Metode Eliminasi Gauss dan Aturan Cramer

MINGGU

01

PENYELESAIAN PERSAMAAN ALJABAR LINEAR SIMULTAN DENGAN METODE ELIMINASI GAUSS DAN ATURAN CRAMER Pada bagian ini akan dijelaskan cara menyelesaikan persamaan aljabar linear simultan misalnya mencari arus loop dan tegangan simpul dengan menggunakan metode eliminasi Gauss dan aturan Cramer. Pada metode pertama ada dua tahap yang dilakukan yaitu eliminasi maju dan subtitusi balik, sedangkan pada metode kedua melibatkan perhitungan determinan matriks. Pada bab ini juga diberikan contoh membuat subprogram dengan bantuan algoritma.

ELIMINASI GAUSS Persamaan arus loop dan tegangan simpul yang diuraikan pada bagian terdahulu pada dasarnya adalah persamaan aljabar linear simultan. Persoalan pada persamaan [Z ] [I ] = [V ] dan juga pada persamaan [Y simpul ] [ V simpul ] = [ I], adalah menentukan matriks [I ] jika [ Z ] dan [ V] diketahui demikian juga menentukan [ V simpul ] jika [ Y simpul ] dan [ I ] diketahui. Secara umum persamaan aljabar linear simultan dapat dituliskan sebagai berikut : a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = c1 a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = c 2 ............................................... .............................................. a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = c n

(M.01)

Untuk mencari solusi persamaan (M.01) dapat digunakan beberapa metode antara lain : •

Secara grafis (cocok untuk persamaan yang jumlahnya sedikit )

•

Eliminasi Gauss

•

Aturan ( rule) Cramer

Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017

Pada metode eliminasi Gauss dilakukan dua tahap untuk mendapatkan solusi seperti yang diperlihatkan pada persamaan M.02. Tahap pertama dari metode ini disebut sebagai eliminasi maju sedangkan tahap kedua disebut proses subtitusi balik. Misal untuk kasus m = n =3 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 | c1 a 21 x1 + a 22 x2 + a 23 x3 | c2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 | c3 Eliminasi maju a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 | ..c1 0........a 22 x 2 + a 23 x3 | c2 ' '

'

0..........0........a33 ' x3 | c3 '

Subtitusi balik ' x3 = c3' / a33 ' ' x 2 = (c 2' − a 23 x3 ) / a 22

x1 = (c1 − a12' x 2 − a13' x3 ) / a11 (M.02)

Contoh 1 Tentukan nilai x pada persamaan [ A ] [X ] = [c] berikut ini dengan eliminasi Gauss

1 2 1 -1

2 -1 1 3 1 2

x1

1 1

x3

x2

3 -1 2 1

x4

Jawab

A|c =

1 2 -1 2 3 1 1 1 3 -1 1 2

1 2 -1 1


|0 |7 | 14 |5

=

0 7 14 5

Langkah eliminasi maju : •

Kurangkan baris 2 dengan 2 kali baris 1 ( R 2 -2R 1 ), baris 3 dengan baris 1 (R 3 – R 1 ), baris 4 tambah baris 1 (R 4 + R 1 ) sehingga didapat matriks berikut :

1

•

2 -1

1 |0

0 0

-1 -1

3 0 |7 4 - 2 | 14

0

3

1

2 |5

Kurangkan baris 3 dengan baris 2 ( R 3 -R 2 ), baris 4 tambah 3 kali baris 2 ( R 4 + 3 R 2 ), diperoleh

1 0 0 0 •

2 -1 1 -1 3 0 0 1 -2 0 10 2

|0 |7 |7 | 26

Kurangkan baris 4 dengan 10 kali baris 3 ( R 4 – 10 R 3 ), diperoleh

1 0 0 0

2 -1

1 |0

-1 3 0 | 7 0 1 -2 |7 0 0 22 | -44

Persamaan AX = c sekarang menjadi : x1 + 2 x 2 - x 3 + x 4 - x2 + 3 x3

=0 =7

x3 - 2 x4 = 7 22 x 4

= -44

(M.03) Untuk menentukan nilai x dilakukan langkah subtitusi balik, yaitu mula-mula didapat nilai x 4 pada persamaan (5.3), x 4 = -44/22 =-2, kemudian nilai x 3 =3, x 2 =2, dan x 1 =1. Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017

Jebakan pada eliminasi Gauss Terdapat beberapa jebakan yang harus diselidiki sebelum mengimplementasikan metode ini pada program komputer ( guna menghindari memperoleh solusi yang tidak tepat ). Jebakan yang mungkin pada metode ini adalah : terdapat pembagian dengan nol, error karena pembulatan. Definisi error adalah : e t = (Nilai sesungguhnya – Nilai pendekatan )/(Nilai sesungguhnya) x 100 % atau e a = (Nilai pendekatan sekarang – Nilai pendekatan sebelumnya )/(Nilaipendekatan sekarang ) x 100 % Jebakan yang lain pada metode ini adalah sistem kondisi buruk ( ill condition ). Untuk memperbaiki metode Eliminasi Gauss ( pada komputer) dilakukan beberapa cara, antara lain : menggunakan angka penting yang lebih banyak, pivoting dan penskalaan ( scaling).

ATURAN CRAMER Persamaan linear berbentuk [A ] [ X ] = [c] juga dapat diselesaikan dengan aturan Cramer. Pada aturan ini diharuskan terlebih dahulu mencari determinan matriks. Misal untuk kasus m = n = 3

A=

a 11

a 12

a 13

a 21

a 22 a 23

a 31

a 32 a 33

c1 c=

c2 c3

•

Tentukan determinan matriks A, misal D = determinan matriks A

•

Gantikan elemen matriks A pada kolom 1 dengan matriks c dan tentukan nilai determinannya

c1 a 12 a 13 A1=

c 2 a 22 a 23

, D 1 = determinan ( A 1 )

c 3 a 32 a 33 •

Gantikan elemen matriks A pada kolom 2 dengan matriks c dan tentukan nilai determinannya


a 11 c1 a 13 A2 =

a 21 c 2 a 23

, D 2 = determinan (A 2 )

a 31 c 3 a 33 •

Gantikan elemen matriks A pada kolom 3 dengan matriks c dan tentukan nilai determinannya a 11 a 12 c1 A3 =

a 21 a 22 c 2

, D 3 = determinan ( A 3 )

a 31 a 32 c 3

•

Tentukan nilai x

x1 =

D1 D2 D3 , dan x3 = , x2 = D D D


(5.4)

Determinan Jika A adalah suatu matriks berukuran m x n, maka determinan A didefinisikan sebagai berikut : n

Det A =

∑ (−1)

1+ j

a1 j M 1 j , dimana M 1j disebut sebagai minor dari elemen

j =1

a 1j . Contoh untuk n = 3 A=

Det A = (-1)1+1 a 11

a 11

a 12

a 13

a 21

a 22

a 23

a 31

a 32

a 33

a 22

a 23

a 32

a 33

+ (-1)1+2 a 12

, maka determinan A adalah

a 12

a 23

a 31

a 33

+ (-1)1+3 a 13

a 21

a 22

a 31

a 32

Jika

1

A=

-4

1 2

2

3 1 0 3

Maka determinan A adalah

Det A =

1

3 1 0 3

6) =1 Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017

+4

1 2

1 3

+2

1 3 2 0

= 1(9-0) + 4( 3-2 ) + 2 (0-

Persamaan untuk menetukan determinan juga dapat dituliskan sebagai berikut :

n

Det A =

∑a j =1

1+j

1j

C1 j , dengan C 1j = (-1 )

M 1j

Dimana C 1j = cofactor dari elemen a ij . Contoh 2 Carilah nilai x 1 , x 2 , x 3 dan x 4 pada contoh 1 Jawab

x1

1 2 -1 1 2 3 1 2 1 1 3 -1 -1 1 2 1

⎡ 1 2 -1 1 ⎢ 2 3 1 2 𝐴𝐴 = ⎢ ⎢ 1 1 3 -1 ⎣ -1 1 2 1

x2 x3 x4

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

n

det A =

∑a j =1

1j

=

⎡ ⎢ 𝑥𝑥 = ⎢ ⎢ ⎣

0 7 14 5

x1

⎤ ⎥ ⎥, ⎥ ⎦

x2 x3 x4

1+j

C1 j , dengan C 1j = (-1 )

⎡ ⎢ 𝑐𝑐 = ⎢ ⎢ ⎣


⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

M 1j

3 1 2 2 1 2 2 1 det A = 1 �1 3 −1�- 2� 1 3 −1�- 1 � 1 1 1 2 1 −1 2 1 −1 1 = -22

0 7 14 5

2 1 2 −1 −1� -1 � 2 3 1 � 1 −1 1 2

⎡ ⎢ 𝐴𝐴1 = ⎢ ⎢ ⎣

0 7 14 5

2 -1 1 3 1 2 1 3 -1 1 2 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

, D1 = determinan A1

D1 = -22, nilai x1 = D1/det A = -22/-22 =1 ⎡ 1 0 -1 ⎢ 2 7 1 𝐴𝐴2 = ⎢ ⎢ 1 14 3 ⎣ -1 5 2

1 2 -1 1

⎤ ⎥ ⎥, ⎥ ⎦

D2 = determinan A2

D2 =-44, nilai x2 = D2/det A = -44/-22 =2

⎡ 1 2 ⎢ 2 3 𝐴𝐴3 = ⎢ ⎢ 1 1 ⎣ -1 1

0 7 14 5

1 2 -1 1

⎤ ⎥ ⎥ , D3 = determinan A3 ⎥ ⎦

D3 =-66, nilai x3 = D3/det A = -66/-22 =3

⎡ 1 2 -1 ⎢ 2 3 1 𝐴𝐴4 = ⎢ ⎢ 1 1 3 ⎣ -1 1 2

0 7 14 5

⎤ ⎥ ⎥, D4 = determinan A4 ⎥ ⎦

D4 = 44, nilai x3 = D4/det A = 44/-22 =-2


Contoh 3 Selesaikan contoh 1 dan contoh 2 dengan bantuan program computer Jawab Pakai program Matlab ( Install di PC/Laptop atau di HP dengan OS Android)

Program contoh 1 % coba eliminasi Gauss clc clear disp ('======================================================') % Matriks [AA] [XX]=[cc] AA=[ 1 2 -1 1 2 3 1 2 1 1 3 -1 -1 1 2 1] cc=[ 0 7 14 5] % Gabung AA dengan cc A_C = [AA cc] % cari matriks baris baris_1 = A_C(1,:); % baris 1 semua kolom Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017

baris_2 = A_C(2,:); baris_3 = A_C(3,:); baris_4 = A_C(4,:);

% Eliminasi Gauss proses 1 % Kurangkan baris 2 dengan 2 kali baris 1 ( R2-2R1), % baris 3 dengan baris 1 (R3 – R1 ), % baris 4 tambah baris 1 (R4 + R1) sehingga didapat matriks berikut : R1 = baris_1; R2= baris_2; R3 =baris_3; R4 =baris_4; A1= R2-2*R1; A2 = R3-R1; A3 = R4+R1; disp (' ========== EliminasiProses 1/ Eliminasi maju ========') AA1= [R1 A1 A2 A3]; A_C_1= AA1 %======================Proses 2====================== % Kurangkan baris 3 dengan baris 2 ( R3-R2), % baris 4 tambah 3 kali baris 2 ( R4 + 3 R2 ), % diperoleh R1 R2 R3 R4

= = = =

AA1(1,:); AA1(2,:); AA1(3,:); AA1(4,:);

B3 =R3-R2; B4 =R4+ 3*R2; disp (' ==========Eliminasi Proses 2=============') BB =[R1 R2 B3 B4]; A_C_2=BB %======================Proses 3====================== % Kurangkan baris 4 dengan 10 kali baris 3 ( R4 – 10 R3 ), diperoleh

R1 R2 R3 R4

= BB(1,:); = BB(2,:); =BB(3,:); = BB(4,:);


C4 = R4 - 10* R3; disp (' ==========Eliminasi Proses 3=============') CC= [R1; R2; R3; C4] ; A_C_3 =CC % ==================================================== disp (' subtitusi balik') disp (' pakai format aX = c') disp ('=================================================') a= CC(:,1:4) c= CC (:,5) disp (' =================================================') disp (' Hasil ') x4=c(4)/a(4,4) x3= (c(3)-a(3,4)*x4)/a(3,3) x2= (c(2)-a(2,3)*x3-a(2,4)*x4)/a(2,2) x1= (c(1)-a(1,2)* x2-a(1,3)*x3 -a(1,4)* x4)/a(1,1)

Hasil Program ====================================================== AA = 1 2 1 -1

2 -1 1 3 1 2 1 3 -1 1 2 1

cc = 0 7 14 5

A_C = 1 2 1 -1

2 -1 1 3 1 2 1 3 -1 1 2 1

0 7 14 5


========== EliminasiProses 1/ Eliminasi maju ======== A_C_1 = 1 0 0 0

2 -1 -1 3 -1 4 3 1

1 0 -2 2

0 7 14 5

==========Eliminasi Proses 2============= A_C_2 = 1 0 0 0

2 -1 1 -1 3 0 0 1 -2 0 10 2

0 7 7 26

==========Eliminasi Proses 3============= A_C_3 = 1 0 0 0

2 -1 1 0 -1 3 0 7 0 1 -2 7 0 0 22 -44

subtitusi balik pakai format aX = c ================================================= a= 1 0 0 0

2 -1 1 -1 3 0 0 1 -2 0 0 22

c= 0 7 7 -44


================================================= Hasil x4 = -2

x3 = 3

x2 = 2

x1 = 1 >>

Program contoh 2 % coba Cramer rule clc clear disp ('======================================================') % Matriks [AA] [XX]=[cc] AA=[ 1 2 -1 1 2 3 1 2 1 1 3 -1 -1 1 2 1] cc=[ 0 7 14 5] %---------------------Determinan AA-----------------------------det_AA= det (AA) K1 K2 K3 K4

= = = =

AA(:,1); % semua kolom bari 1 AA(:,2); AA(:,3); AA(:,4);


D1= [cc K2 K3 K4] det_D1= det (D1) D2= [K1 cc K3 K4] det_D2= det (D2) D3= [K1 K2 cc K4] det_D3= det (D3) D4= [K1 K2 K3 cc] det_D4= det (D4) disp ('===========================================') disp (' Harga x') x4= det_D4/det_AA x3= det_D3/det_AA x2= det_D2/det_AA x1= det_D1/det_AA

Hasil Program ====================================================== AA = 1 2 1 -1

2 -1 1 3 1 2 1 3 -1 1 2 1

cc = 0 7 14 5

det_AA = -22

D1 =


0 7 14 5

2 -1 3 1 1 3 1 2

1 2 -1 1

det_D1 = -22.0000

D2 = 1 0 -1 2 7 1 1 14 3 -1 5 2

1 2 -1 1

det_D2 = -44.0000

D3 = 1 2 1 -1

2 0 3 7 1 14 1 5

1 2 -1 1

det_D3 = -66

D4 = 1 2 1 -1

2 -1 0 3 1 7 1 3 14 1 2 5

det_D4 = Hak Cipta AHF Unismuh Mks 2017

44.0000 =========================================== Harga x x4 = -2.0000

x3 = 3

x2 = 2.0000

x1 = 1.0000 >>


Metode Eliminasi Gauss dan Aturan Cramer

Recommend Documents