INTRODUCCIÓN
2
OPERADOR DE ROTACIÓN ROTACIÓN
2
Características y funciones de la matriz de rotacin
2
OPERADOR DE TRA!"ACIÓN
#
Características y funciones de la matriz de traslacin
#
$ATRICE! $ATRICE! DE TRA!"ACIÓN DE "O! !I!TE$A! !I!TE$A ! RO%ÓTICO!
&
CONC"U!IÓN
'(
%I%"IO)RA*+A
'(
Introduccin "a mani,ulacin ro-tica im,lica el des,lazamiento ,iezas y .erramientas en el es,acio mediante al/0n ti,o de mecanismo1 Esto conduce a una necesidad de re,resentar ,osiciones y orientaciones de ,iezas .erramientas y del mecanismo en sí lle3ando al estudio de las matrices de rotacin y traslacin im,lementando estos conocimientos al 4rea de la ro-tica1
O,erador de Rotacin Características y funciones de la matriz de rotacin Re,resenta una rotacin en el es,acio eluclídeo1 Por e5em,lo la matriz Re,resenta la rotacin de 6 /rados del ,lano en sentido anti .orario1 En tres dimensiones las matrices de rotacin re,resentan las rotaciones de manera concisa y se usas frecuentemente en /eometría y física1 Al/e-raicamente una matriz de rotacin es una matriz orto/onal de determinante uno7 "as matrices de rotacin son cuadradas y con 3alores reales1 !in em-ar/o se ,ueden de8nir so-re otros cuer,os1 En con5unto de todas las matrices de rotacin de dimensin n 9 n forma un /ru,o :ue se conoce como /ru,o orto/onal es,ecial1 $atriz de rotacin en ;D En la re,resentacin .omo/ a la ,osicin P? =9? y? z?> con la o,eracin de matriz1 Para /enerar una transformacin de rotacin de-emos desi/nar un e5e de rotacin res,ecto del cual /irara el o-5eto y la cantidad de rotacin an/ular es decir un 4n/ulo 61 "a rotacin tridimensional se ,uede es,eci8car alrededor de cual:uier línea en el es,acio1 "os e5es de rotacin m4s f4ciles de mane5ar son a:uellos ,aralelos a los e5es de coordenadas1 "os 4n/ulos de rotacin ,ositi3a ,roducen /iros en el sentido o,uesto a las manecillas del relo5 con res,ecto al e5e de una coordenada si el o-ser3ador se encuentra 3iendo a lar/o del e5e de coordenadas1 2
Re,resentacin de las matrices de rotacin de e5es de coordenadas7 Es
,osi-le esta-lecer una matriz de rotacin ,ara cual:uier e5e :ue no coincide con un e5e de coordenadas como una transformacin com,uesta :ue im,lica com-inaciones de traslaciones y rotaciones de los e5es de coordenadas1 Primero se des,laza el e5e de rotacin seleccionado a uno de los e5es de coordenadas des,u
!us e5es de coordenadas son 3ectores orto/onales =forman un 4n/ulo de @6 /rados entre ellos> !u determinante es ' !i se saca la normal de cual:uier 3ector ,erteneciente a la matriz el resultado es ' ,or lo :ue es una matriz unitaria Al ser una matriz orto/onal su trans,uesta es i/ual a su in3ersa "a matriz de rotacin se denota7
Orientacin ;
Adem4s de la ,osicin es necesario de8nir la orientacin con res,ecto al sistema de referencia1 "a orientacin en un es,acio tridimensional 3iene de8nida ,or tres /rados de li-ertad linealmente inde,endientes !i se tiene 2 sistemas de referencia OB y OU con el mismo ori/en ,ero rotado un 4n/ulo cada 3ector del sistema de referencia es y de-en ser e:ui3alentes
Com,osicin de rotaciones Podemos multi,licar las matrices de rotacin -4sicas entre sí ,ara re,resentar una secuencia de rotacin 8nita res,ecto al e5e ,rinci,al del sistema de coordenadas OB • •
"a multi,licacin de matrices no es conmutati3a Im,ortante el orden de realizacin de las rotaciones
Tam-i
En R;7
(
En la ro-tica se utiliza ya :ue la matriz de rotacin de8ne los mo3imientos de o-5etos rí/idos ,or lo :ue es ideal ,ara su uso en la ro-tica1 Dentro de la ro-tica ,odemos ,ensar :ue un o-5eto ,uede /irar so-re diferentes e5es ,r4cticamente en ;D ,or lo :ue ,odemos introducir nue3os conce,tos de marco /lo-al y de referencia1 El marco /lo-al es el ,unto donde comienza o esta su ro-ot y el de referencia es con res,ecto a :ue est4 /irando de manera :ue se ,uede o-tener coordenadas con res,ecto a cual:uiera de estos dos marcos1 Pro,iedades 0tiles de la matriz de rotacin •
Cada 3ector columna de la matriz de rotacin es una re,resentacin del 3ector unitario del e5e rotado e9,resado en t
•
•
• • • •
unitarios de los e5es del sistema de referencia y cada 3ector 8la es una re,resentacin del 3ector unitario de los e5es de referencia e9,resado en funcin de los 3ectores unitarios de los e5es rotados del sistema OUF Como cada 8la y columna es una re,resentacin de un 3ector unitario la ma/nitud de cada una de ellas es i/ual a '1 Esta es una ,ro,iedad directa de un sistema de coordenadas ortonormal Como cada 8la es una re,resentacin 3ectorial orto normal el ,roducto interno de cada 8la ,or cual:uier otra 8la es cero i/ualmente con las columnas "a in3ersa de una matriz de rotacin es la trans,uesta de rotacin Cada uno de los 3ectores es un 3ector unitario Cada uno es ,er,endicular al otro su ,roducto ,unto es cero El ,rimero y se/undo 3ectores ,ueden rotarse con R 6 y :uedaran en el e5e 9 ,ositi3o y el e5e y ,ositi3o esto e:ui3ale a :ue el determinante sea uno
O,erador de Traslacin Características y funciones de la matriz de traslacin Una traslacin desliza un ,unto en el es,acio una distancia 8nita a lo lar/o de una direccin 3ectorial dada1 Con esta inter,retacin de trasladar el ,unto en el es,acio slo necesita estar in3olucrado un sistema de coordenadas1 Resulta :ue el ,roceso de trasladar el ,unto en el es,acio se lo/ra con las mismas matem4ticas utilizadas ,ara asi/nar el ,unto a una se/unda trama1 Casi siem,re es muy im,ortante com,render cu4l inter,retacin de las matem4ticas se est4 utilizando1 "a distincin es tan sim,le como esto7 cuando un 3ector se des,laza G.acia adelanteH en forma relati3a a una trama ,odemos considerar -ien :ue el 3ector se des,laz G.acia adelanteH o :ue la trama se mo3i G.acia atr4sH1 "as matem4ticas in3olucradas en am-os casos son id indica /r48camente cmo se traslada un 3ector AP' mediante un 3ector AJ1 A:uí el 3ector AJ ,ro,orciona la informacin necesaria ,ara realizar la traslacin1 El resultado de la o,eracin es un nue3o 3ector AP2 :ue se calcula así7 AP2 K AP' L AJ1 #
Para escri-ir esta o,eracin de traslacin como un o,erador matricial utilizamos la notacin7 AP2 K DJ=:> AP' en donde : es la ma/nitud con si/no de la traslacin a lo lar/o de la direccin 3ectorial JM 1 El o,erador DJ ,uede considerarse como una transformada .omo/
forma
es,ecialmente sim,le7
=O,erador de translacin>
En donde :9 :y y :z son los com,onentes del 3ector de traslacin J y : K √:29 L:2y L :2z "as ecuaciones im,lementan las mismas matem4ticas1 O-ser3e :ue si .u-i .acemos :ue las matem4ticas de las dos inter,retaciones sean id
"a in3ersa de una matriz de traslacin ,uede o-tenerse cam-iando el si/no de la direccin del 3ector des,lazamiento
$atrices de traslacin de los sistemas ro-ticos Cuando se ,resenta una tarea ro-tica :ue im,one la a,licacin del recurso de la com,osicin de 3arias transformaciones en las :ue .ay :ue a,elar al uso de matrices .omo/ y el transformado =6?UF> concuerdan la matriz .omo/1 Cuando el sistema transformado resulta de traslaciones y rotaciones de8nidas con res,ecto al sistema 85o la matriz .omo/
&
El mani,ulador del ro-ot se determina em,leando dos elementos -4sicos7 articulaciones y enlaces1 Cada articulacin re,resenta un /rado de li-ertad1 "as articulaciones ,ueden ocasionar un mo3imiento lineal =articulacin ti,o "> o un mo3imiento rotacional =articulaciones ti,os R T y > entre los enlaces adyacentes1 En los modelos /eom
3alores de las articulaciones y los ,ar4metros /eom
Pro-lema cinem4tico directo del mani,ulador El ti,o de ,ro-lema :ue nos .emos ,ro,uesto tratar y resol3er se re8ere a encontrar las relaciones :ue .acen ,osi-le o-tener la localizacin es,acial del e9tremo del ro-ot a ,artir de los 3alores de sus coordenadas articulares1 De esta manera ,rocedemos a ele/ir coordenadas cartesianas y 4n/ulos de Euler con los :ue lo/ramos re,resentar la ,osicin y orientacin del e9tremo de un ro-ot de seis /rados de li-ertad1 "as relaciones :ue nos ,ermiten resol3er el ,ro-lema cinem4tico directo son7 Estas relaciones se o-tienen mediante sim,les consideraciones /eom nos resulta
'6
De manera /eneral un ro-ot con n /rados de li-ertad est4 constituido ,or n esla-ones unidos tam-i :ue se re8ere a un m
''
cadena articulada ,ermitiendo se/uidamente esta-lecer las ecuaciones cinem4ticas de la cadena com,leta1 $ediante esta re,resentacin ,odemos esco/er adecuadamente los sistemas de coordenadas relacionados con cada esla-n .aciendo ,osi-le ,asar de uno al si/uiente a tra31
Zi − j
un 4n/ulo 6 1
una distancia di esto es un 3ector el cual
;1 Traslacin a tra31 ;1 Rotacin alrededor del e5e i un 4n/ulo ai 1 Con3iene tener ,resente :ue el ,roducto de matrices no es conmutati3o ,or lo :ue las transformaciones se de-en e5ecutar en el orden indicado1 Es ,or esto :ue la e5ecucin de las o,eraciones de-e cum,lir el si/uiente formato7
El
,roducto entre las matrices
com,rometidas se e9,resa así7
Todo indica :ue la tarea a se/uir consiste en identi8car los ,ar4metros ,ara o-tener las matrices A y de esta manera 3incular todos y cada uno de los esla-ones del ro-ot1
'2
"os cuatro ,ar4metros de DQ =6iaidiai> est4n su5etos 0nicamente a las características /eom
Con la matriz T ya o-tenida tendremos e9,resada la orientacin re:uerida mediante una su-Qmatriz =; ;> de rotacin y con5untamente la ,osicin en una su-Qmatriz =; '> de traslacin del e9tremo del ro-ot en funcin de las coordenadas articulares :uedando de esta manera resuelto el ,ro-lema cinem4tico directo1
';
"os corres,ondientes ,ar4metros D ,ara este ro-ot :uedan e9,resados en la
ta-la si/uiente7
Conclusin Es im,ortante conocer estas .erramientas matem4ticas ,ara la localizacin de o-5etos como trasladar y rotar en el es,acio usando coordenadas en los tres e5es =9 y z> ,ara ,oder a,licarlas al 4rea de la ro-tica o al simular des,lazamientos de o-5etos usando un -razo ro-tico1
%i-lio/rafía "ey3a $1 *1 =26'2>1 Modelado Cinemática de Robots. O-tenido de VVV1utm1m91 "lanos T1 =26'6>1 Cinemática 2 Slideshare. O-tenido de .tt,7WWes1slides.are1netWtyson"lanosW6Qcinematica2 Ocam,o I1 1 =26';>1 Curso de Ro-otica A3anzada1 En I1 1 Ocam,o Curso de Robotica Avanzada =,4/1 '(>1 %o/otX1 Ramírez I1 A1 =266>1 Cinem4tica de las $4:uinas 1 En I1 A1 Castillo Cinemática de las Máquinas. $<9ico1 scri-d1 =Octu-re de 26'#>1 www.scribd.com. O-tenido de .tt,s7WWes1scri-d1comW '(
'
