DINÀMICA DE ROTACIÒN
DOCENTE: JOSÈ PACHAS INTEGRANTES:
CORDERO CORDOVA RAISSA RAMOS QUIÑONES SAIDA
SECCIÒN: F
2018-1
20180475G 20182004A
LABORATORIO 5
FACULTAD DE MECÀNICA
Tabla de contenido DINÁMICA DE ROTACIÓN ............................................................................................ 3 OBJETIVO TEMÁTICO:............................................................................................... 3 OBJETIVO ESPECIFICO: ............................................................................................. 3 FUNDAMENTO TEÓRICO: ......................................................................................... 3 Energía Cinética: ..................................................................................................... 3 Energía Potencial Gravitatoria: ............................................................................. 4 Momento de Inercia: ...............................................................................................5 Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos: .......................................... 6 Momentos de Inercia de objetos simétricos conocidos: .....................................7 Energía Cinética Rotacional:.................................................................................. 8 MATERIALES: .............................................................................................................. 9 PROCEDIMIENTO: .................................................................................................... 11 ANÁLISIS MATEMÁTICO:.......................................................................................... 12 CALCULOS Y RESULTADOS ...................................................................................13
CONCLUSIONES:........................................................................................................ 17 BIBLIOGRAFÍA: ..........................................................................................................18
2
LABORATORIO 5
FACULTAD DE MECÀNICA
DINÁMICA DE ROTACIÓN OBJETIVO TEMÁTICO: Analizar los movimientos de traslación y rotación de un cuerpo rígido, aplicando conceptos como Energía, Trabajo y Momentos de Inercia. Estudio de la rotación de la rueda de Maxwell mediante la dinámica de Newton.
OBJETIVO ESPECIFICO: Calcular el momento de inercia de la rueda de Maxwell en forma experimental y luego compararlo con el resultado del mimo pero en forma teórica. Encontrar una relación entre la Energía Cinética y la Energía Potencial
FUNDAMENTO TEÓRICO: Energía Cinética: La Energía Cinética de un cuerpo en el ámbito físico es aquella energía que posee debido a su movimiento. Esta energía se define como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una masa determinada desde el reposo hasta una velocidad indicada. Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad. Para que un cuerpo regrese a su estado de reposo se requiere un trabajo negativo de la misma magnitud que su energía cinética. Esta energía se encuentra asociada a la fórmula:
12
3
LABORATORIO 5
FACULTAD DE MECÀNICA
Donde: M: masa del objeto V: velocidad a la cual se desplaza el objeto Ek: energía cinética del objeto
Energía Potencial Gravitatoria: La energía potencial gravitatoria es aquella energía potencial que depende de la altura asociada con la fuerza gravitatoria. Esta dependerá de la altura relativa de un objeto a algún punto de referencia, la masa y la fuerza de la gravedad. Esta energía que es asociada a una masa en un punto del espacio, es el trabajo que realiza en un campo gravitatorio para trasladar la masa desde dicho punto hasta el infinito. Según la definición, esta energía siempre es negativa y su máximo valor posible es cero. En los problemas de uso diario, consideraremos nuestro punto de referencia al centro de nuestro planeta. Así, la energía potencial gravitatoria está determinada por la siguiente ecuación:
Donde: UPG: Energía Potencial Gravitatoria M: Masa H: Diferencia de Alturas G: Gravedad, la cual está dada por:
( + ℎ ሻ Donde: g= gravedad fuera de órbita terrestre. gT= gravedad terrestre (g T=9.81) h= diferencia entre el radio terrestre y la altura analizada. La gravedad fuera del campo terrestre está dada por esa fórmula, pero sabemos que como los ejercicios a desarrollar están dentro de la órbita terrestre, “h” se desprecia y la gravedad estaría dada por el valor co mún de 9.81.
4
LABORATORIO 5
FACULTAD DE MECÀNICA
Momento de Inercia: El momento de inercia (I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia solo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; mas no de las fuerzas que intervienen en el movimiento. Entonces, dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia “r” de cada
partícula ha dicho eje. Matemáticamente se expresa.
=
Para un cuerpo de masa continua, se generaliza de la siguiente manera:
න න 5
LABORATORIO 5
FACULTAD DE MECÀNICA
Cuyas integrales se realizan sobre todo el volumen del cuerpo. Se resuelven a través de la integral triple. Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa inercial es la resistencia que presenta un cuerpo al ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton tiene como equivalente para la rotación:
Donde: τ es el momento aplicado al cuerpo
I es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación.
∝ es la aceleración angular.
Siempre que la distancia respecto al sistema de referencia sea constante.
Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos: El teorema de Steiner (en honor a Jakob Steiner), establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:
.. + ℎ Donde: es el momento de inercia respecto al que no pasa por el C.M. .. es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el C.M. M es la masa total h es la distancia entre los ejes considerados.
6
LABORATORIO 5
FACULTAD DE MECÀNICA
Momentos de Inercia de objetos simétricos conocidos: Cuerpo Rígido
Posición del eje de Rotación
Varilla delgada de longitud L y masa M
C.M.
Cono sólido de radio R (base) y masa M
C.M.
Varilla delgada de longitud L y masa M
Extremo de la varilla
Aro delgado de longitud L y masa M
C.M.
Cilindro sólido de radio R y masa M
C.M.
Disco de radio R y masa M
C.M.
1 2 1 2
C.M.
Extremo de la placa
1 12
M Placa rectangular parada con lado perpendicular al eje de rotación L con masa M
1 12 3 10 1 3
1 ( + ሻ 12
Placa rectangular de lados “a” y “b” asentada con masa
Momento de Inercia (I)
Esfera sólida de radio R y masa M
C.M.
Cilindro hueco de radios R1 y R2 con masa M
C.M.
Partícula de masa M a una distancia R del eje de rotación
Distancia R de la partícula
7
2 5 1 ( + ሻ 2
LABORATORIO 5
FACULTAD DE MECÀNICA
Energía Cinética Rotacional: La energía rotacional es la energía cinética de un cuerpo rígido, que gira en torno a un eje fijo. Esta energía depende del momento de inercia y de la velocidad angular del cuerpo. Mientras más alejada esté la masa del cuerpo respecto al eje de rotación, se necesitará más energía para que el cuerpo adquiera una velocidad angular. Esto puede ser ilustrado por el siguiente experimento: “Dos esferas de idéntica masa y radio se colocan sobre un plano inclinado. Una de las esferas está hecha de un material ligero, como el plástico. Esta esfera es maciza y sólida. La otra esfera, en cambio, es hueca y está hecha de un material más denso que el plástico. La esfera hueca rodará más lentamente, ya que toda su masa se acumula en una delgada capa, que está a una cierta distancia del eje de rotación. La esfera maciza se moverá más rápidamente, ya que porcentualmente sus partículas se encuentran más cerca del eje de rotación y por lo tanto se moverán más lentamente, puesto que éstas describen una trayectoria más corta que las partícula s de la superficie de la esfera”. La energía rotacional es, entre otras cosas, de gran importancia para turbinas, motores, generadores, neumáticos y ruedas, ejes, hélices, etc. Un cuerpo que gira en torno al eje “x” con velocidad angular “ω” posee
la energía rotacional:
12 Donde: Ix es el momento de inercia del cuerpo en torno al eje x. ω es la velocidad angular.
En general esto se puede expresar como:
12 ՜ ՜ Donde: I es el tensor de inercia. es la velocidad angular. También tenemos la siguiente ecuación con su respectiva restricción:
8
LABORATORIO 5
FACULTAD DE MECÀNICA
MATERIALES: Un par de rieles paralelos anexados a una base de madera
Una regla milimétrica
Un nivelador de burbuja
9
LABORATORIO 5
FACULTAD DE MECÀNICA
Una rueda de Maxwell
Una balanza
Un cronometro
Un “pie de rey”
10
LABORATORIO 5
FACULTAD DE MECÀNICA
PROCEDIMIENTO: Usando el nivel de burbuja, nivele el plano que sirve de soporte a los rieles. Marque en los rieles los puntos separados unos entre sí. Mida con el pie de rey el diámetro del eje cilíndrico que se apoya sobre los rieles. Tenga en cuenta que el eje ha sufrido desgaste desigual. Fije la inclinación de los rieles de manera que la rueda experimente un movimiento de rodadura pura (sin patinaje). Coloque la rueda en reposo en la posición , suéltela y simultáneamente comience a medir el tiempo (es decir, ); mida los intervalos de tiempo correspondientes a los tramos respectivamente. Tome tres mediciones para y diez mediciones para Mida la masa de la volante y la diferencia de las alturas entre las posiciones y Modifique la inclinación de los rieles (teniendo cuidado de evitar el deslizamiento de la rueda) y mida 3 veces y la nueva diferencia de alturas entre y Mida los radios, espesores y longitudes de la rueda de Maxwell y su eje (como para calcular su volumen). Suspenda la rueda de Maxwell de su borde interior y mida el período de su oscilación alrededor de un eje paralelo a su eje de simetría. (Estos datos debe guardarlos para el siguiente experimento).
, , , , ,
, , , , , , , , , . .
.
11
10
0
LABORATORIO 5
FACULTAD DE MECÀNICA ANÁLISIS MATEMÁTICO:
Cálculo de los momentos de inercia de cada sólido que gira en el eje de la rueda de Maxwell.
1.
×( + ሻ 0.048525 0.063025 0.001082488 . 2.
3.
×( + ሻ 0.00305 0.013525 0.0000038185. ×( ሻ 0.00305
0.0000001695766. 4.
+ 0.007 0.0014 0.000009378656. 0.00004689328.
0.035
12
LABORATORIO 5
FACULTAD DE MECÀNICA
(ሻ + (ሻ + (ሻ + (ሻ 0.001253369 Comparando con el resultado obtenido en la pregunta (d):
. 2.2494% % .− . CALCULOS Y RESULTADOS 1. Considerando los tiempos promedios para t1, t2, t3 y t4, grafique los puntos (0,0), (t1, A 0 A 1), (t2, A 1 A 2), (t3, A 2 A 3), (t4, A 3 A 4) ¿Es el movimiento de traslación uniformemente acelerado?
TIEMPO 0 POSICI N 0
7.21
10.28
12.78
14.69
10
20
30
40
No es un movimiento de traslación uniformemente acelerado, ya que no solo es afectado por la fuerza de gravedad sino también por fricción de rodadura y fricción por deslizamiento, sin embargo, para realizar los cálculos consideraremos a la aceleración constante.
13
LABORATORIO 5
FACULTAD DE MECÀNICA
2. Grafique también d vs t 2 Tiempo(t) Posición(A)
SUMA
txA
t2
t 3
t2xA
t4
0
0
0
0
0
0
0
7.2
10
72.1
52.0
374.8
519.8
2702.3
10.3
20
205.6
105.7
1086.4
2113.6
11167.9
12.8
30
383.4
163.3
2087.3
4899.9
26676.2
14.7
40
587.6
215.8
3170.0
8631.8
46568.0
45.0
100
1248.7
536.8
6718.6
16165.1
87114.4
(ሻ + + Resolviendo las ecuaciones del método del mínimo cuadrado:
=. =. =. Entonces la ecuación de la gráfica sería:
(ሻ . + .+ .
14
LABORATORIO 5
FACULTAD DE MECÀNICA
3. Suponiendo que la aceleración de traslación es constante y aplicando la desviación standard y propagación de errores, calcular. a. La aceleración del centro de masa a G.
.+.+. . /
b. La velocidad de traslación, V 4 , del centro de masa en posición G 4.
.+ .+ . .+. T=14.69 (ሻ . (ሻ . / c. La velocidad angular de la rueda en el instante t 4.
(ሻ × . (ሻ ./ . ×. . / d. El momento de inercia de la volante usando la siguiente ecuación
+ + . . 15
LABORATORIO 5
FACULTAD DE MECÀNICA
. (ሻ . / . / Reemplazando en la ecuación, tenemos:
. .+.+ . .. e. ¿Cuáles son las mediciones que introducen mayor incertidumbre en el cálculo del momento de inercia? Los factores que introducen mayor incertidumbre en el cálculo del momento de inercia son: la desigualdad de los rieles sobre las cuales la rueda de Maxwell se desplaza, la medición del tiempo con el cronometro el cual nunca es exacto pues depende de la sincronización del grupo, la medición de las alturas con respecto al soporte. f. ¿Cómo influye la longitud del recorrido sobre el valor I? El momento de inercia no experimenta cambio alguno a lo largo de la trayectoria recorrida, mientras desciende la pendiente. g. ¿Cómo influye la inclinación de los rieles sobre el valor de I? La pendiente no tiene efecto al momento de calcular el momento de inercia y siempre se conservará un momento de inercia similar. Se observa que no se muestra en ningún momento que la inclinación tendrá efecto algún oen la medición del momento de inercia. Esto demuestra entonces que la inclinación en los cuales se encuentren los rieles no afectará de ninguna manera a los resultados obtenidos por medio de los cálculos.
h. Calcule el momento de inercia a partir de la definición: y las mediciones geométricas efectuadas sobre la rueda y el eje cilíndrico.
∫(ሻ
El primer paso para calcular el momento de inercia es obtener la densidad de los materiales que conforman la Rueda de Maxwell.
16
LABORATORIO 5
FACULTAD DE MECÀNICA
ACERO
7850 /
ALUMINIO
2700 /
CONCLUSIONES:
Como podemos notar, nuestro margen de error es muy pequeño, ya que la diferencia entre los valores del momento de inercia teórico y el momento de inercia real es del orden de las millonésimas aproximado. Nuestro margen de error seria aun más pequeño si hubiésemos considerado en el cálculo del momento de inercia teórico, la varilla que actuaba como eje, ya que si bien si masa es despreciable, aportaría un poco en el momento, ya que también pertenece a un orden cercano de las millonésimas. Su geometría real es compleja. Tiene varios detalles. Pero podemos aproximar su forma con sólidos geométricos conocidos como el cilindro y el paralelepípedo. Estos detalles que no podemos considerar hacen que aumente el error. Varias veces, en vez de hacer un movimiento de rodadura pura, la volante se deslizaba un poco y se desviaba por los costados. Estos casos no los tomamos. Cuando disminuimos la inclinación, a veces la rueda no comenzaba su movimiento debido a la fuerza de fricción. En otras veces sí empezaba su movimiento. Podemos decir que la fuerza de fricción era máxima. Podemos hallar la relación de cómo varía el valor de si hacemos un recorrido más largo o variamos la inclinación.
17
LABORATORIO 5
FACULTAD DE MECÀNICA
OBSERVACIONES Y RECOMENDACIONES:
La medición de cada componente de la rueda de Maxwell debe realizarse con la mayor exactitud posible. Cualquier error en la medición tendrá repercusión en la determinación de los momentos de inercia. Es importante nivelar correcta y cuidadosamente los rieles paralelos, ayudándonos del nivelador de burbuja, para así minimizar el trabajo realizado por la fuerza de fricción con la superficie inclinada. Al realizar las mediciones con el pie de rey, es recomendable sujetar en nivelador de burbuja en la parte superior de su cabeza para poder realizar una mejor medición (aproximación), ya que si no lo hacemos, nuestro pie de rey se colocaría inclinado y resultaría un error en la medición Hay que tener mucha precisión al medir los tiempos, y se debe hacer varias veces y con varios integrantes para darnos cuenta del error que cometemos al medirlo. En nuestro caso medimos los tiempos 5 veces y utilizamos su promedio. Igualmente hay que medir 3 veces las dimensiones del pie de rey para obtener resultados más precisos y no caer tanto en el error experimental.
BIBLIOGRAFÍA : https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inercia https://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_gravitatoria https://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9tica FACULTAD DE CIENCIAS DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - Manual de las prácticas de laboratorio de física. Edición 2009. Zemansky, M. FÍSICA UNIVERSITARIA, Volumen 1. (12ª. Ed.)
18
