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Diseño de Celdas Robotizadas

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Practica 3 Configuracion de

Seguridad en Celdas Roboticas

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PAR DE ROTACION HERRAMIE HERR AMIENTAS NTAS MATEMÁTICAS MATEMÁTIC AS PARA PARA LA LOCALIZACI LOCAL IZACIÓN ÓN ESPACIAL

La manipulación de piezas llevada a cabo por un robot implica el movimiento espacial de extremo. Asimismo, Asimismo, para que el robot pueda recoger una pieza, es necesario conocer la posici y orientación de ésta con respecto a la base del robot. Se aprecia entonces la necesidad de con con una serie de herramientas matemáticas que permitan especiicar la posición y orientación el espacio de piezas, herramientas y, en general, de cualquier ob!eto.

"stas herramientas han de ser lo suicientemente potentes como para permitir obtener de orm sencilla relaciones espaciales entre distintos ob!etos y en especial entre éstos y el manipulado Sin embargo, es necesario resaltar que estas son de aplicación general para el tratamiento d problemas de localización espacial y que, por tanto, no son de aplicación exclusiva en el cam de la robótica.

Los dos primeros apartados presentan los distintos métodos existentes para la representación la posición y orientación espacial de un cuerpo r#gido. Los conceptos se irán introduciendo p orden creciente de diicultad, comenzando con la representación en dos dimensiones, pa seguidamente pasar al análisis en tres. "n el siguiente argumento se introduce el concepto matriz de transormación homogénea. $ecesaria para la presentación con!unta de posición orientación, !unto con sus propiedades y aplicaciones. Se trata de una herramienta muy %til pa representar transormaciones espaciales, estando su uso ampliamente extendido en divers campos además del de la robótica, como por e!emplo en el de gráicos por computador.

Los denominados cuaternios, al tratarse de una herramienta de uso más restringido, no so analizados con el suiciente detalle en la bibliogra#a existente. Se trata de un método de gr econ econom om#a #a comp comput utac acio iona nall util utiliza izado do incl inclus usoo por por algu alguno noss robo robots ts comer comerci ciale aless para para representación de orientación, y por ello se ha incluido un apartado dedicado a su estudio.

1.

REPRESENTACIÓN DE LA POSICIÓN.

&ara localizar un cuerpo r#gido en el espacio es necesario contar con una herramienta q permita la localización espacial de sus puntos. "n un plano el posicionamiento tiene grados de libertad, y por tanto la posición de un punto vendrá deinida por dos component indepe independi ndient entes. es. "n el caso caso de un espaci espacioo tridim tridimens ension ional al será será necesa necesario rio emplea emplearr  componentes. Sign up to vote on this title  Useful  Not useful La orma más intuitiva y utilizada de especiicar la posición de un punto son coordenad cartesianas. "xisten además otros métodos, igualmente válidos, y también ampliamen

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/epresentación de un vector en coordenadas cartesianas en ) y 0 dimensiones

1oordenadas 1artesianas' Si se traba!a en un plano, con su sistema coordenado +reerencia asociado, un punto 2a’ vendrá expresado por las componentes correspondientes a los e!es coordenados del sistema +-. "ste punto tiene asociado u vector p( x,y*, que va desde el origen + del sistema +- hasta el punto a. por tanto, posición del extremo del vector p está caracterizado por las dos componentes (x,y denominadas coordenadas cartesianas del vector y que son las proyecciones del vector sobre los e!es + y +-. You're Reading a Preview

"n el caso de que se traba!e en tres dimensiones, un vector viene deinido con respecto Unlock full access with a free trial. sistema de reerencia +- mediante las coordenadas correspondientes a cada uno de l e!es coordenados. Download With Free Trial

1oordenadas polares y cil#ndricas' &ara un plano, es posible también caracterizar localización de un punto o vector p respecto a un sistema de e!es cartesianos de reerenc +- utilizando las denominadas coordenadas polares p(r,3*. "n esta representación, representa la distancia desde el origen + del sistema hasta el extremo del vector p, mientr que 3 es el ángulo que orma el vector p con el e!e +.

"n el caso de traba!ar en tres dimensiones, un vector p podrá expresarse con respecto au  Sign up to vote on this title sistema de reerencia +-, mediante las coordenadas cil#ndricas p(r,3,z*. Useful Notcoordenadas useful componentes r y 3 tienen el mismo signiicado que el caso polare  en de aplicado el razonamiento sobre el plano +-, mientras que la componente z expresa proyección sobre el e!e + del vector p.

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/epresentación de a* coordenadas polares y b* cil#ndricas

2.

REPRESENTACIÓN DE LA ORIENTACIÓN.

5n punto queda totalmente deinido en el espacio a través de los datos de su posición. S embargo, para el caso de un sólido, es necesario además deinir cuál es su orientación co respecto a un sistema de reerencia. "n el caso de un robot, no es suiciente con especiic cuál debe ser la posición de su extremo, sino que en general, es también necesario indicar orientación. &or e!emplo, en el caso de un robot que tenga que realizar sobre una pie curva una operación de pulido, no bastar#a con especiicar los puntos de la supericie pa You're Reading a Preview situar adecuadamente la herramienta, sino que será necesario también conocer la orientaci con que la herramienta ha de realizar la operación. Unlock full access with a free trial. 5na orientación en el espacio tridimensional viene deinida por tres grados de libertad o tr componentes linealmente independientes. &ara poder describir de orma sencil Download Withsistema Free Trial orientación de un ob!eto respecto a un de reerencia, es habitual as solidariamente al ob!eto un nuevo sistema, y después estudiar la relación espacial existen entre los dos sistemas. 8e orma general, esta relación vendrá dada por la posición orientación del sistema asociado al ob!eto respecto al de reerencia. &ara el análisis de l distintos métodos de representar orientaciones se supondrá que ambos sistemas coincid en el origen, y que por tanto no existe cambio alguno de posición entre ellos.

Matrices de Rotació! Las matrices de rotación son el método más extendido para descripción de orientaciones, debido principalmente a la comodidad que proporciona el u  Sign up to vote on this title del álgebra matricial.  Useful  Not useful

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Supóngase que se tiene en el plano dos sistemas de reerencia +- y +59 con un mism origen +, siendo el sistema +- el de reerencia i!o y el sistema +59 el móvil solidario ob!eto. Los vectores unitarios de los e!es coordenados del sistema +- son i", #$, mientr que los del sistema +59 son i%, #&. 5n vector p del plano se puede representar en ambos sistemas como'

/ealizando una sencilla serie de transormaciones se puede llegar a la sigu equivalencia'

8onde' You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

"s la llamada matriz de rotación, que deine la orientación del sistema +59 con respecto Free Trial de un vector en un sistema a l sistema +-, y que sirve paraDownload transormarWith las coordenadas del otro. 4ambién recibe el nombre de matriz de cosenos directores. "s ácil de comprob que se trata de una matriz ortonormal, tal que R :; < R 4. "n el caso de dos dimensiones, la orientación viene deinida por un %nico parámet independiente. Si se considera la posición relativa del sistema +59 girado ángulo ⍺sobre el +-, tras realizar los correspondientes productos escalares, matriz R será de la orma' Sign up to vote on this title

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Sistema de reerencia +- y solidario al ob!eto +59>

"n un espacio tridimensional, el razonamiento a seguir es similar. Supóngase los sistem +- y +59>, coincidentes en el origen, siendo el +- el sistema de reerencia i!o el +59> el solidario al ob!eto cuya orientación se desea deinir. Los vectores unitarios d sistema +- serán i", #$, ' (, mientras que los del +59> serán i%, #&, ' ). 5n vector p d espacio podrá ser reerido a cualquiera de los sistemas de la siguiente manera' You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

Download With Free Trial

- al igual que en dos dimensiones, se puede obtener la siguiente equivalencia'

8onde'

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8e la igura anterior, la orientación del sistema +59>, con el e!e +5 coincidente con e!e +, vendrá representada mediante la matriz'

La orientación del sistema +59>, con el e!e +9 coincidente con el e!e +-, vend representada mediante la matriz'

La orientación del sistema +59>, con el e!e +> coincidente con el e!e +, vend representada mediante la matriz'

You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

9iéndose más claramente en las siguientes iguras'



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8onde 13 expresa cos3 y S3 expresa sen3.

"s importante considerar el orden en que se realizan las rotaciones, pues el producto matrices no es conmutativo. As#, si la rotación se hiciera primero un ángulo 3 sobre + seguida de una rotación de ángulo 6 sobre +-, para inalizar con otra rotación ángulo ⍺ sobre +, la rotación global vendr#a expresada por'



?ue como se aprecia diiere en gran medida de la anterior. 5n estudio más detallado sob la composición de rotaciones, aunque aplicado al caso más general de matrices transormación homogénea, se puede encontrar más adelante.

@ngulos de "uler' para la representación de orientación en un espacio tridimension mediante una matriz de rotación es necesario deinir nueve elementos. Aunque lautilizaci Sign up to vote on this title de las matrices de rotación presente m%ltiples venta!as, como se verá en el siguien Not useful  Useful que hacen argumento, existen otros métodos de deinición de orientación %nicamente uso tres componentes para su descripción. "ste es el caso de los llamados ángulos de "uler.

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Á,%-os de E%-er ZZ

"s una de las representaciones más habituales entre las que realizan los giros sobre e! previamente girados. Se le suele asociar con los movimientos básicos de un giróscopo. Si parte de los sistemas +- y +59>, inicialmente coincidentes, se puede colocar sistema +59> en cualquier orientación siguiendo los siguientes pasos.

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;. ). 0.

irar el sistema +59>Unlock un ángulo 6 con full access with arespecto free trial. al e!e +, convirtiéndose as# el +5C9C>C. irar el sistema +5C9C>C un ángulo 3 con respecto al e!e +5C, convirtiéndose as# Download With Free Trial el +5CC9CC>CC. irar el sistema +5CC9CC>CC un ángulo ⍦ con respecto al e!e +>CC convirtiéndo inalmente en el +5CCC9CCC>CCC.

"s importante que estas operaciones se realicen en la secuencia especiicada, pues l operaciones de giros consecutivos sobre e!es no son conmutativas. @ngulos de "uler -

"s otra de las representaciones más habituales entre las que realizan los girossobre e! to vote ondel thise!e titlesobre el que previamente girados. Sólo se dierencia del anterior Sign en laupelección useful inicialme  Useful  yNot+59>, realiza el segundo giro. Si se parte de los sistemas +- coincidentes, se puede colocar al sistema +59> en cualquier orientación siguiendo l siguientes pasos.

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irar el sistema +59> un ángulo 6 con respecto al e!e +, convirtiéndose as# el +5C9C>C. irar el sistema +5C9C>C un ángulo 3 con respecto al e!e +9C, convirtiéndose as# el +5CC9CC>CC. irar el sistema +5CC9CC>CC un ángulo ⍦ con respecto al e!e +>CC convirtiéndo inalmente en el +5CCC9CCC>CCC. You're Reading a Preview

Unlock freegiros trial. no es conmutativo. 1omo antes, es preciso considerar quefullelaccess ordenwith dealos


/oll, pitch and yaD (alabeo, cabeceo y guiEada*

Se trata de la representación utilizada generalmente en aeronáutica. "s también la m habitual de entre las que se aplican a los giros sobre los e!es del sistema i!o. Si se parte los sistemas +- y +59>, al igual que en el caso anterior, se puede colocar al sistem +59> en cualquier orientación siguiendo los siguientes pasos. Sign up to vote on this title

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irar el sistema +59> un ángulo ⍦ con respecto al e!e +. "s el denominado -a guiEada. irar el sistema +59> un ángulo 3 con respecto al e!e +-. "s el denominado &itch cabeceo. irar el sistema +59> un ángulo 6 con respecto al e!e +. "s el denominado /ol alabeo.

Al igual que en los casos anteriores, y en general siempre que se concatenan varios gir seguidos, es necesario considerar que no se trata de una transormación conmutativ debiéndose seguir una secuencia determinada de aplicación de los mismos.

PAR DE ROTACIÓN La representación de la orientación de un sistema +59> con respecto al sistema reerencia +- también puede realizarse mediante la deinición de un vector F (F x, F y, F un ángulo de giro 3, tal que el sistema +59> corresponde al sistema +- girado u ángulo 3 sobre el e!e F. el e!e F ha de pasar por el origen + de ambos sistemas. Al par (F, se le denomina par de rotación y se puede demostrar que es %nico.

Al igual que los ángulos de "uler, no se trata de un método que permita realizar u visualización sencilla de la orientación, salvo en casos muy concretos en los que el vector coincida con algunos de los e!es coordenados del sistema +-. La utilidad de este sistem se verá en argumentos posteriores. &ara la deinición de orientación con este método, necesario deinir cuatro parámetros distintos' F x, F y, F z y 3. Se puede repres como /ot (F, 3*. You're Reading a Preview

La aplicación de un par de rotación que rote un vector p un ángulo 3 alrededor del e!e F Unlock full access with a free trial. realiza a través de la siguiente expresión' Download With Free Trial

C%aterios! Los cuaternios, pueden ser utilizados como herramienta matemática de gr versatilidad computacional para traba!ar con giros y orientaciones. "n la bibliogra#a clási sobre robótica suelen ser obviados o no tratados con el suiciente detalle, a pesar de s empleados por algunos robos comerciales. &ara comprender la verdadera utilidad de l cuaternios, es necesario analizar sus propiedades y ver la aplicación práctica de las misma "sto se realizará en un argumento posterior, exponiéndose aqu# %nicamente su deinición. Sign up to vote on this title



5n cuaternio ? está constituido por cuatro componentes (q=, q;, q),Not q0*useful que representan l  Useful coordenadas del cuaternio en una base (e, i, !, F*. "s recuente denominar parte escalar d cuaternio a la componente en e'q=, y parte vectorial al resto de componentes. 8e modo q

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8e esta asociación arbitraria y gracias a las propiedades de los cuaternios que más adelan se verán, se obtiene una importante herramienta anal#tica para el tratamiento de giros cambios de orientación.

/.

MATRICES DE TRANS0ORMACIÓN HOMONEA

"n los argumentos anteriores se han estudiado distintos métodos de representar la posición la orientación de un sólido en el espacio. &ero ninguno de estos métodos por s# solo permi una representación con!unta de la posición y la orientación (localización*. &ara solventar es problema se introdu!eron las denominadas coordenadas homogéneas. G

1oordenadas y matrices homogéneas' La representación mediante coordena homogéneas de la localización de sólidos en un espacio n:dimensional se realiza a través coordenadas de un espacio (nH;*:dimensional. "s decir, un espacio n:dimensiona encuentra representado en coordenadas homogéneas por (nH;* dimensiones, de tal orma q un vector p( x,y,z * vendrá representado por p(wx,wy,wz,w*, donde w tiene un valor arbitrario representa un actor de escala. 8e orma general, un vector + < aiHb #Hc' , donde i, #, ' los vectores unitarios de los e!es +, +- y + del sistema de reerencia +-, s representa en coordenadas homogéneas mediante el vector columna'



A partir de la deinición de las coordenadas homogéneas surge inmediatamente el concep de matriz de transormación homogénea. Se deine como matriz de transormaci homogénea 4 a una matriz de dimensión BxB que representa la transormación de un vect de coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro.




 Useful  Not useful Se puede considerar que una matriz homogénea se haya compuesta por cuatro submatric de distinto tamaEo' una submatriz / 0x0 que corresponde a una matriz de rotación7 u submatriz p que corresponde al vector de traslación7 una submatriz  que representa u

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?ue representa la orientación y posición de un sistema +C59> rotado y trasladado co respecto al sistema de reerencia +-. "sta matriz sirve para conocer las coordenad (r x, r y, r z* del vector r en el sistema +- a partir de sus coordenadas (r u, r v, r D* en sistema +C-'

4ambién se puede utilizar para expresar la rotación y traslación de un vector respecto de sistema de reerencia i!o +-, de tal manera que un vector r xyz rotado seg%n / trasladado seg%n p0x; se convierte en el vector rC xyz dado por'


"n resumen, una matriz de transormación homogénea se puede aplicar para' ;.


/epresentar la posición y orientación de un sistema girado y trasladado +C59> respecto a un sistema i!o de reerencia +-, que es lo mismo que representar un rotación y traslación realizada sobre un sistema de reerencia. ). 4ransormar un vector expresado en coordenadas con respecto a un sistema +C59> su expresión en coordenadas del sistema de reerencia +-. 0. /otar y trasladar un vector con respecto a un sistema de reerencia i!o +-.

Se hace notar que se utilizan coordenadas homogéneas con actor de escalado la unidad,  cuat que por tanto los vectores que intervienen en las transormaciones hantitle de poseer Sign up to vote on this w < ;. componentes. &or comodidad, se elige el actor de escalado  Useful  Not useful

A continuación se va a analizar con detalle el empleo de las matrices homogéneas com herramienta para representar la localización de ob!etos en el espacio tridimensional, as# com

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?ue es la denominada matriz básica de traslación. 5n vector cualquiera r, representado en el sistema +C59> por r uvD, tendrá co componentes del vector con respecto al sistema +-'

- a su vez, un vector r xyz desplazado seg%n 4 tendrá como componentes rCxyz'



Rotació

Supóngase ahora que el sistema +C59> sólo se encuentra rotado con respecto al sistem +-. La submatriz de rotación / 0x0 será la que deina la rotación, y se corresponde al tip matriz de rotación presentada en el argumento de matrices de rotación. 8e igual orma que hacia all#, se pueden deinir tres matrices homogéneas básicas de rotación seg%n se reali ésta seg%n cada uno de los tres e!es coordenados +, +- y + del sistema de reerenc +-'  Sign up to vote on this title

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5n vector cualquiera r, representado en el sistema girado +C59> por r uvD tendrá com componentes (r x, r y, r z* en el sistema +- las siguientes'

- a su vez un vector r x,y,z rotado seg%n 4 vendrá expresado por rC x,y,z seg%n'


Tras-ació #%to co rotacióUnlock full access with a free trial.

La principal venta!a de las matrices homogénea reside Download With Free Trialen su capacidad de representaci con!unta de posición y orientación. "sta representación se realiza utilizando al mismo tiem la matriz de rotación / 0x0 y el vector de traslación p0x; en una matriz de transormació homogénea. "s por tanto la aplicación con!unta de lo visto en los dos apartados anteriores.

La traslación y la rotación son transormaciones que se realizan en relación a un sistema d reerencia. &or lo tanto, si se quiere expresar la posición y orientación de un sistema+C59> originalmente coincidente con el de reerencia y que ha sido rotado y trasladado seg%n ést habrá que tener en cuenta si primero se ha realizado la rotación y después la traslación  viceversa, pues se trata de transormaciones espaciales no toconmutativas. Sign up vote on this title"n la siguien igura se demuestra esta no conmutatividad de orma  gráica. Useful  Not useful

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8istintos sistemas inales seg%n el orden de las transormaciones

Se parte de un sistema +59> coincidente con +- al que se va a aplicar una traslaci seg%n un vector px,y,z y una rotación de ;I=J alrededor del e!e +. Si primero se rota después se traslada se obtiene un sistema inal +C5C9C>C. "n cambio, si primero se traslad y después se rota se obtiene otro sistema inal +CC5CC9CC>CC, que representa una localizaci totalmente distinta a la del sistema inal anterior. Se tendrá, por tanto, matrices homogéne distintas seg%n se realice una traslación seguida de rotación o una rotación seguida traslación.

Rotació se,%ida de tras-ació

&ara el caso de realizar primero una rotación sobre uno de los e!es coordenados del sistem +- seguida de una traslación, las matrices homogéneas serán las que a continuación expresan' /otación de un ángulo ⍺ sobre el e!e + seguido de una traslación de vector px,y,z'


/otación de un ángulo 6 sobre el e!e +- seguido de una traslación de vector px,y,z' full access withde a free /otación de un ángulo 3 sobre Unlock el e!e + seguido unatrial. traslación de vector px,y,z' Download With Free Trial

Tras-ació se,%ida de rotació

&ara el caso de realizar primero una traslación seguida de una rotación sobre los e! coordenados del sistema +-, las matrices homogéneas resultantes son las siguientes' 4raslación de vector px,y,z seguida de rotación de un ángulo ⍺ sobre el e!e +. 4raslación de vector px,y,z seguida de rotación de un ángulo 6 sobre el e!e +-. 4raslación de vector px,y,z seguida de rotación de un ángulo 3 sobre el e!e +. Sign up to vote on this title

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