Tendencias T endencias No Lineales. Lineales. $ Cuando los datos parecen desviarse poco mas o menos ampliamente de la linealidad, en el análisis de regresión o de una serie de tiempo, debemos pensar en ajustar a una curva en lugar de una línea recta.
Una de las curvas mas útiles es la parábola y su ecuación es !a"b#"c
$ &l ajustar una parábola por medio del m'todo de minimos cuadrados, debemos determinar a,b y c de manera (ue )*y+ ! )* )* y+a+b#+c y+a+b#+c sea sea mínimo. ara esto, consideramos la parábola como una ecuación de regresión múltiple de la -orma
y!a"b"c Con !# y !
$ or consiguiente, el m'todo anterior nos lleva a obtener las ecuaciones normales
∑y = na+b(∑x)+c(∑) ∑ xy= a(∑x)+b(∑)+c(∑ ∑y=a(∑)+b(∑)+c(∑) Cuando los valores están igualmente espaciados en una serie, la solución de estas ecuaciones para determinar a, b y c se pueden simplicar en -orma apreciable mediante el uso de la misma codicación en la sección anterior a nterior..
$ /i colocamos el cero de la nueva escala en el centro de la serie y observamos los convencionalismos de la codicación de un numero impar de periodos y de un numero par de periodos, 0aremos )#!1 y )!1, y las ecuaciones normales se reducen a
∑y = na+c(∑) ∑ xy= b(∑) ∑y=a(∑)+c(∑)
$ 2espues podemos obtener b directamente de la segunda ecuación
b= 3 podemos determinar a y c resolviendo simultáneamente la primera y tercera ecuación. Las parábolas se conocen asimismo como ecuaciones polinomiales de segundo grado y las ecuaciones polinomiales de grado mayor (ue 4, en #, como !a"b#"c"d"e, tambi'n se pueden ajustar por medio del m'todo de mínimos cuadrados.
5jemplo 6. $
5n los a7os de 689: a 68;: se produjeron ;.:;, 9.1;, ;.<;, 8.4<, ;.=1, 8.<=, 8.81, 8.;6, >.:9, <.18 y :.98 millones de barriles de petróleo crudo al día, en &rabia /audita. a? &juste
a esta serie una curva de tendencia parabólica, de la -orma @!a"b#"c
b?Calcule
los valores con tendencia de 689:, 68;4 y 68;<.
/olución $
& n de determinar a, b y c a partir de las ecuaciones normales reducidas, debemos encontrar n, 5n la segunda columna de la tabla siguiente, se muestra la producción *los valores de y? y, en las cinco columnas de la derec0a, se presenta el trabajo realiAado para obtener las sumas (ue se piden
$ &0ora bien, ya terminado todo esto, podemos determinar b directamente 0aciendo una sustitución en la -ormula para obtener
== -0.28 2espu's, al sustituir n!66 junto con los totales de las columnas y, y, en la primera y tercera ecuaciones normales reducidas, se obtiene
87.16= 11 a + 110c 7!.!6= 110 a + 1"8c
$ &l resolver estas dos ecuaciones por el m'todo de eliminación o por determinantes, tenemos (ue a! 8.=4 y c ! +1.6:, ambos redondeados a dos ci-ras decimales. Con esto, escribimos la siguiente ecuación de tendencia parabólica y su leyenda
#= ".!2 $ 0.28x $ 0.1% *origen 6898B unidades de # un a7oB y producción de petróleo crudo en &rabia /audita, en millones de barriles diario?
5n esta ecuación parabólica (ue describe la tendencia de la producción de petróleo crudo en &rabia /audita, en el periodo de 689: a 68;:, a ! 8.=4 es el valor de la tendencia de 6898, b !+1.4; es la pendiente de la curva en #! 1 *el origen? y 4c! +1.4; es la raAón constante del cambio de la pendiente en este punto en particular.
$ b?
ara determinar el valor de la tendencia de un a7o cual(uiera en la curva parabólica, sustituimos simplemente el valor adecuado de x en la ecuación de tendencia. ara 689:, sustituimos x= -5 y obtenemos =
ara 68;4, sustituimos x= 3 y obtenemos
3, para 68;< *un a7o despu's del t'rmino de la serie?, sustituimos x= 6 y obtenemos
c? ara traAar una tendecia parabólica necesitamos por lo menos tres
roducción diaria de petróleo crudo en &rabia /audita, de 689: a 68;: 64
61
;
>
:
4
1 6894
689:
689>
689;
68;1
68;4
68;:
68;>
Con -recuencia, un conjunto de datos (ue no parece lineal cuando se traAa en papel ordinario para gráca en papel con una escala vertical logarítmica *papel semilogarítmico o papel de raAones?. La serie siguiente muestra para los a7os de 6841, 68=1, 68:1, 68<1, 68>1, 6891 y 68;1, el número de unidades 0abitacionales ocupada por los propietarios, en 5stados Unidos, y es un buen ejemplo de este tipo de datos.
Unidades 0abitacionales ocupadas por los propietarios en 5stados Unidos, de 6841 a 68;1, traAados en papel ordinario para grácas. 81 ;1 91 >1 <1 :1 =1 41 61 1 6861
6841
68=1
68:1
68<1
68>1
6891
68;1
6881
Como indica la gráca anterior, ciertamente, la trayectoria (ue siguen los datos no se describe en la -orma adecuada por medio de una línea recta. or otra parte, la gráca en papel semilogarítmico muestra (ue se ordena apreciablemente bien, cuando se utiliAa una 611 escala logarítmica para y.
61
6 6861
6841
68=1
68:1
68<1
68>1
6891
68;1
6881
$ 5n
papel aritm'tico, intervalos iguales en la escala vertical representan cantidades iguales de cambio, y los valores de , (ue se calculan a partir de la ecuación , se presentan como una línea recta en el papel milim'trico. 5n papel de raAones de cambio, iguales los valores de , (ue se obtiene de la ecuación
$
/e traAan como una línea recta en papel de raAones. 5sta última curva se conoce con el nombre de e#ponencial, por(ue # gura en la ecuación como el e#ponente de b, y las tendencias de las series de tiempo, (ue parecen lineales cuando se traAan en papel de raAones, se denominan tendencias e#ponenciales. &l tomar el logaritmo de las e#presiones en ambos lados de la ecuación , se tiene
$ una ecuación lineal en # y . *&l escribir &, y 3 para y , la 5s ecuación se trans-orma en Y= A+Bx , (ue es la ecuación usual de una línea recta?. & n de ajustar una tendencia e#ponencial mediante el m'todo de mínimos cuadrados * o sea, para ajustar una línea recta a los logaritmos de los valores de y ?, determinamos los valores num'ricos de log a y log b a partir de las -ormulas. Formulas de
calculo para ajustar una curva exponencial
y
/iempre (ue, por el cambio de escala, 0agamos despu's, obtenemos a y b. 5l trabajo procede e#actamente de la misma manera (ue al ajustar una línea recta a los propios valores de y , salvo por(ue utiliAamos log y en veA de y.
5jemplo 4. &juste una curva e#ponencial a los números de unidades 0abitacionales ocupadas por los propietarios en 6841, 68=1, 68:1, 68<1, 68>1, 6891 y 68;1.
&oluci'n 5#iste un número non de puntos para los datos de este periodo, de manera (ue codicamos dic0os datos jando el cero de una nueva escala # a la mitad del periodo, (ue es el a7o 68<1, y contamos desde a0í 0acia atrás y 0acia adelante en decenios. 2ic0o de otra manera, codicamos los decenios +=, +4, +6, 1, 6 , 4, y =. tomando de la tabla DE, los logaritmos (ue se necesitan para realiAar el trabajo, producimos la sumas necesarias para determinar log a y log b en la siguiente tabla
$ sustituir los totales adecuados en las columnas y n!9 en las &l -órmulas de log a y log b.
Fbtenemos
3 escribimos la ecuación de tendencia en -orma logarítmica, son su leyenda así
Frigen 68<1B en unidades de # un decenioB y unidades 0abitacionales ocupadas por los propietarios, en millones
$ tabla Dl muestra (ue los logaritmos 6.>=;: y 1.1;<= La corresponden respectivamente a los números :=.< y 6.44, de modo (ue escribimos así la ecuación de tendencia e#ponencial
5n esta -orma, :=.< es el valor de tendencia de 68<1 y 6.44 es igual a 6 más el promedio del crecimiento decenal de las 0abitaciones ocupadas por los propietarios en el periodo de >1 a7os. or lo tanto el índice del promedio de crecimiento
$ ara la mayoría de los nes prácticos, es mas cómoda la -orma logarítmica de la ecuación de tendencia e#ponencial. or ejemplo, para calcular el numero de unidades 0abitacionales ocupadas por los propietarios en el a7o 6881, sustituimos #!: en la -orma logarítmica de la ecuación de tendencia y obtenemos
Holviendo una veA más a la tabla Dl, tenemos (ue la propia vale 8<.:. en consecuencia el numero estimado de unidades 0abitacionales ocupadas por propietarios, para 6881 * con base en la tendencia de 6841 a 68;1?, es 8< :11 111.
5jemplo = &juste una curva e#ponencial a los números de las unidades 0abitacionales ocupadas por los propietarios en 68=1, 68:1, 68<1, 68>1, 6891 y 68;1. 5ste es el mismo *o nidades problema del ejercicio anterior, pero se 0a suprimido la ,abiacion ci-ra de 6841. ales (millones) 6841
4:.:
68=1
48.8
68:1
=:.8
68<1
:4.;
68>1
<=.1
6891
>=.:
/olución 5#iste un número par de puntos de datos en la serie, de manera (ue codicamos los datos jando el cero de una nueva escala x en 68<<, a la mitad los 1"!0entre - 68=< +: a7os 68<1 y 68>1. 5n otras palabras, codicamos los a7os +<, +=, +6, 6, = y <.
1"%0
-!
68:<
+4
1"0
-1
68<<
1
1"60
1
68><
4
1"70
!
689<
:
1"80
Tomando los logaritmos (ue se necesitan para realiAar el trabajo de la tabla DE, generamos las sumas necesarias para determinar log a y log b en la tabla siguiente
Iediante la sustitución de los totales apropiados en las columnas y n ! > en las -órmulas de log a y log b, se obtiene
! 6.>;1= ! 1.1:=6 3 escribimos así la ecuación de tendencia en su -orma logarítmica, con su leyenda
*origen 68<1+68>1B unidades de # medio decenioB y incremento anual de las unidades 0abitacionales ocupadas
$ /e determina y , (ue son los valores reales de tendencia de los a7os 68=1 a 68;1, y se presentan -ácilmente de manera siguiente
!a $ b# &7o 68=1 68:1 68<1 68>1 6891 68;1
# +< += +6 6 = <
6.:>:; 6.<<61 6.>=94 6.94=: 6.;18> 6.;8<;
48.4 =<.> :=.: <4.8 >:.< 9;.9
