“Ukuran Dispersi” (Makalah Statistika Dasar)
OLEH : KELOMPOK IV 1. Afrinal 2. Arifki 3. Cici ici Wula Wuland ndar arii 4. Doli Ali F. 5. Ika Ika Desm esmawit awitaa 6. Mai Mai id id!o !o "urn "urnom omo o ". ". #. $o%ia A. &. oro oro as asii "ut "utra ra '. (i%i Inda Inda! ! ". ".
1
JUUS!" #EK"IK PE#!M$!"%!" &!KUL#!S #EKH"IK U"IVESI#!S "E%EI P!D!"% '*
Kata Pen+antar
"u)i "u)i s*ukur s*ukur kami kami uca+ka uca+kan n ke+ada ke+ada ,u!an ,u!an -an Ma!a Ma!a /sa karena karena 0erkat 0erkat lim+a!an lim+a!an a!mat$*ala a!mat$*ala! ! kami da+at men*elesaikan men*elesaikan tuas makala! makala! tatistika tatistika Dasar ini. ,uas makala! ini adala! menenai kuran Dis+ersi isin*a meli+uti +enertian dis+ersi )enis)enis ukuran dis+ersi koefisien %ariasi kemencenan atau kecondonan keruncinan 7kurtosis8 serta 0ilanan 9 79score8.
ca+an terima kasi! kami sam+aikan atas 0antuan semua +i!ak. :aik *an 0er+eran secara lansun mau+un tidak lansun dalam +roses +em0uatan dan +en*usunan makala! ini se!ina da+at da+at terselesaikan te+at +ada waktun*a.
elain itu +enulis )ua men!ara+kan kritik dan saran *an mem0anun demi +er0aikan kede+ann*a. Demikianla! semoa makala! ini da+at 0ermanfaat. Aamiin..
"adan ;kto0er 2<14
2
"en*usun
JUUS!" #EK"IK PE#!M$!"%!" &!KUL#!S #EKH"IK U"IVESI#!S "E%EI P!D!"% '*
Kata Pen+antar
"u)i "u)i s*ukur s*ukur kami kami uca+ka uca+kan n ke+ada ke+ada ,u!an ,u!an -an Ma!a Ma!a /sa karena karena 0erkat 0erkat lim+a!an lim+a!an a!mat$*ala a!mat$*ala! ! kami da+at men*elesaikan men*elesaikan tuas makala! makala! tatistika tatistika Dasar ini. ,uas makala! ini adala! menenai kuran Dis+ersi isin*a meli+uti +enertian dis+ersi )enis)enis ukuran dis+ersi koefisien %ariasi kemencenan atau kecondonan keruncinan 7kurtosis8 serta 0ilanan 9 79score8.
ca+an terima kasi! kami sam+aikan atas 0antuan semua +i!ak. :aik *an 0er+eran secara lansun mau+un tidak lansun dalam +roses +em0uatan dan +en*usunan makala! ini se!ina da+at da+at terselesaikan te+at +ada waktun*a.
elain itu +enulis )ua men!ara+kan kritik dan saran *an mem0anun demi +er0aikan kede+ann*a. Demikianla! semoa makala! ini da+at 0ermanfaat. Aamiin..
"adan ;kto0er 2<14
2
"en*usun
=elom+ok I
Da,tar Isi
>alaman >alaman De+an....... De+an............ .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............... ................... ................... ..........
i
=ata "enantar "enantar... ........ .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........... ................ .............. ....
ii
Daftar Isi........ Isi............. .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............... ................... .........
iii
:A: I "enda!uluan... "enda!uluan........ .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... ........... ............... ................. ........
1
A. ?atar :elakan... :elakan........ .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... ........... ............... ............. .... :. umusan umusan Masala! Masala!.. ..... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ........ ........ ...... C. ,u)uan ,u)uan "enulisan.. "enulisan....... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... ............. ............ .... D. Manfaat Manfaat "enulisan. "enulisan...... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........... ...... :A: II "em0a!asan. "em0a!asan...... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... ............... ................... ................... .......... A. "ener "enertia tian n Dis+ersi Dis+ersi... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ........ ........ ........ ....... ... :. @enis) @enis)eni eniss kuran kuran Dis+er Dis+ersi. si.... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ........ ........ ........ ........ ........ ...... .. C. =oefisien =oefisien (ariasi....... riasi............ .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............. ................ ........ D. =emenc =emencen enan an atau atau =econd =econdon onan an.. ..... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ........ ...... .. /. =erunc =eruncin inan an 7=urto 7=urtosis8 sis8... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....... ... F. :ilan :ilanan an 9 79scor 79score8. e8.... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ........ ........ ........ ......
1 1 1 2 3 3 3 1' 21 2' 33
:A: III "enutu+.. "enutu+....... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............. ................. ...........
3#
A. =esim+ulan. =esim+ulan...... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........... ................ .............. .... :. aran...... aran........... .......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ........... ................ .................... ..........
3# 3&
Daftar "ustaka... "ustaka........ .......... .......... ......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ............ .......
3'
3
$!$ I Pen-ahuluan
!. Lata Latarr $ $el elak akan an+ +
Dunia Dunia +ertam +ertam0an 0anan an meru+a meru+akan kan sala! sala! satu +eker)a +eker)aan an *an *an tidak tidak terle+a terle+ass den denan an
!al !al!a !all
*an an
0erk 0erkai aita tan n
den denan an
+en +enam am0i 0ila lan n
+en +enol ola! a!an an
sert sertaa
+en*a)iann*a data se!ina s e!ina di+erole! se0ua! ke+utusan *an 0aik. =arena itula! ma!asiswa +ertam0anan +erlu mem+ela)ari mata kulia! tatistika Dasar. Di mata kulia! ini di+ela)ari cara +enum+ulan +en*a)ian dan analisa data serta cara +enam0ilan kesim+ulan 0erdasarkan !asil +enelitian.
Dari 0e0era+a materi *an di+ela)ari dalam mata kulia! tatistika Dasar kami se0aai kelom+ok I( menda+at tuas dari :a+ak Adree Adree ;cto%a.i.M., selaku dosen dosen mata mata kulia! kulia! tatis tatistik tikaa Dasar Dasar untuk untuk mem0ua mem0uatt makala! makala! serta serta +ower +ower+oi +oint nt menenai materi kuran Dis+ersi
ntuk itula! kami mem0uat makala! 0eserta +ower+oint menenai kuran Di+ersi una melenka+i tuas *an di0erikan.
$. u/u u/usa san n Mas Masal alah ah 1. A+a *an *an dimak dimaksud sud den denan an ukura ukuran n di+ersi di+ersi 2. A+a sa)aka sa)aka! ! )enis)e )enis)enis nis ukura ukuran n di+ersi di+ersi a0sol a0solut ut 3. A+a sa)aka sa)aka! ! )enis) )enis)eni eniss ukuran ukuran di+e di+ersi rsi relati relatiff 4. A+ak A+aka! a! *an *an dima dimaks ksud ud den denan an keme kemence ncen nan an atau atau keco kecond ndon ona an n
keruncinan serta 0ilanan 9score serta 0aaimana 0entuk0entuk +ersamaan+ersamaan +entinn*a 0. #u1uan 1uan Penu Penulis lisan an 1. ntuk ntuk meneta meneta!ui !ui +ene +enertia rtian n ukuran ukuran di+ersi di+ersi 2. ntuk meneta!ui meneta!ui )enis)enis )enis)enis ukuran ukuran di+ersi di+ersi a0solut a0solut 3. ntuk meneta!ui meneta!ui )enis)enis )enis)enis ukuran ukuran di+ersi di+ersi relatif 4. ntuk meneta!ui meneta!ui +ener +enertian tian serta serta +ersamaan+er +ersamaan+ersamaan samaan +entin +entin dari
kemencenan atau kecondonan keruncinan serta 0ilanan 9score D. Man,a Man,aat at Penul Penulisa isan n
1
. :ai +enulis B Mem+erdalam wawasan dan +eneta!uan menenai
materi tentan ukuran di+ersi *an meli+uti +enertian dis+ersi )enis )enis
ukuran
dis+ersi
koefisien
%ariasi
kemencenan
atau
kecondonan keruncinan serta 0ilanan 9 79score8. '. :ai Ma!asiswa+ela)ar B e0aai sum0erliterature dalam mem+erda
lam materi statistika dasar menenai ukuran dis+ersi.
$!$ II Pe/2ahasan !. Pen+ertian Dipersi
kuran dis+ersi atau ukuran %ariasi adala! ukuran *an men*atakan se0era+a )au! nilainilai data *an 0er0eda dari nilai +usatn*a atau ukuran *an men*atakan se0era+a 0an*ak nilainilai data *an 0er0eda dari ukuran +usatn*a. kuran dis+ersi +ada dasarn*a meru+akan +elenka+ dari ukuran +usat dalam menam0arkan sekum+ulan data. Denan ukuran dis+ersi +enam0aran data akan le0i! te+at dan )elas. Funsi ukuran dis+ersiB 2
• •
Menun)ukkan tini renda!n*a +en*im+anan antar data. Menea!ui dera)at +er0edaan antar data.
$. Jenis 3 Jenis Ukuran Dipersi a. Jan+kauan (an+e4 )
ane adala! selisi! antara nilai ter0esar dan nilai terkecil dari data *an tela! disusun 0erurutan. Cara mencari )ankauan di0edakan antara data tunal dan data 0erkelom+ok. 1. @ankauan data tunal
R= X max − X min
Conto! ane B I lima oran anota keluara adala! B 1<& 112 12# 11& dan 113. ,entukan rentann*aE @awa0B entandari 5 I terse0ut adala!B R= X max − X min
R=127 1<& 1'
2. @ankauan data 0erkelom+ok "ada data 0erkelom+ok ditentukan dari selisi! te+i atas kelas tertini denan te+i 0awa! kelas terenda! atau+un denan selisi! titik tena! kelas tertini dan titik tena! kelas terenda!. Conto! B ,entukan )ankauan dari distri0usi frekuensi 0erikutE $ilai )ian 31 4< 41 5< 51 6< 61 #< #1 &< &1 '< '1 1<< @umla!
Frekuensi 7f8 1 2 5 15 25 2< 12 &<
3
,itik ,ena! 7G8 355 455 555 655 #55 &55 '55
"en*elesaianB ,itik tena! kelas terenda! 355 ,itik tena! kelas tertini '55 ,e+i 0awa! kelas terenda! 3<5 ,e+i atas kelas tertini 1<<5 Maka B 1. @ankauan '55 H 355 6< 2. @ankauan 1<<5 H 3<5 #<
2. Jan+kauan Kuartil -an Jan+kauan Se/i Interkuartil @ankauan antarkuartil adala! selisi! antar kuartil atas 7Q38 dan kuatil 0awa! 7Q18. Dirumuskan B
JK =Q3− Q1 @ankauan semi interkuartil aau sim+anan kuartil adala! setena! dari selisi! dari selisi! kuartil atas 3 denan kuartl 0awa! 1. DirumuskanB Q
(¿ ¿ 3− Q 1) Qd =
1 2
¿
umusrumus di atas 0erlaku untuk data tunal dan kelom+ok.
1. Data ,unal i 7 n + 18
4
i n 0an*ak data i 12 atau 3 Conto! soal B ,entukan )ankauan antarkuartil dan )ankauan semi interkuartil dari B 26&54'12 "en*elesaianB 1 4 3 '
4
Maka B @= 3 H 1 ' 4 5
Q
(¿ ¿ 3− Q1) 1
Qd= ¿
1
¿ ( 9 −4 ) 25 2
2
2. Data :erkelom+ok in
− F 4 f
i ,0 J
.+
=et B i kuartil kei 7i1238 $
Kf )umla! data
F
)umla! frekuensi se0elum kelas kuartil kei
f
frekuensi kelas kuartil kei
+
+an)an kelas
,0 ,e+i 0awa! kelas kuartil kei
Contoh soal:
,entukan )ankauan antarkuartil dan )ankauan semi interkuartil distri0usi frekuensi 0erikutB ,A:/? 1. $ilai statistik &< ma!asiswa uni%ersitas :oro0udur semester II )urusan Mana)emen 1''4
5
"ilai
&rekuensi (,)
3< H 3'
2
4< H 4'
3
5< H 5'
5
6< H 6'
14
#< H #'
24
&< H &'
2<
'< H ''
12
@umla!
Q1=Tb + . p
"en*elesaian B
¿ 59,5 +7,14 =66,64 Q3=Tb + . p
¿ 79,5 +
&<
¿ 59,5 +
20 − 10 14
60 − 48 20
¿ 79,5 + 6 =85,5 .10
6
.10
Maka B
JK =85,5 − 66,64 =18,86 1
Qd = ( 85,5 − 66,64 )= 9,43 2
@ankauan antarkuartil da+at diunakan untuk menemukan adan*a data +encilan *aitu data *an diana+ sala! catat atau sala! ukur atau 0erasal dari kasus *an men*im+an
L=1,5 X JK PD =Q1− L PL=Q3+ L =eterananB ? satu lanka! "D +aar dalam "? +aar luar Conto! soal B elidikila! a+aka! terda+at data +encilandari data di 0awa! iniE 15 33 42 5< 51 51 53 55 62 64 65 6& #' &5 '# Penyelesaian: 1
5< dan 3 6&
@=
6&5< 1&
?
15L1& 2#
"D
5<2# 23
"?
6&J2# '5 "ada data diatas terda+at data 15 dan '# *an 0rarti kuran dari +aar dalam
7238 dan +aar luar 7'58. Denan demikian data 15 dan '# termasuk kedalam data +ecilan karena itu +erlu diteliti ulan.
5. De6iasi ata3ata (Si/pan+an ata3ata)
De%iasi ratarata *aitu nilai ratarata !itun dari !ara mutlak sim+anan sim+anann*a. Cara mencari de%iasi ratarata ada 2 data tunal dan data 0erkelom+ok. . De6iasi rata3rata -ata tun++al 1
DR = ∑ ∣ X − X A ∣= n
∑| X − X | n
Conto! soalB ,entukan de%iasi ratarata dari 236&11 "en*elesaianB atarata !itun
X =
2 + 3 + 6 + 8 + 11 5
=6
∑| X i − X |=|2− 6|+|3 −6|+|6− 6|+|8 −6|+|11−6|=14
∑| X i− X | D
n
14
5
2&
'. De6iasi rata3rata untuk -ata 2erkel7/p7k 1
DR = ∑ f ∣ X − X A ∣= n
∑ f | X − X | n
Conto! soalB ,entukan de%iasi ratarata dari distri0usi frekuensi +ada ,a0el 0erikut E #in++i $a-an (5/)
&
* 8 **
2
*9 8 *
4
9 8 9*
1<
99 8 9
14
; 8 ;*
12
;9 8 ;
5
< 3 <*
3
Ju/lah
5<
"en*elesaianB Dari ta0el data terse0ut. dida+at
X
15##. Denan nilai itu da+at di0uat ta0el
#in++i $a-an (5/)
=
&
∣ X − X A ∣
* 8 **
142
2
15#
314
*9 8 *
14#
4
1<#
42&
9 8 9*
152
1<
5#
5#
99 8 9
15#
14
<#
'&
; 8 ;*
162
12
43
516
;9 8 ;
16#
5
'3
465
< 8 <*
1#2
3
143
42'
Ju/lah
5<
2&2
DR =
¿
282 50
− , ∣ X X A ∣
∑ f | X − X | n
=5,64
-. Varians
(arians adala! nilai tena! kuadrat sim+anan dari nilai tena! atau sim+anan ratarata kuadrat. ntuk %arians sam+el disim0olkan 2
+o+ulasi di sim0olkan
σ
70aca sima8.
s
2
. ntuk
1. (arians data tunal ntuk sam+el 0esar 3< 7n3<8 •
∑ ( x −´ x ) s= n
2
2
atau
( )
2
∑ X ∑ X − s= n n 2
•
ntuk sam+el kecil 7nN3<8
∑ ( x −´ x ) s= n −1
2
2
atau ∑ X
¿ ¿ ¿2 ¿
2
∑ X +¿ s= n −1 2
Conto! soalB ,entukan %arians dari data 236&11 "en*elesaian B X − X
X 2 3 6 & 11 3<
4 3 < 2 5
2
Σ ( X − X ) s= n− 1
( X − X )2
54
2
=
5 −1 = 13,5
16 ' < 4 25 54
2
X
4 ' 36 64 121 234
( Σ X )
2
Σ ( X − X ) s= n− 1
2
2
234
5 −1
2
n ( n− 1 )
( 30 ) 2 5 ( 5 −1 ) 135
2. (arians ntuk data 0erkelom+ok B Ada 3 metode *an diunakan *aitu Metode 0iasa •
a8 ntuk sam+el 0esar 7n
¿ 3<8
´) ∑f ( X − X s= n
2
2
30 08 ntuk sam+el kecil 7n ≤ 8
´) ∑f ( X − X s= n−1
2
2
•
Metode anka kasar a8 ntuk sam+el 0esar 7n
¿ 3<8
( )
2
∑f X ∑ fX − s= n n 2
2
08 ntuk sam+el 0esar 7n ≤ 30 8 2 ∑f X ( ∑ fX ) − s= n−1 ( n −1 ) n 2
2
•
Metode codin a8 ntuk sam+el 0esar 7n
∑ f u ( ∑ fu ) − s =C n n 2
2
2
2
¿ 3<8
08 ntuk sam+el 0esar 7n ≤ 30 8 2
2 ( ∑ fu) ∑f u − s =C n−1 n ( n−1 ) 2
2
=eterananB C "an)an inter%al kelas u
d C
X − M C
M ratarata !itun sementara
Conto! soal B ,entukan %arians dari distri0usi frekuensi 0erikut ,a0el 2. "enukuran diameter +i+a Dia/eter (//)
&rekuensi
65 6#
2
6& #<
5
#1 #3
13
#4 #6
14
## #'
4
&< &2
2
@umla!
4<
"en*elesaian B 718 Denan Metode 0iasa
´ =¿ X #3425 Dia/eter
=
&
´ X − X
´ )2 ( X − X
´) f ( X − X
(//) 65 6#
66
2
#425
55131
11<262
6& #<
6'
5
4425
1'5&1
'#'<5
#1 #3
#2
13
1425
2<31
264<3
#4 #6
#5
14
15#5
24&1
34#34
2
## #'
#&
4
45#5
2<'31
&3#24
&< &2
&1
2
#5#5
5#3&1
114#62
@umla!
4<
114#'<
´) ∑f ( X − X s= n
2
2
¿
467,790 40
=11,694
728 Denan Metode Anka =asar Dia/eter
=
&
X
fX
fX
65 6#
66
2
4356
132
6& #<
6'
5
4#61
345
23&<5
#1 #3
#2
13
51&4
'36
6#3'2
#4 #6
#5
14
5625
1<5<
#<
## #'
#&
4
6<&4
312
24336
&< &2
&1
2
6561
162
13122
@umla!
4<
2'3#
21611#
¿
40
2
( )
2
2
∑f X − ∑ fX s= n n 2
216117
2
( )
−
2937
2
40
¿ 5402,925 −539,231 =11,694 738 Denan Metode codin 2
❑
2
Dia/eter
=
&
u
u
65 6#
66
2
3
'
6
1&
6& #<
6'
5
2
4
1<
2<
#1 #3
#2
13
1
1
13
13
fu
fu
#4 #6
#5
14
<
<
<
<
## #'
#&
4
1
1
4
4
&< &2
&1
2
2
4
4
&
@umla!
4<
21
63
∑ f u ( ∑fu ) − s =C n n 2
2
2
2
2
¿3
63 40
−
(−21 )2 40
¿ 9 ( 1,575 )−0,276 =11,694 3. (arians a0unan Misalkan terda+at k bua h subsampe . @ika su0sam+elsu0sam+el dia0un men)adi se0ua! sam+el 0erukuran n 1J n2 J O nk n maka %arians a0unann*a adala! B
( n −1 ) s + ( n −1 ) s + " +( nk − 1) s k s !ab= ( n + n + " + n k )−k 1
2
2 1
2 2
2
1
2
2
2
s !ab
∑ ( n−1 ) s ∑ n −k
2
Conto! soal : >asil +enamatan ter!ada+ 2< o0)ek menda+atkan s4. "enamatan ter!ada+ 3< o0)ek menda+atkan s5. :era+aka! %arians a0unann*a "en*elesaian B
s
2
!ab
=
( 20−1 ) 16 + ( 30 −1 ) 25 ( 20 + 30 )−2
¿
304 + 725 48
=21,44
e. Si/pan+an $aku (Stan-ar De6iasi)
im+anan 0aku adala! akar dari tena! kuadrat sim+anan dari nilai tena! atau akar sim+anan ratarata kuadrat atau sim+anan 0aku adala! suatu nilai *an menun)ukkan tinkat 7dera)at8 %ariasi atau kelom+ok data atau ukuran standar +en*im+anan dari meann*a. s
√ #a$ians
Cara mencari sim+anan 0aku di0edakan men)adi 2B •
1. Si/pan+an 2aku -ata tun++al Metode 0iasa n > 30 8 a) ntuk sam+el 0esar 7
√
´) ∑ ( X − X s= n
2
2) ntuk sam+el kecil 7
√
´) ∑ ( X − X s= n −1
•
Metode anka kasar 7
n ≤ 30
8
2
n ≤ 30
8
n > 30 8 a) ntuk sam+el 0esar 7
√
2
( )
∑ X ∑ X − s= n n
2
2) ntuk sam+el kecil 7
√
2
2
∑ X ∑ X s= − n − 1 n ( n− 1 ) Conto! soalB
n ≤ 30
8
,entukan sim+anan 0aku dari data 2 3 6 & 11 Penyelesaian: Dari +er!itunan di+erole! %arians 7s 28135 Denan demikian sim+anan 0akun*a adala! s
√ #a$ians
¿ √ 13,5 =3,67
'. Si/pan+an 2aku -ata 2erkel7/p7k Metode 0iasa n > 30 a) ntuk sam+el 0esar 7 8
•
X − X ¿
2
¿
∑ f ¿
¿
s= √ ¿ 2) ntuk sam+el kecil 7
n ≤ 30
8
2
X − X ¿
¿
∑ f ¿
¿ s= √ ¿
•
Metode Angka kasar a) ntuk sam+el 0esar 7
n > 30
8
√
( )
2
∑fX ∑fX − s= n n 30 2) ntuk sam+el kecil 7 n ≤ 8 2
∑ fX ¿
¿ ¿
2
∑ fX −¿ n− 1 s= √ ¿
2
Metode Codin
•
a) ntuk sam+el 0esar 7
n > 30
8
∑ fu 2 ¿ n 2 ∑ fu −¿ n s=C √ ¿ n ≤ 30 8 2) ntuk sam+el kecil 7 ∑ fu ¿
2
¿ ¿
2
∑ fu −¿ n −1 s=C √ ¿ =eteranan B C "an)an inter%al kelas u
d C
X − M C
M ratarata !itun sementara Conto! soalB ,entukan sim+anan 0aku dari distri0usi frekuensi 0erikut 7unakan ketia rumus8E ,a0el 3. :erat 0adan 1<< ma!asiswa uni%ersitas G ta!un 2<13 :erat :adan 7k8
Frekuensi 7f8
4<44
&
455'
12
5<54
1'
555'
31
6<64
2<
656'
6
#<#4
4
@umla!
1<<
Penyelesaian: 7a8 Denan metode 0iasa
X
$erat
f
fX
X − X
X − X ¿
2
¿
X − X ¿ f ¿
$a-an
4<44
42
&
336
13&5
1'1&225
1.5345&
455'
4#
12
564
&&5
#&3225
'3'&#
5<54
52
1'
'&&
3&5
14&225
2&163
555'
5#
31
1.#6#
115
13225
4<''
6<64
62
2<
1.24<
615
3#&225
#5645
656'
6#
6
4<2
1115
1243225
#45'4
#<#4
#2
4
2&&
1615
26<&225
1.<432'
1<<
5.5&5
@umla!
X =
¿
2
5.342#5
∑ f X ∑ f
5.585 100
X − X ¿
=55,85 2
¿
∑ f ¿
¿ s= √ ¿
¿
√
5.342,75 100
=7,31
708 Denan metode anka kasar :erat :adan
X
f
fX
4<44
42
&
455'
4#
5<54 555'
2
2
X
fX
336
1.#64
14.112
12
564
2.2<'
26.5<&
52
1'
'&&
2.#<4
51.3#6
5#
31
1.#6#
3.24'
1<<.#1'
6<64
62
2<
1.24<
3.&44
#6.&&<
656'
6#
6
4<2
4.4&'
16.'34
#<#4
#2
4
2&&
5.1&4
2<.#36
1<<
5.5&5
@umla!
√
2
31#.265
( )
2
∑f X − ∑ fX s= n n
¿
√
317.265 100
−
( ) = 5.585
2
100
7,31
7c8 Denan metode codin 2
2
:erat :adan
X
f
u
u
fu
fu
4<44
42
&
3
'
24
#2
455'
4#
12
2
4
24
4&
5<54
52
1'
1
1
1'
1'
555'
5#
31
<
<
<
<
6<64
62
2<
1
1
2<
2<
656'
6#
6
2
4
12
24
#<#4
#2
4
3
'
12
36
23
21'
@umla!
∑ fu 2 ¿ n 2 ∑ fu −¿ n s=C √ ¿
−23 100
¿2
¿ 219 −¿ 100 ¿ 5 √ ¿
1<<
>. Si/pan+an 2aku +a2un+an
Denan cara menarik akar dari %ariasi a0unan.
% !ab= √ % !ab 2
Dalam 0entuk rumus sim+anan 0aku a0unan dituliskan B
% !ab=
( n −1 ) %1 + ( n −1 ) % 2+ " +( n−1 ) %1 ∑ ( n−1 ) s = ( n1 + n2 + " + nk ) −k ∑ n− k
s !ab=
∑ ( n −1 ) s ∑ n −k
Conto! soal B )ika diketa!uiB
n1=100 dan s1=5,08 n2=50 dan s2= 2,32 ,entukan sa0E Penyelesaian:
% !ab=
( n −1 ) s + ( n −1 ) s ( n + n )−k 1
1
1
¿
2
2
2
( 100 −1 ) 5,08 + (50 −1 ) 2,32 = 4,166 ( 100+ 50 )−2
0. KOE&ISIE" V!I!SI
@enis
kuran dis+ersi
*an tela!
di)elaskan
meru+akan
dis+ersi
a0solut*an !an*a da+at meli!at +en*im+anan +ada satu kum+ulan data sa)a.
Maka untuk mem0andinkan +en*im+anan +ada 0e0era+a kum+ulan data diunakanla! dis+ersi relatif *aitu +er0andinan dis+ersi a0solut dan rataratan*a.
Dispe$si$ea&if =
Dispe$siabs'u& Ra&a− $a&a
a. K7e,isien Variasi ( KV )
@ika dis+ersi a0solut diantikan denan sim+anan 0akun*a maka dis+ersi relatifn*adise0ut koefisien variasi (KV).
K( =
s ) 100 ´ X
Conto! soal B Dari !asil +enelitian ter!ada+ kualitas tima! +uti! di "ulau A dan "ulau : di+erole! data se0aai 0erikutB
´ A =60.000 psi* s A =30 X ´ A =53.000 psi* s A =25 X a8 ,entukan koefisien (ariasi masinmasinE 08 Di "ulau manaka! tima! *an +alin 0aus kualitasn*a Penyelesaian:
s A a) KV A
´ A L 1<
KV B
´ + L 1<
30 60.000
L 1<
25 53. 000
L 1<
08 @adi %ariasi kualitas tima! *an +alin 0aus adala! di "ulau A 2. Variasi Jan+kauan (VR)
Dis+ersi relatif *an dis+ersi a0solutn*a diantikan denan )ankauan.
(R=
R ) 100 ´ X
5. Variasi Si/pan+an ata3ata (VSR)
Dis+ersi relatif *an dis+ersi a0solutn*a diantikan denan sim+anan rata Hrata
(%R=
%R ) 100 ´ X
-. Variasi ?uartil (VQ)
Dis+ersi relatif *an dis+ersi a0solutn*a diantikan denan kuartil.
Q D (Q = ) 100 ´ Me (Q =
Q3 − Q 1 Q 3+ Q 1
) 100
Conto! soal B Dua +erusa!aan *aitu MA=M dan /@A>,/A memiliki 5< kar*awan. ntuk ke+erluan +enelitian menenai %ariasi a)i kar*awan diam0il sam+el se0an*ak # oran setia+ +erusa!aan denan a)i masinmasin 7dalam ri0uan ru+ia!8B 3<< 25< 35< 4<< 6<< 5<< 55< dan 2<< 45< 25< 3<< 35< #5< 5<<. a8 ,entukan dis+ersi relatif +erusa!aan terse0utE 08 "erusa!aan mana *an memiliki %ariasi a)i le0i! 0aik Penyelesaian: Misalkan +erusa!aan Makmur G dan "erusa!aan /@A>,/A -.
´ A = X
a8
∑ X A
∑´X A
√
n 2
=
2950 7
= 421,43
1.34#.5<< 2
2 ( ∑ X ) ∑ X − s A = n− 1 n ( n − 1 )
¿
√
1.347 .500 6
( 2950 )2 − =131,836 7 ( 7− 1 )
´ += X
∑ X +
∑´X +
s+=
n 2
= 2800 = 400 7
1.33<.<<<
√
1.330 .000 6
( 2800 )2 − =187,08 7 (7 − 1 )
08 (ariasi a)i di +erusa!aan : le0i! 0aik dari %ariasi a)i di +erusa!aan A.
D. KEME"0E"%!" !#!U KE0O"DO"%!"
Meru+akan ke)au!an simetri dari se0ua! distri0usi. Distri0usi *an tidak simetris akan memiliki ratarata median dan modus *an tidak sama 7
´ , M e , M X 8. e!ina distri0usi akan terdistri0usi +ada sala! satu sisi dan kur%an*a akan mencen. @ika distri0usi memiliki ekor *an le0i! +an)an kekanan dari+ada kekiri maka distri0usi terse0ut akan mencen ke kanan 7 kemencenan +ositif8 )ika ekor distri0usi le0i! +an)an kekiri dari+ada ke kanan maka distri0usi terse0ut akan mencen ke kiri atau memiliki kemencenan neatif. Data *an 0aik adala! data *an memliliki kemencenan simetri karena data terse0ut le0i! muda! untuk diola!. Ada 3 kemunkinan kesimetrian kur%a distri0usi data B 18 @ika nilai ketian*a sama maka kur%an*a 0er0entuk simetri. 28 @ika Mean Med Mod maka kur%a mirin ke kanan. 38 @ika Mean Q Med Q Mod maka kur%a mirinke kiri.
ntuk meneta!ui se0ua! distri0usi mencen ke kanan atau kekiri diunakan 0e0era+a metodemetode 0erikut.
a. K7e,isien Ke/en5en+an Pears7n
=oefisien =emencenan "earson meru+akan nilai selisi! ratarata denan modus di0ai sim+anan 0aku. DirumuskanB
sk =
X − M' s
=eteranan B
sk =oefisien =emencenan "earson ecara em+iris dida+atkan !u0unan antara nilai +usat se0aaiB
X − M' =3 ( X − Me )
Makarumus kemencenan di atas da+at diru0a! men)adiB
sk =
3 ( X − Me )
s
@ika nilai sk di!u0unkan denan keadaan kur%a makaB 18 sk
¿ < . kur%a 0er0entuk simetris
¿ 0 . kur%a mencen ke kanan ¿ 0 kur%a mencen ke kiri 38 sk 28 sk
Conto! soal 1 B Di0erikan data tini 0adan ma!asiswa,entukan 0esarn*a kemencenan kur%a dari data 0erikutB
kuran data dari ta0el frekuensi terse0ut adala! Mean 1<'6 Median 1<& Modus 1<5 De%iasi standar '26 kuran kemencenan "earson adala!@1<'61<5 46. =oefisien kemencenan 7C=8 adala! B 46B'26 <5
Conto! soal 2 B =oefisien kemirinan kur%a distri0usi frekuensi dari !asil +en)ualan suatu 0aran *an mem+un*ai nilai ratarata + 516.<<<<< modus + 435.<<<<
sk =
X − M' s
516.000,00 −435.000,00 150.000
Conto! soal 3B
=0,54
2. K7e,isien Ke/en5en+an $7AleB ? > C 2? 2 + ?1 skb
@
? > 3 ?)
=eterananB Sk b =oefisien =emencenan :owle* 1 kuartil +ertama 2 kuartil kedua 3 kuartil ketia 1. @ika 3 2 2 1atau 3 J 1 22 < maka R < dan distri0usi datan*a simetri
2. @ika 1 2 maka R 1 dan distri0usi datan*a mirin ke kanan 3. @ika 2 3maka R 1 dan distri0usi datan*a mirin ke kirI
Penyelesaian: 1 1<2#1 2 1<& 3 116
sk b=
¿
Q 3− 2 Q 2+ Q 1 Q3−Q1
116− 2 ( 108)+ 102,71 116− 102,71
=0,204
=arena sk0 +ositif maka kur%a mencen ke kanan denan kemencenan *an tidak 0erarti. 5. K7e,isien Ke/en5en+an Persentil
=oefisien kemencenan +ersentil didasarkan atas !u0unan antar+ersentil 7"'< "5< "1<8 dari se0ua! distri0usi . =oefesien ini dirumuskanB
P P
(¿ ¿ 90 − P50)−
(¿ ¿ 50− P10 ) P50− P10
¿ sk p =¿
P (¿ ¿ 90 −2 P50 + P10) P50 − P10 sk p=¿ =eteranan B
sk p
=oefisien kemencenan +ersentil
P= +ersentil -. K7e,isien ke/en5en+an /7/en
=oefisien =emencenan Momen didasarkan +ada +er0andinan momen ke3 α 3
denan +ankat 3 sim+anan 0aku. =oefisien ini dilam0ankan denan
.
=oefisien =emencenan Momen dise0ut )ua kemencenan relatif. 1. R3 < maka distri0usi datan*a simetri 2. R3 Q < maka distri0usi datan*a mirin ke kiri 3. R3 < maka distri0usi datan*a mirin ke kanan 4. menurut =arl "earson distri0usi denan R3
¿ S <5< adala! distri0usi
sanat mencen. 5. Menurut =enne* and =ee+in nilai R 3 0er%ariasi antara S 20ai distri0usi *an sanat mencen. ntul mencari R3 di0edakan antara data tunal dan data 0erkelom+okB . Untuk -ata tun++al 1 3
M n / 3= 3 = s / 3
∑ ( X − X )
koefisien kemencenan
M3 momen ketia menukur kemencenan
3
s
3
sim+anan 0aku n 0an*akn*a data +enamatan Gi data frekuensi kei '. Untuk -ata 2erkel7/p7k 1 3
M n / 3= 3 = s
∑ ( X − X ) . f 3
s
3
Atau 3
(
3
( )( ) ( ) ) 2
C ∑fu −3 ∑ f u / 3= 3 = n n s
∑ fu + 2 ∑ fu n n
3
E. KEU"0I"%!" (KU#OSIS)
=eruncinan adala! tinkat ke+uncakan dari suatu distri0usi *an diam0il secara relatif ter!ada+ suatu distri0usi normal. =urtosis terdiri dariB 1. ?e+tokurtis +uncak kur%a relatif tini 2. Mesokurtis +uncak kur%a normal 3. "latikurtis +uncak kur%a renda!
a. K7e,isien Kerun5in+an
Dilam0ankan denan
/ 4
. @ika !asil +er!itunan koefisien keruncinan
di+erole!B 1. @ika R4 3 maka 0entuk kur%a le+tokurtis 7meruncin8 2. @ika R4 3 maka 0entuk kur%a mesokurtis 7normal8 3. @ika R4Q 3 maka 0entuk kur%a +latikurtis7mendatar8 ntuk mencari nilai atau koefisien keruncinan di0edakan antara data tunal dan data 0erkelom+ok.
. Untuk -ata tun++al 1
/ 4=
n
∑ ( X − X ) s
4
4
'. Untuk -ata 2erkel7/p7k 1
/ 4=
n
∑ ( X − X ) f 4
s
4
Atau 4
(
4
( )( ) ( )( ) ( ) )
C ∑fu −4 ∑ f u / 4= 4 = n n s
@awa0 B
3
∑ fu +6 ∑ f u n n
2
2
∑ fu −3 ∑ fu n n
4
2. K7e,isien Kurt7sis Persentil =oefisien =urtosis "ersentil dilam0ankan denan K 7ka++a8. ntuk
distri0usi normal nilai K <263. =oefisien ini dirumuskanB 1
❑ Q −Q ) ( 2 3
K =
Keteran+an:
@ika
nilai k <263 kur%a le+tokursis $ilai k Q<263 kur%a +latikurtis $ilai k<263 kur%a mesokurtis
1
P 90− P10
07nt7h s7al:
Dari sekelom+ok data *an disusun dalam ta0el distri0usi frekuensi diketa!ui nilai 15524 3 #364 " 1< 445 " '< &25. :esarn*a koefisien kurtosis data terse0ut adala!...
&. $IL!"%!" Z ( Z SCORE )
$ilai standar 7 Z-sore8 adala! suatu 0ilanan *an menun)ukkan se0era+a )au! se0ua! nilai menta! men*im+an dari rataratan*a dalam suatu distri0usi data denan satuan D. Denan demikian nilai standar tidak lai terantun +ada satuan +enukuran se+erti cm k ru+ia! detik dan se0aain*a atau meru+akan +er0edaan antara raw score 7skor asli8 denan ratarata denan menunakan unit unit sim+anan 0aku untuk menukur +er0edaan terse0ut. umus Tscore B X − X 0 = s DimanaB
T
$ilai standar
G
$ilai menta! *an akan dicari nilai standarn*a
X s
atarata distri0usi tandar de%iasi distri0usi
Mena+a Tskor +entin Tskor meru+akan +er!itunan *an serin di+akai karena rumusrumus statistik +arametrik diturunkan denan menunakan asumsi 0a!wa distri0usi suatu +o+ulasi 0erdistri0usi normal
Denan demikian maka transformasi ke Tskor meru+akan cara seder!ana dan 0aik untuk analisis +arametrik. 07nt7h s7al :
@ika diketa!ui se0aran nilai statistik dari 1<<< oran ma!asiswa ni%ersitas "ad)ad)aran dalam 5 ta!un terak!ir 0erdistri0usi normal denan nilai ratarata #< dan sim+anan 0aku 1< maka !itunla!B 1. @umla! ma!asiswa *an menda+at nilai statistik antara 65 sd #5E 2. @umla! ma!asiswa *an menda+at nilai le0i! 0esar dari &
Cari "eluann*a denan menunakan ,a0el :ilanan 9
@umla! ma!asiswa *an menda+at nilai statistik antara 65 sd #5 adala! sama denan @umla! "eluan *an menda+at nilai 65 dari 1<<< ma!asiswa ditam0a! @umla! "eluan *an menda+at nilai #5.
@adi )umla! ma!asiswa *an menda+at nilai statistik antara 65 sd #5 adala! >> oran.
@umla! ma!asiswa *an menda+at nilai le0i! 0esar dari &< adala! )umla! +eluan *an di0atasi ole! nilai le0i! 0esar dari 7 &<8B Atau di0ulatkan men)adi >* oran *an menda+atkan nilai &< 7li!at model rafik diatas8
Dari U4<< oran ma!asiswa *an menda+at nilai tertini denan menunakan ta0le 9score dan +er!itunan diatas maka nilai tertenda! dari mereka adala! '.. "er!itunann*a dari oran maka +eluann*a 7li!at ta0le !-sore8 mendekati <.3''# dari 1<<< +o+ulasi *an ada dan diketa!ui nilai 9n*a 1.2& Maka )ika 9 dirumuskan denan ! i 7Li H L8s maka dida+atkan Li H L 9 dikali denan s. 7li!at cara !itun diatas8
Dari 3<< oran *an nilain*a terenda! untuk meneta!ui nilai tertini dari mereka da+at menunakan ta0le 9score dan dari U3<< oran maka +eluann*a 7li!at ta0le !-sore8 mendekati <.2''6 dari 1<<< +o+ulasi *an ada dan diketa!ui nilai ! n*a <.&4 $ilai 78 di0erikan karena +osisin*a 0erada dise0ela! kiri dari nilai ratarata ("ean). Denan demikian 7li!at +er!itunan diatas8 maka dari 3<< ma!asiswa *an nilain*a terenda! maka nilai tertini mereka adala! ;.;.
Conto! soal 2B uatu kelom+ok data mem+un*ai nilai ratarata 43. Denan sim+anan 0aku 53'. @ika sala! satu datan*a0ernilai 5<. n*atakan dalam nilai standarE Penyelesaian: # i 5<
X 43 s 53'
0 =
X − X 50− 43 = =1,299 s 5,39 :A: III "enutu+
A. =esim+ulan 18 kuran dis+ersi atau ukuran %ariasi adala! ukuran *an men*atakan se0era+a )au! nilainilai data *an 0er0eda dari nilai +usatn*a atau ukuran *an men*atakan se0era+a 0an*ak nilainilai data *an 0er0eda dari ukuran +usatn*a. 28 Dis+ersi a0solut terdiri dari B a. @arakrentanrane 0. entan antar kuatilnterVuartile c. uartile de%asi d. Mean de%iation e. im+anan 0aku Dis+ersi relatif terdiri dari B =oefisien %ariasi 38 a. =emencenan B Meru+akan ke)au!an simetri dari se0ua! distri0usi. Distri0usi *an tidak simetris akan memiliki ratarata median dan modus
´ *an tidak sama 7 X , M e , M - 8. e!ina distri0usi akan terdistri0usi +ada sala! satu sisi dan kur%an*a akan mencen. 0. =eruncinan B tinkat ke+uncakan dari suatu distri0usi *an diam0il secara relatif ter!ada+ suatu distri0usi normal. c. $ilai standar 7 Z-sore8 adala! suatu 0ilanan *an menun)ukkan se0era+a )au! se0ua! nilai menta! men*im+an dari rataratan*a dalam
suatu distri0usi data denan satuan D. Denan demikian nilai standar tidak lai terantun +ada satuan +enukuran se+erti cm k ru+ia! detik dan se0aain*a atau meru+akan +er0edaan antara raw score 7skor asli8 denan ratarata denan menunakan unitunit sim+anan 0aku untuk menukur +er0edaan terse0ut.
:. aran Di!ara+kan ke+ada temanteman su+a*a mem+ela)ari dan da+at menuasai materi menenai kuran Dis+ersi karena matei ini meru+akan sala! satu 0aian +entin dalam ilmu statistik *an memiliki manfaat una menun)ukkan tini renda!n*a +en*im+anan antar data.serta menea!ui dera)at +er0edaan antar data.
