METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN (untuk sistem linier dengan 3 variabel) •
•
Penjelasan step-by-step metode eliminasi Gauss-Jordan untuk sistem persamaan linier dengan 3 variabel Jika diketahui sistem persamaan linier: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 maka dapat dituliskan sebagai perkalian matriks Ax = b yang berbentuk:
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
x1 x2 x3
=
b1 b2 b3
atau dapat ditulis secara disingkat sebagai berikut:
a11 a21 a31
•
•
a12 a22 a32
a13 a23 a33
b1 b2 b3
Metode eliminasi Gauss-Jordan bertujuan untuk mengubah matriks A menjadi matriks diagonal, di mana semua elemen pada diagonal matriks bernilai 1, sedangkan elemen lainnya semuanya bernilai nol, sehingga bentuk ma triksnya adalah seperti berikut: Metode eliminasi Gauss bertujuan untuk mengubah matriks A menjadi matriks segitiga atas, yaitu berbentuk:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
b1 b2 b3
•
Metode eliminasi Gauss-Jordan dilakukan dgn cara:
Tahap 1a. Bagilah semua elemen di baris 1 dengan a11. R1 baru = R1/a11 Tahap 1b. Eliminasi (nol-kan) nilai a 21 ,a31 dengan cara: R2 baru = R2 – (a21 /a11).R1 R3 baru = R3 – (a31 /a11).R1 Tahap 2a. Bagilah semua elemen di baris 2 dengan a22. R2 baru = R2/a22 Tahap 2b. Eliminasi (nol-kan) nilai a 12 ,a32 dengan cara: R1 baru = R1 – (a12 /a22).R2 R3 baru = R3 – (a32 /a22).R2 Tahap 3a. Bagilah semua elemen di baris 3 dengan a33. R3 baru = R3/a33 Tahap 3b. Eliminasi (nol-kan) nilai a 13 ,a23 dengan cara: R1 baru = R1 – (a13 /a33).R3 R2 baru = R2 – (a23 /a33).R3
Catatan:
R1 berarti setiap elemen pada baris ke-1, yaitu: - a11, a12, a13, b1 R2 berarti setiap elemen pada baris ke-2, yaitu: - a21, a22, a23, b2 R3 berarti setiap elemen pada baris ke-3, yaitu: - a31, a32, a33, b3
Sampai pada tahap ini matriks akan berbentuk seperti berikut:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
b1 b2 b3
Matriks di atas jika dinyatakan dalam bentuk persamaan linier adalah: 1.x1 + 0.x2 + 0.x3 = b1 0.x1 + 1.x2 + 0.x3 = b2 0.x1 + 0.x2 + 1.x3 = b3 atau x1 = b1 x2 = b2 x3 = b3 Solusi ditemukan.
METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN (untuk sistem linier dengan 4 variabel) •
•
Penjelasan step-by-step metode eliminasi Gauss-Jordan untuk sistem persamaan linier dengan 4 variabel Jika diketahui sistem persamaan linier: a11 x1 + a21 x1 + a31 x1 + a41 x1 +
a12 x2 + a22 x2 + a32 x2 + a42 x2 +
a13 x3 + a23 x3 + a33 x3 + a43 x3 +
a14 x4 = b1 a24 x4 = b2 a34 x4 = b3 a44 x4 = b4
maka dapat dituliskan sebagai perkalian matriks Ax = b yang berbentuk:
a11 a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
x1 x2 x3 x4
=
b1 b2 b3 b4
atau dapat ditulis secara disingkat sebagai berikut:
a11 a21 a31 a41 •
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
b1 b2 b3 b4
Metode eliminasi Gauss-Jordan bertujuan untuk mengubah matriks A menjadi matriks diagonal, di mana semua elemen pada diagonal matriks bernilai 1, sedangkan elemen lainnya semuanya bernilai nol, sehingga bentuk ma triksnya adalah seperti berikut:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
b1 b2 b3 b4
•
Metode eliminasi Gauss-Jordan dilakukan dgn cara:
Tahap 1a. Bagilah semua elemen di baris 1 dengan a11. R1 baru = R1/a11 Tahap 1b. Eliminasi (nol-kan) nilai a 21 ,a31 , a41 dengan cara: R2 baru = R2 – (a21 /a11).R1 R3 baru = R3 – (a31 /a11).R1 R4 baru = R4 – (a41 /a11).R1 Tahap 2a. Bagilah semua elemen di baris 2 dengan a22. R2 baru = R2/a22 Tahap 2b. Eliminasi (nol-kan) nilai a 12 ,a32 ,a42 dengan cara: R1 baru = R1 – (a12 /a22).R2 R3 baru = R3 – (a32 /a22).R2 R4 baru = R4 – (a42 /a22).R2 Tahap 3a. Bagilah semua elemen di baris 3 dengan a33. R3 baru = R3/a33 Tahap 3b. Eliminasi (nol-kan) nilai a 13 ,a23 ,a43 dengan cara: R1 baru = R1 – (a13 /a33).R3 R2 baru = R2 – (a23 /a33).R3 R4 baru = R4 – (a43 /a33).R3 Tahap 4a. Bagilah semua elemen di baris 4 dengan a44. R4 baru = R4/a44 Tahap 4b. Eliminasi (nol-kan) nilai a 14 ,a24 ,a34 dengan cara: R1 baru = R1 – (a14 /a44).R4 R2 baru = R2 – (a24 /a44).R4 R3 baru = R3 – (a34 /a44).R4 Catatan:
R1 berarti setiap elemen pada baris ke-1, yaitu: - a11, a12, a13, a14, b1 R2 berarti setiap elemen pada baris ke-2, yaitu: - a21, a22, a23, a24, b2 R3 berarti setiap elemen pada baris ke-3, yaitu: - a31, a32, a33, a34, b3 R4 berarti setiap elemen pada baris ke-4, yaitu: - a41, a42, a43, a44, b4
Sampai pada tahap ini matriks akan berbentuk seperti berikut: 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
b1 b2 b3 b4
Matriks di atas jika dinyatakan dalam bentuk persamaan linier adalah: 1.x1 + 0.x2 + 0.x3 + 0.x4 = b1 0.x1 + 1.x2 + 0.x3 + 0.x4 = b2 0.x1 + 0.x2 + 1.x3 + 0.x4 = b3 0.x1 + 0.x2 + 0.x3 + 1.x4 = b4 atau x1 = b1 x2 = b2 x3 = b3 x4 = b4 Solusi ditemukan.
CONTOH PERHITUNGAN METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN:
Diketahui sistem persamaan linier berikut: x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 9 2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 = 3 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 9 4x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = -1 Maka dapat dituliskan sebagai berikut:
1 2 3 4 •
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
9 3 9 -1
Tahap 1 Tahap 1a. Bagilah semua elemen di baris 1 dengan a11. R1baru = R1/1 Menghasilkan matriks:
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
9 3 9 -1
Tahap 1b. Eliminasi (nol-kan) nilai a 21 ,a31 , a41 dengan cara: R2 baru = R2 – (a21 /a11).R1, maka R2 baru = R2 – (2/1).R1 R3 baru = R3 – (a31 /a11).R1, maka R3 baru = R3 – (3/1).R1 R4 baru = R4 – (a41 /a11).R1, maka R4 baru = R4 – (4/1).R1 Menghasilkan matriks: 1 0 0 0
2 -1 -2 -7
3 -2 -8 -10
4 -7 -10 -13
9 -15 -18 -37
Tahap 2a. Bagilah semua elemen di baris 2 dengan a22. R2 baru = R2/(-1) Menghasilkan matriks: 1 0 0 0
2 1 -2 -7
3 2 -8 -10
4 7 -10 -13
9 15 -18 -37
Tahap 2b. Eliminasi (nol-kan) nilai a 12 ,a32 ,a42 dengan cara: R1 baru = R1 – (a12 /a22).R2, maka R1 baru = R1 – (2/1).R2 R3 baru = R3 – (a32 /a22).R2, maka R3 baru = R3 – (-2/1).R2 R4 baru = R4 – (a42 /a22).R2, maka R4 baru = R4 – (-7/1).R2 Menghasilkan matriks: 1 0 0 0
0 1 0 0
-1 2 -4 4
-10 7 4 36
-21 15 12 68
Tahap 3a. Bagilah semua elemen di baris 3 dengan a33. R3 = R3/(-4) Menghasilkan matriks: 1 0 0 0
0 1 0 0
-1 2 1 4
-10 7 -1 36
-21 15 -3 68
Tahap 3b. Eliminasi (nol-kan) nilai a 13 ,a23 ,a43 dengan cara: R1 baru = R1 – (a13 /a33).R3, maka R1 baru = R1 – (-1/1).R3 R2 baru = R2 – (a23 /a33).R3, maka R2 baru = R2 – (2/1).R3 R4 baru = R4 – (a43 /a33).R3, maka R4 baru = R4 – (4/1).R3 Menghasilkan matriks: 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
-11 9 -1 40
-24 21 -3 80
Tahap 4a. Bagilah semua elemen di baris 4 dengan a44. R4 baru = R4/40 Menghasilkan matriks: 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
-11 9 -1 1
-24 21 -3 2
Tahap 4b. Eliminasi (nol-kan) nilai a 14 ,a24 ,a34 dengan cara: R1 baru = R1 – (a14 /a44).R4, maka R1 baru = R1 – (-11/1).R4 R2 baru = R2 – (a24 /a44).R4, maka R2 baru = R2 – (9/1).R4 R3 baru = R3 – (a34 /a44).R4, maka R3 baru = R3 – (-1/1).R4 Menghasilkan matriks: 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Maka solusinya adalah: x1 = -2 x2 = 3 x3 = -1 x4 = 2
-2 3 -1 2
