BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Kereta api merupakan salah satu bentuk nyata dalam kemajuan teknologi. Dengan harga yang terjangkau ,failitas yang memadai, dan juga cepat membuat alat transportasi yang satu ini digemari oleh masyarakat umum. Terlebih pada saat menjelang hari libur tiba seringkali orang berlomba-lomba untuk membeli tiket kereta api dari jauh-jauh hari karena takut tidak kebagian tiket. Biasanya orang yang akan membeli tiket di stasiun kereta api akan mengantri pada loket-loket tertentu sesuai dengan tujuan yang diinginkan. Hal ini berkaitan dengan distribusi eksponensial karena distribusi eksponensial merupakan distribusi yang membahas tentang antrian, yaitu lamanya waktu pelayanan. Oleh karena itu kami mengamati dan mengambil data pada salah satu stasiun di Yokyakarta, yaitu stasiun lempuyangan guna mendapatkan data lamanya waktu pelayanan pada tiap antrian yang berkaitan dengan distribusi eksponensial. B. RUMUSAN MASALAH 1. Pemahaman tentang probabilitas terutama pada distribusi eksponensial. 2. Pembuktian aplikasi distribusi eksponensial dengan cara observasi lapangan pada stasiun lempuyangan.
C. BATASAN MASALAH
STATISTIK INDUSTRI | DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
Pengambilan data hanya dilakukan pada stasiun kereta api lempuyangan Yogyakarta dalam kurun waktu 2 jam pada 4 loket yang ada. D. TUJUAN Tujuan dalam pembuatan makalah adalah : 1. Dapat memahami dan menguasai konsep distribusi eksponensial. 2. Dapat mengaplikasikan konsep distribusi eksponensial dalam menyelesaikan suatu permasalahan. E. METODOLOGI Metodologi pengambilan data, yaitu sebagai berikut : 1. Jenis Data : Primer 2. Sifat Data : Numerik 3. Metode Statistik : Deskriptif
BAB II PEMBAHASAN
STATISTIK INDUSTRI | DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
A. LANDASAN TEORI 1. DEFINISI DISTRIBUSI EKSPONENSIAL Salah satu distribusi yang banyak digunakan dalam statistika, khususnya proses stokastik, adalah distribusi eksponensial. Distribusi eksponensial adalah salah satu kasus khusus dari distribusi gamma. Distribusi ini banyak digunakan sebagai model di bidang teknik dan sains. Distribusi eksponensial juga berguna dalam mencari selisih waktu yang terjadi dalam suatu peluang pada daerah tertentu. Dalam aplikasinya distribusi eksponensial ini sangat berperan sekali, seperti : untuk mengukur selisih waktu antara orang ke - 1 dan orang ke - 2 dalam suatu antrean. Selanjutnya distribusi ini juga berguna untuk mengukur tingkat
kegagalan
yang
mungkin
terjadi
dalam
suatu
peluang. Kemudian distribusi eksponensial juga berguna dalam
mencari
peubah
acak
kontinu
menggunakan variabel random (bilangan acak). x dikatakan mempunyai distribusi eksponensial bila :
f ( x)
1
x
,
1 0
0 untuk x yang lain
STATISTIK INDUSTRI | DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
x,
dengan
Grafik pada distribusi eksponensial mempunyai ekor di sebelah kanan, dimana nilai x mulai dari nol sampai tak hingga, puncaknya selalu ada di X = 0, kurvanya selalu mengecil untuk X yang membesar. Distribusi eksponensial menunjukkan distribusi probabilitas untuk waktu antara kejadian acak. Distribusi eksponensial ini juga digunakan untuk memodelkan tahan hidup (keandalan) berbagai komponen seperti bola lampu, alat-alat elektronik, dan sebagainya.
x f ( x)dx
E (x)
0
=
1 x 0 e dx
=
x d 0
=
e
x
xe
=
x
0
0
e
x
dx
+
STATISTIK INDUSTRI | DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
d
0
e
x
e
=
f ( x)
E (x)
x
=
1 2e
x
,
0
=
x0
==
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa:
2
E ( x 2 ) 2 2 =
Contoh: Misalkan daya tahan suatu komponen dinyatakan dalam variabel random x yang mempunyai distribusi eksponensial dengan ratarata sama dengan 5. Tentukan probabilitas bahwa komponen itu
P( x 8) akan berfungsi pada akhir tahun kedelapan atau
E (x)
==5
f (x) Jadi
=
1 5e
x 5
,
x0
1 x 8 5 e 5 dx
P ( x 8) =
STATISTIK INDUSTRI | DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
e
x
=
8
=
e
8 5
1, 6
=
e
0,2
Distribusi yang lebih umum dari distribusi eksponensial untuk menyatakan ketahanan suatu benda adalah distribusi weibull.
2. KARAKTERISTIK DISTRIBUSI EKSPONENSIAL a. Mempunyai nilai variansi; b. Mempunyai nilai mean; c. Pencarian pada distribusi eksponensial menggunakan variabel random; d. Peluang yang terjadi pada suatu percobaan mempengaruhi selisih waktu yang terjadi pada percobaan tersebut; e. Mempunyai nilai β> 0.
3. RATAAN DAN DEVIASI STANDAR DISTRIBUSI EKSPONENSIAL Rumus untuk mencari rata – rata dan deviasi standar distribusi eksponensial, yaitu :
B. STUDI KASUS Jarak waktu pelayanan penjualan tiket kereta api pada tiap antrian dalam kurun waktu 2 jam memiliki rata-rata 19 detik perorang pada setiap antrian yang terdapat 4 loket didalamnya. Jika 2 loket ditutup, maka tentukan probabilitas dari 2 loket yang beroperasi dan berapa variansi waktu antar antrian. Tabel 1.1 Pengambilan Data
STATISTIK INDUSTRI | DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
No
Waktu Kedatangan
Waktu Pelayanan
Waktu Selesai
Lama Pelayanan (Detik)
1
12:00:51
12:09:00
12:09:14
14
2
12:00:54
12:09:16
12:09:21
5
3
12:01:01
12:09:22
12:09:25
3
4
12:01:15
12:09:26
12:09:40
14
5
12:02:05
12:09:41
12:09:48
7
6
12:02:57
12:09:49
12:10:01
12
7
12:02:59
:12:10:02
12:10:10
8
8
12:13:06
12:10:12
12:10:25
13
9
12:03:11
12:10:26
12:10:39
13
10
12:03:20
12:10:40
12:10:51
11
11
12:04:00
12:10:52
12:10:15
23
12
12:05:56
12:11:17
12:11:33
16
13
12:06:04
12:11:34
12:11:45
11
14
12:08:42
12:11:46
12:11:58
12
15
12:10:09
12:11:59
12:13:00
61
16
12:10:11
12:13:02
12:13:35
33
17
12:10:13
12:13:36
12:13:44
8
18
12:10:21
12:13:45
12:13:57
12
19
12:10:31
12:13:58
12:14:10
12
20
12:10:37
12:14:11
12:14:33
22
21
12:10:56
12:14:34
12:14:48
14
22
12:10:58
12:15:01
12:15:07
6
23
12:11:23
12:15:10
12:15:38
18
24
12:11:31
12:15:32
12:15:44
12
25
12:11:32
12:14:51
12:16:09
18
26
12:11:33
12:16:22
12:16:27
5
27
12:11:35
12:16:32
12:16:41
9
28
12:12:36
12:16:52
12:17:03
11
29
12:12:48
12:17:15
12:17:30
15
STATISTIK INDUSTRI | DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
30
12:13:09
12:17:32
12:17:41
9
31
12:13:26
12:19:00
12:19:08
8
Pengolahan Data Diketahui : λ = 19 detik / orang pada 4 loket. Ditanya : a. Probabilitas jika 2 loket tutup? b. Variansi waktu antar setiap antrian? Jawab : a. P ( x > 2 ) E (x) = μ = 19 −x 1 19 e Jadi f (x) = 19 ,x>0 ∞
1 e P(x>2)= ∫ 2 λ ∞
−x λ
dx
−x
=
1 19 e ∫ 19
=
1 1 19 ∞ [ e ] 19 −1 2 19
=
1 [ −19 e 19 − −19 e 19 ] 19
=
1 19 e 19 19
dx
2
−x
(
(
−∞
−2
) (
−2
)
)
STATISTIK INDUSTRI | DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
−2
= e 19 −0.10 = e
= 0,90
b.
1 1 σ = = =0,0028 λ 19
BAB III PENUTUP KESIMPULAN Distribusi eksponensial banyak digunakan sebagai model di bidang teknik dan sains. Distribusi eksponensial berguna dalam mencari selisih waktu yang terjadi dalam suatu peluang pada daerah tertentu. Selanjutnya distribusi ini juga berguna untuk mengukur tingkat kegagalan yang mungkin terjadi dalam suatu peluang. STATISTIK INDUSTRI | DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
