2(−1.7) = 1.66

P%!7&//&" )se usa Euler Todificado para tomar el #alor y-+


Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería *K y 2 = y1 + hf ( x1 , y1 ) = 1.66 + 0.2(0.2 − 1.66) = 1.368 1

-K 2

[ f ( x1 , y1 ) + f ( x 2 , y 2 )] = 1 [ (0.2 − 1.66) + (0.4 − 1.368)] = −1.214

2 y ( x 2 ) = y 2 = 1.66 + 0.2( −1.214)

= 1.4172

Co%%!//&" usamos la relación ?

,

S!?9"7$ I#!%$/&" P%!7&//&" ,

Co%%!//&" usamos la relación > ,

,


Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería T!%/!%$ I#!%$/&" P%!7&//&" ,

Co%%!//&" usamos la relación > ,

,

C9$%#$ I#!%$/&" P%!7&//&" ,

Co%%!//&" usamos la relación > Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Página


,

,

3.3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR Y SISTEMAS DE E.D.O 3.3.1 ESTRUCTURA Cuando en el --- apa&ecen una ecuacin dife&encial de o&den n,

con n

condiciones especificadas en un punto x 0 y un punto x f donde se tiene +ue encont&a& el 'alo& de y(x ) f se tiene el 

 d n y n −1  dx n = f ( x, y , y ' , y ' ' ,..., y )  P .V . I .G  y ( x0 ) = y 0 ; y ' ( x0 ) = y0 ' ; y ' ' ( x0 ) = y 0 ' ' ;...; y n −1 ( x 0 ) = y0( n −1)  )*+  y ( x f ) = ?   Para solucionar )*+ es necesario primero pasar la E%& de )*+ a un sistema de n Ecuaciones diferenciales simultaneas de primer orden cada una$ Esto es' d n y %ado' dx n y1

= y ,

y 2

= f ( x, y , y ' , y ' ' ,..., y ( n−1) ) se realiza el siguiente cambio de #ariables' =

y ' , y3

=

y ' ' , y4

=

y ' ' ' ,  y n

=

y n −1

Lue ocurre si deri#amos la primera$ y1 ' = y ' y lo sustituye en la segunda y 2

=

y1 ' , considerando y 2

= y ' ⇒ y 2 ' = y ' ' en la tercera

y3

= y '2 y si repetimos

asta llegar a las n ecuaciones tenemos'


Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería y 2 y3 y 4

= y1 ' = y 2 ' = y3 '

Entonces

y n ' =



y n

=

d n y dx n

= f ( x, y, y ' ,



y n−1 ) = f ( x, y1 , y 2 , y3



yn )

y n −1 '

3.3.2 E@EMPLO d 2 y *$ Pasar la Ecuación %iferencial &rdinaria 2 dx

= − y '+ x 2 + y 2 a un sistema de dos

ecuaciones diferenciales simultáneas de primer orden$

So;9/&"0 •

Ca$bio de 'a&iable y1

•

= y 

y 2

y'

!e&i'ando la p&i$e&a y sustituyendo en la se#unda y1 ' = y ' ⇒ y2

•

=

= y1 '

!e&i'ando la se#unda y 2 ' = y ' '

•

5ustituyendo las nue'as 'a&iables en la ecuacin dife&encial tene$os" y1 ' = y 2 y2 ' = − y 2

+ x 2 + y12

-+ .a siguiente E%& es la ecuación de Xessel y muy conocida en f0sica matemática x 2 y ' '+ xy '+ ( x 2 − n 2 ) y = 0 , donde 6n” puede tener cualquier #alor, pero generalmente toma un #alor entero$ Escribir como un sistema de ecuaciones ordinarias de primer orden$ Solución: •

Coloca$os la ecuacin de fo&$a no&$al y ' ' = −

y ' ( x 2 − n 2 ) − y x x 2

y '  n 2 y ' ' = − −  2 x  x

 − 1  y 


Página


Con fines co$putacionales #ene&al$ente se puede &eali7a& lo si#uientes ca$bios y ' = z ⇒ y ' ' = z '

ue#o, z  n 2 z ' = − +  2 x  x

 y − 1  

5iste$a +ue solo se& posible &esol'e& pa&a x 8 0 o

En general, una ecuación diferencial ordinaria de n;ésimo orden queda con#ertida en un sistema de 6n” ecuaciones diferenciales ordinarias simultaneas de la forma general'

o

Cupongamos que el método de Funge;Outta de cuarto orden a dos

ecuaciones simultaneas de la forma '

y ' = f 1 ( x, y, z ) z ' = f 2 ( x, y, z )

En donde usaremos z como nue#a #ariable solo con la finalidad de no usar sub0ndices dobles en las ecuaciones$ yi +1 z i +1

= yi + h ( k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) = z i +

6 h ( c1 + 2c2 6

+ 2c3 + c4 )

$$ Y

.as que serán calculadas alternati#amente y los “k” y “c” obtenidos son' k 1

= f 1 ( xi , yi , z i )

c1

= f 2 ( xi , yi , z i )

k 2

= f 1 ( xi + h , yi + hk 1 , z i + hc1 )

c2

= f 2 ( xi +

k 3

= f 1 ( xi + h , yi + hk 2 , z i + hc2 )

2

h 2

2

2

, yi

+

hk 1 2

2

2

, z i

+

hc1 2

)  Y Y

2


Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería h

k 4

= f 1 ( xi + h, yi + hk 3 , z i + hc3 )

c4

= f 1 ( xi + h, yi + hk 3 , z i + hc3 )

2

2

, z i

+

hc2

= f 2 ( xi +

, yi

+

hk 2

c3

2

)

El cálculo debe realizarse en ese orden$

3* Fesol#er el siguiente problema de #alor inicial usando el Tétodo de Funge; Outta de cuarto orden$

 y '  1  y  y ' ' = − x +  x 2 − 1   y (1) = 1 P .V . I   y ' (1) = 2   y (3) = ? al escribir la E%& como un sistema, el P$V$I$ queda

 y ' = z  z  1   z ' = − +  2 − 1 y x  x   P .V . I  y (1) = 1   z (1) = 2  y (3) = ? Solución: !i'idiendo el inte&'alo de inte&*s 91,3: en ocho subinte&'alos, el ta$a;o del paso se inte#&acin h es i#ual a 0-2<

•

 3 − 1 = 2 0.25    8  8 

&i$e&a te&acin sando > yi +1

= yi + h ( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 )

z i +1

= z i +

6 h ( c1 + 2c2 6

+ 2c3 + c4 )

Calculo de las Constantes k 1, k 2 , k 3, k 4 y c 1, c 2, c 3 , c 4 sando >>


Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería k 1

= f 1 ( x0 , y0 , z 0 ) = z 0 = z (1) = 2

c1

= f 2 ( xi , yi , z i ) = −

k 2

= f 1 ( x0 +

c2

k 3

c3

= f 2 ( x0 +

h 2

h 2

hk 1

, y0 +

, y0 +

 1  2  1  y0 = − +  2 − 1 (1) = −2 +  2 − 1  x0  x0 1  1   z 0

2

hk 1

, z 0

+

, z 0 +

2

hc1 2

hc1 2

+

hc1

z 0 +

hc1

) = z 0

)=−

x0

= 2+

2

+

0.25(−2) 2

= 1.75

    1  y + hk 1  = −181790123 +  − 1    x + h    0 2    0 2      

2 h 2

= f 1 ( x0 + h , y0 + hk 2 , z 0 + hc2 ) = z 0 + hc2 = 2 + 0.25(−1.81790) = 1.77276 2

= f 2 ( xi +

h 2

, yi

2

+

hk 2 2

, z i

2

+

hc2 2

)

2

=−

z 0 x0

+ hc2 2

+

h 2

2

    1   y + hc2  = −1.8315759 + − 1  0  2  2   h      x0 +   2    

k 4

= f 1 ( xi + h, yi + hk 3 , z i + hc3 ) = z 0 + hc3 = 2 + 0.25( −1.831575) = 1.542106053

c4

= f 1 ( xi + h, yi + hk 3 , z i + hc3 ) = −

 + hc3  1  +  − 1 2  ( y0 + hk 3 ) = −1.753233454 x0 + h ( ) + x h  0 

z 0

/álculo de y1

=

y1

= y0 + h ( k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )

y1

=1+

z 1

h = z 0 + ( c1 + 2c2 + 2c3 + c4 )

z 1

= 2 + 0.25 ( − 2 + 2(−1.817901235) + 2( −1.83157578) − 1.753233454 ) = 1.539492187

y (1.25) , z 1

= z (1.25) aplicando

Y

6

0.25 6

( 2 + 2(1.75) + 2(.17727 ) + 1.542106 ) = 1.441151281

6

6

5e#unda te&acin Calculo de c y k Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería k 1

= f 1 ( x1 , y1 , z 1 ) = z 1 = 1.53949

c1

   1.53949  1  = f 2 ( x1 , y1 , z ) = − z 1 +  12 − 1 = − + − y 1  (1.25) 2   (1.44115) = −1.75041  1 x1  x1 1 . 25   

k 2

= f 1 ( x1 + h , y1 + hk 1 , z 1 + hc1 ) = z 1 + hc1 = 1.32069

c2

= f 2 ( x1 +

h

k 3

= f 1 ( x1 +

h

c3

= f 2 ( x1 +

h

k 4

= f 1 ( x1 + h, y1i + hk 3 , z 1 + hc3 ) = z 1 + hc3 = 1.1097393

c4

= f 1 ( x1 + h, y1 + hk 3 , z 1 + hc3 ) = −1.7242487

2

2

2

2

2

, y1 +

hk 1

, y1 +

hk 2

, y1 +

hk 2

2

2

2

2

, z 1 +

hc1

, z 1 +

hc2

, z 1 +

hc2

2

2

2

2

) = −1.730044

) = 1.3232366

) = −1.719011

Calculando y 2 = y (1-<) , 7 2 =7(1-?<) y 2

= y1 + h ( k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) = 1.77186

z 2

= z 1 + h ( c1 + 2c2 + 2c3 + c4 ) = 1.1072935

6

6

/ontinuando con los cálculos tenemos' y3

=

y (1.75) = 1.994766 , z 3

= z (1.75) = 0.675599

y 4

=

y ( 2.00 ) = 2.104754 , z 4

= z ( 2.00 ) = 0.245291

y5

=

y ( 2.25)

z 5

= z (2.25) = −0.172076

y6

=

y ( 2.50) = 2.026084 , z 6

= z (2.50) = −0.561053

y7

=

y ( 2.75) = 1.841680 , z 7

= z ( 2.75) = −0.905578

y8

=

y (3.00 ) = 1.578253 , z 8

= z (3.00) = −1.190934

= 2.118486 ,


Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería El #alor buscado y)=+5*$@>?-@=

3.3.3. CONSTRUCCIÓN DE MODELOS E:!;o 1 6n tanque cil0ndrico de fondo plano con un diámetro de *$@m contiene un liquido de densidad Z 5 *$@ Og$Wl a una altura “a” de =m$ Ce desea saber la altura del liquido dentro del tanque tres minutos después de que se abra completamente la #ál#ula de salida, la cual da un gasto de 0 .6

2 ga

m=Ws, donde A es el área seccional del tubo de salida y es

>?$@!*2 ;3 m- y g 5H$?* mWs-$ 5olucin"

#m a

)*, m

a"@ despu*s de 3 $inutos

3

5alida " 0.6 A 2 ga m s  A=?B-
= −0.6 A

2 ga , pe&o '= (&ea de la base )x(Altu&a)


Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería d"a d da d

= −0.6 A

2 ga

= −0.0026653

⇒ " da = −0.6 A d

2 ga

⇒ da = d

− 0.6 A 2 ga ⇒ 2 1 . 5   π    2 

2 ga

 da = −0.0026653  d  P .V . I  a ( 0) = 3m a (180 ) = ? 

2 ga

, sa& .ule& con

se#-=h

E:!;o 2 /alcule el tiempo necesario para que el ni#el del liquido dentro del tanque esférico con radio r 5 @m, #er figura, pase de 3m a =m,la #elocidad de salida por el orificio del fondo es

!

= 4.895

a

mWs, el

diámetro de dico orificio es de *2 cm$ Solución

Falance de /ate&ia" Acu$ulacin = .nt&ada G 5alida dV d

= 0 − A! ρ

.l 'olu$en del li+uido en el tan+ue en funcin de la altu&a es "

 

V = π  5a 2

3  − a  3  

A = &ea del o&ificio de salida Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería A =

π

4

( 0.1) 2 m 2



!

= 4.895

a m s

ue#o tene$os"

π

d  2  5a d 

da d

=

3  π − a  = − (0.1) 2 x 4.895  3  4

− (0.1)2 x4.985 (10a − a 2 )

a m s

a

 da − 0.122375  d = (10 a − a 2 )  ue#o" el P .V . I =  a (0) = 4 m a (?) = 3m  

a

, aplica& .ule& y un h=10

E:!;o 3 En un tanque perfectamente agitado se tiene 322 litros de una solución en la que están disueltos -@Og$ de sal ) Ga/l +$ En cierto momento se ace llegar al tanque un gasto de ?2 lWmin$ de una solución que contiene 2$@ Og$ de sal com1n por litro$ Ci se tiene un gasto de salida de ?2 lWmin$ %eterminar que cantidad de sal ay en el tanque transcurridos *2 min[

So;9/&"0 H" la cantidad de sal en I#-, en el tan+ue despu*s de t $inutosa acu$ulacin de sal en el tan+ue esta dado po&

dX d

y po& la

&elacin" dX = masade sa# %ue en&a − masa de sa# %ue %ueda d . . . . dX = 80 #ib 0.5 $g − 80 #ib . X . $g $%n . $%n . 400 #i d #i dX = 40 − 0.2 X d

con las condiciones iniciales" Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería  dX = 40 − 0.2 X  d  P .V . I =  x (0) = 25  x (10 ) = ?  E:!;o 4 Ce ace reaccionar isotérmica mente -<2g de acetato de etilo )/=/22/-@+ con *>@g de idró!ido de sodio )Ga&+ en solución acuosa )a"ustando el #olumen total a @ litros+ para dar acetato de sodio )/=/&&GA+ y alcool et0lico )/-@&+, de acuerdo con la ecuación estequiométrica

C( 3C''C 2 ( 5

k + )a'(  → C( 3C'')a + C 2 ( 5 '(

donde O' constante de reacción dado

k = 1.44 x10 −2

por

en

# m*# . $%n

$

%eterminar la cantidad de acetato de sodio y alcool et0lico presentes =2 minutos después de iniciada la reacción$ Solución: 5ea" H" a cantidad de $oles po& lit&o se aceite de etilo +ue han &eaccionado al tie$po t- .ntonces, la 'elocidad de &eaccin

ley de accin de $asas

dX d

dX 'iene dada po& la d

. "1 , en donde C A, = k .C A1 C

C F denotan las

concent&aciones $ola&es de los &eactantes cidos de etilo e hid&xido de

sodio

al

tie$po

t,

los

exponentes

son

sus

coeficientes

este+uio$*t&icos en la &eaccin, entonces" C A1 C "1

= =

260 g

P+ C(

2 C''C 2 ( 5

.5#i&*s

175 g P+ )A'( .5#i&*s

− X m*# = ( 0.59 − X ) #i&*

− X m*# = ( 0.875 − X ) #i&*

 dX = 1.44 x10 − 2 ( 0.59 − x )( 0.875 − x )  d  P .V . I =  x (0) = 0.0  x (30) = ?  Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería E:!;o 5 Ce tiene tres tanques de *222 litros de capacidad cada uno, perfectamente agitados )#er figura+$ .os tres recipientes completamente llenos con una solución de concentración =2gWl$ A partir de cierto momento se alimenta una solución que contiene @2gWl con una gasto de =22 lWmin$ )ay un arreglo entre los tres recipientes, tal que al aber un gasto al primero, la misma cantidad fluye de este al segundo y del segundo al tercero y de este afuera del sistema, con lo cual se mantiene constante el #olumen en todos ellos+$ /alcule la concentración en cada tanque después de *2 minutos de aber empezado a agregar solución al primero$ # lit6min

V 1

C 1

= 1000 #i&*s C 1 (0) = 30 g #i&*

V 1

# lit6min

# lit6min

V 2

V 3

C 2

C 3

= 1000 #i&*s C 2 (0) = 30 g #i&*

V 2

= 1000 #i&*s C 3 (0) = 30 g #i&*

V 3

E:!%/&/&o' > $;&/$/&o"!' I$ 6tilizar los métodos de Euler y de Funge Outta para dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales con #alor frontera$ dy

= x − y

dx y (0)

=2 * y (1) = ? $


Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería dy

= x

y

dx y (1)

=4 -$; y (1.5) = ? dy

=

dx y (0)

x y

= −1 =$; y (0.5) = ? dy

= − y x

dx y (0)

=4 3$; y (0.5) = ? dy

= y ( 2 − y )

dx y (0)

=3 @$; y (0.5) = ? dy

= x + y

dx y (1)

=4 <$; y(1.5) = ? dy

= x − y 2

dx y (1)

=0 >$; y (1.5) = ? dy

=

dx y (1)

y 2

+ y

x

=1 ?$; y (1.8) = ? dy

= 1 + xsenx

dx y (0)

=0 H$; y (1.5) = ? dy = x1 − x y dx y (1) = −1

− y 2

*2$ y ( 2) = ? Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería dy

= 1 + y 2

dx y (0)

=4 **$; y (1) = ? dy

= y

dx y (0)

=1 *-$; y (1) = ? dy = 2 y − 1 dx y (0 ) = 1

*=$; y (1) = ? dy = 1 − y dx y (0) = 0

*3$; y (1) = ? dy

= x + 1 − y

dx y (0)

=1 *@$; y (1) = ? dy = 1 − xy dx y (1) = 1

*<$ y ( 2) = ?

II $; Estructurar un modelo para las problemáticas siguientes y luego solucionarlo Aplicando Euler y Funge Outa' *$; 6n tanque cil0ndrico de fondo plano con diámetro - metros contiene un l0quido de densidad *$? UgWl a una altura  de 3 metros$ Ce desea saber la altura del l0quido dentro del tanque *2 minutos después que abre completamente de la #ál#ula de salida ubicada en la parte inferior izquierda, la cual da una gasto de *

A

2 gh

m=Ws, donde A es el área

seccional del tubo de salida que tiene un #alor de ?2$@ ! *2 ;3m-, considerar g 5 H$?*mWs-$ Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería -$; Ce tiene un tanque esférico de radio de ? metros calcular el tiempo necesario para que el ni#el del l0quido de dico tanque pase de < metros a > metros, la #elocidad de salida por el orificio del fondo es # 5@$@

a

mWs el

diámetro de dico orificio es de *- cm$ %onde a es la altura de l0quido$ =$; En un tanque perfectamente agitado se tiene @22 litros de una salmuera en la cual este disuelto =2 Og de sal com1n en un momento determinado se ace llegar al tanque un gasto de H2 lWmin de una salmuera que contiene *$@ Og de sal com1n por litro si se tiene un gasto de salida de H2 lWmin$ %etermine' a$; Lue cantidad de sal ay en el tanque transcurrido -2min$ b$; Lue cantidad de sal transcurrido un tiempo muy grande$ 3$; Ce ace reaccionar isotérmica mente =22gr de acetato de etilo con -22gr de idró!ido de sodio en solución acuosa a"ustando el #olumen total a *2 litros para dar acetato de sodio y alcool et0lico de acuerdo con lo siguiente ecuación estequiometria' k Acetato de etilo 9 idró!ido de sodio  → 5 acetato de sodio 9 alcool et0lico

%onde la constante de #elocidad de reacción U esta dado por U 5 *$33 ! *2 ; -

1 m*# $n

%etermine la cantidad de acetato de sodio y alcool et0lico presente 32min después presentada la reacción$ @$; Ce conecta un inductor de 2$@ enries en serie con una resistencia de *2 oms un capacitador de 2$2-@ faradios y un generador de corriente al terna dad por la función <2 sen @t #oltios t

≥ 2$

a$; Establezca una ecuación diferencial para la carga instantánea en el capacitor$ b$; Encuentre la carga en distintos tiempos


Página

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería <$; Ce tiene un tanque de forma cónica de @ metros de diámetro superior con *2 metros de altura conteniendo un l0quido asta  metros de altura, si al momento de llegar el ni#el del l0quido de -$ @ metros se ace llegar un gasto de alimentación de 2$@2 m=Ws el ni#el de l0quido aumentara$ %etermine el tiempo necesario para que el ni#el se recupere nue#amente a < metros$ >$; El tiempo que requiere el tanque del e"ercicio anterior para recuperar su ni#el de -$@ a < metros con un gasto de alimentación de 2$@2 m =Ws es apro!imadamente @22 s calcule el gasto de alimentación que se requiere para reducir este tiempo en la mitad$ ?$; /alcule el tiempo necesario para que el ni#el del l0quido del tanque anterior pase de < metros a * metro si el flu"o de salida por el orificio es =$3@>

h

lWs$

H$; 6n tanque perfectamente agitado contiene ?22 litros de salmuera en la cual están disueltas -2 Og$ de sal$ Ci se ace llegar -2

lWmin$ de una

salmuera que contiene 3 Og de sal en cada *2 litros y por el fondo se saca *< litros por minuto de salmuera$ %etermine la concentración de sal a distintos tiempos$


Página

Apuntes Metodos Numericos Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (1)

Recommend Documents