UKURAN DISPERSI
A. PENGERTIAN DISPERSI Ukuran dispersi atau ukuran variasi atau ukuran penyimpangan adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilainilai pusatnya atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya.
B. JENIS-JENIS UKURAN DISPERSI 1.
Jangkauan (Range, R) Jangkauan atau ukuran jarak adalah selisih nilai terbesar data dengan nilai
terkecil data. Cara mencari jangkauan dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok. a.
Jangkauan Data Tunggal Bila ada sekumpulan data tunggal, X1, X2, ....., Xn maka jangkauannya adalah : Jangkauan = Xn – X1
Contoh: Tentukan jangkauan data : 12, 14, 10, 8, 6, 4, 2 Penyelesaian : Data diurutkan : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 X7 = 14 dan X1 = 2 Jangkauan = X7 – X1 = 12 – 2 = 12
b.
Jangkauan Data Berkelompok Dapat ditentukan dengan dua cara : - Jangkauan adalah selisih titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah.
- Jangkauan adalah selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi kelas terendah. Contoh : Tentukan jangkauan dari distribusi frekuensi berikut! Nilai Ujian 31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90 91 - 100
Frekuensi (f) 1 2 5 15 25 20 12 80
Titik Tengah (X) 35.5 45.5 55.5 65.5 75.5 85.5 95.5
Penyelesaian: Titik tengah kelas terendah
= 35,5
Titik tengah kelas tertinggi
= 95,5
Tepi bawah kelas terendah
= 30,5
Tepi atas kelas tertinggi
= 100,5
1. Jangkauan = 95,5 – 35,5 = 60 2. Jangkauan = 100,5 – 30,5 = 70
2.
Jangkauan Antarkuartil dan Jangkauan Semi Interkuartil Jangkauan antarkuartil adalah selisih antar kuartil atas (Q3) dan kuatil
bawah (Q1). Dirumuskan : JK Q3 Q1
Jangkauan semi interkuartil adalah setengah dari selisih kuartil atas (Q3) dan kuatil bawah (Q1). Dirumuskan : Qd 12 Q3 Q1
Rumus-rumus di atas berlaku untuk data tunggal dan data berkelompok. Contoh :
a.
Untuk Data Tunggal Tentukan jangkauan antarkuartil dan jangkauan semi interkuartil dari : 2,6,8,5,4,9,12 Penyelesaian: Q1 = 4 dan Q3 = 9 JK Q3 Q1 9 4 5
Qd 12 Q3 Q1
b.
1 2
9 4 2,5
Untuk data Kelompok Tentukan jangkauan antarkuartil dan jangkauan semi interkuatil distribusi frekuensi dari Tabel Nilai Ujian Statistik dari 80 mahasiswa universitas Borobudur Tahun 1997 Nilai Ujian
Frekuensi (f)
Titik Tengah (X)
31 - 40
1
35.5
41 - 50
2
45.5
51 - 60
5
55.5
61 - 70
15
65.5
71 - 80
25
75.5
81 - 90
20
85.5
91 - 100
12
95.5
80
180 8 68,5 Q1 60,5 10 4 15
380 48 86,5 Q3 80,5 10 4 20
JK Q3 Q1 86,5 68,5 15
Qd 12 Q3 Q1 12 86,5 68,5 7,5
Jangkauan antarkuartil (JK) dapat digunakan untuk menemukan data pencilan, yaitu data yang dianggap salah atau salah ukur atau berasal dari kasus yang menyimpang, karena itu perlu diteliti ulang. Data pencilan adalah data yang kurang dari pagar luar.
L
= 1,5 x JK
PD = Q1 – L PL = Q3 + L Keterangan: L
= satu langkah
PD
= pagar dalam
PL
= pagar luar
Contoh soal: Selidikilah apakah terdapat data pencilan dari data dibawah ini! 15, 33, 42, 50, 51, 51, 53, 55, 62, 64, 65, 68, 79, 85, 97. Penyelesaian: Q1 = 50 dan Q3 = 68 JK
= 68 – 50 = 18
Sehingga : L
= 1,5 x 18 = 27
PD
= 50 – 27 = 23
PL
= 68 + 27 = 95 Pada data di atas terdapat nilai 15 dan 97 yang berarti kurang dari pagar
dalam (23) atau lebih dari pagar luar (95). Dengan demikian, nilai 15 dan 97 termasuk data pencilan, karena itu perlu diteliti ulang. Adanya nilai 15 dan 97 mungkin disebabkan salah dalam mencatat, salah dalam mengukur, atau data dari kasus menyimpang.
3.
Deviasi Rata-Rata (Simpangan Rata-Rata) Deviasi rata-rata adalah nilai rata-rata hitung dari harga mutlak
simpangan-simpangannya. a. Deviasi rata-rata data tunggal DR
1 X X n
XX n
Contoh soal : Tentukan deviasi rata-rata data 7,6,3,4,8,8 Penyelesaian: ΣX = 7 + 6 + 3 + 4 + 8 + 8 = 36 Sehingga mean (rata-rata hitung) adalah : X
X
i
DR
36 6 6
X 7 6 6 6 3 6 4 6 8 6 8 6 10
X
X
i
n
10 1,67 6
b. Deviasi rata-rata untuk data berkelompok DR
f X X 1 f X X n n
Contoh : Tentukan deviasi rata-rata distribusi frekuensi berikut : Nilai Ujian
Frekuensi (f)
31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90 91 - 100 JUMLAH
1 2 5 15 25 20 12 80
X
X X
35.5 45.5 55.5 65.5 75.5 85.5 95.5
41.125 31.125 21.125 11.125 1.125 8.875 18.875
Penyelesaian : Dari contoh sebelumnya didapatkan bahwa X 76,625 DR
f
X X n
808 10,1 80
f X X 41.125 62.25 105.625 166.875 28.125 177.5 226.5 808
4.
Varians Varians adalah nilai tengah kuadrat simpangan dari nilai simpangan rata-
rata kuadrat. Varians sampel disimbolkan dengan s2. Varians populasi disimbolkan dengan σ2(sigma). a. Varians data tunggal Dapat digunakan dengan dua metode, yaitu metode biasa dan metode angka kasar. 1. Metode Biasa a. Untuk sampel besar (n > 30) :
2
s 2
n
b. Untuk sampel kecil (n 30) :
2
s 2
n 1
2. Metode Angka Kasar a. Untuk sampel besar (n > 30) : X2
s 2
n
X n
2
b. Untuk sampel kecil (n 30) : s 2
X 2
2
n 1
n ( n 1)
Contoh : Tentukan varians dari data 2, 3, 6, 8, 11 ? Penyelesaian: n=5 X
2 3 6 8 11 6 5
X
X X
2 3 6 8 11 30
-4 -3 0 2 5
X X
X2
16 9 0 4 25 54
4 9 36 64 121 234
2
1. Metode Biasa s 2
2 n 1
54 13,5 5 1
2. Metode Angka Kasar s 2
2
n 1
2 n ( n 1)
30 2 13,5 234 5 1 55 1
b. Varians data berkelompok Untuk data berkelompok, dapat digunakan dengan tiga metode, yaitu : 1) Metode biasa, a. Untuk sampel besar (n > 30) : s 2
f 2 n
b. Untuk sampel kecil (n 30) : s 2
f 2 n 1
2) Metode angka kasar b. Untuk sampel besar (n > 30) : s
2
fX 2 n
fX n
2
c. Untuk sampel kecil (n 30) : s
2
fX 2 fX 2 n nn 1
3) Metode coding a. Untuk sampel besar (n > 30) : s C 2
2
fu
fu n
2
n
2
b. Untuk sampel kecil (n 30) : s C 2
2
fu
2
n 1
fu
2
nn 1
Keterangan: C
= panjang interval kelas
u
=
M
= rata-rata hitung sementara
d X M C C
Contoh : Tentukan Varians dari distribusi frekuensi berikut : Nilai Ujian 31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90 91 - 100 JUMLAH Penyelesaian :
Frekuensi (f) 1 2 5 15 25 20 12 80
1. Dengan Metode Biasa X 76,625
Frekuensi (f) 1 2 5 15 25 20 12 80
Nilai Ujian 31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90 91 - 100 JUMLAH s 2
2.
n
ΧΧ
35.5 45.5 55.5 65.5 75.5 85.5 95.5
-41.125 -31.125 -21.125 -11.125 -1.125 8.875 18.875
f
1691.266 968.766 446.266 123.766 1.266 78.766 356.266
Χ Χ 2 1691.266 1937.531 2231.328 1856.484 31.641 1575.313 4275.188 13598.750
13598,750 168,984 80
Dengan Metode Angka Kasar Nilai Ujian 31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90 91 - 100 JUMLAH s
3.
f ΧΧ 2
Χ Χ 2
X
2
Frekuensi (f) 1 2 5 15 25 20 12 80
fX 2 fX n n
X 35.5 45.5 55.5 65.5 75.5 85.5 95.5
X2 1260.25 2070.25 3080.25 4290.25 5700.25 7310.25 9120.25
fX 35.50 91.00 277.50 982.50 1887.50 1710.00 1146.00 6130.00
fX2 1260.25 4140.50 15401.25 64353.75 142506.25 146205.00 109443.00 483310.00
2
168,984
Metode coding Nilai Ujian 31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90 91 - 100 JUMLAH
Frekuensi (f) 1 2 5 15 25 20 12 80
X 35.5 45.5 55.5 65.5 75.5 85.5 95.5
u -4 -3 -2 -1 0 1 2
u2 16 9 4 1 0 1 4 35
fu -4 -6 -10 -15 0 20 24 9
fu2 16 18 20 15 0 20 48 137
s C 2
2
fu
2
n 1
fu
2
nn 1
168,984
5. Simpangan Baku (Standar Deviasi) Simpangan baku adalah akar dari tengah kuadrat. Simpangan Baku sampel disimbolkan dengan s. Simpangan Baku populasi disimbolkan dengan σ. Menentukan simpangan baku : s varians Rumus diatas berlaku untuk data tunggal dan data kelompok.
Contoh a.
Untuk data Tunggal Tentukan simpangan baku (standar deviasi) dari data 2, 3, 6, 8, 11 ? Penyelesaian: Dari perhitungan sebelumnya, diperoleh s2 = 13,5 Simpangan bakunya adalah:
s var ians 13,5 3,67
b.
Untuk data Kelompok Contoh : Tentukan simpangan baku dari distribusi frekuensi berikut : Nilai Ujian 31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90 91 - 100 JUMLAH
Frekuensi (f) 1 2 5 15 25 20 12 80
Penyelesaian : Dari contoh soal diatas diperoleh varian = 168,984 Sehingga simpangan baku adalah :
s varians 168,984 12,99
C. KOEFISIEN VARIASI Koefisien dispersi atau variasi yang telah dibahas sebelumnya merupakan dispersi absolut, seperti jangkauan, simpangan rata-rata, simpangan kuartil dan simpangan baku. Untuk membandingkan dispersi atau variasi dari beberapa kumpulan data, digunakan istilah dispersi relatif, yaitu perbandingan antara dispersi absolut dan rata-ratanya. Dispersi relatif digunakan untuk membandingkan tingkat variabilitas nilainilai observasi suatu data dengan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi data lainnya. Koefisien variasi adalah contoh dispersi relatif. Ada empat macam dispersi relatif, yaitu : 1. Koefisien Variasi (KV) Jika dispersi absolut digantikan dengan simpangan bakunya maka dispersi relatifnya disebut koefisien variasi (KV).
KV
s 100% X
Keterangan: KV = koefisien variasi s
= simpangan baku
X
= rata-rata
Contoh Soal: Dari hasil penelitian 2 Sekolah Dasar Kelas 1, diketahui jumlah siswa yang menyukai matematika adalah : Sekolah Dasar X = X A 800 anak, s A 8 Sekolah Dasar Y = X B 550 anak, sB 3 Tentukan Koefisien variasi masing-masing!
Penyelesaian: KV A
sA 8 100% 100% 1% XA 800
KVB
sB 3 100% 100% 0,55% XB 550
2. Variasi Jangkauan (VR) Variasi jangkauan adalah dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan dengan jangkauan.
VR
R 100% X
3. Variasi Simpangan Rata-Rata (VSR) Variasi Simpangan Rata-Rata adalah dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan dengan simpangan rata-rata.
VR
SR 100% X
4. Variasi Kuartil (VQ) Variasi Kuartil adalah dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan dengan kuartil. Qd 100% Me Q Q1 VQ 3 100% Q3 Q1 VQ
DISPERSI ABSOLUT digunakan untuk mengetahui tingkat variabilitas nilai-nilai observasi pada suatu data, sedangkan DISPERSI RELATIF digunakan untuk membandingkan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi suatu data dengan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi data lainnya
