MODELOS ECÒNOMICOS LINEALES
ANGEE VIVIANA MORENO CEDEÑO ID: 616614 ANA DELIA VALDES ID: 622317
CORPORACIÒN UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS ADMINISTRACIÒN DE EMPRESAS NRC: CAT-PITALITO
INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................... ...................................................................................................................... 3 OBJETIVOS ................................................................................................................................ ............................................................................................................................... 4 MODELOS ECONÓMICOS LINEALES ................................................................................ 5 MODELOS DE INSUMOS ........................................................................................................ 7 Porqué es necesario elaborar una matriz de insumo-producto............................................... 8 Otros usos de la matriz de insumo-produc i nsumo-producto to ............................................................................ 8 DETERMINACIÓN DETERMINACIÓN DE COSTOS MARGINALES ............................................................. 13 ......................................................................................................................... 18 CONCLUSIÓN .......................................................................................................................... ...................................................................................................................... 19 BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................................................
INTRODUCCIÓN A comienzos del siglo XIX las matemáticas han hecho una gran inversión en las ciencias económicas, son una herramienta muy eficaz para desarrollar los problemas en los que la ciencia se presenta como análisis de las actividades o producción también llamados modelos económicos lineales. Se realiza este trabajo con el fin de dar una visión panorámica acerca de los modelos económicos lineales que tratan de explicar el comportamiento de una variable aleatoria mediante su relación lineal con los valores de otras que puedan influirla, generando un análisis de cómo se aplica en el día a día de la sociedad que cada vez se vuelve más exigente y competitiva, para la cual esta herramienta de modelos económicas aplicada a la realidad resulta ser muy útil.
OBJETIVOS GENERAL
Conocer que es un sistema económico lineal
ESPECIFICOS
Identificar los problemas de desarrollo Analizar los modelos económicos lineales y cada una de sus variables Realizar un análisis a cada uno de los modelos y estructuras que componen los modelos económicos lineales.
MODELOS ECONÓMICOS LINEALES
EFECTUAR: variables CLASIFICAR: endógenas y exógenas DETERMINAR: relación entre variables
MODELO DE LEONTIEF Desarrollo los primeros métodos de análisis matemáticos del comportamiento económico
MODELO CERRADO DE LEONTIEF Considere una sociedad sencilla, formada por un agricultor, un carpintero y un sastre. Cada uno produce un bien: el agricultor produce los alimentos, el carpintero, construye las casas, y el sastre fabrica la ropa. Por conveniencia, hemos elegidos nuestras unidades de modo que cada individuo produce una unidad de cada artículo durante el año. Suponga que durante un año, la parte de cada artículo que consume cada individuo esta dad en la tabla Bienes consumidos por:
Bienes producidos por: Agricultor
Carpintero
sastre
Agricultor
÷
÷
carpintero
÷
÷ ÷
÷
÷
Sastre
÷
÷
LOS BIENES NO SALEN DE LA SOCIEDAD Y NO HAY PERDIDA DE DINERO OBTENEMOS 3 ECUACIONES LINEALES LAS CUALES PASAREMOS A UNA MATRIZ
/ / / = / / / / / /
()
Podemos reescribir la ecuación (4) como: (1n-A)P=0
Que es un sistema homogéneo: Nuestro problema consiste en determinar la solución p para (5), cuyos componentes p1 sean no negativos, con al menos p1 positivo, pues p=0 significaría que todos los precios son nulos, lo cual carece de sentido. Al resolver (5) obtenemos:
= 43 4
MODELOS DE INSUMOS La matriz insumo-producto es una representación ordenada y resumida del equilibrio entre la oferta y la utilización de bienes y servicios en una economía, durante un período de tiempo que se define como base para mediciones posteriores. Esta matriz es una representación simplificada de la economía que refleja cómo se generan y usan los bienes y servicios. Usualmente se considera la medición en un año que se define como base para mediciones en los años siguientes. En términos simples, la matriz insumo-producto es una fotografía de la situación de la economía en un año previamente seleccionado. Esta fotografía tiene que ser actualizada cada cierto número de años para poder detectar cambios relevantes en la estructura de producción y conductas de consumo. La matriz es parte de las mediciones que se hacen en el Sistema de Cuentas nacionales.
Estructura de la matriz de insumo-producto La estructura de la matriz de insumo producto es la de una tabla de doble entrada. En las filas se puede observar la producción generada por las distintas actividades económicas (por ejemplo: pesca, construcción, ganadería, etc.). En las columnas en tanto, podemos observar el uso intermedio y final de los bienes y servicios. Cabe notar que el uso final incluye el consumo, la inversión y las exportaciones. Al observar las columnas por actividad económica podemos encontrar su estructura de costos desagregando por producción bruta, consumo intermedio y valor agregado. En la siguiente figura vemos un esquema simplificado de la estructura de la Matriz insumo-producto:
Gráfico de estructura de matriz de insumo-producto
Porqué es necesario elaborar una matriz de insumo-producto Existen principalmente dos razones por las cuales es necesario elaborar una matriz insumo-producto cada cierto número de años: 1. Para realizar mediciones de la actividad económica (como por ejemplo el PIB por actividad económica, gasto e Inversión) de manera más precisa. 2. Para poder hacer estimaciones a precios constantes (valor real) y obtener un sistema de precios relativos coherente. Con el paso del tiempo, la economía va cambiando debido a diversos factores tales como: la introducción de nuevas tecnologías, cambios en el comportamiento del consumidor, desaparición y entrada de nuevos productos, nuevas tendencias empresariales, entre otros. De esta forma, se hace necesario actualizar cada cierto tiempo la fotografía que tenemos de la economía, siendo de particular importancia actualizar las funciones de producción y los precios relativos. Si nos encontramos en un entorno cambiante, mientras más nos alejemos del año base (en donde se hace la matriz de insumo producto), menor exactitud tendrá la medición de la economía a precios constantes.
Otros usos de la matriz de insumo-producto La matriz de insumo-producto también tiene otros usos entre los que destacan: 1. Análisis detallado del cambio estructural que afecta a la economía de un país. 2. Modelos de equilibrio general. 3. Proyecciones de la actividad económica
EJEMPLO:
1. Dada la siguiente matriz de insumo-producto:
encontrar la matriz de producción, si la demanda final cambia a 600 para acero y 805 para carbón. Encuentre el valor total de los otros costos de producción que esto implica. Solución
• Se suman las entradas de la primera columna. El resultado anterior se divide por cada
una de las entradas de la primera columna. De igual modo se realiza el procedimiento con las columnas restantes. Ya no se toma los valores de la demanda final. (A es acero y C carbón).
Simplificando términos tenemos:
Así, por cada dólar de producción, la industria de acero gasta 1/6(=$0.166) en su propia industria; 1/3(=$0.33) en la industria de carbón; y por ultimo 1/2(=$0.50) en otros costos de producción.
Las entradas en la matriz se llaman Coeficientes de insumo-producto. La suma de cada columna es 1. • Hasta ahora solo hemos enc ontrado los coeficientes de
insumo-producto. Nos dicen; que hay que hallar la matriz de producción, si la demanda final cambia de 600 para acero y 805 para carbón. Entonces sea XA y XB los nuevos valores de producción total para las industrias A y B; ahora tenemos:
Así, tenemos; XA= 1/6 XA+ 1/3 XC+ 600 XB= 1/3 XA + 2/15 XC + 805 En ecuación matricial
• Aplicaremos operaciones matriciales, para hallar los nuevos valores de producción de
ambas industrias. Lo anterior eran pasos muy específicos, para que entendieran de donde salían estas fórmulas; ahora si empezaremos a desarrollar el ejercicio.
1er Paso.
(I - A): Se conoce como la matriz Leontief. Es restar la matriz de coeficientes A, a la matriz identidad. (I – A)
2do Paso. Encontrar la inversa a la matriz, de coeficientes A; para hallar la nueva producción. Hay dos métodos para hallar la matriz inversa
1er Método
2do Método
1. Primero que todo se calcula el determinante; ∆ = (5/6*13/15) - (-1/3*-1/3) = 11/18
2. Se cambia de puesto los números solo de la diagonal principal, en este caso (13/15 pasa al lugar donde estaba 5/6, y este pasa al otro lado). Y la otra diagonal (-1/3; - 1/3), cambian de signo los datos.
3. Por ultimo, al dividir entre la ∆ (determinante) se obtiene
Como podemos ver por los dos métodos se llegan a un mismo resultado. • X = ( I – A )-1 * C
Esta es la producción, cuando la demanda final cambia, en las dos industrias. Para Acero fue de 1290 y para Carbón 1425. Analizando los resultados, que fueron afectados por el cambio en la demanda; la producción de Acero subió en 90 unidades; mientras que la producción de la industria de Carbón, al disminuir su demanda, disminuye su oferta (producción). b) Encontrar el valor total de los otros costos Si se acuerdan al principio del ejercicio; nos dan los otros costos de producción, que nos servirá de ayuda para poder encontrar estos valores totales, que implica el cambio en la demanda y a su vez en la producción. Entonces llamaremos P, a los otros costos de producción;
PA = 1/2 XA = 645 (Otros costos de la industria de acero)
PC = 8/15 XC = 760 (Otros costos de la industria de carbón) El valor total de otros costos de producción es de 1405 (645+760=1405). Analizando los otros costos, en ambas industrias, la de acero aumento de 600 a 645, debido a que su producción aumento; pasa todo lo contrario con la industria de carbón, que bajan sus otros costos de 800 a 760, debido a que su producción disminuyo, que a su vez fue provocada por la disminución de la demanda.
DETERMINACIÓN DE COSTOS MARGINALES El costo marginal se define como la variación en el costo total, ante el aumento de una unidad en la cantidad producida, es decir, es el costo de producir una unidad adicional. Matemáticamente se expresa como la derivada parcial del costo total respecto a la cantidad: Costo Marginal = ∂Costo Total / ∂Cantidad CMg = ∂CT / ∂Q
El costo marginal es un concepto fundamental en la teoría, debido a que se utiliza para determinar la cantidad de producción de las empresas y los precios de los productos. El costo marginal depende de la tecnología utilizada en la producción y de los precios de los insumos y los factores de producción. Siguiendo la teoría neoclásica, el gráfico del costo marginal en el corto plazo tiene forma de U debido a que para pocas unidades producidas se tiene mucho capital (insumos fijos) y pocos trabajadores (insumos variables), por lo que los primeros trabajadores aumentan mucho la producción debido a que tienen mucho capital disponible. A medida que se van agregando trabajadores, la producción sigue aumentando pero cada vez menos, porque el capital se mantiene fijo. Llegará un punto en que el aumento de la cantidad producida por los trabajadores adicionales sea tan bajo que el costo total aumentará proporcionalmente más que la cantidad producida, por lo que el costo marginal comenzará a elevarse. A partir de este punto, el costo medio de producción aumentará a medida que se agreguen trabajadores a la empresa, por ejemplo debido a que los insumos fijos por trabajador serán menores, por ejemplo maquinaria, herramientas, espacio físico, computadoras, etc.. Este es el principio de los rendimientos físicos marginales decrecientes. En un extremo puede suceder que trabajadores adicionales no añadan nada al producto, por ejemplo porque no tienen ninguna herramienta para trabajar. En términos matemáticos, la función de producción relaciona el output con los inputs o factores de producción. En el corto plazo hay ciertos factores fijos. Introduciendo el
precio de los factores se puede obtener el costo total en función de la cantidad producida. Derivando el costo total respecto a la cantidad se obtiene el costo marginal. Ejemplo numérico y gráfico: En este ejemplo vamos a ver como se relaciona el costo total con el costo medio y el costo marginal.
q K L costo fijo costo variable costo total costo marginal costo medio PmgL 0
100 0
100
0
100
10 100 17 100
170
270
17.00
27.00
0.59
20 100 28 100
280
380
11.00
19.00
0.91
30 100 35 100
350
450
7.00
15.00
1.43
40 100 40 100
400
500
5.00
12.50
2.00
50 100 45 100
450
550
5.00
11.00
2.00
60 100 52 100
520
620
7.00
10.33
1.43
70 100 63 100
630
730
11.00
10.43
0.91
80 100 80 100
800
900
17.00
11.25
0.59
90 100 105 100
1050
1150
25.00
12.78
0.40
100 100 140 100
1400
1500
35.00
15.00
0.29
En las columnas vemos (por orden): - la cantidad total producida Q - la cantidad de capital K - la cantidad de trabajadores L - el costo fijo: se supone que el capital representa el costo fijo CF=K*r (r=1) - el costo variable: CV=L*w se utiliza un nivel de salario de 10 - el costo total: es igual al costo fijo mas el costo variable CT=CF+CV - el costo marginal Cmg = ΔCT / ΔQ - el costo medio: es el costo total divido la cantidad total producida Cme = CT/Q - el producto marginal de cada trabajador PmgL = ΔQ / ΔL)
Gráfico 1 Costo Marginal y Costo Medio
Gráfico 2 Costos Fijos, Costos Variable y Costos Totales
En el gráfico 1 vemos que el costo marginal es decreciente hasta cierto punto para luego comenzar a elevarse, mientras que el costo medio sucede lo mismo pero el costo medio es mas elevado que el costo marginal para las primeras unidades, interceptando a este en su punto mínimo para luego ascender pero por debajo del costo marginal. En el gráfico 2 se observa que la diferencia entre el costo total y el costo variables es el costo fijo, que es constante e igual a 100. El costo total y el variable son siempre crecientes, pero para las primeras unidades crecen a tasas cada vez menores para luego llegar a un punto de inflexión, a partir del cual crecen a tasas cada vez mayores.
Gráfico 3 Diferencia entre Costos Fijos, Costos Variable y Costos Totales
Veamos ahora el Gráfico 3. La pendiente de cualquier función es igual a la variación vertical dividida la variación horizontal. En el caso de la curva de costo total, en el eje vertical se representa el costo total y en el eje horizontal la cantidad producida, por lo que la pendiente del costo total es el costo marginal. Si vemos conjuntamente ambos gráficos, nos damos cuenta que a medida que el costo total (abajo) se hace menos "empinado", el costo marginal arriba va disminuyendo. Cuando llegamos a cierta cantidad vemos que la pendiente del costo total comienza a aumentar, lo que se ve reflejado en el gráfico de arriba por un aumento del costo marginal. Si dividimos la altura del costo total, por su distancia hasta el eje y, obtendremos el costo total dividido la cantidad, es decir, el costo medio . Si dibujamos un rayo desde el origen (punto 0,0) hasta algún punto del costo total, la pendiente de ese rayo es la altura del punto divida la distancia al eje y, es decir, la pendiente del rayo es el costo medio. Como vimos antes, el costo marginal es la pendiente de la curva de costo total, es decir, la tangente de la curva en ese punto. Entonces tenemos que la pendiente del rayo es el costo medio, y la pendiente de la tangente es el cos to marginal .
Vemos que en el punto B, la pendiente del rayo es la mínima, y en este punto la pendiente del rayo es igual a la pendiente de la tangente. Es decir, es el mínimo del costo medio, y en ese punto el costo medio es igual al costo marginal . En el ejemplo de arriba, esto se da alrededor de las 65 unidades (ver gráfico 1). Adicionalmente, podemos ver que cuando el costo medio está decreciendo, el costo marginal es inferior al costo medio, mientras que cuando el costo medio está aumentando, el costo marginal es mayor al costo medio
CONCLUSIÓN
Con la realización de este trabajo se logró afianzar los conocimientos acerca de los sistemas económicos lineales, las variables que los componen junto con sus estructuras y tipos de modelos a seguir.
La aplicación que se debe realizar con cada uno de ellos dependiendo en la situación que deba utilizarse, dando con esto un valor agregado a la sociedad de hoy día que está más exigente y competitiva.
BIBLIOGRAFÍA https://prezi.com/ghdmere2ihat/aplicaciones-de-matrices-en-modeloseconomicos-lineales/ http://economipedia.com/definiciones/matriz-insumo-producto.html http://algebralineal3.blogspot.com.co/p/matriz-insumo-producto.html https://www.zonaeconomica.com/costo-marginal
