KALKULUS II “INTEGRAL TRIGONOMETRI”
OLEH: ABNER R.N TAMINGGU-F55116085 FATIHAH FATIHAH RIZKI-F55116132 RIZKI -F55116132
KELAS B PROGRAM STUI TEKNIK INFORMATIKA !URUSAN TEKNOLOGI INFORMASI FAKULTAS FAKULTAS TEKNIK TE KNIK UNI"ERSITA UNI"ERSI TAS S TAULAKO 201#
Integral trigonometri merupakan integral yang menggunakan fungsi-fungsi trigonometri Berikut ini adalah rumus-rumus integral trigonometri ∫ cos x dx = sin x + c ∫ sin x dx = -cos x + c ∫ sec2 x = tan x + c ∫ csc2 x = -cot x + c ∫sec x tan x = sec x + c ∫ csc x cot x = – csc x + c Selanjutnya rumus-rumus yang ada isa diperluas menjadi ∫ cos !ax + " dx = #$a sin !ax + " + c ∫ sin !ax + " dx = -#$a cos !ax + " + c ∫ sec2 !ax + " = #$a tan !ax + " + c ∫ csc2 !ax + " = – #$a cot !ax + " + c ∫sec !ax + " tan !ax + " = #$a sec !ax + " + c ∫ csc !ax + " cot !ax + " = – #$a csc !ax + " + c %umus-rumus penunjang untuk mengerjakan integral trigonometri adalah s&
'ntuk kali ini kita akan mencoa untuk memaas Integral yang memiliki entuk seagai erikut ini(
)imana m dan n merupakan ilangan ulat positif* untuk menemukan antiturunan dari entuk-entuk diatas* maka soat pecahlah entuk terseut menjadi kominasi integral trigonometri sedemikian sehingga kita dapat menggunakan turan ,erpangkatan( 'ntuk leih jelasnya* mari kita lihat contoh erikut* ita dapat menyelesaikan integral erikut ini dengan memisalkan u = sin x( Sehingga* du = cos x dx dan diperoleh seperti di a.ah ini(
Bagi soat genggaminternet(com yang ingin menyelesaikan Integral-integral trigonometri maka gunakanlah identitas-identitas erikut ini agar soat isa menggunakan turan ,erpangkatan(
TIPS $% P$%&'$% $($) M*%+*(*,$$% I%/*$( +$% M*)'$/ P*$%$/$% S%', &$% 4,%',.
da tiga ,anduan dalam menyelesaikan /asalah saat menghadapai Integral yang memuat perpangkatan sinus dan 0osinus* eikut ini panduanya( #( paila pangkat dari Sinus merupakan ilangan ganjil dan positif* Simpan satu 1aktor sinus terseut dan uahlah faktor sisanya menjadi cosinus* alu ekspansi dan Integralkan* untuk leih jelasnya silahkan soat lihat di a.ah ini(
2( paila pangkat dari cosinus merupakan ilangan ganjil dan positif* Simpan satu 1aktor cosinus terseut dan uahlah faktor sisanya menjadi sinus* alu ekspansi dan Integralkan* untuk leih jelasnya silahkan soat lihat di a.ah ini(
3( pa ila pangkat dari sinus serta cosinus keduanya genap dan tidak negatif* maka gunakan secara erulang identitas erikut ini(
'ntuk /enguah Integral /enjadi perpangkatan gandil dari xosinus( alu lanjutkan sesuai panduan 4o2 di atas* aik faham kan soat( jika masih ingung mari kita ke panduan soal serta penyelesainya( 4%/4 S4$( $% P*%+*(*,$$% S*$$ L*%$
1. P$%$/ &$ S%', G$%7( &$% P4,/
5entukanlah(6 & ,emahasan & 7leh arena kita erharap untuk menggunakan turan ,erpangkatan dengan u = cos x* maka simpan satu faktor sinus untuk mementuk du dan uah faktor-faktor sinus sisanya menjadi cosinus(
/ari kita pada contoh # di atas* pangkat m dan n keduanya merupakan ilangan ulat positif( agaimanapun* terknik yang sama dapat kita gunakan selama salah satu dari m ataup n merupakan ilangan ganjil positif( seagai contoh* soat akan melihat pada contoh selanjutnya* yakni pangkat dari cosinusnya 3* sedangkan pangkat dari sinusnya -#$2( 2. P$%$/ &$ 4,%', G$%7( &$% P4,/
5entukanlah(6 & ,emahasan engkap & 7leh karena kita akan menggunakan aturan perpangkatan dengan u = sin x* maka simpan satu faktor cosinus untuk mementuk du dan uah faktor-faktor cosinus sisanya menjadi sinus( ,enyelesaian lengkapnya silahkan di simak dia.ah ini(
3. P$%$/ &$ 4,%', G*%$ &$% P4,/
5entukanlah(66 & P*)9$$,$% arena m dan n keduanya genap dan tidak negatif ! m = 8"* soat dapat
mengganti cos9 x dengan :!# + cos 2 x"$2;<(
Baiklah mari kita 'ji hasil di atas* kita isa menggunakan onsep turunan* jika kita menurunkan hasil di atas* maka kita akan memperoleh seagai erikut ini(
coa perhatikan* pada contoh 3 yang aru saja kita ahas* ika kita menghitung integral tentu dari 8 sampai >$2* maka kita akan mendapatkan seagai erikut ini
0oa ,erhatikan lagi* satu-satunya suku yang erperan dalam mendapatkan hasil di atas adalah 3 x$?( @al ini digeneralisasi oleh rumus-rumus erikut yang telah ditemukan oleh ohn Aallis( R')',-')', $((,
#( ika n ilangan ganjil ! n 3"* maka
2( ika n ilangan genap ! n 2"* maka
%umus-rumus terseut akan tetap Calid jika kita mengganti cos x dengan sin x( n
n
0oa perhatikan latihan soal dan pemahasan integral trigonometri erikut ini &