Mahas Mahasisw iswa a mampu mampu:: menc me ncar arii anti antitu turu runa nan n fung fungsi si dan dan me meng nggu guna naka kan n anti antitu turu runa nan n untu untuk k me meny nyel eles esai aika kan n pe pers rsam amaa aan n dife difere rens nsia iall orde orde satu satu pe peub ubah ah terpisah, meng me nggu guna naka kan n de defi fini nisi si untu untuk k me meng nghi hitu tung ng inte integr gral al tentu tentu se seba baga gaii limit penjumlahan, meng me nghi hitu tung ng juml jumlah ah Riem Rieman ann n de deng ngan an me meng nggu guna naka kan n titi titik k eval ev alua uasi si kiri kiri,, kana kanan, n, dan dan te teng ngah ah de deng ngan an bant bantua uan n Tekn Teknol olog ogii Info Inform rmas asii dan dan Ko Komp mput uter er (TIK (TIK)) dan dan me meng nggu guna naka kann nnya ya untu untuk k menj me njel elas aska kan n pe peng nger erti tian an intu intuit itif if dari dari inte integr gral al te tent ntu, u, mengh menghitu itung ng integr integral al dengan dengan mengg mengguna unakan kan sifat sifat integ integral ral tentu, tentu, atur aturan an pang pangka kat, t, dan dan su subs bsti titu tusi si umum umum,, memb me mban angu gun n dan dan me meng ngev eval alua uasi si inte integr gral al untu untuk k me meng nghi hitu tung ng luas luas bida bidang ng data datar, r, vol volum ume e bend benda a puta putar, r, lua luass pe perm rmuk ukaa aan n bend benda a puta putar, r, kerj kerja a yang yang dila dilaku kuka kan n oleh oleh pe peru ruba baha han n gaya gaya,, mom momen en dan dan pusa pusatt massa assa lamin amina a dat datar dan dan se sent ntrroit oit dari dari daer daerah ah bida idang data datarr.
Turunan
Antiturunan
Definisi. Fungsi F disebut suatu antiturunan fungsi f pada interval I jika Dx F(x) = f(x) pada I, yaitu: F’(x) = f(x) untuk setiap x di I.
.
Contoh.
anti turunan dari
anti turunan umum dari
Sembarang bilangan real
Antiturunan fungsi f (x ) tanda integral
Contoh. Carilah
integran (fungsi yang diintegralkan)
jika
integral terhadap x
.
Teorema. Aturan pangkat Jika r adalah bilangan rasional dan r ≠ -1, maka
Contoh. Carilah
dan
.
Teorema.
Teorema. Kelinearan integral tak-tentu Misalkan fungsi f dan g mempunyai antiturunan (integral tak-tentu) dan k adalah konstanta, maka
Contoh. Carilah
.
Tulis |x |= kx , dengan k = ±1
Teorema. Aturan pangkat yang diperumum Misalkan g adalah fungsi yang terdiferensialkan dan r adalah bilangan rasional dan r ≠ -1. Maka
Contoh. Carilah
Persamaan diferensial orde-satu yang dapat dipisah
persamaan yang tidak-diketahuinya (the unknown) adalah fungsi dan melibatkan turunan dari fungsi yang tidak-diketahui tersebut.
Contoh. Buktikanlah bahwa y = sin x + C, y = 1, dan y = -1 adalah solusi persamaan diferensial
Penyelesaian.
.
. .
Contoh. Dari ketinggian berapa dari permukaan bumi suatu bola harus dilepas agar mencapai permukaan bumi dengan kecepatan -50 m/det? Percepatan gravitasi bumi dimisalkan -10 m/det2 . Misalkan
h(t): ketinggian bola dari permukaan bumi pada saat t percepatan bola: h’’(t) = -10, h’’(0) = 0 m/ det kecepatan bola saat t: karena h’(0) = 0 maka C 1 = 0 sehingga h’(t) = -10 t kecepatan menyentuh bumi = -50 m/s, h’(t) = -10 t = -50, maka t = 5. jarak yang ditempuh bola setelah t detik: karena h(5) = 0 maka C 2 = 125. jadi ketinggian awal bola adalah 125 m.
Notasi sigma
Teorema. Kelinearan jumlah Jika c adalah konstanta, maka
Beberapa rumus jumlah yang penting
Diberikan daerah A yang dibatasi kurva y = x 2 + 2, sumbu-x , sumbu y, dan garis x = 1. Ingin dicari luas A. Luas A dapat diaproksimasi dengan bantuan persegi panjang. aproksimasi kiri
aproksimasi tengah
aproksimasi kanan
Contoh. Aproksimasilah daerah A yang dibatasi kurva y = x 2 + 2, sb-x , sb- y, dan x = 1 menggunakan 5 persegi panjang kiri, kemudian dengan n persegi panjang kiri, lalu hitung luas A yang sesungguhnya. Interval [0, 1] dibagi menjadi 5 subinterval sama panjang: i 0 1 2 3 4 x i 0 0,2 0,4 0,6 0,8 f (x i) 2 2,04 2,16 2,36 2,64 L( P i)= f (x i) x i 0,4 0,408 0,432 0,472 0,528
Menggunakan persegi panjang kiri: x = 1/n. i x i f (x i)
0 1 2 0 1/n 2/n 2 2+(1/n)2 2+(2/n)2
…
…
…
1 (n 1)/n 2+((n 1)/n)2 –
–
–
Luas daerah A yang sesungguhnya:
Panjang subinterval tidak harus sama
Daerah boleh berada di atas/bawah sumbu-x
Titik sampel
Definisi. Misalkan f adalah fungsi yang didefinisikan pada interval tutup [a, b]. Jika
ada, maka f dikatakan terintegralkan pada [a, b]. Lebih lanjut, disebut integral tentu/ integral Riemann f dari a ke b dan diberikan oleh
| P |: panjang maksimum dari subinterval dalam partisi P .
Definisi.
Catatan
Teorema. Teorema keterintegralan Jika f terbatas pada [a, b] dan f kontinu pada [a, b] (kecuali pada sejumlah hingga titik), maka f terintegralkan pada [a, b]. Secara khusus, jika f kontinu pada seluruh interval [a, b], maka f terintegralkan pada [a, b].
Contoh. Periksalah apakah fungsi terintegralkan pada interval Pada
f terbatas
f kontinu kecuali pada x = -2, -1, 0, 1, 2
f terintegralkan
