Linealizacion de Modelos No Lineales

LINEALIZACION DE MODELOS NO LINEALES En la regresión lineal no siempre se da el caso que la relación entre X,  es lineal! por lo que se recomienda anali"ar siempre antes de reali"ar cualquier  an#lisis de regresión, la $orma m#s sencilla de descartar si una regresión es o no lineal seria% &'(A)ICANDO*! por e+emplo% si los datos generan una &una cura* no de-e utili"arse la regresión por m.nimos cuadrados/

)uente% Ela-oración propia/

Cuando los datos no son compati-les con la regresión li neal se de-e reali"ar  una trans$ trans$orm ormaci ación ón// Estas Estas trans$ trans$orm ormaci acione ones s a0uda a0udaran ran a cone conertir rtir una regresión no lineal a una regresión lineal, para luego resolerla usando el m1todo de una regresión simple para a+ustar las ecuaciones a los datos/  A continuación, se presentan presentan algunos modelos de lineali"ación%

 Linealización del modelo exponencial. – 2ara 2ara C3apra C3apra 0 Canale Canale 456678, 456678, Este Este modelo modelo se emplea emplea en muc3os muc3os campos de la ingenier.a para caracteri"ar cantidades que aumentan4  β 1  positio8 o disminu0en 4 β 1  negatio8, a una elocidad que es

directamente proporcional a sus propias magnitudes/ 2or e+emplo% El crecim crecimien iento to po-lac po-lacion ional al o el decaim decaimien iento to radioa radioacti ctio o tienen tienen este este comportamiento/  El modelo e9ponencial se representa mediante la siguiente ecuación%

 β1 x

 y = α 1 e

Siendo

α 1

0  β 1

constantes, para un  β 1 ≠ 0 .

 'r#$icamente%

 Dic3a ecuación se puede lineali"ar mediante la aplicación de logaritmos naturales a am-os lados de la ecuación, es decir% ln ( y )= ln ( α 1 e

 β1 x

)

ln ( y )= ln ( α 1)+ β 1 x ln ( e )

como el

ln ( e )=1 :

ln ( y )= ln ( α 1)+ β 1 x

(eali"ando un cam-io de aria-le% ln ( y )= y

^

 ! ln ( α 1 )= A 0 !  β 1=B

por lo tanto, la ecuación lineali"ada quedara escrita como%  y = A 0+ Bx ^

 'r#$icamente quedara representada en $unción de  X   s ln  y %

)uente%

ela-oración

propia/ Esta ecuación

representa ecuación de una l.nea recta cu0a pendiente queda descrita por  β 1 ordenada de origen es

ln α 1

la 0 la

/

 Linealización del modelo potencial. – Este modelo es aplica-le a en di$erentes campos de la ingenier.a/

 El modelo e9ponencial se representa mediante la siguiente ecuación%  y = α 2 x

 β2

Siendo

α 1

0  β 1

son constantes, para un  β 1 ≠ 0,1 .

 'r#$icamente%

)uente% ela-oración propia/

 Se puede lineali"ar mediante la aplicación de logaritmo en -ase :6 a am-os lados de la ecuación, es decir%  β log ( y )= log ( α 2 x ) 2

log ( y )= log ( α 2 ) + β 2 log x

(eali"ando un cam-io de aria-le% log ( y )= y ' 

 ! log ( α 2 )= A '   ! log ( x )= x ' 

por lo tanto, la ecuación lineali"ada quedara escrita como%  y ' = A ' + β2 x ' 

 Se gra$icar# en $unción de log ( x )  s log ( y ) %

)uente% ela-oración propia/ Esta ecuación representa la ecuación de una l.nea recta cu0a pendiente queda descrita por  β 2 0 la ordenada de origen es log α 2 /

 Linealización del modelo de saturación. – Seg;n C3apra 0 Canale 456678, este modelo es adecuado para caracteri"ar  la ra"ón de crecimiento po-lacional -a+o condiciones limitantes, que se iguala o &satura* con$orme 9 aumenta/

 Est# representado de la siguiente manera%  y = α 3

Siendo

α 1

0  β 1

 x  β 3 + x

son coe$icientes constantes/

 'r#$icamente%

)uente% Ela-oración propia/

 Se puede lineali"ar inirtiendo am-as partes de la ecuación, es decir% 1

=

β3 α x

+

1 α 

Esta ecuación representa la ecuación de una l.nea recta cu0a pendiente  β 3 1 queda descrita por α  0 la ordenada de origen es α 3 / 3



1 La gra$ica esta descrita por   y  s

1  x

/

)uente% ela-oración propia/