“Ukuran Dispersi” (Makalah Statistika Dasar)
OLEH : KELOMPOK IV 1. Afrinal 2. Arifki 3. Cici Wulandari 4. Doli Ali F. 5. Ika Desmawita 6. Mai Ridho Purnomo P. 7. Novia A. 8. Roro Rasi Putra 9. Vivi Indah P.
JURUSAN TEKNIK PERTAMBANGAN FAKULTAS TEKHNIK UNIVERSITAS NEGERI PADANG 2014
i
Kata Pengantar
Puji syukur kami ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena berkat limpahan Rahmat-Nyalah kami dapat menyelesaikan tugas makalah Statistika Dasar ini. Tugas makalah ini adalah mengenai “Ukuran Dispersi”, isinya meliputi pengertian dispersi, jenis-jenis ukuran dispersi, koefisien variasi, kemencengan atau kecondongan, keruncingan (kurtosis) serta bilangan z (z-score).
Ucapan terima kasih kami sampaikan atas bantuan semua pihak. Baik yang berperan secara langsung maupun tidak langsung dalam proses pembuatan dan penyusunan makalah ini, sehingga dapat terselesaikan tepat pada waktunya.
Selain itu, penulis juga mengharapkan kritik dan saran yang membangun demi perbaikan kedepannya. Demikianlah, semoga makalah ini dapat bermanfaat. Aamiin..
Padang, Oktober 2014 Penyusun
Kelompok I
ii
Daftar Isi
Halaman Depan..... ...........................................................................................
i
Kata Pengantar. ................................................................................................
ii
Daftar Isi...........................................................................................................
iii
BAB I Pendahuluan.... .....................................................................................
1
A. Latar Belakang. ....................................................................................
1
B. Rumusan Masalah. ...............................................................................
1
C. Tujuan Penulisan. .................................................................................
1
D. Manfaat Penulisan. ...............................................................................
2
BAB II Pembahasan. ........................................................................................
3
A. Pengertian Dispersi. .............................................................................
3
B. Jenis-jenis Ukuran Dispersi. .................................................................
3
C. Koefisien Variasi. .................................................................................
19
D. Kemencengan atau Kecondongan. .......................................................
21
E. Keruncingan (Kurtosis). .......................................................................
29
F. Bilangan z (z-score) .............................................................................
33
BAB III Penutup ..............................................................................................
37
A. Kesimpulan. .........................................................................................
37
B. Saran. ....................................................................................................
38
Daftar Pustaka ..................................................................................................
39
iii
BAB I Pendahuluan
A. Latar Belakang Dunia pertambangan merupakan salah satu pekerjaan yang tidak terlepas dengan hal-hal
yang berkaitan dengan pengambilan, pengolahan serta
penyajiannya data sehingga diperoleh sebuah keputusan yang baik. Karena itulah, mahasiswa pertambangan perlu mempelajari mata kuliah Statistika Dasar. Di mata kuliah ini, dipelajari cara pengumpulan, penyajian dan analisa data serta cara pengambilan kesimpulan berdasarkan hasil penelitian.
Dari beberapa materi yang dipelajari dalam mata kuliah Statistika Dasar, kami sebagai kelompok IV mendapat tugas dari Bapak Adree Octova,S.Si.,M.T selaku dosen mata kuliah Statistika Dasar untuk membuat makalah serta powerpoint mengenai materi “Ukuran Dispersi” Untuk itulah, kami membuat makalah beserta powerpoint mengenai “Ukuran Dipersi” guna melengkapi tugas yang diberikan.
B. Rumusan Masalah 1. Apa yang dimaksud dengan ukuran dipersi ? 2. Apa sajakah jenis-jenis ukuran dipersi absolut ? 3. Apa sajakah jenis-jenis ukuran dipersi relatif ? 4. Apakah yang dimaksud dengan kemencengan atau kecondongan, keruncingan, serta bilangan z-score serta bagaimana bentuk-bentuk persamaan-persamaan pentingnya ?
C. Tujuan Penulisan 1. Untuk mengetahui pengertian ukuran dipersi 2. Untuk mengetahui jenis-jenis ukuran dipersi absolut 3. Untuk mengetahui jenis-jenis ukuran dipersi relatif
1
4. Untuk mengetahui pengertian serta persamaan-persamaan penting dari kemencengan atau kecondongan, keruncingan, serta bilangan z-score
D. Manfaat Penulisan 1.
Bagi penulis : Memperdalam wawasan dan pengetahuan mengenai materi tentang ukuran dipersi yang meliputi pengertian dispersi, jenisjenis
ukuran
dispersi,
koefisien
variasi,
kemencengan
atau
kecondongan, keruncingan serta bilangan z (z-score). 2.
Bagi Mahasiswa/pelajar : Sebagai sumber/literature dalam memperdalam materi statistika dasar mengenai ukuran dispersi.
2
BAB II Pembahasan
A. Pengertian Dipersi Ukuran dispersi atau ukuran variasi adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh nilai-nilai data yang berbeda dari nilai pusatnya atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dari ukuran pusatnya. Ukuran dispersi pada dasarnya merupakan pelengkap dari ukuran pusat dalam menggambarkan sekumpulan data. Dengan ukuran dispersi, penggambaran data akan lebih tepat dan jelas. Fungsi ukuran dispersi:
Menunjukkan tinggi rendahnya penyimpangan antar data.
Mengeahui derajat perbedaan antar data.
B. Jenis - Jenis Ukuran Dipersi a.
Jangkauan (Range, R) Range adalah selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil dari data yang
telah disusun berurutan. Cara mencari jangkauan dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok. 1. Jangkauan data tunggal 𝑅 = 𝑋𝑚𝑎𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛 Contoh Range : IQ lima orang anggota keluarga adalah : 108, 112, 127, 118, dan 113. Tentukan rentangnya! Jawab: Rentangdari 5 IQ tersebut adalah: 𝑅 = 𝑋𝑚𝑎𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛 𝑅 = 127-108 = 19
3
2. Jangkauan data berkelompok Pada data berkelompok, ditentukan dari selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi bawah kelas terendah ataupun dengan selisih titik tengah kelas tertinggi dan titik tengah kelas terendah. Contoh : Tentukan jangkauan dari distribusi frekuensi berikut! Nilai Ujian 31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90 91 - 100 Jumlah
Frekuensi (f) 1 2 5 15 25 20 12 80
Titik Tengah (X) 35,5 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5 95,5
Penyelesaian: Titik tengah kelas terendah = 35,5 Titik tengah kelas tertinggi = 95,5 Tepi bawah kelas terendah = 30,5 Tepi atas kelas tertinggi = 100,5 Maka : 1. Jangkauan = 95,5 – 35,5 = 60 2. Jangkauan = 100,5 – 30,5 = 70
b. Jangkauan Kuartil dan Jangkauan Semi Interkuartil Jangkauan antarkuartil adalah selisih antar kuartil atas (Q3) dan kuatil bawah (Q1). Dirumuskan :
𝐽𝐾 = 𝑄3 − 𝑄1 Jangkauan semi interkuartil aau simpangan kuartil adalah setengah dari selisih dari selisih kuartil atas Q3 dengan kuartl bawah Q1. Dirumuskan: 𝑄𝑑 =
1 (𝑄 − 𝑄1 ) 2 3
Rumus-rumus di atas berlaku untuk data tunggal dan kelompok. 4
1.
Data Tunggal
i ( n 1) ; n = banyak data ; i = 1,2, atau 3 4 Contoh soal :
Qi =
Tentukan jangkauan antarkuartil dan jangkauan semi interkuartil dari : 2,6,8,5,4,9,12 Penyelesaian: Q1 = 4 Q3 = 9 Maka : JK = Q3 – Q1 = 9 - 4 = 5 Qd =
2.
1 2
1
(Q3 − Q1 ) = 2 (9 − 4) = 2,5
Data Berkelompok
in 4 F Qi = Tb + . p f Ket : Qi = kuartil ke-i (i=1,2,3) N
= ∑f = jumlah data
F
= jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil ke-i
f
= frekuensi kelas kuartil ke-i
p
= panjang kelas
Tb = Tepi bawah kelas kuartil ke-i
5
Contoh soal: Tentukan jangkauan antarkuartil dan jangkauan semi interkuartil distribusi frekuensi berikut: TABEL 1. Nilai statistik 80 mahasiswa universitas Borobudur, semester II, jurusan Manajemen, 1994 Nilai
Frekuensi (f)
30 – 39
2
40 – 49
3
50 – 59
5
60 – 69
14
70 – 79
24
80 – 89
20
90 – 99
12
Jumlah
80
Penyelesaian :
in 4 F 𝑄3 = 𝑇𝑏 + .𝑝 f
in 4 F 𝑄1 = 𝑇𝑏 + .𝑝 f = 59,5 +
20 − 10 . 10 14
= 79,5 +
= 59,5 + 7,14 = 66,64
60 − 48 . 10 20
= 79,5 + 6 = 85,5
Maka : 𝐽𝐾 = 85,5 − 66,64 = 18,86 1 𝑄𝑑 = (85,5 − 66,64) = 9,43 2 Jangkauan antarkuartil dapat digunakan untuk menemukan adanya data pencilan, yaitu data yang dianggap salah catat atau salah ukur atau berasal dari kasus yang menyimpang, 𝐿 = 1,5 𝑋 𝐽𝐾 𝑃𝐷 = 𝑄1 − 𝐿 𝑃𝐿 = 𝑄3 + 𝐿 6
Keterangan: L = satu langkah PD = pagar dalam PL =pagar luar Contoh soal : Selidikilah apakah terdapat data pencilandari data di bawah ini! 15, 33, 42, 50, 51, 51, 53, 55, 62, 64, 65, 68, 79, 85, 97 Penyelesaian: Q1
= 50 dan Q3 = 68
JK
= 68-50 =18
L
= 1,5x18 = 27
PD
= 50-27= 23
PL
= 68+27 =95 Pada data diatas terdapat data 15 dan 97 yang brarti kurang dari pagar dalam
(23) dan pagar luar (95). Dengan demikian data 15 dan 97 termasuk kedalam data pecilan karena itu perlu diteliti ulang.
c.
Deviasi Rata-Rata (Simpangan Rata-Rata) Deviasi rata-rata yaitu nilai rata-rata hitung dari harga mutlak simpangan-
simpangannya. Cara mencari deviasi rata-rata ada 2, data tunggal dan data berkelompok. 1. Deviasi rata-rata data tunggal
𝑫𝑹 =
∑|𝑿 − 𝑿| 𝟏 ∑ ∣ 𝑿 − 𝑿𝑨 ∣= 𝒏 𝒏
Contoh soal: Tentukan deviasi rata-rata dari 2,3,6,8,11 Penyelesaian: Rata-rata hitung= 𝑋 =
2+3+6+8+11 5
7
=6
∑|𝑋𝑖 − 𝑋| = |2 − 6| + |3 − 6| + |6 − 6| + |8 − 6| + |11 − 6| = 14
DR =
∑|𝑋𝑖 −𝑋| 𝑛
=
14 5
= 2,8
2. Deviasi rata-rata untuk data berkelompok
𝐷𝑅 =
∑𝑓|𝑋 − 𝑋| 1 ∑𝑓 ∣ 𝑋 − 𝑋𝐴 ∣= 𝑛 𝑛
Contoh soal: Tentukan deviasi rata-rata dari distribusi frekuensi pada Tabel berikut ! Tinggi Badan (cm)
F
140 – 144
2
145 – 149
4
150 – 154
10
155 – 159
14
160 – 164
12
165 – 169
5
170 - 174
3
Jumlah
50
8
Penyelesaian: Dari tabel data tersebut. didapat 𝑋 = 157,7. Dengan nilai itu, dapat dibuat tabel Tinggi Badan (cm)
X
F
∣ 𝑿 − 𝑿𝑨 ∣
f∣ 𝑿 − 𝑿𝑨 ∣
140 – 144
142
2
15,7
31,4
145 – 149
147
4
10,7
42,8
150 – 154
152
10
5,7
57
155 – 159
157
14
0,7
9,8
160 – 164
162
12
4,3
51,6
165 – 169
167
5
9,3
46,5
170 – 174
172
3
14,3
42,9
Jumlah
-
50
-
282
∑𝑓|𝑋 − 𝑋| 𝑛 282 = = 5,64 50
𝐷𝑅 =
d. Varians Varians adalah nilai tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau simpangan rata-rata kuadrat. Untuk varians sampel disimbolkan 𝑠 2 . Untuk populasi di simbolkan 𝜎 2 (baca sigma). 1. Varians data tunggal •
Untuk sampel besar 30 (n>30) 𝑠2 =
∑(𝑥−𝑥̅ )2 𝑛
atau s2 =
∑𝑋 2 𝑛
9
∑𝑋
−(𝑛)
•
Untuk sampel kecil (n≤30) 𝑠2 =
∑(𝑥−𝑥̅ )2 𝑛−1
atau ∑𝑋 2
(∑X)2
s2 = 𝑛−1 + 𝑛(𝑛−1) Contoh soal: Tentukan varians dari data 2,3,6,8,11 Penyelesaian : 𝑋
𝑋−𝑋
(𝑋 − 𝑋)
2
𝑋2
2
-4
16
4
3
-3
9
9
6
0
0
36
8
2
4
64
11
5
25
121
54
234
30
𝑠2 =
Σ (𝑋−𝑋)
𝑠2 =
Σ (𝑋−𝑋)
234
2
54
= 5−1 = 13,5
𝑛−1 2
𝑛−1
(Σ 𝑋 2 )
2
- 𝑛(𝑛−1)
(30) 2
= 5−1 - 5(5−1) = 13,5
2. Varians Untuk data berkelompok : Ada 3 metode yang digunakan, yaitu •
Metode biasa a) Untuk sampel besar (n>30) 𝑠2 =
∑𝑓(𝑋 − 𝑋̅)2 𝑛
b) Untuk sampel kecil (n≤ 30) ∑𝑓(𝑋 − 𝑋̅)2 𝑠 = 𝑛−1 2
10
•
Metode angka kasar a) Untuk sampel besar (n>30) ∑𝑓𝑋 2 ∑𝑓𝑋 2 𝑠 = −( ) 𝑛 𝑛 2
b) Untuk sampel besar (n≤ 30) 𝑠2 =
•
(∑𝑓𝑋)2 ∑𝑓𝑋 2 − 𝑛 − 1 (𝑛 − 1)𝑛
Metode coding a) Untuk sampel besar (n>30) 𝑠2 = 𝐶2
∑𝑓𝑢2 (∑𝑓𝑢)2 − 𝑛 𝑛
b) Untuk sampel besar (n≤ 30) (∑𝑓𝑢)2 ∑𝑓𝑢2 𝑠 =𝐶 − 𝑛 − 1 𝑛(𝑛 − 1) 2
2
Keterangan: C = Panjang interval kelas d
u =𝐶=
X−M 𝐶
M = rata-rata hitung sementara
Contoh soal : Tentukan varians dari distribusi frekuensi berikut Tabel 2. Pengukuran diameter pipa Diameter (mm)
Frekuensi
65 -67
2
68 -70
5
71 -73
13
74 -76
14
77 -79
4
11
80 -82
2
Jumlah
40
Penyelesaian : (1) Dengan Metode biasa 𝑋̅ = 73,425 Diameter (mm)
X
F
̅ 𝑿−𝑿
̅ )𝟐 (𝑿 − 𝑿
̅ )𝟐 𝒇(𝑿 − 𝑿
65 -67
66
2
-7,425
55,131
110,262
68 -70
69
5
-4,425
19,581
97,905
71 -73
72
13
-1,425
2,031
26,403
74 -76
75
14
1,575
2,481
34,734
77 -79
78
4
4,575
20,931
83,724
80 -82
81
2
7,575
57,381
114,762
Jumlah
-
40
-
-
114,790
=
467,790 = 11,694 40
∑𝑓(𝑋 − 𝑋̅)2 𝑠 = 𝑛 2
(2) Dengan Metode Angka Kasar Diameter
X
F
𝑿𝟐
𝒇𝑿
𝒇𝑿𝟐
65 -67
66
2
4356
132
8712
68 -70
69
5
4761
345
23805
71 -73
72
13
5184
936
67392
74 -76
75
14
5625
1050
78750
77 -79
78
4
6084
312
24336
80 -82
81
2
6561
162
13122
Jumlah
-
40
-
2937
216117
𝑠2 =
∑𝑓𝑋 2 ∑𝑓𝑋 2 −( ) 𝑛 𝑛
12
=
216117 2937 2 −( ) 40 40
= 5402,925 − 539,231 = 11,694 (3) Dengan Metode coding 𝒇𝒖𝟐
Diameter
X
F
𝒖
𝒖𝟐
𝒇𝒖
65 -67
66
2
-3
9
-6
18
68 -70
69
5
-2
4
-10
20
71 -73
72
13
-1
1
-13
13
74 -76
75
14
0
0
0
0
77 -79
78
4
1
1
4
4
80 -82
81
2
2
4
4
8
Jumlah
-
40
-
-
-21
63
𝑠2 = 𝐶2
= 32
∑𝑓𝑢2 (∑𝑓𝑢)2 − 𝑛 𝑛
63 (−21)2 − 40 40 = 9 (1,575) − 0,276 = 11,694
3. Varians gabungan Misalkan, terdapat 𝑘 𝑏𝑢𝑎ℎ 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙. Jika subsampel-subsampel digabung menjadi sebuah sampel berukuran n1+ n2 + … nk= n maka varians gabungannya adalah : 2 𝑠𝑔𝑎𝑏 =
(𝑛1 − 1)𝑠12 + (𝑛2 − 1)𝑠22 + … + (𝑛𝑘 − 1)𝑠𝑘2 (𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑘 ) − 𝑘
2 𝑠𝑔𝑎𝑏 =
∑(𝑛−1)𝑠2 ∑ 𝑛−𝑘
Contoh soal : Hasil pengamatan terhadap 20 objek mendapatkan s=4. Pengamatan terhadap 30 objek mendapatkan s=5. Berapakah varians gabungannya?
13
Penyelesaian : 𝑠 2𝑔𝑎𝑏 =
=
e.
(20 − 1)16 + (30 − 1)25 (20 + 30) − 2
304 + 725 = 21,44 48 Simpangan Baku (Standar Deviasi) Simpangan baku adalah akar dari tengah kuadrat simpangan dari nilai
tengah atau akar simpangan rata-rata kuadrat, atau simpangan baku adalah suatu nilai yang menunjukkan tingkat (derajat) variasi atau kelompok data atau ukuran standar penyimpangan dari meannya. s = √varians
Cara mencari simpangan baku dibedakan menjadi 2: 1. Simpangan baku data tunggal • Metode biasa a) Untuk sampel besar (𝑛 > 30) ̅ )2 ∑(X−X
s=√
n
b) Untuk sampel kecil (𝑛 ≤ 30) ∑(X − ̅ X)2 s=√ n−1
• Metode angka kasar (𝑛 ≤ 30) a) Untuk sampel besar (𝑛 > 30) ∑X 2 ∑X 2 √ s= −( ) n n
14
b) Untuk sampel kecil (𝑛 ≤ 30) ∑X 2 ∑X 2 s=√ − n − 1 n(n − 1) Contoh soal: Tentukan simpangan baku dari data 2, 3, 6, 8, 11 Penyelesaian: Dari perhitungan diperoleh varians (s2)=13,5 Dengan demikian, simpangan bakunya adalah s = √varians = √13,5 = 3,67
2. Simpangan baku data berkelompok • Metode biasa a) Untuk sampel besar (𝑛 > 30) ∑𝑓(𝑋 − 𝑋)2 𝑠= √ 𝑛 b) Untuk sampel kecil (𝑛 ≤ 30) ∑𝑓(𝑋 − 𝑋)2 𝑠= √ 𝑛−1
• Metode Angka kasar a) Untuk sampel besar (𝑛 > 30) ∑𝑓𝑋 2
𝑠=√
𝑛
−(
∑𝑓𝑋 2 𝑛
)
b) Untuk sampel kecil (𝑛 ≤ 30) ∑𝑓𝑋 2 (∑𝑓𝑋)2 𝑠=√ − 𝑛 − 1 𝑛(𝑛 − 1)
15
• Metode Coding a) Untuk sampel besar (𝑛 > 30) ∑𝑓𝑢2 ∑𝑓𝑢 2 𝑠 = 𝐶√ −( ) 𝑛 𝑛
b) Untuk sampel kecil (𝑛 ≤ 30) 𝑠 = 𝐶√
∑𝑓𝑢2 (∑𝑓𝑢)2 − 𝑛 − 1 𝑛(𝑛 − 1)
Keterangan : C = Panjang interval kelas d
u =𝐶=
X−M 𝐶
M = rata-rata hitung sementara Contoh soal: Tentukan simpangan baku dari distribusi frekuensi berikut (gunakan ketiga rumus)! Tabel 3. Berat badan 100 mahasiswa universitas” X” tahun 2013 Berat Badan (kg)
Frekuensi (f)
40-44
8
45-59
12
50-54
19
55-59
31
60-64
20
65-69
6
70-74
4
Jumlah
100
Penyelesaian: (a) Dengan metode biasa Berat
𝑿
𝒇
𝒇𝑿
𝑿−𝑿
(𝑿 − 𝑿)𝟐
𝒇(𝑿 − 𝑿)𝟐
42
8
336
-13,85
191,8225
1.534,58
Badan 40-44
16
45-59
47
12
564
-8,85
78,3225
939,87
50-54
52
19
988
-3,85
14,8225
281,63
55-59
57
31
1.767
1,15
1,3225
40,99
60-64
62
20
1.240
6,15
37,8225
756,45
65-69
67
6
402
11,15
124,3225
745,94
70-74
72
4
288
16,15
260,8225
1.043,29
100
5.585
Jumlah
𝑋= =
5.342,75
∑𝑓X ∑𝑓
5.585 = 55,85 100
∑𝑓(𝑋 − 𝑋)2 𝑠= √ 𝑛
5.342,75 = √ = 7,31 100
(b) Dengan metode angka kasar Berat Badan
𝑋
𝑓
𝑓𝑋
X2
𝑓𝑋 2
40-44
42
8
336
1.764
14.112
45-59
47
12
564
2.209
26.508
50-54
52
19
988
2.704
51.376
55-59
57
31
1.767
3.249
100.719
60-64
62
20
1.240
3.844
76.880
65-69
67
6
402
4.489
16.934
70-74
72
4
288
5.184
20.736
100
5.585
Jumlah
∑𝑓𝑋 2 ∑𝑓𝑋 2 √ 𝑠= −( ) 𝑛 𝑛
17
317.265
=√
317.265 5.585 2 −( ) = 7,31 100 100
(c) Dengan metode coding Berat Badan
𝑋
𝑓
𝑢
𝑢2
𝑓𝑢
𝑓𝑢2
40-44
42
8
-3
9
-24
72
45-59
47
12
-2
4
-24
48
50-54
52
19
-1
1
-19
19
55-59
57
31
0
0
0
0
60-64
62
20
1
1
20
20
65-69
67
6
2
4
12
24
70-74
72
4
3
9
12
36
-23
219
Jumlah
100
∑𝑓𝑢2 ∑𝑓𝑢 2 𝑠 = 𝐶√ −( ) 𝑛 𝑛 219 −23 2 = 5√ −( ) = 7,31 100 100
3.
Simpangan baku gabungan
Dengan cara menarik akar dari variasi gabungan. 2 𝑆𝑔𝑎𝑏 = √𝑆𝑔𝑎𝑏
Dalam bentuk rumus, simpangan baku gabungan dituliskan :
𝑆𝑔𝑎𝑏 =
𝑠𝑔𝑎𝑏 =
(𝑛−1)𝑆1 +( 𝑛−1)𝑆2 +⋯+(𝑛−1)𝑆1 (𝑛1 +𝑛2 +⋯+𝑛𝑘 )−𝑘
∑(𝑛 − 1)𝑠 ∑𝑛 − 𝑘
18
=
∑(𝑛−1)𝑠 ∑ 𝑛−𝑘
Contoh soal : jika diketahui: 𝑛1 = 100 dan 𝑠1 = 5,08 𝑛2 = 50 dan 𝑠2 = 2,32 Tentukan sgab! Penyelesaian: 𝑆𝑔𝑎𝑏 =
=
(𝑛1 − 1)𝑠1 + (𝑛2 − 1)𝑠2 (𝑛1 + 𝑛2 ) − 𝑘
(100 − 1)5,08 + (50 − 1)2,32 = 4,166 (100 + 50) − 2
C. KOEFISIEN VARIASI Jenis Ukuran dispersi yang telah dijelaskan merupakan dispersi absolut,yang hanya dapat melihat penyimpangan pada satu kumpulan data saja. Maka untuk membandingkan penyimpangan pada beberapa kumpulan data, digunakanlah dispersi relatif yaitu perbandingan dispersi absolut dan rata-ratanya. 𝐷𝑖𝑠𝑝𝑒𝑟𝑠𝑖 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓 =
𝐷𝑖𝑠𝑝𝑒𝑟𝑠𝑖 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡 𝑅𝑎𝑡𝑎−𝑟𝑎𝑡𝑎
a. Koefisien Variasi (KV) Jika dispersi absolut digantikan dengan simpangan bakunya maka dispersi relatifnyadisebut koefisien variasi (KV). 𝐾𝑉 =
𝑠 × 100% 𝑋̅
Contoh soal : Dari hasil penelitian terhadap kualitas timah putih di Pulau A dan Pulau B diperoleh data sebagai berikut: 𝑋̅𝐴 = 60.000 𝑝𝑠𝑖, 𝑠𝐴 = 30 𝑋̅𝐴 = 53.000 𝑝𝑠𝑖, 𝑠𝐴 = 25
19
a) Tentukan koefisien Variasi masing-masing! b) Di Pulau manakah timah yang paling bagus kualitasnya? Penyelesaian: a) KVA =
𝑠𝐴 ̅𝐴 X
x 100% =
KVB =
𝑠𝐵 ̅ X𝐵
x 100% =
30 60.000 25 53.000
x 100% = 0,05 % x 100% = 0,047%
b) Jadi, variasi kualitas timah yang paling bagus adalah di Pulau A
b. Variasi Jangkauan (VR) Dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan dengan jangkauan. 𝑉𝑅 =
𝑅 × 100% 𝑋̅
c. Variasi Simpangan Rata-Rata (VSR) Dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan dengan simpangan rata –rata 𝑉𝑆𝑅 =
𝑆𝑅 × 100% 𝑋̅
d. Variasi Quartil (VQ) Dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan dengan kuartil. 𝑉𝑄 = 𝑉𝑄 =
𝑄𝐷 × 100% ̇ 𝑀𝑒
𝑄3 − 𝑄1 × 100% 𝑄3 + 𝑄1
Contoh soal : Dua perusahaan, yaitu MAKMUR dan SEJAHTERA memiliki 50 karyawan. Untuk keperluan penelitian mengenai variasi gaji karyawan, diambil sampel sebanyak 7 orang setiap perusahaan dengan gaji masing-masing (dalam ribuan rupiah): 300, 250, 350, 400, 600, 500, 550 dan 200, 450, 250, 300, 350, 750, 500. a) Tentukan dispersi relatif perusahaan tersebut! b) Perusahaan mana yang memiliki variasi gaji lebih baik?
20
Penyelesaian: Misalkan perusahaan Makmur= X dan Perusahaan SEJAHTERA= Y. a) 𝑋̅𝐴 =
∑𝑋𝐴 𝑛
=
2950 7
= 421,43
̅̅̅̅𝐴 2 = 1.347.500 ∑𝑋 sA = √
(∑X)2 ∑X 2 − n − 1 n(n − 1)
1.347.500 (2950)2 =√ − = 131,836 6 7(7 − 1) 𝑋̅𝐵 =
∑𝑋𝐵 2800 = = 400 𝑛 7
̅̅̅̅𝐵 2 = 1.330.000 ∑𝑋 1.330.000
sB = √
6
−
(2800)2 7(7−1)
= 187,08
b) Variasi gaji di perusahaan B lebih baik dari variasi gaji di perusahaan A.
D. KEMENCENGAN ATAU KECONDONGAN Merupakan kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata ,median ,dan modus yang tidak sama (𝑋̅ ≠ 𝑀𝑒 ≠ 𝑀𝑂 ). Sehingga distribusi akan terdistribusi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng. Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang kekanan daripada kekiri maka distribusi tersebut akan menceng ke kanan ( kemencengan positif) ,jika ekor distribusi lebih panjang kekiri daripada ke kanan maka distribusi tersebut akan menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif. Data yang baik adalah data yang memliliki kemencengan simetri, karena data tersebut lebih mudah untuk diolah. Ada 3 kemungkinan kesimetrian kurva distribusi data : 1) Jika nilai ketiganya sama maka kurvanya berbentuk simetri. 2) Jika Mean > Med > Mod, maka kurva miring ke kanan.
21
3) Jika Mean < Med < Mod, maka kurva miringke kiri.
Untuk mengetahui sebuah distribusi menceng ke kanan atau kekiri digunakan beberapa metode-metode berikut.
a. Koefisien Kemencengan Pearson Koefisien Kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus dibagi simpangan baku. Dirumuskan: 𝒔𝒌 =
𝑿 − 𝑴𝒐 𝒔
Keterangan : 𝑠𝑘 = Koefisien Kemencengan Pearson Secara empiris didapatkan hubungan antara nilai pusat sebagai:
𝑿 − 𝑴𝒐 = 𝟑(𝑿 − 𝑴𝒆)
Maka,rumus kemencengan di atas dapat dirubah menjadi: 𝒔𝒌 =
𝟑(𝑿 − 𝑴𝒆) 𝒔 22
Jika nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva, maka: 1) sk =0 → kurva berbentuk simetris 2) sk > 0 → kurva menceng ke kanan 3) sk < 0 → kurva menceng ke kiri Contoh soal 1 : Diberikan data tinggi badan mahasiswa,Tentukan besarnya kemencengan kurva dari data berikut:
Ukuran data dari tabel frekuensi tersebut adalah Mean = 109,6 Median =108 Modus = 105 Deviasi standar = 9,26 Ukuran kemencengan Pearson adalah=109,6105 = 4,6. Koefisien kemencengan (CK) adalah : 4,6:9,26= 0,5
Contoh soal 2 : Koefisien kemiringan kurva distribusi frekuensi dari hasil penjualan suatu barang yang mempunyai nilai rata-rata =Rp 516.000,00, modus = Rp 435.000,00dan standar deviasi = Rp 150.000,00adalah.. Penyelesaian:
23
𝑋 − 𝑀𝑜 𝑠 516.000,00 − 435.000,00 = 0,54 150.000 𝑠𝑘 =
Contoh soal 3:
24
b. Koefisien Kemencengan Bowley skb =
Q 3 + 2Q 2 Q1 Q 3 - Q1
Keterangan: Skb= Koefisien Kemencengan Bowley Q1 = kuartil pertama Q2 = kuartil kedua Q3= kuartil ketiga
25
1. Jika Q3 - Q2 = Q2 - Q1atau Q3 + Q1 - 2Q2 = 0 maka α = 0 dan distribusi datanya simetri 2. Jika Q1 = Q2 maka α = 1 dan distribusi datanya miring ke kanan 3. Jika Q2 = Q3maka α = -1 dan distribusi datanya miring ke kirI
Penyelesaian: Q1= 102,71 Q2= 108 Q3= 116 𝑠𝑘𝑏 = =
𝑄3 − 2𝑄2 + 𝑄1 𝑄3 − 𝑄1
116 − 2(108) + 102,71 = 0,204 116 − 102,71
Karena skb positif, maka kurva menceng ke kanan dengan kemencengan yang tidak berarti. c. Koefisien Kemencengan Persentil Koefisien kemencengan persentil didasarkan atas hubungan antarpersentil (P90, P50, P10) dari sebuah distribusi . Koefesien ini dirumuskan: 𝑠𝑘𝑝 =
(𝑃90 − 𝑃50 ) − (𝑃50 − 𝑃10 ) 𝑃50 − 𝑃10
𝑠𝑘𝑝 =
(𝑃90 − 2𝑃50 + 𝑃10 ) 𝑃50 − 𝑃10
26
Keterangan : 𝑠𝑘𝑝 = Koefisien kemencengan persentil P= persentil d. Koefisien kemencengan momen Koefisien Kemencengan Momen didasarkan pada perbandingan momen ke-3 dengan pangkat 3 simpangan baku. Koefisien ini dilambangkan dengan 3 . Koefisien Kemencengan Momen disebut juga kemencengan relatif. 1. α3= 0, maka distribusi datanya simetri 2. α3 < 0, maka distribusi datanya miring ke kiri 3. α3 > 0, maka distribusi datanya miring ke kanan 4. menurut Karl Pearson, distribusi dengan α3 > ± 0,50 adalah distribusi sangat menceng. 5. Menurut Kenney and Keeping, nilai α3 bervariasi antara ± 2bagi distribusi yang sangat menceng. Untul mencari α3 dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok: 1. Untuk data tunggal 3 1 𝑀3 𝑛 ∑(𝑋 − 𝑋) 𝛼3 = 3 = 𝑠 𝑠3
𝛼3 = koefisien kemencengan M3= momen ketiga, mengukur kemencengan S = simpangan baku n = banyaknya data pengamatan Xi= data frekuensi ke-i 2. Untuk data berkelompok 3 1 𝑀3 𝑛 ∑(𝑋 − 𝑋) . 𝑓 𝛼3 = 3 = 𝑠 𝑠3
Atau
27
𝛼3 =
𝐶3 𝑠3
∑𝑓𝑢3
=(
𝑛
∑𝑓𝑢2
− 3(
𝑛
28
∑𝑓𝑢
)(
𝑛
∑𝑓𝑢 3
) + 2(
𝑛
) )
E. KERUNCINGAN (KURTOSIS) Keruncingan adalah tingkat kepuncakan dari suatu distribusi yang diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. Kurtosis terdiri dari: 1. Leptokurtis, puncak kurva relatif tinggi 2. Mesokurtis, puncak kurva normal 3. Platikurtis, puncak kurva rendah
29
a. Koefisien Keruncingan Dilambangkan dengan 𝛼4 . Jika hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh: 1. Jika α4> 3, maka bentuk kurva leptokurtis (meruncing) 2. Jika α4= 3, maka bentuk kurva mesokurtis (normal) 3. Jika α4< 3, maka bentuk kurva platikurtis(mendatar)
Untuk mencari nilai atau koefisien keruncingan dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.
1. Untuk data tunggal 4 1 ∑(𝑋 − 𝑋) 𝛼4 = 𝑛 𝑠4
2. Untuk data berkelompok 4 1 ∑(𝑋 − 𝑋) 𝑓 𝛼4 = 𝑛 𝑠4
Atau
30
𝛼4 =
𝐶4 𝑠4
∑𝑓𝑢4
=(
𝑛
∑𝑓𝑢3
− 4(
𝑛
)(
∑𝑓𝑢 𝑛
) + 6(
Jawab :
31
∑𝑓𝑢2 𝑛
∑𝑓𝑢 2
)(
𝑛
) − 3(
∑𝑓𝑢 4 𝑛
) )
b. Koefisien Kurtosis Persentil Koefisien Kurtosis Persentil dilambangkan dengan K(kappa). Untuk distribusi normal, nilai K=0,263. Koefisien ini dirumuskan: 1 (𝑄3 − 𝑄1 ) 𝐾=2 𝑃90 − 𝑃10 Keterangan: Jika
nilai k> 0,263 kurva leptokursis Nilai k <0,263 kurva platikurtis Nilai k=0,263 kurva mesokurtis
32
Contoh soal: Dari sekelompok data yang disusun dalam tabel distribusi frekuensi diketahui nilai Q1=55,24; Q3 =73,64 ; P10= 44,5, P90= 82,5. Besarnya koefisien kurtosis data tersebut adalah...
F. BILANGAN Z (Z SCORE) Nilai standar (Z-score) adalah suatu bilangan yang menunjukkan seberapa jauh sebuah nilai mentah menyimpang dari rata-ratanya dalam suatu distribusi data dengan satuan SD. Dengan demikian, nilai standar tidak lagi tergantung pada satuan pengukuran seperti cm, kg, rupiah, detik dan sebagainya atau merupakan perbedaan antara raw score (skor asli) dengan rata-rata dengan menggunakan unitunit simpangan baku, untuk mengukur perbedaan tersebut. Rumus Z-score : 𝑍= Dimana:
𝑋−𝑋 𝑠
Z
= Nilai standar
X
= Nilai mentah yang akan dicari nilai standarnya
𝑋
= Rata-rata distribusi
s
= Standar deviasi distribusi
Mengapa Z-skor penting ? Z-skor merupakan perhitungan yang sering dipakai karena rumus-rumus statistik parametrik diturunkan dengan menggunakan asumsi, bahwa distribusi suatu populasi berdistribusi normal
33
Dengan demikian maka transformasi ke Z-skor merupakan cara sederhana dan baik untuk analisis parametrik. Contoh soal 1: Jika diketahui sebaran nilai statistik dari 1000 orang mahasiswa Universitas Padjadjaran dalam 5 tahun terakhir berdistribusi normal dengan nilai rata-rata 70 dan simpangan baku 10, maka hitunglah: 1. Jumlah mahasiswa yang mendapat nilai statistik antara 65 s/d 75! 2. Jumlah mahasiswa yang mendapat nilai lebih besar dari 80! 3. Dari 400 orang mahasiswa yang mendapat nilai tertinggi, berapakah nilai terendah dari mereka? 4. Dari 300 orang yang nilainya terendah, berapakah nilai tertinggi dari mereka? Penyelesaian:
Cari Peluangnya dengan menggunakan Tabel Bilangan z
Jumlah mahasiswa yang mendapat nilai statistik antara 65 s/d 75 adalah sama dengan Jumlah Peluang yang mendapat nilai 65 dari 1000 mahasiswa ditambah Jumlah Peluang yang mendapat nilai 75.
34
Jadi, jumlah mahasiswa yang mendapat nilai statistik antara 65 s/d 75 adalah 383 orang.
Jumlah mahasiswa yang mendapat nilai lebih besar dari 80 adalah jumlah peluang yang dibatasi oleh nilai lebih besar dari (> 80): Atau dibulatkan menjadi 341 orang yang mendapatkan nilai > 80 (lihat model grafik diatas)
Dari Σ400 orang mahasiswa yang mendapat nilai tertinggi, dengan menggunakan table z-score dan perhitungan diatas, maka nilai tertendah dari mereka adalah 82.8. Perhitungannya dari orang, maka peluangnya (lihat table z-score) mendekati 0.3997 dari 1000 populasi yang ada dan diketahui nilai z-nya = 1.28 Maka, jika z dirumuskan dengan zi = (xi – x)/s maka didapatkan xi – x = z dikali dengan s. (lihat cara hitung diatas)
35
Dari 300 orang yang nilainya terendah, untuk mengetahui nilai tertinggi dari mereka dapat menggunakan table z-score dan dari Σ300 orang, maka peluangnya (lihat table z-score) mendekati 0.2996 dari 1000 populasi yang ada dan diketahui nilai z-nya = -0.84 Nilai (-) diberikan karena posisinya berada disebelah kiri dari nilai rata-rata (mean). Dengan demikian (lihat perhitungan diatas) maka dari 300 mahasiswa yang nilainya terendah, maka nilai tertinggi mereka adalah 61.6.
Contoh soal 2: Suatu kelompok data mempunyai nilai rata-rata 43. Dengan simpangan baku 5,39. Jika salah satu datanyabernilai 50. nyatakan dalam nilai standar! Penyelesaian: Xi = 50 𝑋= 43 s = 5,39 𝑍=
𝑋 − 𝑋 50 − 43 = = 1,299 𝑠 5,39
36
BAB III Penutup
A. Kesimpulan 1) Ukuran dispersi atau ukuran variasi adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh nilai-nilai data yang berbeda dari nilai pusatnya atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dari ukuran pusatnya. 2) Dispersi absolut, terdiri dari : a. Jarak/rentang/range b. Rentang antar kuatil/nterquartile c. Quartile devasi d. Mean deviation e. Simpangan baku Dispersi relatif, terdiri dari : Koefisien variasi 3) a. Kemencengan : Merupakan kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata ,median ,dan modus yang tidak sama (𝑋̅ ≠ 𝑀𝑒 ≠ 𝑀𝑂 ). Sehingga distribusi akan terdistribusi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng. b. Keruncingan : tingkat kepuncakan dari suatu distribusi yang diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. c. Nilai standar (Z-score) adalah suatu bilangan yang menunjukkan seberapa jauh sebuah nilai mentah menyimpang dari rata-ratanya dalam suatu distribusi data dengan satuan SD. Dengan demikian, nilai standar tidak lagi tergantung pada satuan pengukuran seperti cm, kg, rupiah, detik dan sebagainya atau merupakan perbedaan antara raw score (skor asli) dengan rata-rata dengan menggunakan unit-unit simpangan baku, untuk mengukur perbedaan tersebut.
37
B. Saran Diharapkan kepada teman-teman supaya mempelajari dan dapat menguasai materi mengenai “Ukuran Dispersi“ karena matei ini merupakan salah satu bagian penting dalam ilmu statistik yang memiliki manfaat guna menunjukkan tinggi rendahnya penyimpangan antar data.serta mengeahui derajat perbedaan antar data.
38
Daftar Pustaka Hasan.Iqbal.2001.Pokok-Pokok Materi Statistik 1.Jakarta:Bumi Aksara. http://id.scribd.com/doc/93612143/Soal-Pearson http://www.stkip-ktb.ac.id/download/file/fid/437
39
