5 Mei 2013
Statistika Matematika Distribusi Binomial Negatif
Rizki Alfath (3115086736), Rizqa Nova Melati (3115121937), Tri Wijayanti (3115120185) PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF
P
andanglah suatu percobaan yang sifat-sifatnya sama dengan yang tertera pada
percobaan binomial, kecuali bahwa di sini usaha diulang sampai tercapai sejumlah sukses tertentu. Jadi, sebagai ganti mencari peluang x sukses dalam n
usaha, bila n telah tertentu, kita ingin mencari peluangnya bahwa sukses ke k terjadi pada usaha ke x. Percobaan semacam ini disebut percobaan binomial negatif.
Sebagai ilustrasi, pandanglah penggunaan semacam obat yang diketahui 60% manjur untuk mengobati sejenis penyakit. Pengunaan obat tersebut dianggap sukses bila menyembuhkan si penderita sampai taraf tertentu. Ingin diketahui peluang penderita kelima yang sembuh merupakan orang yang ke-7 yang menerima obat tersebut selama mingg tertentu. Nyatakanlah sukses dengan S dan kegagalan dengan G, maka SGSSSGS merupakan suatu kemungkinan urutan mencapai
hasil
tersebut,
yang
terjadi
dengan
peluang
(0,6)(04)(0,6)(0,6)(0,6)(0,4)(0,6)=(0,6)5(0,4)2. Semua urutan yang mungkin dapat ditulis dengan menyusun G dan S, kecuali yang terakhir, yang haruslah merupkan sukses yang ke-5. Jumlah semua urutan yang ungkin sama dengan banyaknya cara memisahkan ke-6 usaha yang pertama menjadi 2 kelompok, yang pertama mengandung 2 gagal sedangkan yang ke-2 mengandung
sukses. Ini dapat dikerjakan dalam
()
cara yang
berlainan. Jadi, bila X menyatakan hasil yang membuahkan sukses yang ke-5, maka P( X = 7) =
() . Banyaknya
usaha
X
untuk
menghasilkan k sukses dalam suatu percobaan binomial negatif disebut peubah acak binomial negatif dan distribusi
peluangnya
disebut
distribusi binomial negatif. Karena peluangnya
bergantung
pada
banyaknya sukses yang diinginkan dan peluang sukses dalam usaha tertentu maka peluangnya akan dinyatakan dengan lambang b*( x; k , p). STATISTIKA MATEMATIKA
1
Untuk mendapatkan rumus umum untuk b*(x; k, p), pandanglah peluang mendapat suatu sukses pada usaha ke x yang didahului oleh k – 1 sukses dan x – k gagal dalam suatu urutan tertentu. Karena tiap usaha bebas dari usaha lainnya, peluang yang berpadanan dengan tiap hasil dapat diperkalikan. Tiap sukses terjadi dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1 – p. Jadi, peluang untuk suatu urutan tertentu yang berakhir dengan k – 1 x – k
sukses, ialah p
q
k
– k
p = p qx . Banyaknya titik sampel dalam percobaan yang berakhir
dengan sukses, sesudah terjadi k – 1 sukses dan x – k gagal dalam urutan sembarang, sama dengan banyaknya cara memisahkan x – 1 usaha menjadi 2 kelompok, masingmasing beranggota k – 1 sukses dan x – k gagal semuanya
( ) cara, masing-masing k
x – k
saling terpisah dan terjadi dengan peluang yang sama, yaitu p q k x – k
diperoleh dengan memperkalikan p q
dengan
. Rumus umum
( ).
Distribusi Binomial Negatif
Bila usaha yang saling bebas, dilakukan berulang keli menghasilkan sukses dengan peluang p sedangkan gagal dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi peluang peubah acak X , yaitu banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke k diberikan oleh
Contoh 1:
Carilah peluang bahwa seseorang yang melantunkan tiga uang logam sekaligus akan mendapatkan semuanya muka atau
semuanya belakang untuk kedua kalinya pada
lantunan kelima. Jawab:
Dengan menggunakan distribusi binomial negatif untuk x = 4, k = 2, dan p = ¼ diperoleh
( ) ()() ()
b*
Contoh 2:
Pada suatu daerah gondok endemis, probabilitas seseorang terkena struma adalah 12%. Bila dilakukan pemeriksaan terhadap 48 orang pendudukyang diambil secara acak, berapa probabilitas orang ke-5 yang diperiksa merupakan orang ke-3 yang menderita struma?
STATISTIKA MATEMATIKA
2
Jawab:
Diketahui p = 12% = 0,12, maka q = (1 – 0,12) = 0,88, dan k = 3. X menyatakan banyaknya penduduk yang diperiksa yang diperkirakan menderita struma
( ) − ) − = () = P( X = 5) = ( P( X = k ) =
Soal:
Peluang pembelian suatu televisi berwarna di suatu toko televisi adalah 0,3. Hitunglah peluang bahwa pembelian televisi yang kesepuluh di toko tersebut akan merupakan pembelian televisi berwarna yang kelima.
Penyelesaian:
Diketahui:
k = 5 X =10 p = 0,3 q = 1 – p = 0,7
( ) − ) − = ( =` ( )
b*( x; k , p) =
= 0,0515
Sumber:
Ridha, Rasyid., 2011. Latihan dan Pembahasan Soal Distribusi Peluang Diskrit . Jakarta: STIS. Walpole, Ronald E., 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan. Bandung: ITB.
STATISTIKA MATEMATIKA
3
