MAKALAH INTEGRAL DAN TURUNAN
Oleh : NIM
: 120030027
NAMA
: Christian Iswahyudi
KELAS
: A123
MATA KULIAH
: Kalkulus
PROGRAM STUDI
: Sistem Informasi
SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN TEKNIK KOMPUTER (STMIK) STIKOM BALI 2013/2014 1
INTEGRAL Salah satu cabang dari Ilmu Matematika yang patut di pelajari adalah Integral. Integral adalah lawan dari proses diferensial. Integral terbagi atas beberapa jenis yaitu integral tertentu dan integral tak tentu. Perbedaan antara integral tertentu dan integral tak tentu yaitu jika integral tertentu memiliki batasan-batasan ,integral tak tentu tidak memiliki batasan –batasan
DEFINISI Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah
Bila diberikan suatu fungsi f dari variabel real x dengan interval [a, b] dari sebuah garis lurus, maka integral tertentu
didefinisikan sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y dan garis vertikal x = a dan x = b, dengan area yang berada diatas sumbu-x bernilai positif dan area dibawah sumbu-x bernilai negatif.
2
Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada antiturunan, sebuah fungsi F yang turunannya adalah fungsi f. Pada kasus ini, maka disebut sebagai integral tak tentu dan notasinya ditulis sebagai:
Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Melalui teorema fundamental kalkulus yang mereka kembangkan masingmasing, integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], maka, jika antiturunan F dari f diketahui, maka integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:
3
INTEGRAL TAK TENTU Integral tak tentu atau antiderivatif adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut integral tak tentu. Bila f adalah integral tak tentu dari suatu fungsi F maka F'= f. Proses untuk memecahkan antiderivatif adalah antidiferensiasi Antiderivatif yang terkait dengan pasti integral melalui Teorema dasar kalkulus, dan memberikan cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi. F(x) disebut anti turunan dari f(x) pada selang I bila F ‘(x) = f(x) untuk x ∈ I ( bila x merupakan titik ujung dari I maka F ‘(x) cukup merupakan turunan sepihak ). Proses mencari anti turunan disebut integrasi ( integral ). Notasi : ∫ f (x) dx = F(x)+ C disebut integral tak tentu.
Beberapa rumus integral tak tentu yaitu sebagai berikut :
1.
∫xr dx = xrr+ +1
2.
∫sin x dx =− cos x+ C
3.
∫cos x dx = sin x+ C
4.
∫sec x tan x dx = sec x + C
5.
∫csc x cot x dx = −csc x+ C
6.
∫csc2 x dx = −cot x + C
1 + C; r ≠ -1
7. ∫sec2 x dx = tan x + C
8.
C;
r ≠ -1
4
7. Penerapan dari beberapa rumus di atas diperlihatkan pada contoh berikut Contoh : Hitung integral tak tentu berikut :
a.
∫ sin(2x +1) dx
Jawab :
a. Misal u = 2 x + 1. Maka du = 2 dx . u du = − cos u+ C = − cos (2x +1) + C
Sifat dasar dari bentuk integral tak tentu adalah sifat linear, yaitu :
∫[a f (x) + bg(x)]
dx = a∫ f (x) dx +b∫ g(x) dx
Contoh :
Hitung integral : ∫(2x + cos2x)dx Jawab :
∫(2x + cos2x)dx = ∫2x dx+∫cos 2x dx = x2 + 12 sin 2x+ C
5
INTEGRAL TENTU Misal f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], f dikatakan terintegralkan pada
[a,b]
jika
b
n
lim f ( xi )xi
ada, selanjutnya
P 0 i 1
f ( x)dx
disebut Integral Tentu (Integral Riemann) f dari
a
a ke b, dan didefinisikan
b
n
f ( x)dx a
=
lim f ( xi )xi
.
P 0 i 1
b
f ( x)dx
menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva y = f(x) dan sumbu x dalam selang
a b [a,b], jika
f ( x)dx bertanda negatif maka menyatakan luas daerah yang berada dibawah sumbu x. a
Definisi :
a
f ( x)dx = 0 a b
f ( x)dx a
a = -
f ( x)dx , a > b b
6
Sifat-Sifat Integral Tentu 1. Sifat Penambahan Selang Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b dan c, maka
c
b
c
f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx a
a
bagaimanapun urutan a, b dan c.
b
Contoh :
2
1
2
2
2
2
x dx x dx x dx
1.
3.
2
0 2
0 1
1 2
0
0
1
2.
3
2
2
2 x dx x dx x dx
0
2
0
3
2 2 2 x dx x dx x dx
2. Sifat Simetri a
a
f ( x)dx
Jika f fungsi genap [f(-x) = f(x)] , maka
=2
a
f ( x)dx
dan
0
a Jika f fungsi ganjil [f(-x) = - f(x)], maka
f ( x)dx =
0.
a Contoh :
1.
x x x 1 cos dx 2 cos dx 8 cos . dx 4 2 4 4 4 4 0 0 5
2.
x5
2 5 x 4
dx
=0
7
TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN 1. Teknik Subtitusi a. Subtitusi Dalam Integral Tak Tentu Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u = g(x) maka f(g(x))g’(x) dx =
f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c
Contoh : Hitunglah
sin x dx . x
Jawab : Misalkan u =
x
= x1/2 sehingga du =
1 1 / 2 x 2
dx maka
sin x 1 dx = 2 sin x x 1 / 2 dx = 2 sin udu x 2
= 2cosu + c = 2cos
x
+c
b. Subtitusi Dalam Integral Tentu. Misal g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah nilai g, maka
g (b )
b
f ( g ( x)) g ' ( x)dx f (u )du a
g (a)
Contoh :
1 Hitung
x 1
2 0 ( x 2 x 6)
dx
8
Jawab : Misal u = x2+2x+6 sehingga du = 2x+2 dx = 2(x+1)dx perhatikan u = 6 jika x = 0 dan u = jika x = 1, jadi
1
x 1
2 0 ( x 2 x 6) =
1 1 2( x 1) dx 2 0 ( x 2 2 x 6)
dx =
1 9 du 1 1 ln u 96 (ln 9 ln 6) 26 u 2 2
=
1 3 ln 2 2
2. Pengintegralan Bentuk-Bentuk Trigonometri a.
sin n x dx,
cos n x dx
Jika n bilangan bulat positif ganjil, maka keluarkan faktor sin x atau cos x dan kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1. Jika n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut. sin 2 x =
1 cos 2 x 2
, cos 2 x =
1 cos 2 x 2
Contoh :
2
1.
4
1 cos 2 x dx 2
cos x dx =
=
1 4
=
3 1 1 x + sin 2x + 8 4 32
dx +
1 4
cos 2x (2) dx +
1 8
=
1 4
(1 + 2 cos 2x + cos 2 2x) dx
(1 + cos 4x) dx
sin 4x + c
9
b.
sin m x cos n x dx
Jika m atau n bilangan bulat positif ganjil dan eksponen lain sembarang, maka keluarkan faktor sin x atau cos x yang berpangkat ganjil tersebut kemudian gunakan kesamaan sin 2
x + cos 2 x = 1. Jika m dan n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah
sudut.
c.
tg n x dx,
cotg n x dx.
Keluarkan faktor tg 2 x = sec 2 x – 1 dalam kasus tg atau faktor cotg 2 x = cosec 2 x – 1 dalam kasus cotg. Contoh :
d.
cotg 4 x dx =
cotg 2 x (cosec 2 x – 1) dx =
cotg 2 x d(cotg x) -
tg m x sec n x dx,
(cosec 2 x – 1) dx = -
cotg 2 x cosec 2 x dx –
cotg 2 x dx = -
1 cotg 3x + cotg x + x + c 3
cotg m x cosec n x dx
Jika n genap dan m sembarang, maka keluarkan faktor sec 2 x atau cosec 2 x. Jika m ganjil dan n sembarang, keluarkan faktor tg x.sec x.
e.
sin mx cos nx dx,
sin mx sin nx dx,
cos mx cos nx dx.
Gunakan kesamaan : sin mx cos nx = ½[sin (m+n)x + sin (m – n)x] sin mx sin nx = -½[cos (m+n)x - cos (m – n)x] cos mx cos nx = ½[cos (m+n)x + cos (m – n)x]
Contoh :
sin 2x cos 3x dx = 1/2 sin 5x + sin (-x) dx
= 1/10
sin 5x d(5x) – ½
sin x dx = - 1/10 cos 5x + ½ cos x + c.
10
3. Pengintegralan Parsial Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan teknik subtitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa pengintegralan lebih sederhana dari integral mula-mula.
udv uv vdu Contoh : x xe dx
Misalkan u = x, dv = ex dx maka du = dx , v = ex x xe dx
=
xe x e x dx = xex –ex + c
4. Integral Fungsi Akar (Subtitusi yang Merasionalkan) a. Fungsi Integral yang memuat bentuk
n ax b
Penyelesaian dengan menggunakan subtitusi : u =
Contoh : Hitung
3 x x 4dx
Jawab : Misalkan u =
Shg
n ax b
3 x x 4dx
maka
u 3 = x – 4 dan 3 u 2 du = dx
3 2 3 x x 4dx = (u 4)u.3u du
3 4 3 ( x 4) 7 ( x 4) 3 c 7
11
2
2
2
2
2
2
b. Integral yang memuat bentuk a x , a x , x a Gunakan berturut-turut subtitusi : x = a sin t, x = a tg t dan x = a sec t.
Contoh : Tentukan
4 x2 x2
dx
Jawab :
Misalkan x = 2 sin t maka dx = 2 cos t dt dan
2 cos t 2
4 sin t
(2 cos t )dt ctg 2 tdt
=
4 x2
= 2 cos t , shg
4 x2 x2
dx
=
= - ctg t – t + c
4 x2 x sin 1 c x 2
5. Integral Fungsi Rasional Fungsi Rasional merupakan fungsi hasil bagi dua fungsi Polinom yang ditulis :
F ( x)
P( x) Q( x)
, P(x) dan Q(x) fungsi –fungsi Polinom dengan Q(x) ≠ 0
Fungsi Rasional dibedakan atas : a. Fungsi Rasional Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih kecil dari pada derajat fungsi polinom pada penyebut.
b. Fungsi Rasional Tak Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat fungsi polinom pada penyebut.
12
Fungsi Rasional Tak Sejati dapat ditulis sebagai penjumlahan fungsi polinom dengan Fungsi Rasional Sejati dengan jalan membagi fungsi pembilang dengan fungsi penyebut.
Permasalahan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada bagaimana mengintegralkan fungsi rasional sejati. Suatu fakta, bahwa fungsi rasional sejati dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi rasional sejati yang lebih sederhana Contoh :
5x 1 x2 1
2 3 x 1 x 1
a. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berbeda Contoh : Tentukan
5x 3 x 3 2 x 2 3x
dx
Jawab :
5x 3 x 3 2 x 2 3x
5x 3 A B C x( x 1)( x 3) x x 1 x 3
maka 5x + 3 = A(x+1)(x-3) + Bx(x-3) + Cx(x+1) dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan maka diperoleh : A = -1 , B =
1
2
, dan C =
3
2
sehingga
3 1 dx 2 dx = dx 2 dx 3 x x 1 x3 x 2 x 2 3x 1 3 = - ln x ln x 1 ln x 3 c 2 2 5x 3
13
b. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berulang Contoh : Tentukan
x ( x 3)
2
dx
Jawab :
x ( x 3)
2
A B x 3 ( x 3) 2
maka x = A(x-3) + B
dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan diperoleh : A = 1 dan B = 3 sehingga
x ( x 3) 2
dx
1 3 3 dx dx ln x 3 c x3 x3 ( x 3) 2
Yang perlu diperhatikan untuk tiap faktor
(ax b) k
dalam penyebut, maka ada
sebanyak k suku penjabarannya, yaitu :
Ak A1 A2 ... ax b (ax b) 2 ( ax b) k
c. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Kuadrat yang Berbeda Contoh :
Tentukan
6 x 2 3x 1 2
dx
(4 x 1)( x 1)
Jawab :
6 x 2 3x 1 ( 4 x 1)( x 2 1)
A Bx C 4x 1 x 2 1
Selanjutnya tentukan A, B dan C seperti cara diatas dan kemudian hitung integral setiap sukunya.
14
PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU Luas Daerah Bidang Rata a. Daerah Antara Kurva dan Sumbu Koordinat.
Perhatikan gambar daerah rata dibawah ini. Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik y = f(x), x = a, x = b dan y = 0, luasnya A(R) ditentukan oleh :
b A(R) =
f ( x)dx a
Jika gambar terletak dibawah sumbu X maka integral diatas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan.
Perhatikan pula gambar daerah rata berikut ini :
Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik x = f(y), y = c, y = d dan x = 0, luasnya A(R) ditentukan oleh : A(R) =
d
f ( y ) dy c
15
Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu Y maka integral diatas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan.
Contoh : Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh fungsi sebagai berikut :
Untuk menghitung luas daerah rata ikuti pola berfikir sebagai berikut : 1. Gambar daerah yang bersangkutan 2. Potong daerah menjadi jalur-jalur dan beri nomor pada satu jalur tertentu 3. Hampiri luas jalur tertentu tersebut dengan luas persegi panjang 4. Jumlahkan luas jalur-jalur pada daerah tersebut 5. Ambil limit dari jumlah diatas dengan lebar jalur menuju 0, maka diperoleh integral tertentu.
b. Daerah antara 2 Kurva Perhatikan kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan g(x) f(x) pada selang [a,b], sebagai gambar berikut :
A(f (x)g(x))x b A=
( f ( x ) g ( x )) dx a 16
Kita gunakan cara : potong, aproksimasikan, dan integralkan.
17
TURUNAN DEFINISI Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi menjadi ′ yang mempunyai nilai tidak beraturan. Laju perubahan nilai fungsi ( ) pada
=
∶
→
dapat ditulis:
Limit ini disebut turunan atau diferensial dari f(x) pada x = a. Jika f(x) adalah suatu fungsi yang kontinu pada selang - ∞ <
< ∞, berlaku lim
(
→
)
( )
=
( ) (turunan
pertama dari ( )). Sehingga diperoleh rumus sebagai berikut:
( ) = lim →
( + ℎ) − ℎ
( )
18
dikatakan diferensiabel di , dan ′( ) disebut fungsi
Jika nilai limitnya ada, fungsi turunan dari
= ( ) sering kali ditulis dengan ′ = ′( ). Notasi dari ′ =
. Turunan dari
′( ) juga dapat ditulis:
( )
=
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa) fungsi yang tak diketahui. Meskipun persamaan seperti itu seharusnya disebut “Persamaan Turunan”, namun istilah “persamaan diferensial” (aequatio differentialis) yang diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) pada tahun 1676 sudah umum digunakan. Sebagai contoh, persamaan diferensial
’ =
3 +1
( + 1)
dapat ditulis dalam bentuk 3
=
+1
( + 1)
−
3 +1
=
3 +1
Contoh soal : 1. Tentukan turunan pertama dari ( ) =
+ 5!
Penyelesaian : ( )=
+5
( + ℎ) = ( + ℎ) + 5 = ’( ) = lim
+ 3 (
)
ℎ + 3 ℎ + ℎ + 5
( )
→
(
= lim
)
→
= lim →
= lim
(
)
→
19
= lim (3
+ 3 ℎ + ℎ)
→
=3
+ 3 .0 + 0
=3
( ) jika ( ) = √ ,
2. Carilah
>0
Penyelesaian ( + ℎ) − ( ) ℎ
( ) = lim →
√
= lim
√
→
Dalam soal ini dapat diselesaikan dengan merasionalkan pembilang. √
’( ) = lim
√
→
= lim →
= lim →
= lim →
= =
√
.
(√
√ )
(√
√ )
√
√ √
√ √
√
√
√
20
ATURAN PENCARIAN TURUNAN adalah fungsi lain ’. Jika ( ) =
Turunan suatu fungsi , maka
’( ) = 3
mendiferensiasikan
+ 7 adalah rumus untuk
+ 7 adalah rumus untuk ’. Ketika kita menurunkan . Turunan mengoperasikan
menggunakan simbol
untuk menghasilkan
untuk menandakan operasi diferensiasi. Simbol
kita mengambil turunan (terhadap peubah ). Maka, kita menuliskan (
+ 7 ) = 3
, artinya kita
’. Kita biasanya menyatakan bahwa ( ) =
’( ) atau
+ 7
1. Aturan Konstanta dan Aturan Pangkat
Teorema A : Aturan Fungsi Konstanta
Jika ( ) =
suatu konstanta, maka untuk sebarang , ’( ) = 0; yakni
dengan
( ) = 0 Bukti ’( ) = lim
(
)
( )
→
= lim →
= lim 0 →
= 0
21
Teorema B : Aturan Fungsi Identitas Jika ( ) = , maka ’( ) = 1 ; yakni ( ) = 1 Bukti ( + ℎ) − ℎ
’( ) = lim →
=
+ℎ− ℎ
→
=
→
( )
ℎ ℎ
= 1
Teorema C : Aturan Pangkat
Jika ( ) =
, dengan
bilangan bulat positif, maka ’( ) = (
; yakni
) =
Bukti
’( ) =
=
( + ℎ) − ℎ
→
(
( )
)
→
(
=
….
→
(
=
)
)
⋯
→
22
Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertama mempunyai ℎ sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila ℎ mendekati nol. Jadi ’( ) = Sebagai ilustrasi Teorema C, perhatikan bahwa : (
Jika
)= 3
(
)= 9
(
) = 100
Teorema D : Aturan Kelipatan Konstanta suatu konstanta dan
suatu fungsi yang terdiferensial maka (
)’ ( ) =
. ’( );
yakni, [ . ( )] = .
. ( )
Bukti Andaikan
( ) =
’( ) =
=
= =
. ( ) . Maka ( + ℎ) − ℎ
→
. (
)
( )
. ( )
→
→
.
(
)
( )
. ′( )
23
Teorema E : Aturan Jumlah Jika
adalah fungsi-fungsi yang terdiferensial, maka (
dan
+
)’ ( ) =
’( ) +
’ ( ) ; yakni, [ ( )+
( )] =
( ) +
( )
Bukti Andaikan ( ) = ’( ) =
=
=
[ (
)
(
(
)
( )
(
)
( )
( ). Maka )] [ ( )
( )]
→
→
→
( )+
=
( ) +
(
+
+
)
(
( )
)
( )
→
( )
Teorema F : Aturan selisih
Jika
dan
adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka ( − ) ( ) =
( )−
( ); yakni, [ ( )−
( )] =
( )−
( )
Bukti Andaikan ( ) = ’( ) =
=
( ) − ( ). Maka
[ (
)
(
(
)
( )
)] [ ( )
( )]
→
→
−
(
)
( )
24
= =
(
)
( )
→
( )+
(
−
)
( )
→
( )
Contoh: Tentukan turunan dari 5
+ 7 – 6 dan 4
–3
– 10
+ 5 + 16.
Penyelesaian (5
+ 7 – 6) =
(5
=
(5
= 5
+ 7 )– ) +
(
) + 7
= 5.2 = 10
(6)
(Teorema F)
(7 ) –
(6)
(Teorema E)
( )–
(6)
(Teorema D)
+ 7 .1 + 0
(Teorema C,B,A)
+ 7
2. Aturan Turunan Hasil kali dan Hasil bagi
Teorema G : Aturan Hasilkali Jika
dan
adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka ( . )’( ) =
( ) ’( ) +
( ) ’( )
Yakni, [ ( ) ( )] =
( )
( ) +
( )
( )
Aturan ini dihafalkan dalam kata-kata sebagai berikut : Turunan hasil kali dua fungsi adalah fungsi pertama dikalikan turunan fungsi yang kedua ditambah fungsi kedua dikalikan fungsi pertama.
25
Bukti Andaikan ’( ) =
( ) =
=
=
=
( + ℎ) − ℎ
→
(
) (
)
(
) (
)
( )
( ) ( )
→ (
) ( )
(
) ( )
( ) ( )
→
=
=
( ) ( ). Maka
→
→
( + ℎ).
( + ℎ) .
( ) ’( ) +
(
)
( )
(
)
( ).
+ ( )
→
(
)
( ).
+
( )
(
)
( )
→
( ) ’( )
Contoh : Carilah turunan (3
– 5)(2
– ) dengan menggunakan aturan hasil kali. Periksalah
jawaban dengan menggunakan soal itu dengan cara lain. Penyelesaian : [(3
− 5)(2
− )] = (3
– 5)
(2
– ) + (2
– )
= (3
– 5) (8
– 1) + (2
– ) (6 )
= 24
–3
= 36
– 40
– 40 –9
+ 5 + 12
(3
− 5)
+ 6
+ 5
Untuk memeriksanya, pertama kita kalikan kemudian menurunkannya. (3
− 5)(2
− ) = 6
– 10
–3
+ 5
26
Jadi, [(3
− 5)(2
−
)] =
(6
= 36
)–
– 40
(10 –9
)–
(3
) +
(5 )
+ 5
Teorema H : Aturan Hasilbagi Andaikan
= fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan dengan ( ) ≠ 0. Maka,
dan
( )=
( ) ( )− ( ) ( ) ( ) Yakni,
( ) ( )
( )
=
( )
( )
( )
( )
Aturan ini dihafalkan dalam kata-kata sebagai berikut : Turunan suatu hasilbagi adalah sama dengan penyebut dikalikan dengan turunan pembilang dikurangi pembilang dikalikan turunan penyebut, seluruhnya dibagi dengan kuadrat penyebut. Bukti ( ) . ( )
( )=
Andaikan
( + ℎ) − ℎ
( ) = lim →
= lim
Maka
( (
) )
( )
( ) ( )
→
= lim
( ) (
)
( ) (
→
= lim →
( ) (
)
( ) ( )
)
.
( ) (
( ) ( )
)
( ) (
)
.
( ) (
)
27
= lim →
( )
(
)
( )
− ( )
= [ ( ) ( ) − ( ) ′( )]
(
)
( ) ( ) (
)
( ) ( )
Contoh: Carilah turunan
(
)
(
)
Penyelesaian: 3 −5 +7
=
(
+ 7)
( ) ( ( )
=
=
(3 − 5) − (3 − 5) ( + 7)
(
)(
(
+ 7)
)
)
28
