SPL dengan Aturan Cramer & Eliminasi Gauss

SPL dengan Aturan Cramer & Eliminasi Gauss Elkin Rilvani Pertemuan 5

[email protected] Aljabar Linear

Aturan Cramer • adalah rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaikan SPL. • Metode ini menggunakan Determinan suatu atriks dan matriks lain yang diperoleh dengan mengganti salah satu kolom dengan vektor yang terdiri dari angka di sebelah kanan persamaannya. • Metode ini dinamai dari matematikawan Swiss Gabriel Cramer(1704–1752)

Aturan Cramer (5.1)

xn = Nilai variabel yang akan dicari |An| = Determinan matriks A, dengan terlebih dahulu mengganti kolom ke n dengan elemen-elemen pada matriks b |A| = Determinan matriks A

Dari persamaan (5.1) secara tersirat diketahui bahwa aturan Cramer hanya dapat digunakan jika |A|  0 Artinya, jumlah persamaan dalam sistem persamaan linier harus sama dengan jumlah variabel. Contoh 5.1 Selesaikan sistem persamaam linier berikut dengan menggunakan aturan Cramer!

Penyelesaian

Eliminasi Gauss • Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. • Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. • Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. • Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Penyelesaian SPL • Untuk menyelesaikan SPL dengan Eliminasi Gauss maka terlebih dahulu susun beberapa persamaan menjadi matriks • Lalu mengeliminasi nilai-nilai dalam matriks sehingga menghasilkan matriks segitiga atas Matrik UpperTringular

ELIMINASI MAJU 1. Eliminasi x1 dalam (2) dan (3)

a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34

 1 a12

 a14  a13

a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34

a. Baris pertama dibagi dengan a11

akj 

a kj a kk

k  1, j  k,...,4

 1 a12

 a14  a13

a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 b. Baris pertama dikalikan dengan a21 dan dikurangkan ke baris kedua.

aij  aij - mxakj

 1 a12

 0 a22

a31 a32

 a14  a13

a23

 a24

a33 a34

m  a21 , i  2, j  k ,...,4

 1 a12

 a14  a13

 0 a22

a23

 a24

a31 a32

a33 a34 c. Baris pertama dikalikan dengan a31 dan dikurangkan ke baris ketiga.

 1 a12

 a14  a13

 a23 a24  0 a22  a33  a34  0 a32

aij  aij - mxakj m  a31 , i  3, j  k ,...,4

2. Eliminasi x2 dalam (3)

 1 a12

 a14  a13

 a23 a24  0 a22  a33  a34  0 a32

 a13  a14  1 a12  a 24  0 1 a 23  0 a32

 a33

 a34

a. Baris kedua dibagi dengan a/22

akj akj  akk k  2, j  k,...,4

 a13  a14  1 a12  a 24  0 1 a 23  0 a32

 a33

 a34

 a13  a14  1 a12  a 24  0 1 a 23  a34  0 0 a33

b. Baris kedua dikalikan dgn. a/32 dan dikurangkan ke baris ketiga.

aij  aij  mxakj m  a 32 , i  3, j  k,...,4

 a13  a14  1 a12  a 24  0 1 a 23  a34  0 0 a33

 a13  a14  1 a12  a 24  0 1 a 23 0

0

1

 a34

a. Baris ketiga dibagi dengan a//33

akj akj   akk k  3, j  k,...,4

SUBSTITUSI BALIK

 1 a12 0 1  0 0

 a13 a23 1

  a14  a24    a34

 x3  a34

  a23 x3 x2  a24

  a12  x2  a13  x3  x1  a14

Contoh • Tahap yang dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode Gauss antara lain: 1. Menyusun matriks dari sistem persamaan linear yang diketahui Matriks untuk sistem persamaan linear • -a + 2b – 3c + 4d = 20 • 4a – 3b + 2c – d = 0 • 2a – 2b – 2c + 2d = 0 • 5a + 4b – c – d = 12 -1 2 -3

2. Mengubah matriks menjadi Eselon-baris Apa itu Eselon-baris ? Eselon baris merupakan matriks dengan ketentuan: a. Angka pertama pada baris pertama adalah 1 b. Angka pertama pada baris setelah baris pertama adalah nol c. Angka 1 pada baris setelah baris pertama berada lebih kanan daripada angka 1 pada baris sebelumnya