Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselonbaris tereduksi)
Maka didapatkan nil i dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 1
Bentuk Newton
n
n-1
interpolasi polinominal p(x)=anx +an-1x +...+a 1x+a0 adalah bentuk standar. Tetapi ada juga ya g menggunakan bentuk lain . Contohnya , kita mencari interpolasi titik dari data (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3). 3
2
Jika kita tuliskan P(x)=a3x +a2x +a1x+a0 3
2
bentuk equivalentnya : p(x)=a3(x-x0) +p(x)=a2(x-x0) +p(x)=a1(x-x0)+a0
dari kondisi interpolasi p(x0)=yo maka didapatkan a 0=yo , sehingga dapat kita tuliskan menjadi
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
p(x)=b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)+b2(x-x0)(x-x1)+b1(x-x0)+b0 inilah yang disebut newton form dari interpolasi , sehingga kita dapatkan :
p(x0)=b0
p(x1)=b1h1+b0
p(x2)=b2(h1+h2)h2+b1(h1+h2)+b0
p(x3)=b3(h1+h2+h3)(h2+h3)h3+b2(h1+h2+h3)(h2+h3)+b1(h1+h2+h3)+
0
sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk matrix:
Operator Refleksi
2
2
Berdasarkan operato r T:R -> R yang memetakan tiap vektor simetris terhadap
alam gambaran
umbu y, dimisalkan w=T (x), maka persamaan
yang
berhubungan dengan x dan w adalah:
x1 = -x = -x + 0y
x2 = y = 0x + y
atau dalam bentuk m trik :
Secara umum, oper ator pada R gambaran simetriny
2
dan R
3
yang memetakan tiap vektor pada
terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan
operator refleksi. Op rator ini bersifat linier.
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
Operator Proyeksi
2 2 Berdasarkan operato r T:R -> R yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi
tegak lurus terhadap sumbu x, dimisalkan w=T (x), maka
ersamaan yang
berhubungan dengan x dan w adalah:
x1 = x = x + 0y
x2 = 0 = 0x + y
atau dalam bentuk m trik :
Persamaan tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator linier dan matrikx
T adalah:
2
3
Secara umum, sebua operator proyeksi pada R dan R merupakan operator yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah g aris atau bidang melalui asalnya.
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
Operator Rotasi
2
Sebuah operator ya g merotasi tiap vektor dalam R melalui sudut ɵ disebut operator rotasi pada
2
operator rotasi yang
emutar tiap vektor searah jarum jam melal i sudut ɵ positif
. Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihat
yang tetap. Unutk m nemukan persamaan hubungan x dan w=T (x), dimisalkan ɵ adalah sudut dari sumbu x positif ke x dan r adalah jarak x d n w. Lalu, dari rumus trigonometri dasar x = r cos Θ ; y = r cos Θ dan w1 = r cos (ɵ + ɸ) ; w 2= r sin (ɵ + ɸ)
Menggunakan identitas trigonometri didapat:
w1 = r cos ɵ cos ɸ - r sin ɵ sin ɸ
w2 = r sin ɵ cos ɸ + r cos ɵ sin ɸ
kemudian disubtitusi sehingga:
w1 = x cos Θ - y sin
w2 = x sin Θ + y cos Θ
Persamaan diatas merupakan persamaan linier, maka T merupakan operator linier sehingga
bentuk
Ributhermanto201043118
matrik
dari
mekanika
persamaan
diatas
adalah:
untuk Universitas
Interpolasi Polinomial
Dengan mengangga
masalah pada interpolasi polinomial untu deret n + 1 di
m titik (x0,y0)...., (xn,yn). Maka, kita diminta untuk menemukan kur a p(x) = am x + m−1
am-1 x
+ ... + a 1 x
a0 dari sudut minimum yang melewati seti p dari titik data.
Kurva ini harus mem enuhi
karena x i diketahui, i i akan menuju pada sistem matrik di bawah ini
=
Ingat bahwa ini mer pakan sistem persegi dimana n = m . Dengan menganggap n = m memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi olinomial p(x):
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
=
(1)
Matrix di atas diketahui sebagai Matrix Vandermonde ; kol m j merupakan elemen pangkat
j-1.
Sistem
linier
pada
(1)
disebut
enjadi
Sistem
Vandermonde.
Contoh soal:
Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) men gunakan Sistem Vandermonde.
Jawab:
Bentuk Sistem Vand rmonde(1):
=
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
Untuk data di atas, kita mempunyai
=
Untuk mendapatkan olusinya, digunakan Gaussian Elimination
aris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pert ama
aris ke-3 dibagi dengan 2, sedangkan b ris ke-4 dibagi dengan 3
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
aris ke-3 dikurangi baris ke-2
aris ke-4 dikurangi baris ke-2
aris ke-4 dibagi dengan 2
aris ke-4 dikurangi baris ke-3
Didapatkan persama n linier dari persamaan matrix di atas
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
Jadi, interpolasinya a dalah
Eliminasi Gauss-Jo dan
Thomas (1984:93-94) mengatakan bahwa setiap matriks memili i bentuk eselon baris tereduksi yang unik, artinya kita akan memperoleh ben uk eselon baris tereduksi yang sama untuk matriks tertentu bagaimanapun vari si operasi baris yang dilakukan. Langkah-langkah op rasi baris yang dikemukakan oleh Gauss da disempurnakan oleh Jordan sehingga dikenal dengan Eliminasi Gauss-Jordan, seb agai berikut: 1. Jika suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris itu ad lah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1). 2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka ba is-baris ini akan dikelompokkan ersama pada bagian paling bawah dari matri ks. 3. Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya d ari nol, maka 1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi. 4. Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lai .
Misal kita punya matriks berikut:
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
Langkah 1. Perhatikan kolom paling kiri yang tidak seluruhnya nol.
Langkah 2. Jika perlu, pertukarkan baris paling atas dengan baris lain untuk menempatkan entri taknol pada puncak kolom yang kita peroleh pada langkah 1.
Baris pertama dipertukarkan dengan baris ke dua (H21)
Langkah 3. Jika entri yang kini berada pada kolom yang kita peroleh pada langkah 1 adalah a, kalikan dengan baris pertama dengan 1/a sehingga membentuk 1 utama.
Baris pertama dari matriks sebelumnya dikalikan dengan 1/2 disingkat H2(1/2)
Langkah 4. Tambahkan kelipatan yang sesuai dari baris paling atas ke baris-baris di bawahnya sehingga semua entri di bawah 1 utama menjadi nol.
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
-2 kali baris pertama sebelumnya ditambahkan ke baris ketiga (H21(-2))
Langkah 5. Sekarang tutuplah baris paling atas dari matriks dan mulailah lagi dengan langkah 1 pada submatriks yang tersisa. Lanjutkan langkah ini hingga seluruhnya matriks berada dalam bentuk eselon baris.
lihat kolom ketiga dari kiri tidak semuanya nol
baris kedua dari matriks dikalikan dengan dengan -1/2 untuk memperoleh 1 utama
-5 kali baris kedua ditambahkan pada baris ketiga untuk memperoleh nol di bawah 1 utama.
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
baris paling atas submatriks ditutup kita kembali ke langkah 1
baris ketiga dikalikan dengan 2 untuk mendapatkan 1 utama berikutnya.
Langkah 6. Mulailah dengan baris tak nol terakhir dan bergerak ke atas, tambahkan kelipatan yang sesuai dari tiap-tiap baris ke baris di atasnya untuk memperoleh nol di atas 1 utama.
kali baris ketiga dari matriks sebelumnya ditambahkan ke baris kedua.
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
-6 kali baris ketiga ditambahkan ke baris pertama
5 kali baris kedua ditambahkan ke baris pertama
Langkah 1 – 5 dinamakan Eliminasi Gauss, jika prosedurnya sampai pada langkah 6 dinamakan Eliminasi Gauss-Jordan.
Dari langkah tersebut kita peroleh persamaan
x1 + 2×2 +3 x4 = 2
x3 = 1
x5=2
Dari persamaan tersebut kita dapat memisalkan nilai x1=s dan x2 = t untuk memperoleh nilai x1 = 2s-3t (s dan t adalah parameter dari SPL tersebut).
dapat dilihat di sini Eliminasi gauss-jordan Soal terapan eliminasi gauss jordan
1.pabila diketahui suatu rangkaian listrik seperti Gambar 5, maka besar arus untuk
masing-masing hambatan dapat dicari menggunakan metoda numerik.
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
Gambar 5. Rangkaian Listrik untuk Tiga Resistor dan Dua Tegangan
Untuk memperoleh tiga buah persamaan tersebut, kita gunakan hukum tegangan Kirchoff pada tiap lup arus.
Persamaannya adalah :
Apabila kita susun kembali, maka :
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
Dari tiga persamaan di atas dapat kita buat ke dalam bentuk operator matrik menjadi :
Berdasarkan data soal yang ada, maka dapat kita inputkan nilai resistor dan tegangan masing-masing, sehingga :
Dari persamaan matrik ini, maka dapat diselesaikan persoalan tersebut dengan menggunakan beberapa metoda numerik. Diantaranya :
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
1.
Metode Eliminasi Gauss
Karena diagonal A baris pertama 0, maka ditukar letaknya dengan baris lain. Maka :
Matrik augmentasinya menjadi :
Langkah selanjutnya menjadikan matrik triangularisasi dengan cara menjadikan baris ketiga kolom kedua bernilai 0.
Matrik triangularisasinya menjadi :
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
Maka arus masing-masing hambatan :
2.
Metode Cramer
Matrik yang digunakan :
Determinan matrik A adalah :
Solusi numeriknya adalah :
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
Ributhermanto201043118
mekanika
untuk Universitas
