3/25/2012
PENGERTIAN INTEGRASI
Integral adalah lawan diferensiasi. Penulisan simbol integral:
x x
TEKNIK INTEGRASI
x
Rumus – rumus dasar dasar integrasi integrasi
ax n
1
ax dx n 1 C , n 1 n
Integral Parsial Bila
bertemu dengan integran yang pengintegralannya tidak dapat dibawa ke bentuk dasar. Salah satu cara penyele elesaiannya dengan metode ode integr egral parsial.
Dengan pemisalan: pemisalan: u = f(x) f(x) dan v = g(x). Metode integral parsial memiliki bentuk:
u d v u v vd u
Dengan pem pemisalan: u = f(x) dan v = g(x).
d (u v ) = u dv + v du
u dv
Keterangan: u = f(x) v = g(x)
Jika u dan v masing-masing fungsi terhadap x serta merupakan dua buah fungsi yang diferensiabel, maka dari: = d ( uv ) – v du
∫ u dv = ∫ d ( uv ) - ∫ v du
Dalam integral parsial yang perlu diperhatikan adalah sebagai berikut :
1.Dalam pemilihan / pengambilan u, sedemikian sehingga ∫ v du harus lebih mudah dikerjakan daripada ∫ u dv,
Contoh soal:
- du du = turunan dari u - dv = turunan v
. dipergunakan pada integral yang mengandung fungsi logaritma atau perkalian polinom x n dengan fungsi trigonometri seperti x cos x, atau xn sin x, juga perkalian perkalian fungsi eksponensial eksponensial x n ax e , atau perkalian fungsi eksponensial dengan fungsi trigonometri seperti e 2x sin x. Selain itu fungsi-fungsi yang tidak terdapat pada rumus dasar seperti fungsi siklometri.
1. ∫ x exdx = Misalkan: u = x du = dx dv = ex dx ∫dv = ∫ ex dx v = ex
usah kita berikan dulu, nanti setelah hasil integral diperoleh, tinggal ditambahkan) Jadi ∫ x ex dx = u v - ∫ v du = x ex - ∫ ex dx = x ex - ex + C
1
3/25/2012
Contoh 4: ∫ ln x dx = Misalkan : u = ln x du = 1/x dx dv = dx ∫ dv = ∫ dx v = x Jadi: ∫ ln x dx = u v - ∫ v du ∫ ln x dx = x ln x - ∫ x . dx = x ln x - ∫ dx = x ln x - x + C. 3. ∫ x sin x dx = 2.
1 . ∫ arc tg x dx = Misalkan: u = arc tg x du = 1 x 2 dx dv = dx ∫ dv = ∫ dx v = x
. ∫ arc tg x dx = x arc tg x - ∫
untuk ∫
Misalkan : u = x du = d x dv = sin x dx ∫ dv = ∫ sin x d x v = - cos x
x 2 1 x
x 1 x2
dx =
misalkan: p = 1 + x 2 dp = 2x dx dx =
dx
x
dp
2 x x dp 1 dp 1 1 ln p C ln 1 x2 C . p.2 x 2 p 2 2
maka:
Jadi : ∫ arc tg x dx = x arc tg x – l n ( 1 + x 2 ) + C.
dx =
2 1 x
∫ x sin x dx = - x cos x - ∫- cos x dx = - x cos x+∫ cos x dx
= - x cos x+sin x+C.
Rumus-rumus reduksi untuk sinus dan cosinus sin
1. ∫ sin n x dx =
n 1
x cos x
n 1
n
n
sin
n 2
Pengintegralan perpangkatan Sinus dan Cosinus
x dx ;
n = bilangan positif. n 1
cos
2. ∫ cos n x dx =
x sin x
n
n 1 n
cos
n2
x dx ;
Dalam bagian ini akan dipelajari metode untuk menyelesaikan integral bentuk:
n = bulat positif. 3. ∫ tg n x dx =
4. ∫ 5. ∫
Ctg n x sec
n x
n 1
tg
x
n 1
ctg
d x = - dx =
sec
n 1
x
n 1 n 2
n 2
tg
x dx ; n bulat positif
sin
2.
n x
dx =
ctg
x tg x
n 1
cos ec
x dx ; n bulat positif
n2
sec n 1
n2
x dx ;
diman
n2
x c tg x
n 1
n2 n 1
cos ec
n 2
Identitas trigonometri:
sin
2
1
x
Jika m dan n bilangan bulat m n positif, maka Integral: sin x cos xdx -gunakan kesamaan terkait, sin2x=1-cos2x
-substitusi u = cos x
cos
-gunakan kesamaan terkait, cos2x=1-sin2x
-substitusi u = sin x m dan n genap : gunakan kesamaan terkait untuk mereduksi pangkat sin x dan cos x:
sin2x = ½(1 - cos2x)
Cos2x= ½(1 + cos2x)
sin mx cos nx cos mx cos nx
(1 (1
2
2 x )
cos
1 2 sin
2 x
2 x )
cos
2
x dan cos2x=2cos2x-1
Integrasi perpangkatan secan dan tangen : ⌡tanmx secnx dx sec
n ganjil, -pilahlah faktor dari cos x
x
2 1
• Bila m dan n bilangan bulat tak negatif : n2
m ganjil, -pilahlah faktor dari sin x
2
cos x dx
dimana: n = bulat positif
n
x cos xdx .
n 2
n bilangan bulat positif 6. ∫ co sec
m
sin( m n ) x sin( m n ) x 2 cos( m n ) x cos( m n ) x 2
• • • • • • • •
n
xdx
sec
x tan x
n 1 m 1
n 2 n 1
sec
n2
xdx
x tan m 2 xdx m 1 m an i l, - ilahlah faktor emba i sec 2 x -gunakan kesamaan terkait, sec 2x=tan2x+1 -substitusi u = tan x n genap, -pilahlah faktor pembagidari sec x tanx -gunakan kesamaan terkait, tan 2x=sec2x-1 -substitusi u = sec x m genap dan n ganjil : gunakan kesamaan terkait untuk mereduksi pangkat sec x sendiri.: Kemudian gunakan rumus reduksi untuk pangkat sec x: tan2x = sec2x - 1
tan
m
xdx
tan
2
3/25/2012
Integral fungsi rasional;pecahan parsial Fungsi rasional pada umumnya susah diintegralkan. Faktor-faktor linear;
Jika semua faktor Q(x) linear, maka dekomposisi pecahan parsial P( x) dapat ditentukan dengan aturan x
Aturan faktor linear;
Untuk setiap faktor dalam bentuk (ax+b) m, dekomposisi pecahan rasional mengandung jumlahan dari m pecahan parsial: A1 A2 Am ..... m ax b (ax b)2 (ax b) Dengan , A1, A2, ….Am, konstantan yg dicari
Faktor-faktor kuadratik
Jika Q(x) mempunyai faktor kuadratik yang tidak dapat disederhanakan, maka dekomposisi pecahan parsial P(x)/Q(x) dapat ditentukan dengan aturan sbb:
Aturan faktor kuadratik:
Untuk setia faktor berbentuk ax2+bx+c m, dekomposisi parsialnya sbb:
A1 x B1
A2 x B2
... 2
2 2 ax bxc (ax bxc)
Am x Bm (ax2 bxc)
m
Dengan A1, A2, ……Am, B1, B2, …..Bm konstantan yang dicari
Integral yang mencakup: ax2 + bx + c
Substitusi Trigonometri • Bagaimana menyelesaikan integral yang memuat ekspresi berbentuk; •
dan
• (a>0) dengan membuat substitusi yang mencaku fun si-fun si tri onometri
Integrasi-integrasi yang mengandung ax2+bx+c, dengan a≠0 dan b≠0, dapat dilakukan pertama dengan membuat kuadrat sempurna, selanjutnya dengan melakukan substitusi yang sesuai. x
• Akan ditunjukkan pula bagaimana metode kuadrat sempurna kadang dapat digunakan untuk membantu menyelesaikan integral yang memuat ekspresi-ekspresi berbentuk ax2+bx+c
x
2
4x 8
Dengan menyempurnakan kuadrat diperoleh;
X2-4x+8 = (x2-4x+4)+8-4= (x-2)2 + 4
Jadi dengan substitusi: u=x-2, du = dx
Diperoleh;
Diperoleh ; x x u2 dx dx 2 du 2 2 x 4 x 8 u 4 ( x 2) 4
u u 4 2
2
du u 4 2
1
1
u
2
2
2
ln(u 2 4) 2( ) tan 1
C
1
x 2
2
2
ln{( x 2) 2 4} tan 1 (
) C
3
