UKURAN DISPERSI

UKURAN DISPERSI
PENGERTIAN DISPERSI
Ukuran dispersi atau ukuran variasi atau ukuran penyimpangan adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya.
Ukuran dispersi pada dasarnya adalah pelengkap dari ukuran nilai pusat dalam menggambarkan sekumpulan data. Jadi, dengan adanya ukuran dispersi maka penggambaran sekumpulan data akan menjadi lebih jelas dan tepat.

JENIS-JENIS UKURAN DISPERSI
Jangkauan (Range, R)
Jangkauan atau ukuran jarak adalah selisih nilai terbesar data dengan nilai terkecil data. Cara mencari jangkauan dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.

Jangkauan data tunggal
Bila ada sekumpulan data tunggal X1, X2 . . ., Xn maka jangkauannya adalah
Jangkauan= Xn- 1
Contoh soal:
Tentukan jangkauan data: 1, 4, 7, 8, 9, 11!
Penyelesaian:
X6 = 11 dan X1 = 1
Jangkauan = X6 – X1 = 11 - 1 = 10

Jangkauan data berkelompok
Untuk data berkelompok, jangkauan dapat ditentukan dengan dua cara. yaitu menggunakan titik atau nilai tengah dan menggunakan tepi kelas.
Jangkauan adalah selisih titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah.
Jangkauan adalah selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi bawah kelas terendah.
Contoh soal:
Tentukan jangkauan dari distribusi frekuensi berikut
Tabel 4.1

Penyelesaian:
Dari Tabel 4.1 terlihat:
Titik tengah kelas terendah = 142
Titik tengah kelas tertinggi = 172
Tepi bawah kelas terendah = 139,5
Tepi atas kelas tertinggi = 174,5
Jangkauan = 172 - 142 = 30
Jangkauan = 174,5 - 139,5 = 35

Jangkauan Antarkuartil dan Jangkauan Semi Interkuartil
Jangkauan antarkuartil adalah selisih antara nilai kuartil atas (Q3) dan kuartil bawah (Q1). Dirumuskan:
JK=Q3- Q1
Jangkauan semi interkuartil atau simpangan kuartil adalah setengah dari kuartil atas (Q3) dengan kuartil bawah (Q1). Dirumuskan:
Qd= 12Q3- Q1
Rumus-rumus di atas berlaku untuk data tunggal dan data berkelompok.
Contoh Soal:
Tentukan jangkauan antar kuartil dan jangkauan semi interkuartil dari data berikut :
2,4,6,8,10, 12,14
Penyelesaian :
Q1 = 4 dan Q3 = 12
JK = Q3 – Q1
= 12 – 4 = 8
Qd = ½ (12 – 4) = 4
Tentukan jangkauan antarkuartil dan jangkauan semi interkuartil distribusi frekuensi berikut :

Tabel 4.2 Nilai Statistik 80 Mahasiswa
Nilai
Frekuensi (f)
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
90 – 99
2
3
5
14
24
20
12
Jumlah
80

Penyelesaian:
Q1 = B1+ n4- f1ofQ1 ×C
= 59,5+ 20- 1014 ×10
= 59,5+7,14=66,64
Q3 = B3+ 3n4- f3ofQ3 ×C
= 79,5+ 60- 4820 ×10
= 79,5+6=85,5
JK = 85,5-66,64=85,5
Qd= 12 85,5-66,64=9,43
Jangkauan antar kuartil (JK) dapat digunakan untuk menemukan adanya data pencilan, yaitu data yang berada diluar pagar dalam dan pagar luar. Data pencilan ini dapat terjadi karena ada kesalahan dari pencatatan atau salah ukur atau berasal dari kasus yang menyimpang.
L =1,5 ×JK
PD = Q1- L
PL = Q3+ L
Keterangan :
L = satu langkah
PD = pagar dalam
PL = pagar luar

Contoh soal:
Selidiki apakah terdapat data pencilan dari data dibawah ini
15, 33, 42, 50, 51, 51, 53, 55, 62, 64, 65, 68, 79, 85, 97
Penyelesaian :
Q1 =50 dan Q3 =68
JK =68-50
L = 1,5 ×18 =27
PD=50-27=23
PL =68+27=95

Pada data di atas terdapat nilai 15 dan 97 yang berarti kurang dari pagar dalam (23) atau lebih dari pagar luar (95). Dengan demikian, nilai 15 dan 97 termasuk data pencilan, karena itu perlu diteliti ulang. Adanya nilai 15 dan 97 mungkin disebabkan salah dalam mencatat, salah dalam mengukur, atau data dari kasus yang menyimpang.



Deviasi Rata-Rata (Simpangan Rata-Rata)
Deviasi rata-rata adalah nilai rata-rata hitung dari harga mutlak simpangan-simpangannya.

Deviasi rata-rata data tunggal
Untuk data tunggal, deviasi rata-ratanya dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
DR= 1n X- X= X- Xn

Contoh soal :
Tentukan deviasi rata-rata dari 2, 3, 6, 8, 11
Penyelesaian :
Rata-rata hitung= X = 2+3+6+8+115=6
Xi- X= 2-6 + 3-6+ 6-6+ 8-6+ 11-6=14
DR= Xi- Xn= 145=2,8

Deviasi rata-rata untuk data berkelompok
Untuk data berkelompok (distribusi frekuensi), deviasi rata-ratanya dapat dihitung dengan rumus:
DR= 1n f X- X= f X- Xn

Contoh Soal:
Tentukan deviasi rata-rata dari distribusi frekuensi pada tabel berikut :



Tabel 4.3 Temperatur selama sebulan adalah :
Interval Temperatur oF
Frekuensi (hari)
X
X- X
f X- X
-50 sampai -45,1
-45 sampai -40,1
-40 sampai -35,1
-35 sampai -30,1
-30 sampai -25,1
4
10
15
11
10
-47,55
-42,55
-37,55
-32,55
-27,55

11,3
6,3
1,3
3,7
8,7

45,2
63
19,5
40,7
87



50


255,4

DR= f X- Xn
= 255,450=5,108



Varians
Varians adalah nilai tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau simpangan rata-rata kuadrat. Untuk sampel, variansnya (varians sampel) disimbolkan dengan s2. Untuk populasi, variansnya (varians populasi) disimbolkan dengan 2 (baca: sigma).

Varians data tunggal
Untuk sampel besar (n > 30)
s2= X- X2n
Untuk sampel kecil (n 30)
s2= X- X2n-1

Contoh soal:
Tentukan varians dari data 2, 3, 6, 8, 11 !
Penyelesaian :
n = 5
X = 2+3+6+8+115 =6
X
X- X
X- X2
X2
2
3
6
8
11
-4
-3
0
2
5
16
9
0
4
25
4
9
36
64
121
30

54
234

s2= X- X2n-1

= 545-1 =13,5
Varians data berkelompok
Untuk sampel besar (n > 30)
s2= fX- X2n
Untuk sampel kecil (n 30)
s2= fX- X2n-1
Contoh soal:
Tentukan varians dari distribusi frekuensi berikut:
Tabel 4.4 Pengukuran Diameter Pipa
Diameter
Frekuensi
65 – 67
68 – 70
71 – 73
74 – 76
77 – 79
80 – 82
2
5
13
14
4
2
Jumlah
40

Penyelesaian:
X=73,425
Diameter
f
X
X- X
X-X2
fX-X2
65 – 67
68 – 70
71 – 73
74 – 76
77 – 79
80 – 82
2
5
13
14
4
2
66
69
72
75
78
81
-7,425
-4,425
-1,425
1,575
4,575
7,575
55,131
19,581
2,031
2,481
20,931
57,381
110,262
97,905
26,403
34,734
83,724
114,762
Jumlah
40
-
-
-
467,790

s2= fX- X2n
s2= 467,79040=11,694
Simpangan Baku (Standar Deviasi)
Simpangan baku adalah akar dari tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau akar simpangan rata-rata kuadrat. Untuk sampel, simpangan bakunya (simpangan baku sampel) disimbolkan dengan s. Untuk populasi, simpangan bakunya (simpangan baku populasi) disimbolkan (dibaca sigma). Variansnya tentulah s2 untuk sampel dan σ2 untuk varians populasi. Jelasnya s dan s2 merupakan statistik sedangkan dan σ2 merupakan parameter. Untuk nentukan nilai simpangan baku, caranya:
s= varians

Simpangan baku data tunggal
Untuk seperangkat data X1, X2, X3, .......Xn (data tunggal) simpangan bakunya dapat ditentukan dengan:
Untuk sampel besar (n > 30):
s= X-X2n
Untuk sampel kecil (n 30)
s= X-X2n-1






Contoh soal:
Diberikan sampel dengan data: 8, 7, 10, 11, 4
Tentukan simpangan bakunya.
Xi
Xi- X
Xi- X2
8
7
10
11
4
0
-1
2
3
-4
0
1
4
9
16

xi - x = 0
xi - x2= 30
Rata – rata X = 8
s = 304= 7,5=2,74

Simpangan baku data berkelompok
Untuk sampel besar (n > 30)
s= fX-X2n
Untuk sampel kecil (n 30)
s= fX-X2n-1






Contoh soal;
Tentukan simpangan baku
Tabel 4.5 Nilai ujian statistik 100 orang mahasiswa
Niali ujian
Frekuensi
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 - 74
8
12
19
31
20
6
4
Jumlah
100

Penyelesaian:
Nilai
f
X
fX
X- X
X- X2
fX- X2
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 - 74
8
12
19
31
20
6
4
42
47
52
57
62
67
72
336
564
988
1767
1240
402
288
-13,85
-8,85
-3,85
1,15
6,15
11,15
16,15
191,8225
78,3225
14,8225
1,3225
37,8225
124,3225
260,8225
1534,58
939,87
281,63
40,99
756,45
745,94
1043,29
Jumlah
100

5585


5342,75


X= fXf=5585100=55,85
s= fX-X2n= 5342,75100=7,31

KOEFISIEN VARIASI
Untuk membandingkan dispersi atau variasi dari beberapa kumpulan data digunakan istilah dispersi relatif, yaitu perbandingan antara dispersi absolut dan rata-ratanya. Dispersi relatif dirumuskan:

Dispersi relatif= Dispersi absolutRata-rata

Koefisien Variasi (KV)
Jika dispersi absolut digantikan dengan simpangan bakunya maka dispersi relatifnya disebut koefisien variasi (KV) Koefisien variasi dirumuskan:
KV= sX ×100%

Keterangan:
KV = Koefisien variasi
s = simpangan baku
X = rata-rata

Contoh soal:
Dari hasil sampling terhadap kandungan Ag dengan menggunakan channel sampling dan bulk sampling diperoleh data sebagai berikut :
Bulk sampling :
S= 57,99 g/t X = 78,274
Channel sampling :
S= 69,99 g/t X = 88,584
Tentukan koefisien variasi masing-masing
Metode sampling yang mana sebaiknya dilalakukan

Penyelesaian:
Bulk sampling
KV= SX ×100%=57,9978,274 ×100%= 74,085 %
Channel sampling

KV= SX ×100%=69,9988,584 ×100%= 79,01 %
Jadi variasi kadar Ag dengan menggunakan Channel sampling lebih besar daripada variasi kadar Ag dengan menggunakan Bulk Sampling
Sebaiknya menggunakan channel sampling untuk pengambilan sampel.

D. KEMENCENGAN ATAU KECONDONGAN
Kemencengan atau kecondongan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi.
Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke kiri maka distribusi disebut menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif. Sebaliknya, jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri daripada yang ke kanan maka distribusi disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif.
Berikut ini gambar kurva dari distribusi yang menceng ke kanan (menceng positif) dan menceng ke kiri (menceng negatif).



Gambar 4.1 Kemencengan distribusi (a) Menceng ke kekiri (b) Menceng ke kanan

Untuk mengetahui bahwa konsentrasi distribusi menceng ke kanan atau menceng ke kiri, dapat digunakan menggunakan metode koefisien kemencengan Person

Koefisien Kemencengan Pearson
Koefisien kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus dibagi simpangan baku. Koefisien kemencengan Pearson dirumuskan:
sk= X - Mos
Keterangan:
sk = koefisien kemencengan Person
Jika nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva maka:
sk = 0 —> kurva memiliki bentuk simetris;
sk > 0 —> nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kanan ( terletak di
sebelah kanan Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kanan, kurva menceng ke kanan atau menceng positif;
sk < 0 —> nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri ( terletak di
sebelah kiri Mo), sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kiri, kurva menceng ke kiri atau menceng negatif.
Contoh soal:
Berikut ini adalah frekuensi debit air sungai
Tabel 4.6 frekuensi debit sungai
Interval Kelas
(m3/s)
Frekuensi
(f)
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 –70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
4
3
5
8
11
7
2
Jumlah
40



Tentukan nilai sk dan ujilah
arah kemencengan
Gambarkan kurvanya




Penyelesaian:
Interval Kelas
(m3/s)
Titik Tengah (X)
Frekuensi
(f)
fX
X-X
X-X2
fX-X2
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 –70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
35,5
4
142
-32
1024
4096
45,5
3
136,5
-22
484
1452
55,5
5
277,5
-12
144
720
65,5
8
524
-2
4
32
75,5
11
830,5
8
64
704
85,5
7
598,5
18
324
2268
95,5
2
191
28
784
1568

4
3
5
8
11
7
2

142
136,5
277,5
524
830,5
598,5
191

-32
-22
-12
-2
8
18
28

1024
484
144
4
64
324
784

4096
1452
720
32
704
2268
1568

Jumlah

40
2700


10840




X = fXf= 270040=67,5
s = fX-X2n-1 =1084039=16,672
Me=B+ 12n- f2ofMe C=60,5+ 1240-128 ×10=60,5+10=70,5
Mo=L+d1d1+d2 C=70,5+44+5 ×10=70,5+4,44=74,94

a. sk= X - Mos=67,5-74,9416,672=-0,446
Dari hasil perhitungan diperoleh nilai sk -0,446, yaitu negative maka kurvanya menceng ke kiri atau menceng negatif.
Gambar kurva:

Gambar 4.2 Kurva menceng ke kiri untuk debit air sungai

KERUNCINGAN (KURTOSIS)
Keruncingan atau kurtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal.
Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam, yaitu sebagai berikut.
Leptokurtik
Leptokurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi.
Platikurtik
Platikurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar.
Mesokurtik
Mesokurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar.

Bila distribusinya merupakan distribusi simetris maka distribusi mesokurtik dianggap sebagai distribusi normal.


Gambar 4.3 Keruncingan Kurva
Ukuran yang sering digunakan untuk mengetahui keruncingan suatu distribusi adalah koefisien keruncingan

Koefisien Keruncingan
Koefisien keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan 4. (alpha 4). Jika hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh:
nilai lebih kecil dari 3 (<3) maka distribusinya adalah distribusi platikurtik:
nilai lebih besar dari 3 (>3) maka distribusinya adalah distribusi leptokurtik.
nilai yang sama dengan 3 (= 3) maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik.

Untuk mencari nilai koefisien keruncingan, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.
Untuk data tunggal
α4=1nX- X4s4
Contoh soal
Tentukan keruncingan kurva dari data kadar Au hasil pemboran
Lubang Bor
Kadar Au g/t
1
5,2
2
1,5
3
35,9
4
9,8
5
17,7

Penyelesaian:
X
X-X
X-X2
X-X4
5,2
1,5
35,9
9,8
17,7

-8,82
1,5
35,9
9,8
17,7

77,7924
2,25
1288,81
96,04
313,29

6051,657
5,0625
1661031
9223,682
98150,62

70,1




14,02
1778,1824

1774462


x= xn = 70,15=14,02
s= X-X2n-1=1778,1824=21,084

α4=1nX- X4s4= 15×177446221,0844= 354892,4197611,4=1,796
Karena nilainya lebih kecil dari pada 3 yaitu 1,796 maka distribusi platikurtik.
Untuk data berkelompok
α4= 1nX-X4 fs4
Contoh soal:
Berikut ini adalah distribusi frekuensi dari pengukuran diameter pipa

Diameter Pipa (mm)
Frekuensi (f)
65 – 67
68 – 70
71 – 73
74 – 76
77 – 79
80 - 82
2
5
13
14
4
2
Jumlah
40


Tentukan nilai koefisien keruncingannya
Gambar grafiknya

Penyelesaian:
Dari perhitungan diperoleh s = 3,42
Diameter
f
X
X- X
X-X4
fX-X4
65 – 67
68 – 70
71 – 73
74 – 76
77 – 79
80 – 82
2
5
13
14
4
2
66
69
72
75
78
81
-7,425
-4,425
-1,425
1,575
4,575
7,575
3039,386
383,4009
4,123438
6,1535
438,0911
3292,536

6078,772
1917,004
53,60469
86,14901
1752,364
6585,072

Jumlah
40
-
-
-
16472,97

a. α4= 1nX-X4 fs4= 140×16.472,973,424=411,824136,806=3,01
Karena nilai keruncingannya adalah 3,01 maka bentuk kurva tersebut adalah mesokurtik
Grafik:

Gambar 4.4 Keruncingan kurva bagi diameter pipa



SOAL-SOAL LATIHAN
Jelaskan apa yang dimaksud dengan ukuran :
Kemiringan
Kurtosis
Berikan contoh fenomena yang dapat memberikan model kurva:
Negatif
Positif
Jelaskan bagaimana sifat data akan berkumpul jika lengkungannya:
Leptokurtik
Platikutik



Diketahui data curah hujan rata-rata setiap bulan selama tahun 2012 adalah sebagai berikut :
Bulan
Jan
Feb
Mar
Apr
Mei
Juni
Juli
Agus
Sept
Okt
Nov
Des
mm/ bulan
554,X
261,X
176,X
297,X
264,X
122,X
232,X
122,X
84,X
73,X
285,X
380,X

Deviasi rata-rata
Hitung varians dan simpangan bakunya

Diketahui kadar Ni (%) dari enam buah drill hole adalah :
Drill hole
1
2
3
4
5
6
Kadar Ni (%)
0,9
1,2
1,5
1,9
2,4
2,6

Tentukan simpangan kuartil, deviasi rata-rata, varians, dan simpangan baku dari data diatas apakah ada data pencilan dari kadar Ni diatas