MODUL 1 SISTEM MATRIKS DAN ELIMINASI GAUSS
A.
Tujuan Praktikum
Tujuan praktikum adalah sebagai berikut: 1. Mahasiswa mampu menerapkan operator-operator bahasa pemograman berupa penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pada C++. 2. Mahasiswa mampu melakukan operasi matriks 2D dan menampilkan outputnya pada konsol menggunakan C++. 3. Mahasiswa mampu menyelesaikan system persamaan linier dengan menggunakan metode eliminasi Gauss dan Gauss – Gauss – Jordan Jordan menggunakan bahasa C++.
B.
Teori Dasar
1.
Sistem dan Operasi Matriks
Matriks umum dikenal pada matematika sebagai kumpulan bilangan atau angka yang disusun dalam baris dan kolom yang bentuknya berupa persegi panjang, biasanya dibatasi dengan tanda “[]” atau “()”. Bilangan yang terdapat dalam suatu matriks disebut elemen matriks. Matriks biasa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan matematika, misalnya menemukan solusi persamaan linier karena matriks berupa variable biasa yang bisa bisa dioperasikan seperti seperti dijumlahkan, dikurangkan dan dikalikan. Matriks dinotasikan dengan huruf besar seperti A, X, Y, dan sebagainya. Misalkan sebuah matriks A dengan ukuran m baris dan n kolom dituliskan sebagai,
atau A atau A [aij [aij]] dimana i 1,2,...,m 1,2,...,m ; j 1,2,...,n 1,2,...,n
Jadi ketika terdapat penulisan matriks B dengan ukuran 3x2 maka matriks B tersebut mempunyai elemen matriks 3 baris dan 2 kolom.
Matriks memiliki banyak jenis, ada matriks kuadrat yang mana antara baris dan kolom sama banyaknya, matriks diagonal yang diluar diagon al utama berupa nol, matriks simetris jika
elemen
dibawah
diagonal
cerminan
elemen
atas
diagonal,
matriks
identitas
yang diagonal utamanya bernilai 1 selainnya bernilai 0 dan lain-lain. Matriks
selalu
digunakan
dalam
pengolahan
data
geofisika.
Pengolahan
data
geofisika selalu melibatkan data yang besar karena memang titik pengukurannya banyak, sehingga untuk memproses data tersebut, maka disimpan dalam suatu matriks yang kemudian dioperasikan lebih lanjut sesuai dengan kebutuhannya. Operasi
antar
matriks
dilakukan
dengan
menggunakan
beberapa
persyaratan.
Penjumlahan dan pengurangan matriks dapat dilakukan ketika kedua matriks tersebut berukuran sama. Sehingga yang dijumlahkan atau dikurangkan adalah elemen dan posisi yang sama. Perkalian matriks memiliki dua tipe yaitu skalar dan matriks. Perkalian skalar dilakukan untuk satu angka yang dikalikan dengan sebuah matriks, sedangkan perkalian matriks dilakukan ketika matriks dikalikan dengan matriks yang memiliki syarat berupa jumlah baris matriks pertama sama dengan jumlah kolom matriks kedua. Misalkan ada matriks V dengan ukuran 2x3, X dengan ukuran 3x3, matriks Y berukuran 3x2, matriks Z berukuran 3x3.
Perhitungan manual dari operasi-operasi matriks diatas untuk operasi penjumlahan dan pengurangan antara matriks X (3x3) dengan Z (3x3) menghasilkan matriks dengan ukuran 3x3.
Operasi perkalian skalar mariks 3• Z akan menghasilkan matriks yang sama dengan ukuran matriks pengalinya. Operasi perkalian matriks V (2x3) dengan matriks Z (3x3) maka menghasilkan matriks 2x3. Operasi transposisi matriks dimanfaatkan untuk berbagai keperluan. Misalkan untuk mendeposisi data sehingga bisa dioparasikan lebih lanjut. Transposisi dari matriks Y:
Operasi invers matriks sangat penting dalam geofisika karena geofisika memanfaatkan operasi ini untuk mengetahui model bawah permukaan bumi. Sebelum ke invers matriks, terlebih dahulu harus dimengerti tentang determinan dan adjoin suatu matriks. Berikut ini contoh determinan dengan metode Sarrus dan adjoinnya dari matriks X. Nilai determinan dari matriks X adalah sebagai berikut:
Selanjutnya nilai Adjoint matriks X diketahui melalui kofaktor X:
Sedangkan invers dari matriks X adalah,
2.
Eliminasi Gauss
Teknik mencari solusi persamaan linier dengan metode eliminasi Gauss ini dibagi menjadi dua tahap : a. Forward elimination Mengubah augmented matrix koefisien persamaan linier menjadi matriks segitiga atas. b. Back substitution Menghitung nilai variabel dari mulai variabel ke-n s.d. variabel ke-1. Tahap ini dilakukan menggunakan persamaan :
Berikut ini adalah contoh fungsi untuk forward elimination dengan menggunakan bahasa C:
Berikut ini adalah contoh kode program untuk backsubstitution dengan menggunakan bahasa C :
Gambar 1 Proses penyelesaian SPL dengan eliminasi Gauss
Gambar 2 penyelesaian sistem persamaan linier dengan eliminasi Metode Eliminasi Gauss – Jordan merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal sebagai berikut:
Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2 ,d3,…,dn dan atau: x1 = d 1, x2 = d 2 , x3 = d 3,...., xn = d n
Teknik yang digunakan dalam metode eliminasi Gauss-Jordan ini sama seperti metode eliminasi Gauss yaitu menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer). Hanya perhitungan penyelesaian secara langsung diperoleh dari nilai pada kolom terakhir dari setiap baris.
Algoritma Metode Eliminasi Gauss-Jordan adalah sebagai berikut:
1. Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n 2. Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A 3. Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n a. Perhatikan apakah nilai ai,i sama dengan nol : Bila ya : pertukarkan baris ke i dan baris ke i+k≤n, dimana ai+k,i tidak sama dengan nol, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian. Bila tidak : lanjutkan b. Jadikan nilai diagonalnya menjadi satu, dengan cara untuk setiap kolom k dimana k=1 s/d n+1, hitung , =
, ,
4. Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n Lakukan operasi baris elementer: untuk kolom k dimana k=1 s/d n Hitung c = aj,i Hitung a j,k = a j,k - c.ai,k 5. Penyelesaian, untuk i = n s/d 1 (bergerak dari baris ke n sampai baris pertama) xi = ai,n+1
C.
Tugas Pendahuluan
1. Jelaskan dan berikan contoh matriks diagonal, simetri, zero, identitas, segitiga, dan persegi! 2. Sebutkan operasi-operasi yang bisa diterapkan pada matriks!
3. Buatlah flowchart perkalian matriks V dengan Z! 4. Apakah ada operasi pembagian dalam matriks? Jelaskan! 5. Hitung determinan, adjoin dan invers dari matriks Z! 6. Buatlah flowchart Eliminasi Gauss pada matriks!
D.
Langkah Praktikum
1. Proses perhitungan persamaan (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), dan (10) bisa dilakukan dengan bantuan komputer. Apabila menggunakan Dev-C++ maka bisa dengan mendefinisikan masing masing matriknya V, X, Y, dan Z terlebih dahulu. Tulis ulang kode berikut dan beri nama p2ca.cpp .
Kemudian compile dan run kode tersebut. Jika tidak ada kesalahan ketik, maka outputnya berupa tampilan matriks V.
2. Buatlah matriks X, Y, dan Z dibawah potongan kode matriks V dengan menulis ulang dari matixv.cpp dan terlebih dahulu mendeklarasikan tipe variabel X, Y, Z serta save as sebagai p2cb.cpp . Begitupun untuk kode Octave-nya p2ob.m. Contoh untuk kode C++ yang berisi matriks V dan X yang dibrinama p2cc.cpp .
Run dan compile kode diatas sehingga output di consolenya berupa.
3. Salinlah kode program p2cb.cpp dan ganti dengan p2cd.cpp . Tambahkan potongan kode dibawah sebelum script kode return 0. Salin potongan kode penjumlahan matriks X dengan Z dibawah dengan sebelumnya terlebih dahulu mendefinisikan tipe variabel XpZ.
4. Contoh operasi perkalian matriks dilakukan dengan mengalikan matriks V dengan Z. Salin potongan kode berikut dan beri nama sebagai p2cg.cpp .
5. Salinlah potongan kode berikut dan beri nama operasi transpos matriks Y dengan nama p2ch.cpp .
6. Salinlah potongan kode determinan dari matriks X berikut dan simpan dengan p2ci.cpp .
agar kode p2ci.cpp lebih interaktif dan lebih sederhana maka ubahlah kedua kode tersebut dan simpanlah dalam p2ci_inter.cpp . 7. Salinlah potongan kode adjoin dari matriks X berikut dan simpan dengan nama p2ck.cpp .
8. Salinlah potongan kode invers dari matriks X berikut dan simpan dengan nama p2cl.cpp .
E. Laporan dan Analisis
Tugas yang harus dilampirkan pada laporan berupa: 1. Screenshot hasil run dari program penjumlahan (X+Z), pengurangan (X-Z), perkalian (3xZ dan VxZ) dan invers dari matriks (X dan Z)! 2. Apakah perbedaan antara perkalian skalar dan matriks yang Anda lakukan! 3. Apakah yang dimaksud dengan matriks singular dan non singular? Apakah matriks X dan Z bisa diinversikan? Kaitkan dengan syarat matriks bisa diinversikan!
F. Referensi
[1] Chapra,S.C.,Canale,R.P.,1990, Numerical Method for Engineers . [2] Press, W.H., Teukolsky, S.A., Vetterling, W.T., Flannery, B.P., 1997,Numerical Recipes in C, edisi 2. [3] Raharjo, B.,2006,Pemrograman C++, Informatika:Bandung. [4] Dahrin, Darharta, dkk. 2007. Modul Praktikum Komputasi ITB. ITB: Bandung [5] Abdullah, Agus, dkk. 2007. Modul Praktikum Komputasi Universitas Pertamina. UP: Bandung
~ Selamat Praktikum Ceria~
