KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur senantiasa saya panjatkan kehadirat Allah SWT. Karena rahmatnyalah kita masih diberi kehidupan yang sejahtera. Shalawat serta sala sa lam m se semo moga ga te teta tapp te terc rcur urah ahka kann ke kepa pada da ju jung ngju jung ngan an be besa sarr ki kita ta Ha Habi biba bana na Wanabiyana Muhammad SAW, karena bimbingannyalah kita bisa berjalan pada jalan yang diridoi Allah SWT, SWT, sehingga dengan segala kekhilaan dan kekurangan penulis dapat menghasilkan sebuah modul sederhana yang diharapkan dapat memba membantu ntu mahasis mahasiswa wa dalam dalam mempel mempelaja ajari ri kon konsep sep dasar dasar tentan tentangg Kalkul Kalkulus us !ierensial dan "ntegral. Modul Modul ini berisi berisika kann kon konsep# sep#kon konse sepp tentan tentangg Turuna urunann $un $ungsi gsi,, Aplika Aplikasi si Turunan urunan,, "ntegr "ntegral al dan dan Aplika Aplikasi si "ntegr "ntegral, al, denga dengann demik demikian ian tulisa tulisann ini selain selain membantu mahasiswa juga dapat memberikan bekal tambahan dalam mengikuti mata kuliah Kalkukus. !an sa !an saya ya me meng nguc ucap apka kann te terim rimaa ka kasi sihh ke kepa pada da ke kedu duaa or oran angg tu tuaa ya yang ng senantiasa memberikan dukungan nya serta do%anya. !an tak lupa juga saya ucapkan terima kasih kepada !osen kalkulus. yang telah memberikan arahannya sehingga makalah "ni bisa diselesaikan pada waktu yang telah ditetukan. Mudah#mudahan dengan telah selesainya makalah ini dapat bermanaat kususnya bagi saya sendiri dan umunya bagi mahasiswa dan mahasiswi yang sedang mencari pendidikan di perguruan tinggi "ndonesia . Semoga Semoga konsep konsep teori, teori, pembahasan soal, dan soal#soal latihan yang disajikan dalam modul ini dapat berguna dan membantu mahasiswa. Kekurangan dan kekhilaan disana sini Insyaallah akan diperbaiki dikemudian hari. Akhir kata, semoga makalah ini bermanaat. Terima Terima kasih. &ilegon, '()*
+enulis
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR DAFTAR ISI BAB I PENDAHULUAN
A. atar -elakang Masalah -. umusan Masalah &. Tujuan Masalah BAB II PEMBAHASAN
A. -. a. b. &. a. b. !. a. b.
+engertian Kalkulus +rinsip#+rinsip !asar Kalkulus Turunan "ntegral -entuk#-entuk Kalkulus Manipulasi !igit /eneralisasi +engembangan +engembang an Kalkulus Kalkulus !alam !unia +endidikan Kalkulus !unia +opule +opule BAB III KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR DAFTAR ISI BAB I PENDAHULUAN
A. atar -elakang Masalah -. umusan Masalah &. Tujuan Masalah BAB II PEMBAHASAN
A. -. a. b. &. a. b. !. a. b.
+engertian Kalkulus +rinsip#+rinsip !asar Kalkulus Turunan "ntegral -entuk#-entuk Kalkulus Manipulasi !igit /eneralisasi +engembangan +engembang an Kalkulus Kalkulus !alam !unia +endidikan Kalkulus !unia +opule +opule BAB III KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA
BAB I PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang Masalah
Kalkulus 0-ahasa atin1 calculus, artinya 2batu kecil3, untuk menghitung4 adalah cabang ilmu matematika yang mencangkup limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geome ge ometri tri ada adalah lah ilm ilmuu men mengen genai ai be bentu ntukk dan alj aljab abar ar ada adalah lah ilm ilmuu men mengen genai ai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang#bidang sains, ekonomi, dan teknik, serta dapat memec mem ecahk ahkan an ber berbag bagai ai mas masala alahh yan yangg tid tidak ak da dapat pat dip dipeca ecahka hkann den dengan gan alj aljaba abar r elementer. Kalkulus mempunyai dua cabang utama, kalkulus dierensial dan kalkulus integr int egral al ya yang ng sa salin lingg be berhu rhubun bungan gan mel melalu aluii teo teorem remaa das dasar ar kal kalkul kulus. us. +el +elaja ajaran ran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari ungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika. Turunan merupakan salah satu bagian dari kalkulus yang mempunyai peranan yang sangat besar baik dalam bidang#bidang lain maupun dalam matematika itu sendiri. !engan mempelajari turunan, maka dapat mempermudah kitaa dal kit dalam am men menyel yelesa esaika ikann ma masal salah# ah#mas masala alahh yan yangg be berka rkaita itann den denga gann un ungsi gsi,, integral dan bidang kalkulus lainnya. Turunan juga dapat menggambarkan graik suatu ungsi aljabar yaitu dengan menggunakan penerapannya. 5ntuk menentukan turunan suatu ungsi biasanya digunakan konsep limit.
B.
Rumusan masalah
Makalah ini memiliki berbagai masalah yang perlu diselesaikan dalam rumusan masalah adalah sebagai berikut. ). !ierensial6Turunan '. Aplikasi !ierensial 7. "ntegral 8. Aplikasi "ntegral .
Tu!uan Penul"san
Makalah diatas tadi mempunyai tujuan sebagai berikut1 ). untuk mengetahui pengertian !ierensial dan "ntegral '. untuk mengetahui macam#macam bentuk Turunan6"ntegral 7. untuk mengetahui kegunaan Turunan6"ntegral dalam kehidupan sehari#hari D.
Man#aat Penul"san
!engan dituliskannya makalah mengenai materi ini, penulis berharap dapat memberikan inormasi tambahan kepada pembaca dan dapat menambah wawasan pengetahuan mengenai materi kalkulus !ierensial dan "ntegral.
BAB II PEMBAHASAN
A. DIFERENSIAL A.$ Pengert"an Turunan Fungs"
imit dapat digunakan untuk menentukan gradien dari suatu kur9a. Selain itu, limit juga digunakan untuk mendeinisikan salah satu operasi yang undamental pada kalkulus, yaitu turunan Definisi
Turunan ungsi f adalah ungsi f yang nilainya di c adalah.
f ( c )= lim '
h →0
f ( c + h ) − f ( c ) h
Asalkan limit ini ada :ika f mempunyai turunan disetiap x anggota domain maka f ( x )=lim '
h→ 0
f ( x + h )−f ( x ) h
:ika y ; f(x) turunan y atau turunan f dinotasikan dengan y’ , atau atau
dy dx
, atau f’,
df ( x ) dx
A.% Turunan Fungs" K&nstan 'an Fungs" Pangkat
). jika f(x) ; k dengan k konstan untuk setiap x 0 f ungsi konstan4, maka f’(x) ; (. Bukt"1
f ' ( x )= lim ¿ h →0
¿ lim ¿ h→0
f ( x + h )− f ( x ) h k − k h
;(
'. jika f(x) ; x dengan x 0 f ungsi identitas4, maka f’(x) ; ). f ' ( x )= lim ¿
Bukt"1
h →0
¿ lim ¿
f ( x + h )− f ( x ) h
( x +h )− x
¿ lim ¿
h
h→0
h→0
h h
;) 7. jika f(x) ; xn dengan n bilangan bulat positi, untuk setiap x, maka f ’(x) ; nxn-1. f ' ( x )= lim ¿
Bukt"1
h →0
f ( x + h )− f ( x ) h n
lim ( x + h )
¿ h→
n
x + nx
¿ lim ¿ h→0
n−1
h+
− x n
0
h
n ( n− 1 ) n − 2 2 n− 1 n n x h + … + nxh + h − x 2 h
n −1 nx
n− 1
+
n (¿ 2 x
n− 2
¿ n− 2 n− 1 h + ...+ nxh + h ¿ ) h¿
h
¿ lim ¿ h→ 0
(
¿ lim nx n− + h→0
1
n ( n− 1 ) 2
x
n−2
n−2
h+ ...+ nxh
¿ lim nx n−1 h→ 0
¿ nx n−1 &nt&h $
:ika
f ( x ) = x
5
, maka turunan f adalah
f ( x )=5 x '
4
+ hn−
1
)
A.( S"#at)s"#at Turunan
:ika k suatu konstanta, f dan g ungsi#ungsi yang terdierensialkan, u dan 9 ungsi#ungsi dalam x sehingga u ; f(x) dan v = g(x) maka berlaku1 ). '. 7. 8.
:ika y = ku :ika y = u+v :ika y = u-v :ika y = u.v
'
u v
*. :ika y = 6.
maka y’ = k 0u’ 4 maka y’ = u’+v’ maka y’ = u’-v’ maka y’ = u’v+uv’ maka y’ =
:ika y = [ f ( x ) ]n
u v −uv ' 2 v
maka y’ = n . f ' ( x ) [ f ( x ) ] n−1
A.* Aturan Ranta" +untuk Turunan Fungs" K&m,&s"s"-
3 x
¿ untuk menentukan turunan y = + 7 x −8 dengan cara mengalikan ¿4¿ ¿ ¿ 3 x bersama turunan polinom (¿¿ 4 + 7 x −8fungsi ) kemudian misalkankesembilan y = f(u) danaktor u = g(x) menentukan komposisimencari yang dirumuskan Aturan Rantai
¿ dengan y = f(g(x)) = (f g)(x) jika terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di
berderajat 7< tentulah sangat melelahkan. di x &aradan yang u = g(x) maka y = (f g)(x) terdiferensialkan g mudah untuk menentukan
'
turunan
8 9 y =3 x + 7 x −¿ ¿ 4
'
y =( f ° g ) ( x )
adalah dengan menggunakan aturan rantai. ¿ f ' ( g ( x )) g' ( x )
atau
dy
=
dy du
$ungsi komposisi dapat diperluas menjadi komposisi 7 ungsi, 8 ungsi dan seterusnya :ika
y = f(u) u = g(v) v = h(x)
=akni
y = (f g h)(x)
maka
dy dy du dv = dx du dv dx
A. Turunan Fungs" In/ers
Misalkan y = f(x) dan f mempunyai in9ers !engan menggunakan aturan rantai pada −1
dy df ( y ) dy = dx dy dx
);
dx dy dy dx
−1
x = f
−1
f
sehingga x =
( y ) diperoleh
−1
f
(y).
1 dy = dx dy dx
A.0 Turunan Fungs" Im,l"st
$ungsi implist secara umum dapat ditulis sebagai f ( x , y ) =0 dengan y sebagai ungsi dalam x &ontoh ungsi implist1 )4
y −2 x − 8 = 0
'4
2 x y −7 y − x
3
3
2
+ 1= 0
A.1 Turunan T"ngkat T"ngg"
:ika ungsi diturunkan maka turunannya, yaitu f ' juga berupa ungsi sehingga boleh jadi f ' mempunyai turunan tersendiri yang dinyatakan oleh
( f ' ) ' =f ' ' . $ungsi yang
f ' '
baru ini disebut turunan kedua dari
f
karena
dia merupakan turunan dari turunan f . !engan notasi eibni> kita tuliskan turunan kedua dari y = f ( x ) sebagai
( )
2
d dy d y = 2 dx dx dx
?otasi lain adalah
f ( x ) = D f ( x ) ' '
2
A.2 Turunan Fungs" Al!a3ar 'an Fungs" Trasen'en
Fungsi
{
{
Fungsi Aljabar Fungsi Rasional Fungsi Irrasional
{
Fungsi Trigono!"ri Fungsi #iklo!"ri Fungsi Transndn Fungsi $ogari"!a Fungsi %ks&onnsial Fungsi i&rbolik
A.2.$ Turunan Fungs" Ras"&nal
&ontoh#contoh tentang turunan yang diuraikan sebelumnya 0contoh )4 adalah contoh#contoh turunan ungsi rasional. :adi turunan ungsi rasional ini tidak perlu dibahas kembali.
A.2.% Turunan Fungs" Irras"&nal
$ungsi irrasional adalah akar dari ungsi#ungsi rasional A.2.( Turunan Fungs" Tr"g&n&metr"
Akan dicari turunan ungsi kosinus sebagai berikut. "ngat 1 cos 0 a + b4 ; cos a cos b – sin a sin b. :ika
f ( x )= cos x
f ( x )=lim
f ( x + h )−f ( x ) h
'
h→ 0
, maka
( x + h )−¿ cos x
cos
h
¿ lim ¿ h →0
cos
x cos h−sin x sin h −¿ cos x h
¿ lim ¿ h →0
¿ lim h→0
¿ lim h→0
cos x ( cos h−1 )−sin x sin h h cos x ( cos h−1 ) −lim sin x sin h h h h→0
¿ lim cos x lim h→ 0
( cos h −1) h
h→0
− lim sin x lim h→ 0
sin h
h→ 0
h
¿ cos x . 0 −sin x . 1 ¿− sin x
:adi,
Jika
f ( x )=cos x , maka f ' ( x )=−sin x
Analog 1 Jika
f ( x )=sin x
maka, f ' ( x )=cos x
Jika
f ( x ) ="g x
Jika
f ( x )= c"gx
maka, f ( x )=−cosc x
Jika
f ( x ) = scx
maka, f ( x )= scx"gx
Jika
( x = cosc x
maka, f ( x )= sc x 2
'
'
'
maka,
A.2.* Turunan F"ngs" S"kl&metr"
$ungsi siklometri adalah in9ers ungsi trigonometri. akan dicari turunan in9ers ungsi sinus 0arcus sinus4 berikut. y = arc sin x
→
x =sin y
→
1
√ 1− x 2 dx =cos y dy 1 dy = dx cos y
cos y = √ 1 − x
2
¿
jadi,
1
√ 1− x 2
1
'
Jika
y = arc sin x , maka y =
Jika
y = arc cos x ,
maka
y =
Jika
y = arc"gx,
maka
y =
Jika
y = arcc"gx,
maka
y =
Jika
y = arc sc x ,
maka
1 ' y = 2 x √ x −1
√ 1 − x2
Analog1
= arc cosc x ,
Jika
1
'
√ 1 − x 1
'
'
1 + x
2
−1 2 1 + x
maka
A.2. Turunan Fungs" L&gar"tma
Akan dicari turunan f ( x )= ln x berikut. f ( x )=lim '
h→ 0
¿ lim
ln ( x + h )− ln x
h
h→0
ln
¿ lim h→0
f ( x + h )−f ( x ) h
( ) x + h x h
2
( )
ln 1+
¿ lim
h
h→0
( )
ln 1+
¿ lim h→0
h x
h x
h . x x
( )
x h ln 1 + h x ¿ lim x h→0
( )
h ln 1+ x ¿ lim x h→0
¿ lim h→0
x h
( )
h ln 1+ x lim x
x h
h→ 0
( x )=ln lim f ( x ) dan 0'4 h→
lim ln f
Mengingat 0)4
h→ 0
0
Sehingga diperoleh 1
( )
h lim ln 1 + x h→ 0 f ( x )= lim x h→0
( )
h lim ¿ 1+ x h →0 ln lim x h →0
¿¿
¿
ln x
¿
1
x
x h
x h
( )
x
h lim 1 + h = x h→0
:adi,
'
1
f ( x )= ln x , maka f ( x )= x
Jika
a Selanjutnya jika y =¿ log x maka turunannya dapat dicari sebagai
¿
berikut. a
y =¿ log x
¿
⟺
y =
ln x ln a 1 ln x ln a
¿ '
y=
Sehingga
1 1 ln a x
¿
:adi,
1 x ln a
a
Jika
y =¿ log x ,
maka
A.2.0 Turunan Fungs" Eks,&nens"al
Akan dicari turunan y = a x sebagai berikut x
y = a
x
ln y = ln a ln y = x ln a
x ¿
ln y ln a
x ¿
1 ln y ln a
Sehingga
dx 1 1 = dy ln a y
!iperoleh
dy = y ln a dx
¿ a x ln a
:adi,
x
y = a
Jika
,
maka
Khususnya untuk a = , jika
y =
x
'
x
y =a ln x
, maka
'
x
y = ln
¿ x
:adi,
Jika
x
y =
,
maka
'
x
y =
A.2.1 Turunan Fungs" H",er3&l"k Defnisi x
− x
− sinh x = 2
x
+ cosh x = 2
− x
− x
x
1 + = x − x coth x = tanh x −
sch x =
1 2 = x − x cosh x +
:ika f ( x )=sinh x , maka xdengan menggunakan turunan ungsi − x 1 sinh x − eksponensial diperoleh
2
(
− x
x
d − f ( x )= 2 dx '
−(− ¿ 2
− x
x
x
)
)
− x
+ ¿ 2
¿ cosh x
:adi,
A.4 Turunan Fungs" Parameter
Apabila disajikan persamaan berbentuk1 x = f ( " ) y = g ( " )
Maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari "
disebut parameter. !ari bentuk parameter ini dapat dicari
x dy dx
dan
y
, dan
dengan cara
sebagai berikut. !ari x = f (" ) dibentuk " =h ( x ) dengan h sebagai in9ers dari f . ?ampak bahwa y = g ( " ) merupakan bentuk komposisi y = g ( " )
¿ g ( h ( x ) )
!iperoleh
Sehingga
dy dy d" = dx d" dx
atau
dy dy / d" = dx dx / d"
dy dy 1 = dx dx dx d"
A.$5 &nt&h S&al D"#erens"al 'an Pem3ahasann6a
B.
APLIKASI DIFERENSIAL B.$ N"la" Maks"mum 'an M"n"mum De#"n"s"
Andaikan S daerah asal dari , mengandung titik c, kita katakan bahwa1 0c4 adalah nilai maksimum pada S jika 0c4 @ 04 untuk semua di S 0c4 adalah nilai minimum pada S jika 0c4 B 04 untuk semua di S 0c4 adalah nilai ekstrim pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum $ungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan adalah ungsi objekti
f(c) Te&rema 7 Ke3era'aan Maks"mum)M"n"mum
:ika kontinu pada selang tutup Ca,bD maka mencapai nilai maksimum dan minimum di sana. Keberadaan minimum dan maksimum pasti ada pada suatu selang tertutup. "ni sangatlah jelas, apalagi kur9a yang ada di dalamnya adalah kur9a naik atau kur9a turun. 5ntuk kur9a yang datar, di semua titik adalah maksimum dan minimum. Te&rema 7 T"t"k Kr"t"s
Andaikan terdierensiasikan pada selang " yang memuat titik c. :ika 0c4 adalah nilai ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu
Titik ujung dari "
Titik stasioner dari 0%0c4 ; (4
Titik singular dari 0%0c44 tidak ada &nt&h S&al
&arilah titik#titik kritis dari 04 ; #'7 E 7' pada C#)6' , 'D
Pen6elesa"an
Titik#titik ujungnya adalah #)6' dan '. 5ntuk mencari titik stasioner kita selesaikan %04 ; #< ' E < ; (, sebagai berikut1 %04 ; #<' E < ; (
#< 0 # )4 ; (
#< ; (
atau
F);(
;(
atau
;)
Sehingga titik#titik stasionernya adalah ( dan ). Tidak ada titik#titik singular pada ungsi ini. :adi, titik#titik kritisnya adalah #)6', (, ), '
B.% Kem&n&t&nan 'an Ke8ekungan De#"n"s" Kem&n&t&nan
Andaikan terdeinisi pada selang " 0buka, tutup atau tak satupun4. Kita katakan bahwa 1
monoton naik pada " jika, untuk setiap pasang bilangan ) dan ' dalam " berlaku ) G ' 0)4 G 0'4 monoton turun pada " jika, untuk setiap pasang bilangan ) dan ' dalam " berlaku ) G ' 0)4 I 0'4 monoton murni pada " jika naik pada " atau turun pada "
Fungsi f monoton turun pada selang I Te&rema 7 Turunan Pertama 'an Kem&n&t&nan
Andaikan kontinu pada selang " dan terdierensiasi pada setiap titikFdalam dari " :ika %04 I ( untuk semua titikFdalam ", maka monoton naik pada "
:ika %04 G ( untuk semua titikFdalam ", maka monoton turun pada "
&nt&h S&al
x Tentukan dimana g ( x ) =
1 + x
2
naik dan dimana turun
Pen6elesa"an
g
' (x )
( 1+ x2 ) − x ( 2 x ) (1 − x 2) (1− x )( 1 + x ) = = = 2 2 2 2 ( 1 + x ) ( 1 + x ) ( 1 + x 2 )2
+erhatikan bahwa penyebut selalu bernilai positi. Titik#titik pemisahyaitu ) dan #) mengakibatkan menjadi tiga selang. =aitu 0#J, #)4, 0#), )4, 0), J4 jika kita menguji nilai mereka, kita temukan bahwa g%04 G ( pada selang yang pertama dan yang ketiga. !an g%04 I ( pada selang yang kedua. Kita menyimpulkan bahwa g turun pada 0#J, #)D dan C), J4 dan g naik pada C#), )D.
De#"n"s" Ke8ekungan
Andaikan terdierensialkan pada selang buka ". Kita mengatakan bahwa 0dan graiknya4 cekung ke atas pada " jika % naik pada " dan kita mengatakan bahwa cekung ke bawah pada " jika % turun pada "
y
x
Te&rema 7 Turunan Ke'ua 'an Ke8ekungan
Andaikan terdierensiasikan dua kali pada selang buka "
:ika 304 I ( untuk semua dalam ", maka cekung ke atas pada "
:ika 304 G ( untuk semua dalam ", maka cekung ke bawah pada " &nt&h S&al
Tentukan selang kecekungan dari Pen6elesa"an 2
x −4 x
f ' ( x )=
( x −2 )2
2
x −2 x + 4 f ( x )= x − 2
( 2 x− 4 )( x−2 )2−2 ( x−2 )( x2−4 x ) f '' ( x )= ( x − 2 )4
( x −2 )(( 2 x −4 )( x −2 )−2 ( x 2 −4 x )) = ( x −2 ) 4 =
2 x
2
−8 x +8− 2 x 2+8 x ( x−2 )3
=
8
( x −2 )3
/raik cekung keatas pada selang 0',J4 dan cekung kebawah pada selang 0#J,'4 T"t"k Bel&k
Andaikan f 0 x4 kontinu di x ; b. Maka 0 b, f 0b44 disebut t"t"k 3el&k dari kur9a f 0 x4 jika 1 terjadi perubahan kecekungan di x ; b, yaitu di sebelah kiri dari x ;b, ungsi f cekung ke atas dan di sebelah kanan dari x ;b ungsi f cekung ke bawah atau sebaliknya x ; b adalah titik belok, jika 20b4 ; ( atau 0b4 ada.
Karena disebelah kiri c cekung kebaah dan disebelah kanan c cekung keatas &nt&h S&al
Tentukan titik belok 0jika ada4 dari 3
f ( x )=2 x −1
1.
2.
f ( x )= x
4
Pen6elesa"an 3
f ( x )=2 x −1
1.
f ' ( x )=6 x
2
, f '' ( x )=12 x
###################EEEEEEEEEE ( !i ; ( terjadi perubahan kecekungan, dan 0(4; #) maka 0(,#)4 merupakan titik belok 2.
f ( x )= x
4
f '' ( x )=12 x
2
###############
EEEEEEEEEE
( Tidak ada titik belok, karena tidak terjadi perubahan kecekungan B.( N"la" Maks"mum 'an M"n"mum L&kal De#"n"s"
Andaikan S daerah asal dari mengandung titik c. Kita katakana bahwa
0c4 adalah suatu nilai maksimum lokal dari jika terdapat sebuah inter9al 0a,b4 yang berisi c sehingga 0c4 adalah nilai maksimum dari pada 0a,b4 S 0c4 adalah suatu nilai minimum lokal dari jika terdapat sebuah inter9al 0a,b4 yang berisi c sehingga 0c4 adalah nilai minimum dari pada 0a,b4 S 0c4 adalah suatu nilai ekstrim lokal local dari jika kedua#duanya adalah sebuah nilai maksimum local atau sebuah nilai minimum local. Te&rema
Andaikan kontinu pada selang buka 0a,b4 yang memuat titik kritis c :ika L04 I ( untuk semua dalam 0a,c4 dan L04 I ( untuk semua dalam 0c,b4 maka 0c4 adalah nilai maksimum lokal :ika L04 G ( untuk semua dalam 0a,c4 dan L04 I ( untuk semua dalam 0c,b4 maka 0c4 adalah nilai minimum lokal :ika L04 bertanda sama pada kedua pihak c, maka 0c4 bukan nilai ekstrim local Te&rema 7 U!" Turunan Ke'ua
Andaikan % dan 2 ada pada setiap titik selang buka 0a,b4 yang memuat c, dan andaikan %0c4 ; (
:ika 304 G ( maka 0c4 adalah nilai maksimum local
:ika 304 I ( maka 0c4 adalah nilai minimum local
B.* L"m"t '" Ketakh"nggaan9 L"m"t Tak Terh"ngga De#"n"s"
0imit bila J 4. Andaikan terdeinisikan pada Cc, J4 untuk suatu bilangan c, kita katakan bahwa lim J 04 ; jika untuk masing#masing I (, terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga. N I M O 04 F O G
De#"n"s"
0imit bila #J4. Andaikan terdeinisikan pada 0 #J, cD untuk suatu bilangan c, kita katakan bahwa lim #J 04 ; jika untuk masing#masing P I(, terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga N G M Q04 F Q G P De#"n"s"
0imit#limit tak# terhingga4. Kita katakan bahwa lim cE 04 ; J jika untuk tiap bilangan positi M, berpadanan suatu RI( demikian sehingga ( G F c G R 04 I M Hu3ungan Terha'a, As"mt&t
/aris ; c adalah asimtot 9ertical dari graik y ; 04. Misalkan garis ; ) adalah asimtot tegak. Sama halnya garis#garis ; ' dan ; 7 adalah asimtot 9ertical. !alam naas yang serupa, garis y ; b adalah asimtot hori>ontal dari graik y ; 04 jika im J 04 ; b atau im #J 04 ; b /aris y ; ( adalah asimtot hori>ontal. B. Te&rema N"la" Rata)Rata Te&rema A
+Te&rema N"la" rata)rata untuk Turunan-.
:ika f kontinu pada selang tertutup Ca,bD dan terdeerensial pada titik#titik dalam dari 0a,b4, maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam 0a,b4 dimana f ( b ) ( f ( a ) =f ) ( c) b(a
atau
f 0b4 F f 0a4 ; f’ 0c4 0b#a4
Te&rema B
:ika $%04 ; /%04 untuk semua F dalam 0a,b4, maka terdapat konstanta & sedemikian sehingga $04 ; /04 E & 5ntuk semua dalam 0a,b4 B.0 A,l"kas" Turunan 'alam Ber3aga" B"'ang Dalam B"'ang Matemat"ka
).
Tentukan ukuran persegi panjang yang dapat dibuat dari kawat sepanjang )(( cm agar luasnya maksimum :awab Misal panjang persegi panjang ; y, lebar persegi panjang ; !
uas ; ; . y Karena ' E 'y ; )(( à y ; *( # Sehingga, ;.y ; 0*( # 4 ; *( F ' , ( B B *( %04 ; *( F ' ; '* Karena 304 ; #' G (, maka di ; '* maksimum. Karena 0(4 ; (, 0'*4 ; <'*, 0*(4 ; ( à agar luas maksimum maka haruslah ; '* dan y ; '* '. Tentukan persamaan garis singgung dari y ; 7 # '' # * pada titik 07,'4. :awab y ; 04 ; 7 # '' # * y ; 04 ; 7 ' # 8 %074 ; 7074' # 8074 ; )* m ; )*. umus +ersamaan /aris Singgung 1
y # yo ; m 0 # o4 maka garis singgung ungsi diatas adalah 1 y F ' ; )* 0 F 74 atau y ; )* F 87 Dalam B"'ang F"s"ka
). Sebuah roket yang diluncurkan 9ertikal diamati dari menara kontrol yang berjarak 7 km dari tempat peluncuran. Tentukan kecepatan 9ertikal roket pada saat jaraknya dari tempat peluncuran * km dan dan jarak ini bertambah dengan kecepatan *((( km6jam :awab Misal ketinggian roket y dan jarak dari menara > !iketahui d* d"
; *((( Saat > ; *(((
!engan menggunakan dalil +ythagoras diperoleh y' E U ; > ' +ada saat > ; * maka y ; 8 !engan menggunakan turunan ungsi implisit didapatkan dy d"
'y
; '>
d* d"
!engan mensubstitusikan y ; 8, > ; * dan dy d"
'y
' 084
V
dy d"
; '>
dy d"
d* d"
; *((( maka diperoleh
d* d"
; ' 0*4 0*(((4
; *(.(((
dy d"
; *(.(((6V
dy d"
; <'*(
Sehingga kecepatan 9ertikal roket ; Dalam B"'ang Ek&n&m"
dy d"
; <'*( km6jam
!alam mempelajari banyak masalah ekonomi sebenarnya kita menggunakan konsep kalkulus. Misalkan dalam suatu perusahaan, +T A-&. :ika A-& menjual satuan barang tahun ini, A-& akan mampu membebankan harga, p04 untuk setiap satuan. Kita tunjukkan bahwa p tergantung pada . pendapatan total yang diharapkan A-& diberikan oleh 04 ; p04, banyak satuan kali harga tiap satuan. 5ntuk memproduksikan dan memasarkan satuan, A-& akan mempunyai biaya total &04. "ni biasanya jumlah dari biaya tetap ditambah biaya 9ariable. Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba +04, yakni selisih antara pendapatan dan biaya. P+:- ; R+:- < +:- ; : ,+:- < +:-
5mumnya, sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya. +ada dasarnya suatu produksi akan berupa satuan#satuan diskrit. :adi 04, &04 dan +04 pada umumnya dideinisikan hanya untuk ; (,),',7,..dan sebagai akibatnya, graiknya akan terdiri dari titik#titik diskrit. Agar kita dapat mempergunakan kalkulus, titik#titik tersebut kita hubungkan satu sama lainsehingga membentuk kur9a. !engan demikian, ,&, dan + dapat dianggap ebagai ungsi yang dapat dideerensialkan. Andaikan A-& mengetahui ungsi biayanya &04 dan ntuk sementara direncanakan memproduksi '((( satuan tahun in. A-& ingin menetapan biaya tambahan tiap satuan. :ika ungsi biaya adalah seperti pada gambar A, !irektur 5tama A-& menanyakan nilai X&6XN pada saat X ; ). tetapi kita mengharapkan bahwa ini akan sangat dekat terhadap nilai im +ada saat ; '(((. ini disebut biaya marjinal. Kita mengenalnya sebagai dc6d, turunn & terhadap . dengan demikian, kita deinisikan harga marjinal sebagai dp6d, pendapatan marjinal d6d, dan keuntungan marjinal sebagai d+6d.
B.1 &nt&h S&al A,l"kas" D"#erens"al 'an Pem3ahasann6a
. INTEGRAL .$ Pengert"an Integral
"ntegral yang biasa disebut juga 2hitung integral3 atau 2kalkulus integral3 dapat digunakan untuk mencari luas suatu daerah. !alam kalkulus integral dapat
diartikan sebagai operasi in9ers dari turunan disebut juga anti turunan atau anti dierensial. "ntegral dilambangkan oleh 2 + 3 yang merupakan lambang untuk menyatakan kembali Suatu fungsi
f ( x )
dari
'
f ( x )
.
f disebut anti tuunan dai suatu fungsi
f !ada selang
I , "ika untuk setia! nilai x di dala# I , belaku f ' ( x ) = f ( fx ) .
-erdasarkan pengertian bahwa integral adalah in9ers dari operasi pendierensialan, maka dapat disimpulkan sebagai berikut. $!abila teda!at fungsi
f ( x ) yang da!at di difeensialkan !ada inteval
df ( x ) dx
I, sede#ikian sehingga
¿ f ' ( x )=f ( x ) , #aka anti tuunan dai f(x)
adalah f(x) + % dengan % k&nstanta se#baang.
.% =en"s)=en"s Integral .%.$ Integral Tak Tentu
Antipendierensialan adalah operasi untuk mendapatkan himpunan semua antiturunan dari suatu ungsi yang diberikan. Secara umum, integral tak tentu dari f(x) dideinisikan sebagai berikut.
∫ f ( x ) dx = f ( x ) +, Keterangan 1 Y ; operasi antiturunan atau lambang integral & ; konstanta integrasi f(x)dx ; ungsi integral, ungsi yang akan dicari anti turunannya f(x) ; ungsi hasil integral .%.$.$ Integral Tak Tentu Fungs" Al!a3ar
umus#rumus integral tak tentu ungsi Aljabar 1 )4 Y dx ; E c '4 Y a dx ; ax E c a
nE) E &, & Z )
74
Y axn dx ;
84
Y a f(x) dx ; a Y f(x) dx
n+1
*4
Y C f(x) ' g(x) D dx ; Y f(x) dx [ g(x) dx
&ontoh 1 > 2x dx
o
2
Y x dx =
1+1
x1+1 + c
> +4x ? 0 - dx
o
Y 0x E < 4 dx ; Y x dx E Y 6x dx x E 6x E & .%.$.% Integral Tak Tentu Fungs" Tr"g&n&metr"
umus#rumus integral tak tentu ungsi trigonometri 1 )4 Y cos x dx ; sin x E c '4 Y sin x dx ; # cos x E c 74 Y tan x dx ; # ln \cos x\ E c 84
Y cos 0ax + b4 dx ;
*4
Y sin 0ax + b4 dx ; #
1
sin 0ax + b4 E c
a 1
a
cos 0 ax + b4 E c
&ontoh 1 > +( s"n x - dx
o
Y 07 sin x4 dx = - 7 cos x E c > + x ? tan x - dx
o
1 x' E ln \sec x\ E c 2
Y 0 x E tan x4 dx =
.%.% Integral Tertentu
"ntegral tertentu adalah integral yang memiliki batas. :ika suatu ungsi yang dideinsikan pad selang tutup 0a,b4 maka integral tentu 0integral iemann4 dari dari a sampai b dinyatakan oleh 1 n
b a
* f ( x ) dx = lim
∑ f ( x ) x
n →- i =1
i
i
:ika limit itu ada, dengan f 0 x4 disebut integran, a disebut batas bawah, b disebut batas atas, dan
b a
*
disebut tanda integral tentu.
-erikut siat#siat integral tertentu 1 )4
a a
* f (x) dx
'4
b a
* f (x) dx ; #
74
b a
*
k dx ; k 0b - a4
84
b a
*
k f(x4 dx ; k
*4
b a
*
C f (x) ' g (x)D dx ;
<4
c a
* f (x) dx ;
]4 V4
f (x) dx b a
*
;(
/
a b *
f (x) dx
b a *
f (x) d
04 d [
b a *
c b *
b a *
g 04 d
b a *
f (x) dx E
b a *
g (x) dx jika f (x) dx @ g (x) dx
f (x) dx aGbGc
f (x) dx @ (, jika f (x)
.( ara Mengh"tung Integral .(.$ ara Su3t"tus"
&ara subtitusi pada integral dilakukan apabila satu bentuk integral tidak dapat langsung diselesaikan dengan menggunakan rumus#rumus dasar integral. "ntegral bentuk ini terlebih dahulu diubah menjadi bentuk integral yang dapat diselesaikan dengan rumus integral, yaitu dengan cara mensubtitusikan 9ariabel baru, yaitu dengan mensubtitusikan u ; f 0 x4. Y f 0 x4n d C f 0 x4D ; Y
1
un du ;
un#) E c, dengan n Z )
n +1
&ontoh 1 Tentukan integral dari Y < x' 0' x7 # 84' dx Misal u ; ' x7 F 8 du ; < x' dx dx =
du 6 x
2
Sehingga, Y < x' 0' x7 # 84' dx = < x'u8
du 6 x
; u' du ;
2
1 5
u*
;
1 5
0' x7 # 84* E c
.(.% ara Pars"al
&ara parsial digunakan apabila bentuk suatu integral tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus#rumus dasar integral dan dengan cara subtitusi. Menghitung integral parsial dideinisikan sebagai berikut. Y u dv = uv - Y v du &ontoh 1 Tentukanlah Y √ 2+ x dx Misal u ; x du ; dx dv =
√ 2+ x
v = Y
√ 2+ x
dx
; Y 0' E x4)6' d 0' E x4 ;
2 3
0' E x476' E c 2 3
Sehingga, Y √ 2+ x dx ; ^
0' E x476' # Y
;
2 3
0' E x4 # Y
;
2 3
0' E x4 #
;
2 3
0' E x4 76' #
2 3 2 3
^ 4 15
2 3
0' E x476' dx
0' E x4 d 0' E x4 2 5
0' E x4*6' E c
0' E x4*6' E c
.(.% ara Ras"&nal
$ungsi rasional yang dimaksud adalah ungsi#ungsi bentuk
& ( x ) 0 ( x )
dengan dan (!
& ( x )
0 ( x )
masing#masing suatu polinom derajat ! dan n ,
& ( x ) = & 0+ & 1 x + &2 x + … + &! x . &! 1 0 2
!
disebut polynomial derajat !
,
Teknik#teknik pengintegralan ungsi rasional didasarkan pada penguraian bentuk & ( x ) 0 ( x )
menjadi bentuk yang lebih sederhana berdasarkan aktor dari polinomial
0 ( x )
. -entuk inilah yang lalu diintegralkan.
&ontoh 1
∫ x 2− x3+ x1+2 dx =∫ ( x −21 x) (+ x1−2 ) dx 2
A 2 dx +¿ dx x − 1 x −2
∫ ¿∫ ¿
A dan - dapat dicari melalui hubungan 1 2 x + 1
=
A
+
2
x −3 x + 2 x −1 x −2 2
¿
A ( x −2 )+ 2 ( x −1) ( x −1 ) ( x −2)
2 x + 1= A ( x − 2 )+ 2 ( x − 1)
2 x + 1= ( A + 2 ) x −2 A −2
( A + 2 )=2 dan −2 A −2 =1
A =−3
¿∫
Misal 1
dan
2 =5
−3 5 dx +∫ dx x −1 x −2
u= x −1 ⟹ du =dx
v = x −2 ⟹ dv =dx
¿∫
−3 u
∫ 5v dv
du +
; −3 ln (u )+ 5 ln ( v )+ ; −3 ln ( x −1 )+5 ln ( x −2 )+ ( x −2 )5 + ; ln 3 ( x −1 )
Aturan yang dapat dipedomi untuk penguraian bentuk
& ( x ) 0 ( x )
sebagai berikut 1
). 5ntuk setiap aktor dari 0 ( x ) berbentuk ( ax +b ) k , maka penguraian aktor tersebut berbentuk 1 A 1 A2 A k + + + … ax + b ( ax + b )2 ( ax + b )k
'. 5ntuk setiap aktor dari 0 ( x ) berbentuk ( ax 2 +bx + c )k , maka pengurain aktor tersebut berbentuk 1 A 1 x + 21 2
ax + bx + c
+
A 2 x + 2 2
( ax 2+ bx + c )
+…+ 2
A k x + 2k
( ax 2 +bx + c )k
Agar lebih jelas tentang aturan tersebut, diberikan contoh#contoh berikut 1 &ontoh 1
).
2 x
¿
3
+ x2 + 2 x −1 2 x 3 + x 2+ 2 x −1 = 4 ( x −1 ) ( x + 1 ) ( x −1 ) x −1
A
+
x + D 2
x + 1
A = 2 = D=1
dan
=0
3
−8 x −13 A 2 = + + 2 ( x + 3 ) ( x −1 ) x +3 x −1 ( x −1 )2
3 x
dengan
7.
2
x −1 x + 1
dengan
'.
+
A = 4, 2 =−1,
dan =2
3
−13 x + 22 A 2 = + + 2 2 2 ( x + 3 ) ( x 2− 2 ) x + 3 x + 2 ( x2− 2 )
6 x
dengan A =1, 2=−1, = 3, D =−5 dan %= 0
5ntuk kasus nbm yaitu derajat polinomial & ( x ) tidak kurang dari derajat polinomial 0 ( x ) , maka sebelum diterapkan aturan penguraian diatas, perlu dilakukan penyederhanaan lebih dahulu. &ontoh 1
∫
3
x −1 =… 3 x + x
!alam hal ini
∫
3
& ( x ) = x −1 3
x −1 dx = 3 x + x
∫ 1 +− x1 + x x −+11
¿∫ 1 dx +∫ ¿∫
(
berderajat 7 dan
−1 x
2
)
0 ( x )= x + x
dx
∫ xx −+11 dx
dx +
2
2 1 x + 1 − 2 1 dx − dx + d 2 x x + 1 2 x x + 1
∫
1
∫
1
1 2
¿∫ 1 dx −∫ dx + x
x
∫
∫ x 1+1 d ( x +1 )−∫ x 1+1 2
2
2
1 2
¿ x −ln x + ln ( x 2+ 1 ) − tan−1 x +
.* &nt&h S&al Integral 'an Pen6elesa"ann6a
3
juga berderajat 7.
D. APLIKASI INTEGRAL D.$ A,l"kas" Integral 'alam Keh"'u,an
_K`?`M" `perasi hitung integral dapat diterapkan dalam persoalan ekonomi, misalnya dalam integral tak tentu digunakan menghitung ungsi total, dan dalam integral tertentu digunakan untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen. :ika diketahui ungsi demand dan supply suatu barang, operasi hitung integral dapat dipakai untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen pada saat market euilibriumatau pada tingkat harga tertentu. ). Surplus Konsumen Konsumen yang mampu atau bersedia membeli barang lebih tinggi 0mahal4 dari harga euilibrium +( akan memperoleh kelebihan 0surplus4 untuk tiap unit barang yang dibeli dengan harga +(. +ada saat euilibrium, jumlah total pengeluaran 0total ependiture4 konsumen ; +(.N( yang dalam gambar ini adalah
luas empat persegi panjang (A-&, sedangkan konsumen yang tadinya bersedia membeli barang ini lebih tinggi dari harga +( akan menyediakan uang yang banyaknya ; luas daerah yang dibatasi kur9a demand yang sumbu tegak +, sumbu mendatar N, dan garis ordinat ; ( 0yakni ; luas daerah (A-$4. Karena itu, besarnya surplus konsumen yakni selisih antara jumlah uang yang disediakan dikurangi dengan jumlah pengeluaran nyata konsumen sehingga surplus konsumen dapat dinyatakan sebagai berikut1 SK ; uas (A-$ F uas (A-& ; uas daerah &-$ ;oYo04.d F +(.N( :ika dari ungsi demand p ; 04 maka hasil dari (Ya04.d adalah jumlah uang yang disediakan. '. Surplus +rodusen Surplus produsen adalah selisih antara hasil penjualan barang dengan jumlah penerimaan yang direncanakan produsen dalam penjualan sejumlah barang. +ada saat harga terjadi price euilibrium +( maka penjual barang yang bersedia menjual barang ini dibawah harga po akan memperoleh kelebihan harga jual untuk tiap unit barang yang terjual yakni selisih antara po dengan harga kurang dari po. Sedangkan, pada saat euilibrium, penjual barang ini akan menerima hasil penjualan barang sejumlah +( . N( yang dalam gambar adalah luas empat persegi panjang (A-&, sedangkan sebenarnya penjual barang ini bersedia menerima sejumlah uang yang banyaknya ; luas daerah yang dibatasi kur9a supply dengan sumbu +, sumbu N dan garis ordinat ; o 0yakni luas daerah (A-_4, maka penjual barang ini akan memperoleh surplus produsen 0penjual4 sebanyak berikut ini1 S+ ; uas (A-& F uas daerah (A-_ ; +(.N( #oYcg04.d T_K?``/" # +enggunaan laju tetesan minyak dari tangki untuk menentukan jumlah kebocoran selama selang waktu tertentu.
