RUDINI MULYA _ TEKNIK INDUSTRI U NIVERSITAS MERCU BUANA
2012
LAPORAN AKHIR PRAKTIKUM STATISTIK Diajukan untuk Melengkapi Tugas Mata Kuliah Praktikum Statistik Pada Program Studi Teknik Industri
Disusun Oleh : Kelompok 4
Rudini Mulya Dessy Diardito Miranda Ihsan Maulana Yoel Octavianus
(41610010035) (41610010035) (41610010040) (41610010040) (41610010010) (41610010010) (41610010043) (41610010043)
PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MERCU BUANA JAKARTA 2012
Diperiksa dan disetujui oleh :
Asisten Praktikum
Kelompok IV - Laporan Praktikum Praktikum Distribusi Binomial Binomial dan Hipergeometris
| 24
2012
RUDINI MULYA _ TEKNIK INDUSTRI U NIVERSITAS MERCU BUANA
LAPORAN PRAKTIKUM DISTRIBUSI BINOMIAL DAN HIPERGEOMETRIS BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Salah satu jenis distribusi variabel random diskrit yang paling sederhana adalah distribusi binomial. Distribusi Binomial adalah distribusi untuk proses Bernoulli. Distribusi ini dikemukakan pertama kali oleh seorang ahli matematika bangsa Swiss yang bernama J. Bernoulli (1654-1705). Proses Bernoulli adalah suatu proses dengan ciri-ciri eksperimen berlangsung n kali dan tiap eksperimen berlangsung dalam cara da n kondisi yang sama. Untuk setiap eksperimen hanya ada 2 (dua) kejadian yang mungkin terjadi, dimana 2 (dua) kejadian tersebut adalah saling asing dan juga independen satu sama lain. Biasanya 2 (dua) kejadian tersebut dinotasikan sebagai kejadian sukses dan kejadian gagal. Sedangkan, jika sampling dilakukan tanpa pengembalian dari kejadian sampling yang diambil dari populasi dengan kejadian-kejadian terbatas, proses Bernouli tidak dapat digunakan, karena ada perubahan secara secar a sistematis dalam probabilitas pro babilitas sukses su kses seperti sep erti kejadian-kejadian yang diambil dari populasi. Jika pengambilan sampling tanpa pengembalian digunakan dalam
situasi
sebaliknya
dan
memenuhi
syaratproses
Bernouli,
distribusi
hipergeomentrik adalah distribusi probabilitas diskrit yang tepat.
1.2 Tujuan Praktikum
1. Mahasiswa diharapkan mampu membedakan karakteristik distribusi binomial dan hipergeometris. 2. Mahasiswa diharapkan mampu mengetahui asumsi / karakteristik dasar percobaan binomial dan hipergeometris. 3. Mahasiswa
diharapkan
mampu
melakukan
pendekatan-pendekatan
distribusi
hipergeometris dan pendekatan distribusi normal ter hadap binomial.
Kelompok IV - Laporan Praktikum Praktikum Distribusi Binomial Binomial dan Hipergeometris
| 25
RUDINI MULYA _ TEKNIK INDUSTRI U NIVERSITAS MERCU BUANA
2012
BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Distribusi Binomial
Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang ua ng logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan u langan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label “berhasil” bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau “gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama,yaitu sebasar ½. (Ronald E. Walpole).
Distribusi binomial berasal dari percobaan binomial yaitu suatu proses Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan saling bebas. Distribusi binomial merupakan distribusi peubah acak diskrit. Secara langsung, percobaan binomial memiliki ciri-ciri sebagai berikut:
Percobaan tersebut dilakukan berulang-ulang sebanyak n kali.
Setiap percobaan menghasilkan keluaran yang dapat dikategorikan sebagai gagal dan sukses.
Probabilitas sukses p tetap t etap konstan dari satu percobaan ke percobaan la in.
Percobaan yang berulang adalah saling bebas. Banyaknya sukses X dalam n usaha suatu percobaan binomial disebut suatu peubah
acak binomial. Distribusi peluang peubah acak binomial X disebut distribusi Binomial dan dinyatakan dengan b (x;n,p), karena nilainya tergantung pada banyaknya usaha (n) dan peluang sukses dalam suatu usaha (p).
Tiap sukses terjadi dengan peluang p dan kegagalan dengan peluang q = 1 – p. Dalam percobaan tersebut yang menghasilkan x sukses dan n – x yang gagal. gag al. Banyaknya ini sama dengan banyaknya cara memisahkan n hasil menjadi dua kelompok sehingga x hasil berada pada kelompok pertama dan sisanya n – x hasil pada kelompok kedua, jumlah ini dapat dinyatakan dengan
.
Kelompok IV - Laporan Praktikum Praktikum Distribusi Binomial Binomial dan Hipergeometris
| 26
RUDINI MULYA _ TEKNIK INDUSTRI U NIVERSITAS MERCU BUANA
2012
Distribusi binomial bila suatu suat u usaha binomial dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1 – p, maka distr ibusi peluang peubah acak binomial X yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas, ialah:
(; , ) = ,
= , , … … … ,
Keterangan :
P(X)
= Probabilitas peristiwa sukses sebanyak X
n
= jumlah percobaan
p
= probabilitas sukses
q
= probabilitas gagal
x
= jumlah sukses yang dicari probabilitanya. Distribusi binomial b (x;n,p) mempunyai rataan dan var iansi:
= dan = 2.2 Distribus Di stribusii Hipergeometris Hipergeometris
Distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok obyek yang dipilih tanpa pengembalian. Misalnya anda diberikan se buah kotak yang berisi 10 buah kembang gula, kesemuanya nampak sama bila dilihat dari luar. Anggaplah kemudian anda tahu bahwa 8 mempunyai rasa marshmallow (rasa ini yang anda suka) dan 2 buah rasa almond (rasa ini tidak anda suka). Jika anda mengarnbil 5 buah, berapa probabilitas bahwa anda akan mendapat 3 rasa marshmallow? Ini adalah kasus probabilitas dimana jumlah keberhasilan dibagi dengan jumlah kemungkinan hasil. Eksperimen hipergeometrik memiliki karakteristik sebagai berikut:
Sebuah sampel random berukuran n diambil tanpa pengembalian dari N item (populasi).
k dari N item dapat diklasifikasikan sebagai sukses dan N – k diklasifikasikan sebagai gagal.
Distribusi probabilitas dari variabel random hipergeometrik X hipergeometrik X , jumlah sukses dalam sebuah sampel random berukuran n yang diambil dari N item yang mengandung k item sukses dan N dan N – k gagal adalah:
−− (; , , ) = Kelompok IV - Laporan Praktikum Praktikum Distribusi Binomial Binomial dan Hipergeometris
| 27
2012
RUDINI MULYA _ TEKNIK INDUSTRI U NIVERSITAS MERCU BUANA
Keterangan :
X = Jumlah sukses dalam sampel, untuk X = 0,1,2,3, .....n (nilai yang ditanyakan dalam probabilitas) N = Jumlah kejadian dalam populasi k = Jumlah sukses dalam populasi n = Jumlah kejadian dalam sampel
Rataan dan variansi dari distr ibusi hipergeometrik h hipergeometrik h( x; x; N , n, k ) adalah:
= ,
. . − =
2.3 Syarat Pendekatan Distribusi Binomial terhadap Distribusi Hipergeometris Hipergeometris
Syarat-syarat dalam pendekatan distribusi binomial terhadap distribusi hipergeometris adalah: Pada saat n cukup kecil dibandingkan N dibandingkan N , kondisi item-item dalam populasi akan kecil
perubahannya, sehingga k / N dapat N dapat dianggap konstan.
Dalam hal ini k / N dapat N dapat dianggap sebagai parameter p p pada distribusi binomial.
Secara rule of thumb, thumb, pendekatan ini dapat digunakan jika n/ N < N < 0,05.
2.4 Syarat Pendekatan Distribusi Normal terhadap Distribusi Binomial
Apabila kita perhatikan suatu distribusi probabilitas binomial, dengan semakin besarnya nilai n, maka semakin mendekati nilai distribusi normal. Bila nilai X adalah distribusi acak binomial dengan nilai tengah deviasi
=
np dan standar
adal ah: = , maka nilai Z untuk distribusi normal adalah: dan nilai p mendekati 0,5 = , di mana n
2.5 Cara Membaca Tabel Binomial
Distribusi binomial merupakan suatu distribusi teoritis, sehingga distribusinya dapat disusun secara matematis. Untuk mengetahui probabilitas binomial dapat dicari dengan bantuan tabel tabe l distribus d istribusii binomial. Tabel distribusi binomial telah te lah dis usun usu n untuk unt uk membantu memba ntu mengetahui suatu probabilitas secara tepat. Tabel distribusi binomial secara keseluruhan dapat dilihat berikut ini. Dalam tabel distribusi binomial terdapat jumlah percobaan (n), probabilitas sukses (p), dan kejadian (X).
Kelompok IV - Laporan Praktikum Praktikum Distribusi Binomial Binomial dan Hipergeometris
| 28
2012
RUDINI MULYA _ TEKNIK INDUSTRI U NIVERSITAS MERCU BUANA
BAB III PENGUMPULAN PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA
3.1 Peralatan Peralatan Praktikum
Adapun peralatan yang diperlukan dalam melakukan praktikum ini adalah: Kelereng. Lembaran pengamatan dan alat hitung.
3.2 Prosedur Praktikum
3.2.1
Percobaan 1 a. Percobaan
kelereng
kuning
dan
putih
dengan
40x
pengembalian,
perbandingan 15 kuning kuning : 10 putih. b. Percobaan koin kuning dan putih dengan 40x pengembalian, perbandingan 20 kuning : 10 putih.
3.2.2
Percobaan 2 Percobaan koin kuning dan putih dengan 50x pengembalian, perbandingan 15 kuning kuning : 10 putih.
3.2.3
Percobaan 3 Percobaan kelereng kuning dan putih tanpa t anpa pengembalian, perbandingan 10 kuning : 15 putih. putih.
Kelompok IV - Laporan Praktikum Praktikum Distribusi Binomial Binomial dan Hipergeometris
| 29
2012
RUDINI MULYA _ TEKNIK INDUSTRI U NIVERSITAS MERCU BUANA
3.3 Pengolahan Data 1.
Percobaan 1
a.
Percobaan kelereng kuning dan putih dengan 40x pengembalian perbandingan 15 kuning kuning : 10 putih. Keterangan
: K = kuning;
n
P = putih
Jumlah Cacat
K
Total 1
2
3
4
0
1
2
3
1
p
P
p
k
2
P
K
P
K
3
P
K
K
K
√
1
4
K
K
K
P
√
1
5
K
P
K
K
√
1
6
P
P
P
K
7
P
P
K
K
8
K
K
P
K
9
K
P
K
P
√
2
10
P
K
K
P
√
2
√
2 3
√
√ √
4
3 2 1
√
18
=
∑ = = 1,8
= 0,45 = = ∑ ∑
=
= , = = 7,2
µ
.
Kelompok IV - Laporan Praktikum Praktikum Distribusi Binomial Binomial dan Hipergeometris
| 30
2012
RUDINI MULYA _ TEKNIK INDUSTRI U NIVERSITAS MERCU BUANA
b. Percobaan kelereng kuning dan putih dengan 40x pengembalian perbandingan 20 kuning kuning : 10 putih. Keterangan
: K = kuning; N
P = putih
Jumlah Cacat
K
Total 1
2
3
4
0
1
2
3
4
1
P
k
K
P
2
P
P
P
P
3
P
K
K
K
4
P
P
K
P
√
3
5
K
P
P
P
√
3
6
K
K
P
P
7
K
K
K
K
8
K
P
K
K
9
P
K
K
P
√
2
10
P
P
P
P
√
4
2
√ √
4 1
√
√
2 0
√
1
√
22
=
∑ = = 2,2
= ∑ ∑ = = 0,55 = = . = ,
= 8,8
Kelompok IV - Laporan Praktikum Praktikum Distribusi Binomial Binomial dan Hipergeometris
| 31
2012
RUDINI MULYA _ TEKNIK INDUSTRI U NIVERSITAS MERCU BUANA
2.
Percobaan II
a.
Percobaan kelereng kuning dan putih dengan 50x pengembalian perbandingan 15 kuning kuning : 10 putih. Keterangan Keteranga n
: K = kuning; P = putih
3.
N
Jumlah Cacat
K
Total 1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
1
P
K
K
P
K
√
2
2
K
K
P
K
P
√
2
3
K
K
P
P
K
√
2
4
P
P
P
P
K
5
P
K
P
K
P
6
K
P
K
K
K
7
P
K
P
P
P
8
K
P
P
K
K
9
P
K
K
P
P
10
P
P
K
P
P
√
4 3
√
1
√ √
4 2
√
3
√ √
4
27
=
∑ = = 2,7
= 0,54 = = ∑ ∑
= 13,5 = = . = ,
Kelompok IV - Laporan Praktikum Praktikum Distribusi Binomial Binomial dan Hipergeometris
| 32
2012
RUDINI MULYA _ TEKNIK INDUSTRI U NIVERSITAS MERCU BUANA
b. kelereng kuning dan putih dengan 50x pengembalian pengembalian Perbandingan 20 kuning : 10 putih. Keterangan
: K = kuning ;
N
P = putih
Jumlah cacat
K
Total 1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
1
K
P
K
K
P
2
P
P
K
P
K
3
P
P
P
P
K
4
K
K
P
K
P
5
K
P
K
K
K
6
P
P
P
P
K
7
K
K
K
P
P
8
P
K
P
K
P
9
K
P
K
K
P
√
2
10
K
K
P
P
K
√
2
2
√
3
√ √
4 2
√
1
√ √
4 2
√ √
3
25
=
∑ = = 2,5
= ∑ ∑ = = 0,5
= 12,5 = = . = ,
Kelompok IV - Laporan Praktikum Praktikum Distribusi Binomial Binomial dan Hipergeometris
| 33
RUDINI MULYA _ TEKNIK INDUSTRI U NIVERSITAS MERCU BUANA
2012
3. Percobaan III (Tanpa pengembalian )
Percobaan kelereng kuning dan putih dengan 20x penga mbilan Perbandingan 10 kuning : 15 putih. Keterangan
: K = kuning;
P = putih
Jumlah N cacat
K 0
1
Total
1
2
2
1
K
P
2
P
P
3
K
P
√
1
4
K
P
√
1
5
P
K
√
1
6
K
K
7
P
P
8
K
K
9
K
P
10
K
K
1
√ √
0
√ √
2 0
√
1
√
0
√
9
∑
=
2
∑ = = 0,9
= ∑ ∑ = = 0,45
= . = , =
= 1,8
Kelompok IV - Laporan Praktikum Praktikum Distribusi Binomial Binomial dan Hipergeometris
| 34
RUDINI MULYA _ TEKNIK INDUSTRI U NIVERSITAS MERCU BUANA
2012
BAB IV ANALISIS DATA
Berdasarkan hasil pengolahan data yang sudah dilakukan pada bab III, maka dapat dianalisa sebagai berikut: 4.1 Distribusi Binomial
a. Dalam 40 dan 50 kali pengambilan sampel, dengan 2 parameter yang berbeda akan men menghasi ghasilk lkan an 40 dan dan 50 50 kali kali pe ng a mb i la n s a mp e l, de ng a n 2 para param meter eter yan yang g berbeda akan menghasilkan nilai-nilai yang berbeda- beda pula, nilai-nilai tersebut ditampilkan secara acak karena tipe yang dipilih adalah random data. b. Untuk peluang secara teoritis dari parameter yang sama s e m a k i n b e s a r n i l a i x nya maka peluangnya semakin kecil. Sedangkan untuk parameter y a n g b e r b e d a d e n g a n n i l a i n y a n g s a m a d a n n i l a i p be r be da n i l a i dari x yang sama nilainya semakin kecil untuk nilai p yang besar. Percobaan yang termasuk dalam distribusi distr ibusi binomial, binomial, yaitu: Percobaan 1 dan percobaan 2 40
kali pengambilan dengan pengembalian, perband ingan 15:10
40
kali pengambilan dengan pengembalian, perband ingan 20:10
50
kali pengambilan dengan pengembalian, perband ingan 15:10
50
kali pengambilan dengan pengembalian, perband ingan 20:10
Alasannya adalah karena karakteristik distribusi binomial adalah: 1. Eksperimennya terdiri dari n ulangan percobaan. 2. Masing-masing percobaan hanya mempunyai dua kemungkinan yang diklasifikasikan sebagai sukses atau gagal. 3. Kemungkinan sukses yang dinyatakan dengan P; tetap konstan dari satu percobaan ke percobaan yang lain. 4. Antara percobaan yang satu dengan percobaan yang lain bersifat saling bebas.
Kelompok IV - Laporan Praktikum Praktikum Distribusi Binomial Binomial dan Hipergeometris
| 35
RUDINI MULYA _ TEKNIK INDUSTRI U NIVERSITAS MERCU BUANA
2012
4.2 Distribus Di stribusii Hipergeometris Hipergeometris
a. Semakin besar nilai data yang dihasilkan secara random, maka semakin kecil nilai peluangnya. b. Peluang tiap X (banyaknya sukses) sukses) leb lebih ting tinggi gi untu untuk k n yang ang lebi ebih keci kecill. c. Untuk N yang sama, semakin besar kecil nilai n, maka kurva yang dihasilkan akan semakin tinggi. Sedangkan semakin besar nilai k, maka kurva yangdihasilkan akan semakin melebar. d. Apabila populasi besar dan sampel relatif kecil, pengambilan secara sampling dilakukan tanpa pengembalian menimbulkan efek terhadap probabilitas sukses dalam setiap percobaan kecil, untuk mendekati nilai probabilitas hipergeometrik dapat digunakan konsep distribusi binomial, dengan syarat ≤ 0,05 N. Percobaan yang termasuk dalam distribusi hipergeometris, yaitu percobaan 3 dengan 20 kali pengembalian, perbandingan 10:15. Alasannya adalah, karena karakteristik distribusi hipergeometrik adalah: 1. Sebuah sampel random berukuran n diambil tanpa pengembalian dari suatu lot yang mempunyai N item. 2. Dalam N item tersebut terdapat S item yang dikategorikan sebagai item sukses, dan N-S adalah item gagal.
Kelompok IV - Laporan Praktikum Praktikum Distribusi Binomial Binomial dan Hipergeometris
| 36
RUDINI MULYA _ TEKNIK INDUSTRI U NIVERSITAS MERCU BUANA
2012
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpula K esimpulan n
1. Distribusi binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang terdiri dari 2 kejadian yang dapat terjadi dan saling bebas, yaitu sukses atau gagal. 2. Distribusi hipergeometris adalah distribusi yang terdiri dari sebuah sampel random berukuran n diambil tanpa pengembalian dari suatu lot lot yang mempunyai N item. 3. Untuk distribusi binomial, jika nilai n sebaran binomial semakin besar maka akan mendekati sebaran normal. 4. Untuk distribusi hipergeometris, semakin besar nilai data yang dihasilkan secara random, maka semakin kecil nilai peluangnya.
5.2 Saran
1. Untuk para praktikan sebaiknya lebih memperhatikan pada saat asisten menjelaskan. 2. Untuk asisten, lebih menjelaskan lagi apa yang dibahas dalam laporan. 3. Untuk asisten laboratorium, agar memperhatikan kenyamanan laboratorium dan menambah fasilitas komputer ko mputer di laboratorium.
Kelompok IV - Laporan Praktikum Praktikum Distribusi Binomial Binomial dan Hipergeometris
| 37
