INSTRUMENTACION Y SENSORES
TEMA: LINEALIZACION NOMBRE: JUAN CARLOS ÑACATO ÑACATO CURSO: QUINTO CARRERA: INGENIERIA ELECTRONICA E INSTRUMENTACION DOCENTE: ING. JOSE BUCHELI 2016-2017 1
INDICE
1.-RESUMEN .................................................................................................................................. 3 2.-CONCEPTO ................................................................................................................................ 4
¿Qué es una función lineal? ...................................................................................................... 4 ¿Qué es una función no lineal? ................................................................................................. 4 Significado de la linealización .................................................................................................. 5 METODOS ............................................................................................................................... 5 Por logaritmación ...................................................................................................................... 5 La función potencial .............................................................................................................. 6 La función exponencial ......................................................................................................... 6 Regresión lineal (METODO MINIMOS CUADRADOS) ................................................... 6
3.-EJEMPLO POR EL METODO DE MINIMOS CUADRADOS ........................................................... 8 BIBLIOGRAFIA.............................................................................................................................. 10
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1.-RESUMEN
Se analizan los métodos para la resolución de problemas de valores conocidos en un instante de tiempo y distribuidos en tablas: el método de linealización temporal a trozos y los -métodos linealizados, El primero proporciona soluciones continuas y analíticas a trozos que tienen forma exponencial. Para resolver estos inconvenientes se proponen varias alternativas, entre las que destaca la posibilidad de realizar una linealización parcial de la tabla original, de forma que el sistema lineal aproximado sea triangular o diagonal. Los -métodos totalmente linealizados se basan en la aproximación de los términos no lineales del esquema correspondiente a los -métodos clásicos por su polinomio de Taylor de grado uno. Generalmente el modelo que representa un fenómeno natural no es una función lineal (es decir, su gráfica no es una línea recta). Sin embargo, como los modelos lineales son más fáciles de analizar, se puede tratar de convertir las funciones a la forma lineal, lo cual en muchas situaciones es posible. A este procedimiento se le denomina linealización. La aplicación de los métodos de linealización a la resolución de problemas se realiza utilizando previamente métodos de minimos cuadrados,logarirmacion y cambio de variables.
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2.-CONCEPTO
En matemáticas y sus aplicaciones, la linealización se refiere al proceso de encontrar la aproximación lineal a una función en un punto dado. En el estudio de los sistemas dinámicos, la linealización es un método para estudiar la estabilidad local de un punto de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales. Este método se utiliza en campos tales como la ingeniería, la física, la economía, y la biología. ¿Qué es una función lineal? Supongamos que una cierta variable y depende de alguna otra variable x a través de alguna función f (·) de manera tal que y = f(x) decimos que la relación entre las variables y y x es lineal si la función f (·) es la ecuación de la línea recta, y = mx + b donde m representa la pendiente y b es la intercepción al origen. En este caso, es claro que f(x) = mx + b En algunos casos la variable y puede depender de más de una variable x1, . . ., xn y = f (x1, . . ., xn) si la relación entre y y x es lineal entonces y = m1x1 + . . . + mnxn ¿Qué es una función no lineal? Debemos notar que en prácticamente todos los procesos químicos la función f (·) es no lineal. Esto significa que, si la variable y depende de la variable x, y si la relación entre ambas variables es no-lineal, entonces f (·) no puede representarse en términos de la ecuación.
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Significado de la linealización Linealizar una función no lineal f (x, u) significa reemplazarla por otra función lineal ¯f (x, u). Si las dos funciones representan básicamente el mismo proceso, para que sirve representar una función no lineal por otra lineal? Usualmente esta aproximación se realiza alrededor de un punto denotado por (x s, us) tal como se muestra en la siguiente figura.
la línea continua representa la función no lineal f (x, u). El circulo negro es el punto (x s, us) alrededor del cual se realiza la linealización de la función no lineal. Como se observa, la aproximación (o linealización) solo es válida en el interior de una región, denotada por el circulo externo. En términos generales no podemos decir de que tamaño es la región donde es válida la linealización; todo lo que podemos decir es que es pequeña. La línea discontinua representa la función linealizados. Es común referirnos al proceso de linealización como un proceso local. Lo que esto significa es que la linealización sólo es válida en un punto (alrededor del cual se realizó la linealización) y no en todo en el intervalo de definición de la función f (x, u). METODOS Por logaritmación Entre los modelos que permiten linealización mediante la logaritmación están: • La función potencial.
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• La función exponencial.
La función potencial La función Y=bxa se linealiza a través de los logaritmos, log y = a log x + log b Cambiando variables, log y ≡ y' log x ≡ x' log b ≡ b'
se obtiene, y'= ax'+b' Es decir, si en la función potencial se grafica log y vs log x se obtiene la ecuación de una línea recta La función exponencial La función y = beax se linealiza a través de los logaritmos, Ln y = ax+ Ln b Cambiando variables, Ln y ≡ y' Ln b ≡ b'
se obtiene, y ' = ax + b' Es decir, si en la función potencial se grafica ln y vs x se obtiene la ecuación de una línea recta. Regresión lineal (METODO MINIMOS CUADRADOS) Dados un conjunto de datos experimentales (x1, y1), (x2, y2), (xN,yN), en donde se concluye (o al menos se sospecha) que la tendencia del comportamiento de los mismos 6
es lineal, es posible encontrar la ecuación de la recta que mejor los represente. Uno de los métodos empleado para encontrar la recta se denomina “método de los mínimos cuadrados”. Definiendo el error εi = yi — y, que corresponde a la diferencia entre el valor
observado yi y el valor ajustado y=axi+b (ver figura 1). El criterio de ajuste que toma el método de los mínimos cuadrados es exigir que la desviación cuadrática media sea mínima, es decir, debe de ser mínima la suma,
El extremo de s, máximo o mínimo se obtiene cuando las derivadas de s respecto de a y de b sean nulas, lo que da lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas del que se despeja a y b obteniéndose,
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con,
Las respectivas incertidumbres en a y b son:
3.-EJEMPLO POR EL METODO DE MINIMOS CUADRADOS
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BIBLIOGRAFIA
Areny, R. P. (2004). Sensores y acondicionadores de señal . Marcombo. Marıa, G. L. C. (1998). Métodos de linealización para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales (Doctoral dissertation, Ph. D. thesis, Univ. de Málaga, Dept. de Lenguajes y Ciencias de la Computación). Sira-Ramírez, H., Marquez, R., Rivas-Echevarría, F., & Llanes-Santiago, O. (2005). Control de sistemas no lineales: linealización aproximada, externdida, exacta . Pearson Prentice Hall.
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