UKURAN PEMUSATAN MAKALAH UNTUK MEMENUHI TUGAS MATAKULIAH Dasar-dasar Biostatistik Deskriptif Yang dibina oleh Bapak Dr. Saichudin, M.Kes Ibu dr. Anindya, S.Ked
Oleh : Derada Imanadani
130612607847/2013
Dwi Rakhmatun Laili
130612607849/2013
Lia Kurniawati
130612607898/2013
M. Dwi Hidayatullah
130612607888/2013
Salsabila A Putri
130612607/2013
UNIVERSITAS NEGERI MALANG FAKULTAS ILMU KEOLAHRAGAAN JURUSAN ILMU KESEHATAN MASYARAKAT
SEPTEMBER 2013 BAB I PENDAHULUAN A.
Latar Belakang
Pada awal zaman Masehi, bangsa-bangsa mengumpulkan data statistic untuk mendapatkan informasi deskriptif mengenai banyak hal, misalnya pajak, perang, hasil pertanian, dan bahkan pertandingan atletik. Pada masa kini, dengan berkembangnya teori peluang, kita dapat menggunakan berbagai metode statistic yang memungkinkan kita meneropong jauh di luar data yang kita kumpulkan dan masuk ke dalam wilayah pengambilan keputusan melalui generalisasi dan peramalan. Sering kali kita menghadapi masalah menyajikan sejumlah besar data statistic dalam bentuk yang ringkas dan kompak. Ukuran-ukuran tersebut tidak dapat mengidentifikasi semua ciri yang penting. Sejumlah informasi dapat diperoleh kembali bila data asal yang banyak tersebut diringkaskan dan disajikan delam bentuk tabel, diagram, dan grafik yang layak.
BAB II LANDASAN TEORI A.
PENGERTIAN UKURAN PEMUSATAN DATA
Ukuran pemusatan adalah sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data, yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya dari yang terbesar sampai yang terkecil. Salah satu kegunaan dari ukuran pemusatan data adalah untuk membandingkan dua (populasi ) atau contoh, karena sangat sulit untuk membandingkan masingmasing anggota dari masing-masing anggota populasi. Nilai ukuran pemusatan ini dibuat sedemikian sehingga cukup mewakili seluruh nilai pada data yang bersangkutan. B.
MACAM-MACAM UKURAN PEMUSATAN DATA
1.
Mean Mean (Rata-rata) adalah jumlah dari seluruh nilai data dibagi dengan banyaknya data.
Mean Data Tunggal Dapat dicari dengan menggunakan rumus : RUMUS BIASA ∑
x x
= simbol rata-rata (mean)
n
= banyaknya observasi
xi
= nilai observasi ke-i sampai ke- n
contoh : Data berat badan (kg) dari 10 orang ibu hamil adalah sebagai berikut 65,61,54,53,62,40,54,63, dan 60. Mean dari data tersebut adalah : ∑
x x
RUMUS ‘GUESS MEAN”
x
x
d= beda x dengan x contoh
∑ (mean dugaan atau guess mean dengan nilai observasi ke-i)
dengan menggunakan data yang sama seperti pada contoh diatas . Dalam mencari mean dengan rumus guess mean harus dibuat tabel data sebagai berikut. Contoh soal mencari nilai mean dengan rumus guess mean d (selisih xi dan x ) Berat Badan (kg) Guess Mean 65 4 61 61 0 54 -7 53 -8 53 -8 62 1 40 -20 54 -7 63 2 60 -1 ∑ -45 Pada contoh soal di atas digunakan guess mean pada nilai observasi berat badan 61 kg. Nilai Mean adalah :
x
x
∑
= 61+1/10(-45) =56,5 kg
Mean Data Berkelompok
Cara menghitung nilai mean untuk data berkelompok dapat menggunakan rumus metode biasa (cara panjang) dan metode sederhana (cara pendek) : 1. Cara Panjang x
x Fmp n
∑
=frekuensi x mid point (nilai tengah) = jumlah observasi
2. Cara Pendek Mencari nilai mean data berkelompok dengan cara pendek. Cara ini terbagi dalam dua rumus, yaitu rumus guess mean dan guess mean dengan working unit. 2. Median Median adalah ukuran nilai tengah dari sejumlah nilai-nilai pengamatan yang diatur dan disusun berdasarkan urutan data.
Median data tunggal :
Urutkan data, tentukan titik tengahnya ( jika data ganjil maka median tepat pada satu data, jika data genap maka median terletak antara dua data dan untuk menentukannya jumlahkan kedua data tersebut dan bagi dua) Contoh: Diketahui data sbb: 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 11 ( n= 14) Titik tengah terletak antara data ke7 dan data ke 8 (angka 6 dan 7) maka: Me = Data : 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9,11, 12 ( n = 15) median terletak pada data ke 8 sehingga Me = 7
Median data berkelompok:
b = batas bawah kelas median p = panjang kelas median n = banyaknya data F = jumlah seluruh frekuensi sebelum kelas median f = frekuensi kelas median
Contoh tabel distribusi ( n = 40) Nilai
Fi
31 – 40
2
41 – 50
4
51 – 60
10
61 – 70
15
71 – 80
6
81 – 90
3
Karena n = 40 maka kelas median terletak antara data ke 20 dan data ke 21 atau terletak pada kelas dengan interval 61 – 70, sehingga diperoleh komponen-komponen: b = 60.5; p = 10; n = 40; F = 16 dan f = 15
3.
Modus Modus merupakan nilai yang memiliki frekuensi terbesar dari suatu himpunan data dan juga merupakan ukuran yang digunakan untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling sering muncul. a. Modus data tunggal Untuk data kualitatif (data dengan tingkat pengukuran sekurang-kurangnya nominal) modus sering dipakai sebagai pengganti rata-rata. Sedangkan untuk data kuantitatif, modus diperoleh dengan jalan menentukan frekuensi terbesar di antara serangkaian data. Serangkaian data mungkin memiliki satu modus (unimodal), dua modus (bimodal) atau lebih dari dua (multimodal). - Urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar (optional) - Tentukan nilai yang paling banyak muncul - Nilai modus mungkin lebih dari satu. Contoh : Berapa modus dari data berikut : 2,3,5,3,6,9,3,9,5,6,5,1,5 ? Jawab : ☺ Modus dari data tersebut adalah 3 dan 5
b. Modus data berkelompok:
b = batas bawah kelas modus (kelas dengan frekuensi terbesar) p = panjang kelas interval b1= frekuensi kelas modus – frekuensi kelas interval sebelum kelas modus b2= frekuensi kelas modus – frekuensi kelas interval setelah kelas modus Contoh tabel distribusi sbb: Nilai
Fi
31 – 40
2
41 – 50
4
51 – 60
10
61 – 70
15
71 – 80
6
81 - 90
3
b = 60.5; p = 10; b1= 15 – 10 = 5 dan b2 = 15 – 6 = 9 maka mo = 60.5 + 10(
= 61,6
C. HUBUNGAN MEAN, MEDIAN DAN MODUS Nilai rata-rata, modus, dan median memiliki hubungan keterkaitan erat dari suatu distribusi frekuensi data. Ketiga nilai ini dapat membantu menafsirkan kesimetrisan data dan kemencengan data. Hubungan mean, median, dan modus adalah sebagai berikut : Pada distribusi simetris, ketiga nilai(mean, median, dan modus) Nilai median selalu terletak antara mean dan modus pada distribusi yang menceng Jika nilai mean lebih besar daripada nilai median dan modus, maka dikatakan distribusi menceng kanan. Bila nilai mean lebih kecil daripada nilai median dan modus, maka distribusi menceng ke kiri. Adapun ukuran penyebaran data yang biasa dihitung adalah range (rentang), standar deviasi (simpangan baku), kurtosis (keruncingan), skewness (kemiringan). 1. Rentang data menunjukkan selisih antara nilai terbesar dengan nilai terkecil dalam suatu himpunan data. 2. Simpangan baku adalah jumlah mutlak selisih setiap nilai pengamatan terhadap nilai rata-rata dibagi dengan banyaknya pengamatan. 3. Kurtosis merupakan ukuran untuk menentukan bentuk distribusi yang biasanya dibandingan dengan kurva distribusi normal. Bentuk kurtosis bisa berupa leptokurtik (berpuncak tinggi dan ekor landai), platikurtik (berpuncak rendah dan berekor pendek), dan mesokurtik (disebut juga distribusi normal, berpuncak tidak begitu tinggi dan tidak terlalu landai). 4. Skewness adalah ukuran untuk menentukan kemiringan dari suatu kurva distribusi. Penafsiran skewness dapat dilakukan secara visual, melalui koefisien kemencengan, atau koefisien moment ketiga.
D. NILAI PEMUSATAN DATA YANG SERING DIGUNAKAN 1. Mean (Rataan)
Mean atau rataan merupakan salah satu ukuran untuk memberikan gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang sekumpulan data. Rataan merupakan wakil dari sekumpulan data atau dianggap suatu nilai yang paling dekat dengan hasil pengukuran yang sebenarnya. Jenis rataan antara lain: a.
Rataan hitung
Tunggal Jika nilai n banyak data yang terdiri dari x1, x2, x3, … xn, rata-rata hitung data tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut : n
= banyak data
xᵢ
= nilai data ke-i
∑n = jumlah data (jumlah data ke-1 sampai dengan data ke-n) Contoh Soal : Nilai ulangan matematika 5 siswa kelas X Akuntansi adalah 8, 5, 7, 10, dan 5. Rata-rata hitung nilai siswa tersebut adalah …. Pembahasan Soal : Diket
:
Data
= 8, 5, 7,10, 5
n (banyak data)
=5
jumlah data
= 8 + 5 + 7 + 10 + 5 = 35
Ditanya
: rata-rata
Jawab
: 35:5 = 7
Berbobot Jika nilai n buah data adalah x1, x2, x3, … xn, dan masing-masing frekuensinya adalah f1, f2, f3, … fn , nilai rata-rata hitung sekumpulan data tersebut didefinisikan sebagai berikut : = Jumlah hasil perkalian setiap data dan frekuensinya fi
= Frekuensi data ke-i
xi
= Data ke-i
fi = n Contoh Soal :
= banyak data
Tabel penju alan 10 buah kios pakaia n pada mingg u perta ma bulan Dese mber 2008 ratarata pakaia n yang terjual pada tabel di bawah adalah Ditan ya : Rumu s ratarata
Pakaian terjual Banyak Kios (xi) (fi)
70
2
80
3
90
4
100
1
Jawab :
= = 84 Pembahasan : Pakaian terjual Banyak Kios fi . xi (xi) (fi)
·
70
2
140
80
3
240
90
4
360
100
1
100
10
840
Kelompok
Berikut ini adalah rumus-rumus untuk menentukan Rata-rata hitung data berkelompok. 1. Ket. , xi = Titik tengah = ½ . (batas bawah + batas atas) ci = Kode titik tengah I = Interval kelas = Panjang kelas = x0 = Titik tengah pada frekuensi terbesar di = xi – x0
dengan rumus sigma 2.
dengan rumus coding
3.
dengan rata-rata duga
Contoh Soal : Rata-rata pendapatan harian pedagang kaki lima pada tabel di samping adalah Rp … Tabel pendapatan 50 Pedagang kaki lima pada tanggal 1 Januari 2009 NO
Pendapatan (dalam puluhan ribu rupiah)
fi
1
1–5
6
2
6 – 10
20
3
11 – 15
10
4
16 - 20
9
5
21 - 25
5
b.
Rataan ukur
Misalkan diberikan sekumpulan data x1, x2, x3, …, xn. Rataan ukur yang disimbolkan dengan U didefinisikan dengan: Dengan, U = rataan ukur n = banyaknya data x1 = data ke-i c.
Rataan harmonis
Misalkan diberikan sekumpulan data X1, X2, X3, …, Xn. Rataan harmonis yang disimbolkan dengan H didefinisikan dengan: Dengan: H = rataan harmonis n = banyaknya data x1 = data ke-i 2.
Median
Median adalah salah satu ukuran pemusatan data, yaitu, jika segugus data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya, nilai pengamatan yang tepat di tengah-tengah bila jumlah datanya ganjil, atau rata-rata kedua pengamatan yang di tengah bila datanya genap. Rumus Median: a) Data yang belum dikelompokkan Untuk mencari nilai median, data harus dikelompokan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar. Contoh 1: Nilai Tengah Dari lima kali kuiz statistika, seorang mahasiswa memperoleh nilai 82, 93, 86, 92, dan 79. Tentukan median populasi ini. Jawab: Setelah data disusun dari yang terkecil sampai terbesar, diperoleh 79 82 86 92 93 Oleh karena itu mediannya adalah 86
Contoh 2: Kadar nikotin yang berasal dari sebuah contoh acak enam batang rokok cap tertentu adalah 2.3 , 2.7 , 2.5 , 2.9 , 3.1 , dan 1.9 miligram. Tentukan mediannya. Jawab: Bila kadar nikotin itu diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar, maka diperoleh 1.9 2.3 2.5 2.7 2.9 3.1 Maka mediannya adalah rata-rata dari 2.5 dan 2.7 yaitu b) Ket.:
3.
Rumus Data yang Dikelompokkan = Kuartil ke-j j = 1, 2, 3 i = Interval kelas = Tepi bawah kelas fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas f = Frekuensi kelas n = Banyak data Modus
Modus adalah nilai yang paling sering muncul. Jika kita tertarik pada data frekuensi, jumlah dari suatu nilai dari kumpulan data, maka kita menggunakan modus. Modus sangat baik bila digunakan untuk data yang memiliki sekala kategorik yaitu nominal atau ordinal. Sedangkan data ordinal adalah data kategorik yang bisa diurutkan. Misalnya, Kita menanyakan kepada 100 orang tentang kebiasaan untuk mencuci kaki sebelum tidur, Dengan pilihan jawaban: a.
Selalu
b.
Sering
c.
Kadang-kadang
d.
Jarang
e.
Tidak pernah
Apabila kita ingin melihat ukuran pemusatannya lebih baik menggunakan modus yaitu jawaban yang paling banyak dipilih, misalnya sering (2). Berarti sebagian besar orang dari 100 orang yang ditanyakan, menjawab sering mencuci kaki sebelum tidur. Rumus Modus: 1. Data yang belum dikelompokkan Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan Contoh:
Sumbangan dari warga Weleri pada hari Palang Merah Nasional tercatat sebagai berikut: Rp 9.000, Rp 10.000, Rp 5.000, Rp 9.000, Rp 9.000, Rp 7.000, Rp 8.000, Rp 6.000, Rp 10.000, Rp 11.000. Berapakah nilai Modusnya? Jawab: Modus yaitu nilai yang terjadi dengan frekuensi paling sering muncul, adalah Rp 9.000. 2. Data yang telah dikelompokkan Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan dihitung dengan rumus: Ket. : = Modus L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus) i
= Interval kelas b1 = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya b2 = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya.
Contoh: Nilai
Titik tengah
Frekuensi
xi
fi
55 – 59
57
6
60 – 64
62
8
65 – 69
67
16
70 – 74
72
10
75 – 79
77
6
80 – 84
82
4
Dari Tabel diatas, tentukan nilai Modusnya. Jawab: Dari Tabel diatas dapat ditetapkan: · Kelas modusnya 65 – 69 (karena memiliki frekuensi terbesar, yaitu 16), tepi bawahnya L = 64,5 dan tepi atasnya U =69,5 sehingga panjang kelas, i=U–L i = 69,5 – 64,5 i=5 ·
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya,
b1 = 16 – 8 b1 = 8 ·
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya,
b2 = 16 – 10 b2 = 6 Jadi modusnya adalah
= 64,5 + 5 ( ) =67,35 (teliti sampai dua tempat desimal).
E. RUMUS 1. Rumus Modus a. Rumus Modus Untuk Data Tunggal Rumus statistika modus. untuk mencari modus dari data tunggal cukup dengan mencari nilai yang banyak keluar.
Contoh: Ada sebuah data tunggal sebagai berikut 2,3,5,7,3,4,7,8,4,6,4,5,4 dari data tunggal di atas maka modusnya adalah 4 (keluar 4 kali) b. Rumus Modus Untuk data Kelompok
keterangan Mo = modus c = panjang kelas (interval kelas) Lo = batas bawah dari kelas modus, fo = frekuensi kelas modus, f1 = frekuensi dari kelas sebelum kelas modus, f2 = frekuensi dari kelas setelah kelas modus contoh sederhana Berapa modus dari data kelompok berikut dan bagaimana cara menghitung modusnya? Batas Kelas Frekuensi 19,5-24,5
100
24,5-30,5
120
30,5-35,5
70
35,5-40,5
150
40,5-45,5
90
45,5-50,5
80
50,5-55,5
30
Interval Kelas (c) = 5 Batas Bawah Kelas modus = 35,5 fo = 150 f1 = 70 f2 = 90 jadi modusnya = 35,5 + 5 (80/(80+60)) = 35,5 + 5 (80/140) = 35,5 + 2,86 = 38,36 2. Rumus Rata-rata/Rataan/Mean a. Rumus Rataan Data Tunggal
contoh sederhana : kita punya data tunggal 4,5,6 maka ratanya = (4+5+6)/3 =5, b. Rumus Rata-rata/Rataan/Mead Data Kelompok
fi = frekuensi xi = rata-rata kelas 3. Rumus Median /Nilai Tengah a. Rumus Median Data Tunggal
b. Rumus Median Data Kelompok
untuk
nilai
xi
yang
bersesuaian
Lo = tepi bawah dari kelas limit yang mengandung median Me = nilai median n = banyaknya data Fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas yang memuat median f0 = frekuensi kelas yang memuat median c = panjang intreval kelas Contoh Soal Kelas
Frekuensi
F Kumulatif
15-19
5
5
20-24
7
12
25-29
10
22
30-34
15
37
35-39
13
50
40-44
8
58
45-49
3
60
Dari tabel di atas dapat diketahui bahwa median adalah suku antaran suku ke 29 dan suku ke 30 dan kelas letak median ada di kelas 30-34. Jadi Median = 29,5 +[(30-37)/15] 5 = 27,16 Jadi median dari data kelompok di atas adalah 27,16
F. PENGGUNAAN UKURAN PEMUSATAN Ukuran pemusatan digunakan untuk memudahkan penyajian atau penjelasan data. Data yang terdiri dari banyak observasi dapat dinyatakan dengan satu nilai. Data berat badan dari ratusan orang bahkan ribuan orang dapat dinyatakan dengan satuan nilai saja yaitu nilai rata-rata. Kadar gula darah pasien di suatu rumah sakit yang jumlahnya ratusan dapat dikemukakan dengan satu nilai rata-rata hitung atau mean. Ketika melakukan observasi kepada seseorang kepala puskesmas dan ditanyakan rata-rata jumlah kunjungan dalam satu hari, jika ia dapat menjawab segera tanpa melihat catatan jumlah kunjungan, maka ada dua kemungkinan dari jawaban itu. Pertama, ia akan mengemukakan ratarata tengah, dan kedua, mungkin juga ia akan mengemukakan jumlah kunjungan yang sering terjadi. Nilai yang terakhir ini disebut dengan rata-rata terbanyak atau modus. Dalam kehidupan sehari-hari sering kita dengar orang mengatakan bahwa rata-rata penduduk Indonesia beragama Islam, artinya paling banyak penduduk Indonesia beragama Islam.
BAB III PENUTUP KESIMPULAN a.
Salah satu aspek yang paling penting untuk menggambarkan distribusi data adalah nilai pusat data pengamatan.
b.
Terdapat tiga ukuran tendensi sentral yang sering digunakan, yaitu:
·
Mean (Rata-rata hitung/rata-rata aritmetika)
·
Median
·
Modus
c.
Mean dihitung dengan menjumlahkan semua nilai data pengamatan kemudian dibagi dengan banyaknya data.
d.
Median dari n pengukuran atau pengamatan x1, x2 ,…, xn adalah nilai pengamatan yang terletak di tengah gugus data setelah data tersebut diurutkan.
e.
Modus adalah data yang paling sering muncul/terjadi.
