MAKALAH ALJABAR LINIER & MATRIK “TRANSFORMASI LINIER” DOSEN : SAMSURIADI, M.Pd.
Oleh Kelompok 5 ( VB ) : 1. HENDRA KURNIAWAN
/ 13.48.55.038
2. MUHAMMAD FAUZAN
/ 13.48.55.094
3. SETIAH M BUDI
/ 13.48.55.130
4. SULAIMAN ALKONUNI
/ 13.48.55.141
5. ZAHID HABIBURRAHMAN / 13.48.55.153
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER ( STMIK ) SYAIKH ZAINUDDIN NW ANJANI LOTIM 2015
KATA PENGANTAR Puji syukur kami ucapkan kehadirat Allah SWT, karena dengan rahmat dan ridho-Nya kami masih diberikan kesempatan untuk bekerja sama dalam menyelesaikan makalah
ini.
Dimana
makalah
ini
merupakan
salah
satu
tugas
mata kuliah Aljabar Linier & Matrik, yaitu “Transformasi Linier”. Tidak lupa kami ucapkan terimakasih kepada Dosen Pembimbing dan teman-teman yang telah memberikan dukungan dalam menyelesaikan makalah ini. Kami menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini masih banyak kekurangan. Oleh karena itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun. Dan semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan teman-teman. Amin-amin yarobbal alamin...
Penulis
2
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL........................................................................................
i
KATA PENGANTAR....................................................................................... ii DAFTAR ISI..................................................................................................... iii BAB I
PENDAHULUAN............................................................................ 1 A. Latar Belakang............................................................................. 1 B. Rumusan Masalah....................................................................... 1 C. Tujuan.......................................................................................... 1
BAB II
PEMBAHASAN.............................................................................. 2 A. Pengantar Transformasi Linier................................................... 2 B. Sifat Transformasi Linier : Kernel dan Jangkauan..................... 9 C. Transformasi Linier dari Rn ke Rm Geometri Transformasi Linier dari R2 ke R2............................................. 14 D. Matriks Transformasi Linier...................................................... 16 E. Keserupaan................................................................................. 17
BAB III PENUTUP........................................................................................ 20 A. Kesimpulan................................................................................ 20 B. Saran........................................................................................... 21 DAFTAR PUSTAKA
3
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu dasar yang menjadi tolak ukur bagi perkembangan ilmu pengetahuan serta teknologi. Matematika dapat memberikan kemampuan berpikir logis dalam memecahkan masalah yang rumit. Komputer merupakan serangkaian intruksi-intruksi yang berjalan dengan metode matematika. Maka dari itu, harus mampu menguasai seluruh materi. Karena, hal itu adalah modal utama dalam penguasan ilmu pengetahuan dan teknologi untuk menghadapi persaingan global. Salah satu materi yang harus benar-benar anak didik kuasai adalah materi aljabar, materi ini banyak diterapkan pada kehidupan sehari-hari. B. Rumusan Masalah 1. Menjabarkan tentang apa itu transformasi linier? C. Tujuan Masalah Diharapkan pembaca khususnya minimal mengetahui tentang apa itu transformasi linier atau lebih bagus lagi jika memahami tentang transformasi linier itu sendiri
1
BAB II PEMBAHASAN A. Pengantar Transformasi Linier Di dalam bagian ini kita mulai mempelajari fungsi bernilai vector dari sebuah variable vector. Yakni, fungsi yang berbentuk w = F(v), dimana variable bebas v dan variable tak bebas w kedua-duanya adalah vector. Kita akan memusatkan perhatian pada kelompok khusus fungsi vector yang dinamakan transformasi linier. Kelompok fungsi ini mempunyai banyak pemakaian penting di dalam fisika, ilmu sosial, dan berbagai cabang matematika. Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F memetakan V ke dalam W, dan kita menuliskan F : V W. Lebih lanjut lagi, jika F mengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka kita menuliskan w = F(v) dan kita mengatakan bahwa w adalah bayangan dari v di bawah F. Untuk melukiskannya, maka jika v = (x,y) adalah sebuah vektor di dalam R 2 , maka rumus : F(v) = ( x , x + y , x - y ) Mendefinisikan sebuah fungsi yang memetakan R2 ke dalam R3 . Khususnya, jika v = (1,1) , maka x = 1 dan y = 1 , sehingga bayangan dari v di bawah F adalah F(v) = (1, 2, 0). Definisi. Jika F : V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F dinamakan transformasi linear jika : 1.
F(u + v) = F(u) + F(v) untuk semua vektor u dan v di dalam V.
2.
F(ku) = k F(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k. Untuk melukiskannya, misalkan F : R2R3 adalah fungsi yang didefinisikan oleh;
2
Jika u = ( x1 , y1 ) dan v = ( x2 , y2 ), maka u + v = ( x1 + x2 , y1 + y2 ), sehingga : F(u + v) = (x1 +x2 , [x1 + x2] + [y1 + y2], [x1 + x2] - [y1 + y2]) = ( x1 , x1 + y1 , x1 - y1 ) + ( x2 , x2 + y2 ,x2 - y2) F(u + v) = F(u) + F(v) Juga , jika k adalah sebuah skalar , k u = (kx1 , ky1 ), sehingga F(k u) = (kx1 , kx1 +ky1 , kx1 - ky1) = k (x1 , x1 +y1 ,x1 - y1) = k F(u) Jadi F adalah sebuah transformasi linear. Jika F : V W adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v1 dan v2 di dalam V dan sebarang k1 dan k2 , kita memperoleh : F(k1 v1 + k2 v2) = F(k1 v1) + F(k2 v2) = k1 F(v1) + k2 F(v2) Demikian juga, jika v1 , v2 , … , vn adalah vektor-vektor di dalam V dan k1 , k2 , … , kn adalah skalar, maka : F(k1 v1 + k2 v2 + … + kn vn) = k1 F(v1) + k2 F(v2) + … + kn F(vn) Contoh 1 : Misalkan A adalah sebuah matriks m x n yang tetap. Jika kita menggunakan notasi matriks untuk vektor di dalam Rm dan Rn , maka kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi T: Rn Rm dengan : T(x) = A x
3
Perhatikan jika bahwa x adalah sebuah matriks n x 1 , maka hasil kali A x adalah matriks m x 1 ; jadi T memetakan Rn ke dakam Rm . Lagi pula , T linear, untuk melihat ini , misalnya u dan v adalah matriks n x 1 dan misalkan k adalah sebuah skalar. Dengan menggunakan sifat-sifat perkalaian matriks, maka kita mendapatkan : A (u + v) = A u + A v dan A (k u) = k (A u) Atau T(u + v) = T(u) + T(v) dan T(k u) = k T(u) Kita akan menamakan transformasi linear di dalam contoh ini perkalian oleh A. Transformasi linear semacam ini dinamakan transformasi matriks. Contoh 2 : Sebagai kasus khusus dari contoh sebelumnya, misalkan adalah sebuah sudut tetap, dan misalkan T : R2 R2 adalah perkalian oleh matriks :
Jika v adalah vektor
Maka
A=
[
v =
[]
T(v) = A v =
cos θ sinθ sin θ cos θ
]
x y
[
][ ] [
cos θ sinθ x sin θ cos θ y
=
x cos θ x sin θ
y sinθ y cos θ
]
Secara geometrik, maka T(v) adalah vektor yang dihasilkan jika v dirotasikan melalui sudut . Untuk melihat ini, maka misalkan adalah sudut di antara v dan sumbu x positif.
4
Dan misalkan v’ =
[ ] x' y'
adalah vektor yang dihasilkan bila v
dirotasikan melalui sudut. Kita akan memperlihatkan bahwa v’ = T(v). Jika r menyatakan panjangnya v , maka : x = r cos
y = r sin
Demikian juga, karena v’ mempunyai panjang yang sama seperti v maka kita memperoleh : x’ = r cos(+ )
Maka
v’ =
[ ] x' y'
y’ = r sin(+ )
θ+∅ ¿ ¿ θ = ¿ r cos ¿ ¿
=
[
r cos θ+∅−r sin θ sin ∅ r sinθ+ ∅+ r cos θ sin ∅
=
[
x cos θ− y sinθ x sin θ+ y cos θ
=
[
cos θ−sinθ sin θ cos θ
]
]
]
= Av = T(v) Transformasi linear di dalam contoh ini dinamakan rotasi dari R2 melalui sudut .
5
Contoh 3: Misalkan V dan W adalah sebarang dua vektor. Pemetaan T : V W sehingga T(v) = 0 untuk tiap-tiap v di dalam V adalah sebuah transformasi linear yang dinamakan transformasi nol. Untuk melihat bahwa T linear, perhatikanlah bahwa : T(u + v) = 0 , T(u) = 0 , T(v) = 0 dan T(k u) = 0 Maka T(u + v) = T(u) + T(v) dan T(k u) = k T(u) Contoh 4: Misalkan V adalah sebarang ruang vektor. Pemetaan T : V V yang didefinisikan oleh T(v) = v dinamakan transformasi identitas pada V. Jika seperti di dalam contoh 2 dan 4 , T : V V adalah transformasi linear dari sebuah ruang vektor V ke dalam dirinya sendiri, maka T dinamakan operator linear pada V. Contoh 5: Misalkan V adalah sebarang ruang vektor dan k adalah sebarang skalar tetap. Kita membiarkannya sebagai latihan untuk memeriksa bahwa fungsi T : V V yang didefinisikan oleh : T(v) = k v
6
adalah sebuah operator linear pada V. Jika k 1 , T dinamakan dilatasi dari V dan jika 0 k 1 , maka T dinamakan kontraksi dari V. Secara geometrik, maka dilatasi “merenggangkan“ setiap vektor di dalam V dengan sebuah faktor sebesar k , dan kontradiksi dari V “memampatkan “ setiap vektor dengan sebuah faktor sebesar k seperti gambar dibawah :
Contoh 6: Misalkan V adalah sebuah ruang perkalian dalam, dan misalkan W adalah sebuah sub-ruang dari V yang berdiameter berhingga yang mempunyai : S = {w1,w2,…,wr} adalah sebuah basis ortonormal. Misalkan T : V W adalah fungsi yang memetakan sebuah vektor v di dalam V ke dalam proyeksi ortogonalnya pada W ; yakni : T(v) = v, w1 w1 + v, w2 w2 + … + v, wr wr
7
Pemetaan T dinamakan proyeksi ortogonal dari V pada W ; linearitasnya didapatkan dari sifatsifat dasar perkalian dalam. Misalnya : T(u + v) = u + v, w1 w1 + u + v, w2 w2 + … + u + v, wr wr = u, w1 w1 + u, w2 w2 + … + u, wr wr + v, w1 w1 + v, w2 w2 + … + v, wr wr = T(u) + T(v) Demikian juga, T(k u) = k T(u) Contoh 7 : Sebagai kasus khusus dari contoh sebelumnya, misalnya V = R 3 mempunyai perkalian dalam Euclidis. Vektor-vektor w1 = (1, 0, 0) dan w2 = (0, 1, 0) membentuk sebuah basis ortonormal untuk bidang xy. Jadi, jika v = (x, y , z) adalah sebarang vektor di dalam R3 , maka proyeksi ortogonal dari R3 pada bidang xy diberikan oleh : T(v) = v, w1 w1 + v, w2 w2 = x(1, 0, 0 ) + y(0, 1, 0) = (x, y , 0)
8
B. Sifat Transformasi Linier : Kernel dan Jangkauan Di dalam bagian ini kita memperlihatkan bahwa sekali bayangan vektor basis dibawah transformasi linier telah diketahui, maka kita mungkin mencari bayangan vektor yang selebihnya di dalam ruang tersebut. Teoremanya : Jika T:VW adalah transformasi linier, maka: 1. T (0) = 0 2. T(-v) = -T(v) untuk semua v di dalam V 3. T(v-w) = T(v) - T(w) untuk semua v dan w di dalam V Bukti misalkan v adalah sebarang vektor di dalam V. Karena 0 v = 0 maka kita memperoleh T (0) = T (0v) = 0T (v) = 0 yang membuktikan 1. Juga, T(-v) = T(-1(v)) = (-1)T(v), yang membuktikan 2. Akhirnya, v - w = v + (-1)w. Jadi T(v -w) = T(v + (-1) w) = T(v)+(-1)T(w) = T(v)-T(w) Jika T:V W adalah transformasi linier, maka himpunan vektor di dalam V yang dipetakan T ke dalam 0 dinamakan kernel (atau ruang nol) dari T ; himpunan tersebut dinyatakan oleh ker (T). Himpuanan semua vektor di dalam w yang merupakan bayangan di bawah T dari paling sedikit satu vektor di dalam V dinamakan jangkuan dari T ; himpunan tersebut dinyatakan oleh R(T). Contoh B.1 Misalkan T:V W adalah transformasi nol. Karena T memetakan tiap-tiap vektor ke dalam 0, maka ker (T) = V. Karena 0 adalah satu-satunya bayangan yang mungkin di bawah T, maka R(T) terdiri dari vektor nol. Contoh B.2 Misalkan T:Rn Rm adalah perkalian oleh
9
Kernel dari T terdiri dari semua
Yang merupakan vektor pemecahan dari sistem homogeny
Jangkuan dari T terdiri dari vektor-vektor
Sehingga sistem
Konsisten.
10
Teoremanya adalah : Jika T:V W adalah trasnformasi linier maka : 1. Kernel dari T adalah subruang dari V. 2. Jangkuan dari T adalah subruang dari W. Bukti 1. Untuk memperlihatkan bahwa ker (T) adalah subruang, maka kita harus memperlihatkan bahwa ker (T) tersebut tertutup di bawah pertambahan dan perkalian skalar. Misalkan v1 dan v2 adalah vektor-vektor di dalam ker (T), dan misalkan k adalah sebarang skalar. Maka T(v1 + v2 ) = T(v1 ) + T(v2 ) =0+0=0 sehingga v1 + v2 berada di dalam ker (T). Juga T(kv1 ) = kT (v1 ) = k0 = 0 Sehingga kv1 berada di dalam ker (T). 2. Misalkan w1 dan w2 adalah vektor di dalam jangkauan dari T. Untuk membuktikan bagian ini maka kita harus memperlihatkan bahwa w1 + w2 dan k w1 berada di dalam jangkuan dari T untuk sebarang skalar k; yakni kita harus mencari vektor a dan b di dalam V sehingga T (a) = w1 + w2 dan T(b) = kw1. Karena w1 dan w2 berada di dalam jangkuan dari T, maka ada vektor a1 dan a2 di dalam V sehingga T (a1) = w1 dan T(a2) = w2. Misalkan a = a1 + a2 dan b = ka1. Maka T(a) = T (a1 + a2) = T(a1) + T(a2) = w1 + w2 dan T(b) = T(ka1) = kT(a1) = kw1 yang melengkapkan bukti tersebut.
11
Contoh B.3 Misalkan T:Rn Rm adalah perkalian oleh sebuah matriks A yang berukuran m x n. Dari contoh B.2 maka kernel dari T terdiri dari semua pemecahan dari Ax = 0 ; jadi kernel tersebut adalah ruang pemecahan dari sistem ini. Juga dari contoh B.2, jangkuan dari T terdiri dari semua vektor b sehingga Ax = b konsisten. Jadi, menurut Teorema di atas dari bagian 4.6, jangkuan dari T adalah ruang kolom dari matrik A. Misalkan {v1 , v2,....., vn } adalah sebuah basis untuk ruang vektor V dan T:V > W adalah transformasi linier. Jika kebetulan kita mengetahui bayangan vektor basis, yakni T(v1), T(v2), ..., T(vn) maka kita dapat memperoleh bayangan T(v) dari seberang vektor v dengan menyatakan dulu v dalam basis tersebut, katakanlah v = k1 v1 + k2 v2 + ... + kn vn dan kemudian menggunakan hubungan (5.2) dari bagian 5.1 untuk menuliskan T(v) = (1,0) T(v2) = (2, - 1) T(v3) = (4,3) Carilah T(2, -3,5) ! Pemecahan Mula-mula kita menyatakan v = (2, -3, 5) sebagai kombinasi dari v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 0), dan v3 = (1, 0, 0). Jadi (2, 3, 5) = k1 (1, 1, 1) + k2 (1, 1, 0) + k3 (1, 0, 0) atau setelah menyamakan komponen-komponen yang bersangkutan k1 + k2 + k3 = 2 k1 + k2 = -3 k1 = 5 yang menghasilkan k1 = 5, k2 = -8, k3 = 5 sehingga (2, -3, 5) = 5v1 -8v2 + 5v3 Jadi T(2, -3, 5) = 5T(v1) - 8T(v2) + 5T3 = 5(1,0) - 8(2, -1) + 5(4,3) = (9, 23) Jika T:V > W adalah transformasi linier, maka dimensi dari jangkauan dari T dinamakan rank dari T dan dimensi dari kernel dinamakan nulitas (nullity) dari T. Contoh B.4 Misalkan T:R2 > R2 adalah rotasi dari R2 melalui sudut p/4. Jelaslah secara geometrik bahwa jangkauan dari T adalah semuanya R2 dan kernel dari T adalah (0). Maka T mempunyai rank 2 dan nulitas = 0. Contoh B.5
12
Misalkan T:Rn > Rm adalah perkalian sebuah matriks A yang berukuran m x n. Didalam contoh B.3 kita mengamati bahwa jangkauan dari T adalah ruang kolom dari A jadi rank dari T adalah dimensi ruang kolom dari A, yang persis sama dengan rank dari A. Secara ringkas, maka rank (T) = rank (A), dan juga didalam Contoh B.3, kita melihat bahwa kernel dari T adalah ruang pemecahan dari Ax = 0. Jadi nulitas dari T adalah dimensi ruang pemecahan ini. Teorema kita berikutnya menghasilkan sebuah hubungan di antara rank dan nulitas dari transformasi linier yang didefinisikan pada sebuah ruang vektor berdimensi berhingga. Kita akan menangguhkan buktinya sampai keakhir bagian ini. Teoremanya : Jika T:V > W adalah transformasi linier dari sebuah ruang vektor V yang berdimensi n kepada sebuah ruang vektor W, maka di dalam kasus khusus di mana V=Rn-, W=Rm-, dan T:Rn > Rm adalah perkalian oleh sebuah matriks A yang berukuran m x n, maka teorema dimensi tersebut menghasilkan hasil yang berikut : nulitas dari T = n - (rank dari T) = (banyaknya kolom dari A) - (rank dari T) Akan tetapi, kita memperhatikan di dalam Contoh B.5 bahwa nutilas dari T adalah dimensi dari ruang pemecahan dari Ax = 0, dan rank dari T adalah rank dari matriks A. Jadi (5.4) menghasilkan teorema yang berikut. Teorema : Jika A adalah matriks m x n maka dimensi ruang pemecahan dari Ax = 0 adalah : n - rank (A)
13
Contoh B.6. Di dalam Contoh diatas, kita memperlihatkan bahwa sistem homogeny
Mempunyai ruang pemecahan berdimensi dua, dengan memecahkan sistem tersebut dan dengan mencari sebuah basis. Karena matriks koefisien
Mempunyai lima kolom, maka jelaslah dari Teorema 4 bahwa rank A harus memenuhi 2 = 5 - rank (A) Sehingga rank (A) = 3. Pada pembaca dapat memeriksa hasil ini dengan mereduksi A kepada bentuk eselon baris dan dengan memperilihatkan bahwa matriks yang dihasilkan mempunyai tiga baris yang tak nol. C. Transformasi Linier dari Rn ke Rm Geometri Transformasi Linier dari R2 ke R2 Pada bagian ini akan dibahas mengenai : 1) Bahwa Transformasi Linier dari Rn
→ Rm adalah merupakan transformasi
matriks ( artinya kita dapat menentukan sebuah matriks berukuran mxn sehingga T adalah perkalian oleh A. Ditulis T(x) = A x dengan x
∈ Rn
2) Mendapatkan sifat sifat geometris dari Transformasi Linier dari R2 → R2 Mula-mula kita akan memperlihatkan bahwa tiap-tiap transformasi linier dari R n ke Rm adalah transformasi matriks. Lebih tepat lagi, kita akan memperlihatkan bahwa jika T:Rn Rm adalah sebarang transformasi linier, maka kita dapat mencari sebuah matriks A yang berukuran m x n sehingga T adalah perkalian oleh A.
14
Misalkan e 1 , e 2 , ..., en adalah basis baku dari Rn dan A adalah matriks berukuran mxn yang kolom kolomnya adalah T(e1), T(e2), ... , T(en) sebagai vektor-vektor kolomnya. T: R2 → R2 dengan T
([ ]) [ ]
1 =1 Maka T ( e 1 )=T 0 1
( [ ]) [
x1 x + 2 x2 = 1 x1 x 1−x 2
([ ]) [ ]
T ( e 2 )=T 0 = 2 1 −1
dan
[
A=
x 1+ 2 x 2 x 1−x 2
]
]
¿↑ ↑ T (e1 ) T (e 2)
Secara lebih umum, jika Secara lebih umum jika a 11 a 21
a T(e ) = m1 , T( 1
a 12 a 2 21
2 e¿ ¿
a 13 a 23
3 e¿ ¿
a ) = m2 , ... , T(
a 11 a 21
Maka A = T(e 1 ) T(e 2 ) T(e n ) =
a ) = m3
a m1
a 12 a 22 a m2
a 1n
a 2n a mn
Matriks A selanjutnya disebut matriks baku dari transformasi linier T. x1 x 2
∈
Selanjutnya untuk setiap x
x Rn berlaku x = m = x1 e 1 + x2 e 2 + ... + xn en
Karena T adalah transformasi linier maka T(x ) = T (x1 e 1 + x2 e 2 + ... + xn en ) = x1 T(e 1 ) + x2 T( e 2 )+ ... + xn T( en). Dilain pihak
15
a 11 a 21
Ax =
a m1
a 11 a 21
a 12 a 22 a m2
a 1n a 2n a mn
a 11 x1 a x 21 1
x1
x 2
xm
a x = m1 1
a 12 x2 a 22 x2
a 1n xn a 2n xn
a m2 x2 a mn xn
a 13 a 23
a 12 a 2 21
a m1 a m2 a m3 = x1 + x2 + .... + x3 = x1 T(e 1 ) + x2 T( e 2 )+ ... + xn T( en)
Sampai disini dapat disimpulkan bahwa T(x ) = Ax D. Matriks Transformasi Linier Di dalam bagian ini kita memperlihatkan bahwa jika V dan W adalah ruang vektor berdimensi berhingga (tidak perlu Rn dan Rm), maka dengan sedikit kepintaran, setiap transformasi linier T:V W dapat dipandang sebagai transformasi matriks. Pemikiran dasarnya adalah memilih basis untuk V dan W dan bekerja dengan matriks koordinat relatif terhadap basis ini dan buka bekerja dengan vektor itu sendiri. Misalkan V berdimensi n dan W berdimensi m. Jika kita memilih basis B dan B’ untuk V dan W, maka untuk setiap x di dalam V, matriks koordinat [x] B akan merupakan sebuah vektor di dalam Rn dan matriks koordinat [T(x)]B’ akan merupakan suatu vektor di dalam Rm. Jadi di dalam proses pementaan x ke dalam T(x), transformasi linier T “menghasilkan” sebuah pemetaan dari R n ke dalam Rm dengan mengirimkan [x]B ke dalam [T(x)]B. Dapat diperlihatkan bahwa pemetaan yang dihasilkan ini selalu merupakan transformasi linier. Dengan ini maka pemetaan tersebut dapat dilangsungkan dengan menggunakan matriks A standar untuk transformasi ini, yakni : A[x]B = [T(x)]B’ Jika, bagaimanapun, kita dapat mencari matriks A, maka seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut :
16
Dapat dihitung di dalam tiga langkah menurut prosedur tak langsung yang berikut : 1. Hitunglah matriks koordinat [x]B 2. Kalikanlah [x]B di sebelah kiri dengan A untuk menghasilkan [T(x)]B’ 3. Bangunlah kembali T(x) dari matriks koordinatnya [T(x)]B’ Untuk mencari nilai matriks A. Misalkan V adalah ruang berdimensi n dengan basis B = {u1, u2, ... , un} dan W adalah sebuah ruang berdimensi m dengan basis B’ = {v1, v2, ... , vn}. Kita mencari sebuah matriks m x n ¿ a1 n a11 a12 ⋯ ¿a A= a21 a22 … 1 m ¿ am 1 am 2 … a mn ¿ ⋮ ⋮ ¿ ⋮ Sehingga berlaku untuk semua vektor x di dalam V. Khususnya bila x adalah vektor basis u1 : A[u1]B = [T(u1)]B’, Tetapi : ¿ a1 n
[]
1 0 U = [ 1 ]B 0 ⋮ 0
sehingga
a11 a 12 ⋯ a21 a 22 … ¿ a 1m ⋮ ⋮ ¿ ⋮ ¿ A [ U 1 ]B= [ am 1 am 2
17
[][ ]
1 a11 0 a … a mn¿ ] 0 = 21 ⋮ ⋮ am 1 0
Jadi A[u1]B = [T(u1)]B’ berarti :
[] a11 a 21 ⋮ am 1
= [T(u1)]B’
Matriks A yang unik yang didapatkan dengan cara ini dinamakan matriks T terhadap basis B dan B’. E. Keserupaan Matriks sebuah operator ilnier T:V V bergantung pada basis yang dipilih untuk V. Pada soal
fundamental dari aljabar linier kita perlu memilih sebuah
basisuntuk V yang membuat matriks T sesederhana mungkin. Seringkali soal ini ditangani dengan terlebih dulu mencari matriks T relatif terhadap suatu basis “sederhana’ seperti basis standar. Biasanya, pilihan ini tidak menghasilkan matriks T yang paling sederhana, sehingga kita mencari suatu cara untuk mengubah basis tersebut supaya menyederhanakan matriksnya. Untuk memecahkan soal serupa ini, maka kita harus mengetahui bagaimana perubahan basis akan mempengaruhi matriks operator linier. Teoremanya : Misalkan T:V V adalah operator linier pada ruang vektor berdimensi berhingga V. Jika A adalah matriks T terhadap basis B, dan A’ adalah matriks T terhadap basis B’, maka A’ = P -1 AP dimana P adalah matriks transisi dari B’ ke B. Untuk membuktikan teorema ini, maka akan memudahkan untuk menjelaskan hubungan Au = v Karena A adalah matriks T terhadap B, dan A’ adalah matriks T terhadap B’, maka hubungan yang berikut berlaku untuk semua “x” dalam V. A[x]B’ = [T(x)]B
dan
A’[x]B = [T(x)]B’
dan
[x ]B A [T [ x ] ]B
Ini dapat dituliskan sebagai : [x ]B A [T [ x ] ]B '
→
'
'
→
Untuk melihat bagaimana matriks A dihubungkan dengan A’, sebelumnya dibuat matriks transisi dari B’ ke B. Misalkan P adalah matriks transisi dari B’ ke B, sehingga P-1 adalah matriks transisi dari B ke B’. P[x]B’ = [T(x)]B
dan
18
P-1[x]B = [T(x)]B’
Ini dapat dituliskan sebagai : [x ]B P [T [ x ] ] B '
→
dan
[x ]B P−1 [T [ x ] ] B
'
→
Dari kedua hubungan di atas dapat dikaitkan menjadi sebuah gambar sebagai berikut :
[ x ] B A [T [ x ] ] B
P ↑ → ↓ P−1 ' [ x ] B ¿ A→ [T [ x ] ]B '
'
Gambar ini melukiskan bahwa ada dua cara untuk mendapatkan matriks [ T ( x ) ] B’ dari matriks [ x ] B’. Yakni : A’[x]B’ = [T(x)]B’ atau P-1AP[x]B’ = [T(x)]B’
19
Dari pernyataan di atas dapat dihasilkan : P-1AP[x]B’ = A’[x]B’ Dan untuk semua x di dalam V adalah P-1AP = A’. Dengan begitu dari kedua persamaan tersebut sudah membuktikan bahwa merupakan Teorema.
20
BAB III PENUTUP A. KESIMPULAN Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F memetakan V ke dalam W, dan kita menuliskan F : V → W. Lebih lanjut lagi, jika F mengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka kita menuliskan w = F(v) dan kita mengatakan bahwa w adalah bayangan dari v di bawah F. Untuk melukiskannya, maka jika v = (x,y) adalah sebuah vektor di dalam R 2, maka rumus : F(v) = ( x , x + y , x - y ). Definisi. Jika F : V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F dinamakan transformasi linear jika : 1. F(u + v) = F(u) + F(v) untuk semua vektor u dan v di dalam V. 2. F(ku) = k F(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k. Di dalam transformasi linier terdapat sifat, yakni kernel dan jangkauan. Kernel dan jangkauan merupakan sekali bayangan vektor basis dibawah transformasi linier telah diketahui, maka kita mungkin mencari bayangan vektor yang selebihnya di dalam ruang tersebut. Pada transformasi linear terdapat istilah yang biasa disebutkan dalam pembahasan kali ini, yakni Teorema. Teorema ini merupakan pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya,
sehingga untuk membuktikan kebenaran dari suatu
pernyataan atau rumus dibutuhkan teorema. Dan dalam matriks transformasi linier terdapat dua alasan utama mengapa prosedur tak langsung penting untuk dilakukan, yaitu : 1. Prosedur tersebut menyediakan cara yang efisien untuk melakukan transformasi linier pada komputer digital 2. Bersifat teoretis, tetapi dengan konsekuensi praktis yang penting
21
B. SARAN Penulis sangat menyadari dan memahami bahwa pembuatan makalah ini jauh dari kekurangan dan kelemahan dalam pembuatannya. Maka dari itu, penulis pun tidak menolak adanya saran dan kritik yang sifatnya mendukung dan membangun dari para pembaca agar Makalah selanjutnya nanti, jauh lebih sempurna dan layak untuk dibaca oleh para pembaca sekalian.
22
DAFTAR PUSTAKA http://kseminar.staff.ipb.ac.id/files/2013/02/09_Transformasi-Linier.pdf http://amriesagala.blogspot.com/2014/12/transformasi-linear.html
https://www.facebook.com/MentalMilyader/posts/390821624348617 http://eprints.undip.ac.id/32244/5/M03_Hikmatul_Aini_chapter_I.pdf
